Z problematyki dwoistości w naukach formalnych

Mieczysław Lubański

Z problematyki dwoistości w

naukach formalnych

Studia Philosophiae Christianae 5/2, 125-139

S tu d ia P h ilo so p h ia e C h ristian ae A TK

5(1969)2

M IE C ZY SŁ A W L U B A Ń S K I

Z PRO BLEM ATYK I DW OISTOŚCI W N A U K A C H FORM ALNYCH, I

1. W p row adzenie. 2. A lg eb ra B o o le ’a. 2.1. A k sjo m a ty k a a lg eb ry B o o le ’a. 2.2. D w o isto ść w algeb rze B o o le’a. 2.3. Z a sto so w a n ie do cy b er­ n ety k i. 3. L ogika. 3.1. D w o isto ść w lo g ic e zdań. 3.2. D w o isto ść w lo g ice

k w a n ty fik a to ró w . 3.3. Z a sto so w a n ie do to p o lo g ii ogólnej. 4. P od su m ow an ie.

1. W prow adzenie

Wiedza byw a porządkow ana na różne sposoby. A także w rozm aitych znaczeniach. Np. można porządkować pewne wycinki wiedzy, można to czynić z całymi kompleksami nauk itd. Można również porządkować wiedzę według takiej czy innej zasady, np. według schem atu ewolucjonistycznego. Wy­ daje się, że za jeden ze sposobów porządkowania wiedzy, i to sposób interesujący, należy uznać przyjęcie za podstawę we w spom nianych zabiegach pojęcia dwoistości. Pojęcie to już daw no wprawdzie zanotowała historia nauki. Nie można jed­ nak powiedzieć, by się ono zestarzało i stało nieaktualne. Przeciwnie, dzisiaj przeżywa ono swój pełny rozkwit.

Pojęcie dwoistości może stanowić jednak nie tylko podstawę system atyzacji wiedzy, może ono także bardzo dobrze pełnić funkcję heurystyczną. Pozwala ono bowiem doszukiwać się dwoistości w operacjach dokonywanych w nauce, w w yraże­ niach w ystępujących w nauce, a naw et w całych teoriach naukowych. H istoria nauki zna różnego rodzaju „dopatryw

a-nia się” dwoistości. Dostarcza jednocześnie licznych argum en­ tów za celowością takiego postępowania oraz za jego naukow ą płodnością. Wymienione wyżej racje przem aw iają za podję­ ciem problem atyki związanej z dwoistością w nauce.

Celem tego arty k u łu jest przedstaw ienie bogactwa proble­ m atyki związanej z pojęciem dwoistości w naukach form al­ nych. Służyć to będzie następnie do rozpatryw aniu analo­ gicznej problem atyki w naukach realnych, w szczególności w fizyce, oraz w filozofii.

Obecna, pierw sza część artykułu, ogranicza się do przed­ staw ienia różnych pojęć dwoistości w ystępujących w logice. W charakterze prostych zastosowań omówiona będzie dwoi­ stość w cybernatyce oraz w topologii ogólnej. D ruga część arty ku łu zajmie się ex professo zagadnieniem dwoistości w m atem atyce.

2. A lgebra B o o le’a

Przypom nim y tu taj najpierw określenie algebry Boole’a w raz z podaniem jej aksjom atyki. N astępnie omówimy poję­ cie dwoistości w algebrze Boole’a. Wreszcie wskażemy na proste zastosowanie przedstawionych pojęć w cybernetyce.

2.1. A ksjom atyka algebry Boole’a

Zbiór B, złożony z elementów x, y, z, . . . oraz dwu wyróż­ nionych elementów 0 oraz 1, łącznie z trzem a działaniami określonym i i w ykonalnym i w zbiorze В 1 a oznaczanymi przez —, ., + , nazyw a się algebrą Boole’a, jeżeli spełnione są następujące aksjom aty:

(1 + ) 0 + x = x (1·) l * x = x

(2 + ) 1t x = 1 (2·) 0 · x = 0

(3 + ) x + —x = 1 (3·) x * —x = 0

1 D zia ła n ie — jest jed n o a rg u m en to w e, d zia ła n ia + i · są d w u ar- gu m en tow e.

(4 + ) X + X = X (4·) x · x = x (5 + ) X _{+ У = У + x} (5·) x · у = у · x (6+ ) X + (x · у) = x (6·) x · (x + y) = (7 + ) X _{+ (y + z) == (x + y) + z} (7*) X · (y · z) = (x •y) · z (8 + ) X _{+ (y ·} Z ) = (x + y) · (x + z) (8·) X_{• (У + z) = (x · y) + (x · z)}

Jest rzeczą zrozumiałą, że —, + , ·, oznaczają jakieś ope­ racje na elem entach zbioru B. Nie należy sądzić, że są to dzia­ łania arytm etyczne, bądź algebraiczne. Sens wspomnianych operacji określony jest przez wyżej podane aksjom aty. Można podać różne modele, różne interpretacje algebry Boole’a. Mó­ wimy mianowicie, że zbiór złożony z jakichś elementów ai, a2, &3, ... wraz z dwoma wyróżnionymi elementami bo i bi oraz trze­

m a konkretnym i operacjami, określonymi i wykonalnym i w zbiorze Z, a oznaczanymi przez Oi, o2, o3, jest modelem algebry Boole’a, jeżeli po zastąpieniu elementów x, y, z, · · · przez elem enty ai, a2, a3, · · ·, elementów O i l przez bo i bi oraz działań —, + , · przez operacje oi, o2, 03 aksjom aty alge­ bry Boole’a stają się wszystkie zdaniami prawdziwym i. Zna­ ne są powszechnie następujące interpretacje algebry Boole’a: klasyczny rachunek zdań, algebra zbiorów, tzw. algebra sieci przekaźnikowych dwubiegunowych 2.

Prosty, lecz interesujący, jest przypadek tzw. dwuelem en- towej algebry Boole’a. M amy z nią do czynienia wówczas, gdy zbiór В składa się tylko z elementów 0 oraz 1, zaś ope­ racje — , + , · są określone identycznie, jak fu n ktory negacji,

2 Co do a k sjo m a ty k i a lg eb ry B o o le ’a por. A. M o sto w sk i, L ogika m a tem a ty czn a , W arszaw a — W rocław 1948, 103 oraz A. G rzegorczyk , Z arys lo g ik i m a tem a ty czn ej, W arszaw a 1961, 186. O in terp reta cji „ e le k ­ tr y c z n e j” zob. np. A. W. M o sto w sk i, A lg eb ry B o o le’a i ich za sto so w a n ia , W arszaw a 1964. W sp ó łcześn ie a lg eb ra B oole’a je s t d ziałem m a te m a ­ ty k i bardzo ob szern ym i w a żn y m . Zob. np. R. S ik o rsk i, B o o lea n A lg e ­ bras, B erlin — G o ettin g en — H eid elb erg 1960.

alternatyw y i k o n iu n k c ji3. Tutaj 0 jest odpowiednikiem zda­ nia fałszywego, zaś 1 — zdania prawdziwego.

Homomorfizmem algebry Boole’a Bi w algebrę Boole’a B2 nazywam y każde przekształcenie h zbioru Bi w zbiór B2, które zachowuje operacje algebr Bi i B2. Mówimy, zaś, że przekształcenie h zachowuje operacje, jeżeli obraz w B2 danej operacji dokonanej w Bi jest rów ny wynikowi odpo­ wiadającej jej operacji w B2, dokonanej na elementach przy­ porządkow anych elementom wyjściowym przez przekształ­ cenie h. Wzorem można to w yrazić następująco:

h [oHxi, · · ·, Xi)] = o2[h(xi),. . ., h(Xj)]

gdzie o1 oraz o2 oznaczają odpowiednio operacje w algebrze Bi i algebrze B2, zaś ,,i”'m ó w i nam iluargum entow ane są po­ wyższe operacje. Jasne jest, że muszą one posiadać tyle samo argumentów.

Jeżeli odwzorowanie h jest odwzorowaniem Bi na cały zbiór B2, to mówimy, że h jest homomorfizmem Bi na B2. Tego rodzaju homomorfizm przyjęło się nazywać także epi- morfizmem. Homomorfizm algebry Boole’a w siebie nazywa się endomorfizmem.

Jeżeli odwzorowanie h, w ystępujące w określeniu homo- morfizmu, jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym między wszystkim i elem entam i zbioru Bi i wszystkimi ele­ m entam i zbioru B2, to mówimy, że h jest izomorfizmem, Jeżeli h jest tylko odwzorowaniem różnowartościowym mię­ dzy zbiorami B t i B2, to zwiemy je monomorfizmem. Widać stąd, że izomorfizm może być określony jako przekształcenie, które jest zarazem epimorfizmem i monomorfizmem. Oczy­ wiście, przy określeniu izomorfizmu, jak i monomorfizmu, zakładamy, że odwzorowanie h jest homomorfizmem, a nie do­ w olnym przekształceniem spełniającym własność różnow ar- tościowości. Musi więc mieć miejsce tzw. zachowanie operacji.

3 Zob. np. H. R asiow a, W stęp do m a tem a ty k i w sp ó łczesn ej, W ar­ sza w a 1968, 257.

2.2. Dwoistość w algebrze Boole’a

A ksjom aty algebry Boole’a zostały celowo podane w takiej postaci, która pozwoli łatwo sformułować „dwoistość” alge­ bry. Co przez to się rozumie? Otóż chodzi o rzecz następu­ jącą. Jeżeli w aksjom atach algebry Boole’a zastąpilibyśm y symbole 0 oraz 1 i działania + oraz · wzajemnie przez siebie, wówczas każdy aksjom at oznaczony jakąś liczbą ze zna­ kiem + przeszedłby na aksjom at oznaczony tą samą liczbą ze znakiem · i odwrotnie. W ynika więc stąd dalej, że z każdego tw ierdzenia algebry Boole’a można autom atycznie otrzymać drugie tw ierdzenie tej algebry (jak się mówi „dwoiste” względem pierwszego) zastępując symbole 0 oraz 1 i ope­ racje -f oraz · w zajemnie przez siebie. Opisany właśnie przed chwilą fak t nosi nazwę zasady dwoistości w algebrze Boole’a.

Podam y teraz kilka przykładów stosowania zasady dwoi­ stości. Dowodzi się, że w algebrze Boole’a zachodzą nastę­ pujące twierdzenia:

— (X · y) = —X + —y, x = X · y + x · —y Dwoistymi do nich tw ierdzeniam i będą w yrażenia:

— (x + y) = —x · —y, x = (x + y) · (x + —y) · Zauważmy, że wzory umieszczone w pierwszej kolum nie są w ażnym i tw ierdzeniam i algebry Boole’a noszącymi nazwę wzorów de M organ a4. Ich odpowiedniki w ystępują także w logice, a więc i w rachunku zdań i w rachunku kw anty- fikatorów.

Podobnie do wyrażenia

— (x · y) = — (x · y) · (—x + — y) w yrażenie dwoiste będzie miało postać

— (x + y) = — (x + y) + (—x · —y) ·

Przykładów tego rodzaju można podawać dużo i to w spo­ sób bardzo łatw y. Zasada postępowania jest jasna.

Z powiedzianego widzimy, że w algebrze Boole’a można mówić o w yrażeniach dwoistych. Każde tego rodzaju w

yra-4 Co do sam ej n azw y p ra w por. T. K otarb iń sk i, W yk ład y z d ziejów lo g ik i, Łódź 1957, 103 i 67.

żenie jest dwoiste względem jem u odpowiadającemu. Krótko mówiąc są one dwoiste względem siebie wzajemnie. Ale nie tylko to w ynika z zasady dwoistości. Można także mówić o operacjach dwoistnych względem siebie. Konkretyzując, operacje + oraz · są dwoiste względem siebie. Operacja ■— może być uważana za dw oistą względem siebie samej. I jeszcze jedno. Elem enty 0 oraz 1 także mogą być rozpatryw ane jako dwoiste względem siebie. Reasum ując powiemy, że zasada dwoistości odnośnie do algebry Boole’a pozwala mówić o ele­ m entach dwoistych, o eperacjach dwoistych i o w yrażeniach dwoistych. P rzeto w yraz „dwoistość” nie jest w yrazem jed­ noznacznym.

Zauw ażm y jeszcze rzecz następującą. Mianowicie z defini­ cji homomorfizmu wynika, że przekształca on wyrażenia, ope­ racje i elem enty wzajemnie dwoiste na obiekty tego samego rodzaju, pozostające nadal dwoistym i wzajemnie. W tym sen­ sie można mówić, że dwoistość jest niezmiennikiem homor- fizmu.

Przejdźm y obecnie do prostszych zastosowań przedstawio­ nych wyżej pojęć w cybernetyce.

2.3. Zastosowanie do cybernetyki

W cybernetyce można mówić o dw u zasadach dwoistości. Pierw sza z nich odnosi się do tzw. układów pro-i retrospek­ tywnych. Druga — do inform acji i zasilenia.

Rozważmy najpierw pierwszą zasadę dwoistości. W tym celu przypom nijm y pewne określenia. Mówimy, że układ względnie odosobniony jest układem prospektyw nym (krótko: układem PRO), jeżeli każda reakcja dowolnego wyjścia jest wyznaczona przez wcześniejsze i teraźniejsze bodźce w szyst­ kich wejść. Zwiemy to krótko determ inizm em lokalnym. Mó­ wimy, że układ względnie odosobniony jest układem re tro ­ spektyw nym (krótko: układem RETRO), jeżeli dowolny bo­ dziec na wejściu jest wyznaczony przez teraźniejsze lub przy­ szłe reakcje w szystkich wyjść. Zwiemy to krótko

paradeter-minizmem lokalnym 5. Okazuje się, że teorię układów względ­ nie odosobnionych prospektyw nych i retrospektyw nych można zbudować w sposób dwoisty.

Dwoistość w spom nianą otrzym am y ustalając następującą odpowiedniość:

wejście — wyjście, bodziec — reakcja, determ inizm lokal- n y — paradeterm inizm lokalny.

Wówczas układy PRO i RETRO będą dwoiste względem siebie.

Form alny przekład w yrażeń z jednego układu w wyrażenia drugiego układu może być więc dokonywany przy pomocy następującego „słow nika” :'6

w yrażenia przekładane wynik przekładu

wejście wyjście

wyjście wejście

bodziec reakcja

reakcja bodziec

determ inizm lokalny paradeterm inizm lokalny

paradeterm inizm lokalny determ inizm lokalny

PRO RETRO

RETRO PRO

Przejdźm y obecnie do drugiej zasady dwoistości. Jak już było wspomniane odnosi się ona do inform acji i zasilenia. Wiadomo dobrze, że układy względnie odosobnione w ystępu­ jące w realnych w arunkach zaw ierają dwa podstawowe ele­ m enty, które zwiemy inform acją i zasileniem. Można więc konsekw entnie mówić o wejściach i wyjściach inform acyjnych oraz o wejściach i wyjściach zasileniowych. Pozwala to odróż­ niać dwa podstawowe rodzaje układów: transform atory infor­ m acji i transform atory zasileń. Transform atorem inform acji nazywam y układ prospektyw ny posiadający co najm niej jedno

5 Zob. H. G ren iew sk i i M. K em p isty , C y b ern ety k a z lo tu ptaka, K siążk a i W iedza, 1963, 21.

zewnętrzne wejście zasileniowe, co najm niej jedno wejście inform acyjne i w yjścia zewnętrzne tylko inform acyjne. Zaś transform ator zasileń to taki układ prospektyw ny, który po­ siada co najm niej jedno wejście zasileniowe zewnętrzne, co najm niej jedno wejście inform acyjne i wyjścia zewnętrzne tylko zasileniowe 7. Jest rzeczą widoczną, iż zastępując wejścia i wyjścia inform acyjne wzajemnie przez wejścia i wyjścia za­ sileniowe, otrzym am y z transform atora inform acji tran sfo r­ m ator zasileń i odwrotnie. W ystępuje tu więc wspomniana dwoistość między inform acją i zasileniem. Widać wyraźnie, że schem at „dopatryw ania się” dwoistości między inform acją i zasilaniem jest izomorficzny z omówionym schematem dwoi­ stości w algebrze Boole’a. To pozwala na formalne ujęcie dwoistości.

Aby wskazać na płodność naukową zasady dwoistości w cy­ bernetyce, przypom nijm y, że jeśli zbudowalibyśmy ogólną teo­ rię transportu, to teorią dwoistą byłaby do niej ogólna teoria łączności. Podobnie w stosunku do ogólnej teorii magazynu dwoistą byłaby ogólna teoria p am ięci8. Można także mówić o wzajemnej dwoistości między tzw. obserwowaniem i reali­ zowaniem. Obserwowanie byłoby tu odpowiednikiem infor­ macji, zaś realizowanie odpowiednikiem zasilenia. Ciekawe jest, że istnieją układy dwoiste względem siebie samych. Zwie­ m y je sam odw oistym i9. Tego typu układy są- i filozoficznie interesujące.

3. Logika

Term in „logika” jest wieloznaczny. W tym artykule będzie­ m y w spom niany term in rozumieć jako rachunek logiczny obej­ m ujący dwie podstawowe teorie: logikę zdań (oczywiście m a­ m y na myśli logikę dwuwartościową) i logikę kw antyfikato- rów.

7 T am że 54. 8 Tam że, 60. 9 T am że, 77.

3.1. Dwoistość w logice zdań

Ponieważ rachunek zdań można uważać za interpretację algebry Boole’a, przeto pojęcie dwoistości z algebry daje się autom atycznie przenieść do logiki zdań. Je st więc sensowne mówienie o w yrażeniach dwoistych. A zasada dwoistości umoż­ liwia otrzym ywanie z danych tautologii, tautologii względem nich dwoistych.

Wygodną rzeczą jest posługiwanie się w logice zdań nastę­ pującym prostym tw ierdzeniem o dwoistości. Daje się ono sformułować następująco:

Jeżeli (— Wj-+w2, to h w ^ w f . Jeżeli l·- W ]=w 2, to Ь w j = w^.

Tutaj wskaźnik d u góry litery W oznacza w yrażenia dwoiste do wyrażenia W, zaś -> jest znakiem implikacji, zaś zna­ kiem równoważności.

Powyższe tw ierdzenie o dwoistości pozwala np. z tautologii p · q p, —(p + q) ^ (—p · —q), p · (q + r) ^ (p . q + p . r) otrzym ać tautologie

p p + q* —(p · q) — (—p + —q),

p + q · r ^ (p + q) · (p + r). Gdy idzie o dwoistość funktorów , to um aw iam y się nazy­ wać funktor n-argum entow any f dwoistym względem funktora n-argum entowego g, jeżeli tautologią jest następująca równo­ ważność:

f(ai, a2, * · ·, an) ^ —g(—a b — a2, · · ·, —an).

Jak łatwo sprawdzić, z funktorów jednoargum entow ych dwoistym względem samego siebie jest tylko funktor negacji. Wśród 16 funktorów dw uargum entow ych w ystępuje 10 par funktorów dwoistych, w ' tym 4 pary funktorów dwoistych względem siebie samych. Ze znanych dobrze funktorów dw u­ argum entow ych alternatyw a jest dwoista względem koniunk- cji, jednoczesne zaprzeczenie Łukasiewicza jest dwoiste wzglę­ dem dyzjunkcji Sheffera.

3.2. Dwoistość w logice kw antyfikatorów

Powiemy, że tautologie rachunku kw antyfikatorów są dwo­ iste, jeżeli zam ieniając duży kw antyfikator i funktor koniunk- cji przez m ały kw antyfikator i funktor altern aty w y w zajem ­ nie przez siebie, otrzym am y z jednej tautologii ■— drugą.

P rzykładam i wspomnianego zabiegu „dwoistości” mogą służyć praw a de M organa dla logiki kw antyfikatorów oraz tzw. tautologie dotyczące rozdzielności. Oto one:

l· - "Лфоо" _x — λv r— φοο 1--- ’ V ф 00' -X — ΛX - φ ( Χ ) φ ( Χ ) ·ψ ( Χ ) 'Лфсх) • 7 \ι|ί(χ) φ(-Χ)+·ψ(Χ) "νφ οο + Ύ ιφ οο' .X

Bez tru d u widać, że postępując w opisany sposób z jednej tautologii otrzym ujem y drugą i odwrotnie.

Tautologie są specjalnego rodzaju w yrażeniam i sensow­ nymi logiki kw antyfikatorów . Zatem wolno jest mówić o dwo­ istości w yrażeń rachunku kw antyfikatorów . N ietrudno jest zauważyć, że dwoistość ma miejsce także między samymi kw antyfikatoram i, duży i m ały kw antyfikator są względem siebie dwoiste. Nie budzi zaś najm niejszej wątpliwości powie­ dzenie, że negacja jest dwoista względem samej siebie, zaś alternatyw a i koniunkcja są dwoiste ińiędzy sobą.

Logika zda|ń może być uw ażana za szczególny przypadek logiki kw antyfikatorów . Stąd to wszystko, co się odnosiło do pojęcia dwoistości w rachunku zdań będzie słuszne i m utatis m utandis dla rachunku kw antyfikatorów . W tym ostatnim jed­ nak rachunku logicznym m am y do czynienia z w ystępow a­ niem tego rodzaju dwoistości, o której nie ma mowy w logice zdań. Chodzi mianowicie o dwoistość wśród tautologii zawie­ rających kw antyfikatory. Ta ostatnia dwoistość jest niezbędna przy bogatszych teoriach, np. w topologii ogólnej, o czym będziemy mówić za chwilę.

3.3. Zastosowanie do topologii ogólnej

W celu przedstaw ienia wspomnianego zastosowania przypo­ m inam y najpierw definicję przestrzeni topologicznej.

Mówimy mianowicie, że zbiór P jest przestrzenią topolo­ giczną, jeżeli wyróżniona jest w nim klasa podzbiorów (zwa­ nych zbiorami otw artym i), która spełnia następujące trzy w arunki:

1° Zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami otw artym i. 2° Część wspólna dwu (a więc skończonej liczby) zbiorów otw artych jest zbiorem otw artym .

3°Suma dowolnie wielu zbiorów otw artych jest zbiorem otw artym .

P rzyjm uje się następujące określenie: Zbiór X, którego uzupełnienie do całej przestrzeni P jest zbiorem otw artym , nazyw am y zbiorem domkniętym . Z tej definicji oraz z w arun­ ków 1°, 2°, 3° na podstawie praw de Morgana otrzym ujem y w arunki postaci:

1) Zbiór pusty i cała przestrzeń są zbiorami domkniętymi. 2) Suma dwu (a więc skończonej liczby) zbiorów domknię­ tych jest zbiorem domkniętym .

3) Część wspólna dowolnie wielu zbiorów dom kniętych jest zbiorem domkniętym.

Widzimy więc, że każde tw ierdzenie otrzym ane z w arunków 1°, 2°, 3° posiada swój „dwoisty” odpowiednik w twierdzeniu, otrzym anym na podstawie w arunków 1), 2), 3). Nerwem prze­ kładu są tu praw a de Morgana. Formalnie biorąc otrzym uje­ m y z jednego typu tw ierdzenia tw ierdzenie dwoiste względem niego przez zastąpienie zbiorów otw artych i dom kniętych wzajemnie przez siebie oraz operacji brania części wspólnej i brania sum y także wzajemnie przez siebie. Zwróćmy uwagę, że odpowiednikiem tezy głoszącej, że sum a dowolnej ilości zbiorów otw artych jest zbiorem otw artym jest teza głosząca, że część wspólna dowolnej ilości zbiorów dom kniętych jest zbiorem domkniętym . N atom iast nie jest praw dą, że suma dowolnej liczby zbiorów dom kniętych jest zbiorem domknię­

tym , ani że część wspólna dowolnej liczby zbiorów otw artych jest zbiorem otw artym . Łatwo można podać przykłady takich układów zbiorów, aby suma nieskończenie wielu zbiorów dom kniętych nie była zbiorem dom kniętym oraz część wspól­ na nieskończenie wielu zbiorów otw artych nie była zbiorem otw artym 10.

Omówiona wyżej sytuacja, zachodząca w topologii ogólnej, nosi właśnie nazwę dwoistości topologii. Można tu taj, podobnie jak w poprzednio rozpatryw anych przypadkach, mówić za­ równo o dwoistości wyrażeń, tw ierdzeń, operacji, pojęć. Dwo­ istym i więc byłyby pojęcia zbioru domkniętego i zbioru otwartego, dwoistymi byłyby więc operacje brania sum y zbio­ rów i brania części wspólnej, dwoistymi byłyby odpowiednio w arunki 1°, 2°, 3° w stosunku do w arunków 1), 2), 3). Tu mielibyśm y do czynienia z dwoistością tez.

Należy zaznaczyć, że dwoistość w topologii ogólnej nie ogra­ nicza się do uwag wyżej podanych. Można mówić o dwoistości przy klasyfikacji Borela. W tym w ypadku bowiem istnieją dwie postaci klasyfikacji borelowskiej, w oparciu o zbiory otw arte i w oparciu o zbiory domknięte. Nie wchodzimy jed­ nak w to zagadnienie z racji czysto technicznych. Sygnalizując je chcemy jedynie wskazać na dalsze możliwe tu stosowanie zasady dwoistości. Sądzimy, że zamieszczone w tym artykule przykłady dostatecznie w yraźnie w skazały na sens i ważność pojęcia dwoistości.

4. Podsumowanie

Z przedstawionych uwag nasuw ają się następujące wnioski. Po pierwsze widzimy, że pojęcie dwoistości jest pojęciem wieloznacznym. Można je odnosić i do w yrażeń danej dzie­ dziny wiedzy i do operacji tam wykonywanych, jak i do pojęć względnie przedm iotów w niej w ystępujących. Oprócz tego

10 Zob. np. K. K u ra to w sk i, W stąp do teo rii m n ogości i to p o lo g ii. W arszaw a 1962 oraz R. E n g elk in g , Z arys to p o lo g ii ogóln ej, W arszaw a 1968.

rodzaju obiektów dwoistych jest sensowne mówienie o zasadzie dwoistości, któ ra obowiązuje w danej dziedzinie wiedzy. Za­ sada dwoistości jak gdyby łączy wymienione rodzaje obiek­ tów dwoistych w pew ną harm onijną całość. To łączenie daje pewien kompleks w yrażeń ściśle ze sobą powiązanych.

Po drugie należy powiedzieć, że zasada dwoistości jest nau­ kowo wartościowa. Dzięki niej uzyskujem y ekonomię wy­ siłku. Możemy bowiem z jednej grupy tw ierdzeń otrzym ywać niemal autom atycznie drugą grupę tw ierdzeń. Ale nie tylko ekonomia uspraw iedliw ia ważność zasady dwoistości. K ieru­ jąc się tą zasadą jako tezą heurystyczną, w nikam y głębiej w stru k tu rę danej teorii naukowej. Możemy odkryć ciekawe fakty. A to jest bardzo ważne i z punktu widzenia czysto nau­ kowego, jak i metodologicznego oraz filozoficznego.

W natu ra ln y sposób pow staje tu taj pytanie jaki jest zwią­ zek pojęcia dwoistości z pojęciem sym etrii. To ostatnie jest ważnym pojęciem przyrodoznaw stw a (i nie tylko przyrodo­ znawstwa). Ciekawe w ydaje się zbadanie bliższe tego proble­ mu. Sygnalizując to zagadnienie chcieliśmy jeszcze w jeden sposób wskazać na liczne powiązania problem atyki dwoistości z naukowo ważnymi pojęciam i i teoriam i oraz w ypunktow ać jej rangę i naukową i filozoficzną.

Zur D u a litä tsp ro b lem a tik d er fo rm a len W issen sch a ften , I D er A rtik el b esch ä ftig t sich m it d em B e g r iff der D u a litä t in B oo­ le s c h e n A lgeb ra und L ogik und m it sein er A n w en d u n g en in K y b er­ n etik und A llg e m e in e n T op ologie. D er z w e ite T eil des A rtik els die D u a litä t in M ath em atik d u rch a rb eiten w ird.

D ie A x io m en der B o o le ’sch en A lgeb ra m an k ann w ie n a ch steh en d v erzeich n en : (1+ ) 0 + X = X ( 1 . ) 1 · X = X (2 + ) 1 + X = 1 (2.) 0 . X = 0 (3 + ) x f — x = l (3.) X . — X = 0

(4 + ) X + X = X (4.) X · X = X (5 + ) x + У = У + x (5.) X · y = y · X (6 + ) x + (X · y) = X ( 6 .) x . ( x + y) = X (7 + ) x + (y + z) = (x + y) + z (7.) x . (y · z) = (x · y) . z (8 + ) X + (y · z) = ( x + y ) . ( x + z) ( 8 . ) x . (y + z) = ( x . y) + ( x. z)

H ier — die e in s te llig e und + , . d ie m e h r s te llig e O p eration en b e­ deu ten . D iese O p eration en fü r d ie E lem en te x , y, z, · · · der B oo­ le s c h e n A lg eb ra d e fin ie r t sind. 0 und 1 die a u sg e z e ic h n e te E lem en te der A lg eb ra sind.

W enn m an in A x io m e n der B o o le’sch en A lg eb ra d ie S y m b o le 0 und 1 und d ie O p eration en + und · v e r w e c h se lt, dann jed er A x io m w e l­ ch er m it ein er Z ah l m it dem Z eich en + v erseh en ist, in den A x io m m it d ieser Z ah l aber m it dem Z eich en · ü b erg eh en w ird. D as b ed eu tet, d a ss au s jed em T h eorem au ch ein T h eorem e n tste h t, w e n n m an im ersten d ie S y m b o le 0 und 1 und d ie O p eration en + und . v e r w e c h se lt. D ie se s F ak tu m das so g en a n n te D u a litä tsp rin zip der B o o le s c h e n A lg e ­ b ra h eisst. M an k an n a lso in B o o le s c h e n A lg eb ra von den dualen A u sd rü ck en , O p eration en und E le m e n te sp rech en .

D ieser S p rach geb rau ch e in e V erw en d u n g in der K y b ern etik b esitzt. N äm lich die T h eo rie der sog en a n n ten PRO und RETRO — S y stem e d u a l ist. Zu d iesem Z w eck g e n ü g t d ie Ü b ersetzu n g: E in gan g — A u sgan g, R ezep tor — E ffek to r, L o k a ld eterm in ism u s — L ok a lp a ra d eterm in ism u s, a n n eh m en . D ie z w e ite D u a litä t den P la tz zw isc h e n In form ation und R eg elu n g n ehm t.

Ä h n lich zur D u a litä t in der B o o le s c h e n A lgeb ra, m ögen w ir über d ie D u a litä t in A u ssa g en — und P rä d ik a ten lo g ik sp rech en . H ier k ann m a n auch die d u ale lo g isc h e A usd rü ck e. F u n k toren und O peratoren u n tersch eid en .

B en u tzt m an d ie von de M organ G esetze, so k ann m an die T h eorie der to p o lo g isch en R äu m e in z w e i d u a len F orm en treib en . D ie e in e F orm von dem B e g r iff der o ffen en , die zw e ite von dem der a b g esch lo s­ sen en M engen g eh t aus. D ie A x io m a tik der to p o lo g isch en R äum e ist w ie fo lg en d e: 1° D ie le e r e M enge und der g a n ze R aum sind o ffe n e M engen, 2° D er D u rch sch n itt zw ei o ffen en M en gen ist e in e o ffe n e M enge, 3° D ie S u m m e der g e lie b ig v ie le n o ffen en M en gen is t ein e o ffe n e M enge. M an m u ss ach ten , dass die d u a le F orm zum T heorem :

D ie S u m m e der g e lie b ig v ie le n o ffe n e n M engen ist e in e o ffe n e M enge, d ie fo lg en d e G estalt: D er D u rch sch n itt der g e lie b ig v ie le n a b g e sc h lo s­ se n e n M engen ist e in e a b g esch lo ssen e M enge, hat.

M an k an n a lso in der B o o le ’sch en A lg eb ra und L ogik so w o h l über dem D u a litä tsp rin zip , a ls au ch über die d ualen A u sd rü ck en , O pera­ tio n en und O b jek te sp rech en .