Modelowanie układu napędowego z przekładnią spiroidalną

ZESZYTY N A U K O W E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1995

Seria: M ECH AN IK A z. 122 N r kol. 1267

Waldemar O LEK SIUK , Jakub W IERCI AK

Instytut Konstrukcji Przyrządów Precyzyjnych i Optycznych Politechnika W arszawska

M O D ELO W AN IE U K Ł A D U N APĘD O W EG O Z PR ZEK ŁAD N IĄ SPIR O ID ALN Ą

Streszczenie. W precyzyjnych układach napędowych często istotnym składnikiem obciążenia jest zesp ół przeniesienia napędu. Zbadano w p ły w , jaki na pracę mikrosilnika prądu stałego w yw iera przekładnia spiroidalna. W artykule opisano sposób zam odelow ania obciążenia silnika w oparciu o w yniki prac dośw iadczalnych.

Zaproponowano kryteria oceny działania układu napędow ego. Przedstaw iono rezultaty eksperym entów sym ulacyjnych.

M O D ELL IN G OF A D RIV IN G SYSTEM WITH THE SPIROID G EA R Summ ary. In precision driving systems a significant part o f load may b e brought in by transm ission itself. System s dnven by electric m icromotors are frequently containing toothed gears. An impact o f a spiroid gear on the DC microm otor perform ance has been exam ined. The paper describes m odelling o f motor load with the use o f data obtained in an experim ental w ay. Criteria to evaluate driving system perform ance have been developed. Sim ulation results are added.

M C M EJIM PO BA H H E J I P H B 0 2 H 0 ñ CH CTEM hl CO C I I H P Ü H 3 A J1 b H O H IT E PE flA ^E H

P p a r i M t ? . B T O U H H X n p H B O / I H H X CHC TOMaX H C T O 'i H H K e M J H a U H T e H b H O f t H a r p y 3 i c H u a c T O q B n q e T c q c a M a y * e n e p e a a u a . P a c u H T a n o b j i h h h h o C T T H p o H a a n o H o f t n e p e a a u H H a p a ö o T y a B H r n T R t r q i r o c T O í i m i o r o T o i c a . B CT BT H H o n H c a H o M e T O / t M o z t e n H p o B a i i H H n p H B o a H o ñ c h c t g m ł i C H C n O J l b 3 O B 0 H H e M p e S y U T a T O E H 3 M P p e H H H Z ie tí C T B H T e i I b H O f t H ñ r p y 3 K H a R H r a T e n q . ü p e a a i o i t c e H H J c p H T e p i t q o i i , o h i c h z e ñ c T B H H C H c r e M i r . ü p c a c T a D a e H H p e 3 y j i T B T U c H M y j r q i r H O H H H x a x c n e p H M e H T O B .

1. W PRO W A D ZEN IE

Jedną z charakterystycznych cech precyzyjnych układów napędowych jest występowanie znaczącego oddziaływ ania elem entów toru przekazywania energii na pracę urządzenia napędow ego. O ddziaływ anie takie ujawnia się zw łaszcza w sytuacjach, gdy m oc silnika musi być ograniczana np. ze w zględu na przyjęty sposób zasilania. W układach tych do transmisji momentu obrotow ego często w ykorzystyw ane $3 drobnom odułowe przekładnie zębate.

R ozw ażono m o żliw o ść zastosowania w precyzyjnych układach napędowych - w urządzeniach nastawczych i pozycjonujących - przekładni spiroidalnych, które m ogłyby zastąpić używane obecnie przekładnie ślim akow e. Postanowiono zatem spraw dzić, jaki w p ływ na pracę silnika napędow ego w yw iera przekładnia tego rodzaju. D o wstępnej analizy w ytypowano układ z m ikrosilnikiem prądu stałego - typow y dla w ielu urządzeń mechatronicznych. Model silnika opisany je s t układem równań [2 ]:

u=R±

KE^ - ,

f d t E d t

Kj i = ( V + ( M r + + (2)

d t 2 d t

w których: <p - kątow e przem ieszczenie wirnika, i - prąd tw om ika, J, - moment bezw ład n ości wirnika, Jr - zredukowany moment bezw ładności zesp ołów napędzanych, 1^- stała napięcia, KT - stała momentu, KD - stała tłum ienia lepkiego w silniku, L - indukcyjność uzw ojenia tw om ika, Mr - zredukowany moment obciążenia, MP - opory ruchu silnika, R, - całkow ita rezystancja obwodu tw om ika, u - napięcie zasilania.

Przyjęto, że układ napędowy składa się z silnika i przekładni spiroidalnej, której w y jśc io w y w ałek jest sprzęgnięty z napędzanym m echanizmem. M echanizm obciąża przekładnię m om entem siły i momentem bezw ładności o stałych w artościach. Założono ponadto, iż silnik zasilany jest ze źródła prądu o stałym napięciu (u = U = const.).

Zgodnie z parametrami posiadanego egzemplarza przekładni ustalono przełożenie równe 78.

2 . Z A M O DELO W A NIE OBCIĄŻEŃ SILNIKA

Z e w zględu na cel prowadzonych prac zam odelowanie napędzanych zesp ołów można ograniczyć do opisania wprowadzanych przez nie obciążeń zredukowanych do w ałka silnika.

O znacza to potrzebę w yznaczenia zależności momentu M r i mom entu bezw ładności ]„

w ystępujących w równaniu (2 ) od kąta obrotu wałka silnika:

Modelowanie układu napędowego . ²²⁷

W = J x + — 2 (3 )

1 c't

Ai,(<p) = Mj + (4 )

lc n c

przy czym: i,. - ch w ilow e przełożenie przekładni, Jr - zredukowany m om ent b ezw ład n ości, J[, J2 - m om enty bezw ład n ości odpowiednio: zespołu w ałka napędzającego i zespołu napędzanego w ałka przekładni wraz z m echanizm em , t)c ■ chw ilow a spraw ność przekładni, M, - zredukowany m om ent obciążenia silnika, Mi - opory ruchu w ejścio w eg o w ałka przekładni, M 2 - m om ent obciążenia w y jścio w eg o w ałka przekładni.

Przy wyznaczaniu zredukowanego momentu bezw ładności określono jeg o średnią w artość, przyjmując upraszczające założenie, ż e zarówno przełożenie przekładni, jak i jej sprawność są stałe = const, ric = const). W rzeczyw istości jest inaczej, o czym św iadczy występowanie błędu kinem atycznego. Błąd ten wynika z niedokładności wykonania i montażu elem entów przekładni. Przykładow y przebieg błędu kinem atycznego w yznaczony doświadczalnie zam ieszczono na r y s .l [ 1].

Błąd położtnl» (■)

R y s .l. Przebieg kinem atycznego błędu przekładni spiroidalnej w funkcji kąta obrotu w ałka w ejścio w eg o (m om ent obciążenia M2 = 1 N m)

F ig. 1. Position error o f the spiroid gear versus number o f revolutions o f driving shaft (load torque M2 = 1 N m)

przekładni p osłużono się w idm ow ę analizę przebiegu momentu (rys.2 ) zarejestrowanego w stanowisku badaw czym [1], D zięki temu w modelu uw zględnione zostały wahania zarówno chw ilow ej spraw ności, jak i przełożenia przekładni (w zór 4 ). K onieczne jednak b yło przyjęcie założenia, że w yznaczona zależność zachowuje swój przebieg niezależnie od prędkości obrotowej. N ależy zaznaczyć, że rejestrację analizowanego przebiegu prowadzono przy niew ielkiej prędkości w ejścio w eg o w alka przekładni wynoszęcej 0 ,1 obr./m in.

W yniki analizy p o zw o liły na zam odelowanie obciężenia, które opisano sum ę ośm iu składników szeregu Fouriera (składow a stała + harmoniczne: 1, 2 , 3, 4, 5 , 9 , 2 6 ). N ie podjęto interpretacji uzyskanych w yników , gdyż do tego konieczne jest poszerzenie wiedzy na tem at technologii wykonania przekładni oraz wielokrotne pow tórzenie dośw iad czeń wraz ze statystycznym opracowaniem ich rezultatów.

Program sym ulujęcy pracę rozpatrywanego układu napędow ego został napisany w języku A M IL [3]. W ykorzystano przedstawiony w cześniej m odel m agnetoelektrycznego silnikaprędu stałego z w irnikiem bezrdzeniowyra. Z najom ość parametrów obciężenia p ozw oliła na dobór mikrosilnika napędow ego. Zaproponowano silnik ESCAP 36L T 2R 12-422SP , którego katalogow e dane wykorzystano jako w spółczynniki w równaniach modelu.

3. O C E N A PRACY U K Ł A D U

Zbadano odpow iedź zam odelowanego układu na skok napięcia zasilania silnika. Uzyskane rezultaty (rys.3) ujaw niły w p ływ , jaki przekładnia wywiera na przebiegi w yjściow ych w ie lk o śc i zespołu napędow ego.

Moment na wątku w ejiclow ym (Nmm)

Liczba obrotów watka w«|iclow ago (1)

R y s.2. Przebieg oporów ruchu przekładni w funkcji kęta obrotu w ałka w ejścio w eg o (m om ent obciężenia M2 = 1 N m)

F ig .2 . Input torque o f the spiroid gear versus number o f revolutions o f driving shaft (load torque M 2 = 1 N m)

Modelowanie układu napędowego ²²⁹

Prosty sposób sterowania silnika polega na takim doborze stałego napięcia zsilania, aby uzyskać wym agany prędkość w y jściow ego wałka przekładni sprzęgniętego b enośrednio z napędzanym m echanizm em . Postanowiono spraw dzić, jakie skutki dla pacy układu napędow ego ma w artość napięcia sterującego. D o oceny odpow iedzi zapoponowano w ykorzystanie kryteriów całkow ych

przy czym przez e„ i e , oznaczono chw ilow e wartości dynamicznych błędów odpowiednio prędkości i kątow ego położenia w yjścio w eg o w ałka przekładni opisane wzorami:

za ś p ozostałe oznaczenia to: co0, <pD - chw ilow a prędkość i chw ilow e położenie kątow e w y jśc io w e g o w ałka przekładni spiroidalnej, u w, q>w - chw ilow a prędkość i chw ilow e p o ło żen ie w y jścio w eg o w ałka przekładni wzorcowej (o stałym przełożeniu i stałej sp raw n ości), tp , tt - początkowa i końcow a chw ile analizowanych przebiegów.

W celu uzyskania danych do w yliczenia pow yższych kryteriów zasym ulowano odpowiedzi silnika na skok napięcia o określonej w artości w dwu sytuacjach:

analizowanej - gdy silnik sprzęgnięty jest z obciążoną przekładnią spiroidalną, w zorcow ej - gdy do w ałka silnika przyłożony jest stały moment hamujący wynikający ze zredukowania momentu obciążającego przekładnię.

•p I ( 5 )

c u (0 = ¡ « „ ( O - u J r ) ! , e * (i) = I * » ® ” ‘•’«-(Ol.

(6)

■l f#

rad/t rad N m m 4 40 200

3 30 160

2 20 100

1 10 50

R y s.3. Przykładow a odpow iedź układu napędowego na skok napięcia zasilania silnika uzyskana w wyniku symulacji komputerowej (silnik Escap 36LT2R12-422SP sprzęgnięty z przekładnią spiroidalną: napięcie zasilania U = 18 V , moment obciążenia przekładni

M j = 1 N m , zredukowany moment bezw ładności Jr = 3 00 g cm2)

t - czas, o 0 - prędkość k itow a wałka w y jścio w eg o , cp0 - k ito w e położenie wałka w y jścio w eg o , Mr - m om ent obciążenia zredukowany do w ałka silnika

F ig .3 . Exemplary response o f drive to the step o f supply voltage as obtained in computer simulation (motor Escap 36L T2R 12-422SP coupled to the spiroid gear: supply voltage

U = 18 V , load torque applied to the gear M2 = N m , inertial load reduced to the motor shaft Jr = 300 g cm2)

t - tim e, u 0 - angular velocity o f output shaft, <p0 - angular position o f output shaft, M r - load torque reduced to the motor shaft

W drugim przypadku m odyfikacja programu sym ulacyjnego polegała na pominięciu okresow ych składow ych szeregu Fouriera tj. na pozostawieniu jedynie składowej stałej.

Badania przeprowadzono przy napięciach zasilania silnika, poczynając od najmniejszego w yn oszącego 10 V , przy którym m ożliw e jest pokonanie oporów m odelow anego układu, a kończąc na znam ionowym , rów nym 18 V . W yniki analizy w postaci zależności obu kryteriów od napięcia sterującego przedstawiono na rys.4.

/*A/ \ A / v V * /'A/' A r f y

V v A r\/y{ A V '\Ay'V ...

0,0 4,0 8,0 t i

Modelowanie układu napędowego . ²³¹

4. PO D SU M O W A N IE I W NIOSKI

Realizacja zaplanow anego celu prac w ym agała opracowania m atem atycznego modelu układu napędow ego. Ograniczona w iedza na temat technologii w ykonania przekładni spiroidalnej nie p ozw oliła na analityczne w yznaczenie przebiegów ch w ilow ego przełożenia i chwilowej spraw ności w funkcji kąta obrotu w ałka w ejściow ego. Tym sam ym niem ożliw e było skorzystanie ze w zorów (3 ) i (4). Z tego powodu zadecydowano o dośw iadczalnym wyznaczeniu zależności: momentu obciążenia i momentu bezw ładności zredukowanych do wałka silnika napędow ego i podstawieniu ich do równań ( 1) i (2 ) modelu silnika.

Komputerowa sym ulacja działania układu napędowego dostarczyła interesujących rezultatów. N a obecnym etapie prac rezultaty te należy traktować orientacyjnie, gdyż badania

K ry U rla lomaga, Ifl (%)

■*"lwn»ga ‘*"111

R y s.4 . Z ależn ości kryteriów I„ i I , oceny odpow iedzi układu napędow ego od napięcia U zasilania silnika

F ig .4 . D riving system evaluation criteria Iu and I , versus supply voltage U o f motor

dośw iadczalne dotyczyły jednego tylko egzemplarza przekładni spiroidalnej. Niem niej w ykonane prace pozw alają na sform ułow anie w niosku, że w eksperymentach sym ulacyjnych można p osłu giw ać się zastępczym m odelem układu napędow ego, j e ś li rozważania nie dotyczą bezpośrednio konstrukcyjnych cech napędzanych zesp ołów . Podej ście takie ogranicza co prawda zakres analiz m ożliw ych do przeprowadzenia, ale jed n ocześn ie elim inuje niebezpieczeństw o pom inięcia istotnych zjawisk zachodzących w badanej przekładni, zw łaszcza gdy znajom ość tej przekładni jest niewystarczająca.

L ITER ATURA

[1] O leksiuk W ., C zerw iec W ., Goldfarb W .: Badania spiroidalnej przekładni zębatej.

Politechnika W arszawska. Prace Naukowe. Konferencje, z .3 . Warszawa: OWPW,

[2] Oleksiuk W ., W ierdak J.: The Effect o f W orking Characteristic o f a Spiroid Transm ission Gear on Performance o f the D C Driver M otor. International Seminar on

"Problems o f the D ynam ics o f Machine Aggregates". Bratislava, Slovak Republic 24-27 M ay 1994

[3] Stabrowski M .: Język symulacji układów dynamicznych A M IL i jeg o otoczenie zintegrowane. M ateriały sympozjum "Modelowanie i Symulacja Systemów Pom iarowych". Krynica 1 7 -2 0 .0 9 .1 9 9 1 ., s.7 2 -7 8 . W ydawnictwo A G H , Kraków, 1991 Recenzent: prof, dr hab. inż. A. Olędzki W p łyn ęło do Redakcji w grudniu 1994 r.