ZESZYTY N A U K O W E POLITECH N IK I ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO M A TY K A z. 144
2006 N r kol. 1727
Paweł A N TC ZA K , A rkadiusz A NTCZAK , Tadeusz W ITKOW SKI Politechnika W arszaw ska
Z A STO SO W A N IE A L G O RYTM U SYM ULO W ANEG O W Y ŻA R ZA N IA DO O PT Y M A L IZ A C JI H A R M O N O G R A M O W A N IA PRO DUK CJI M A LO SER YJNEJ
Streszczenie. W pracy przedstaw iono je d n ą z klas gniazdow ego problem u szeregow ania zadań. Do rozw iązania tego problem u zaim plem entow ano algo
rytm sym ulow anego wyżarzania. Eksperym enty były porów nane z zadaniam i testowym i i otrzym anymi przy użyciu procedury GRASP.
USED SIM ULATED A N N EA LIN G A LG O R ITH M FO R O PTIM IZATIO N JOB SHO P SC H ED U LIN G PRO BLEM
Sum m ary. One class o f problem, that presents general case o f scheduling problem . The algorithm is presented for solving the flexible jo b shop problem . The algorithm is based on the sim ulated annealing m etaheuristic m odified appropriatelly. Experim ents were com pared with test problem and results obtained w ith GRASP procedure.
1. W prow adzenie
Zbadano je d n ą z klas zadania harm onogram ow ania, przedstaw iająca ogólny przypadek zadania harm onogram ow ania z określonym porządkiem wykonania operacji na grupach technologicznie zam iennych m aszyn. Dla rozwiązania tej klasy zadań opracow ano algorytm na podstaw ie algorytm u sym ulowanego wyżarzania.
Przedstaw iono sform ułow anie rozpatryw anego zadania i określono etapy opra
cow anego algorytmu. Przeprow adzono eksperym enty i opisano otrzym ane wyniki, porów nując je z wynikam i otrzym anymi za pom ocą innych algorytm ów przy rozw iązyw aniu testow ego zadania.
2. Sform ułow anie zadania
Przedstaw m y sform ułow anie rozw iązyw anego zadania dla problem u gniazdo
wego. M atem atycznie m oże być on przedstaw iony w następujący sposób.
O kreślono zbiór m aszyn M {m — moc zbioru M ), zbiór operacji O , elem entam i którego są poszczególne operacje technologiczne a ' , i = 1..n , gdzie n - moc zbioru O . Każdej operacji c r' e O przypisano podzbiór m aszyn M ‘ e M , które
12 P. Antczak. A. Antczak, T. W itkowski
m o g ą je wykonywać. Z biór operacji O je s t częściowo uszeregow any. O znaczm y to częściow e uszeregow anie sym bolem -i. Z punktu w idzenia ograniczeń techno
logicznych dla operacji a ' , o ' s O relacja («cr1 <cfj » oznacza, że operacja er pow inna być wykonana przed rozpoczęciem operacji a J. O znaczm y przez K ( a ) klasę elem entów ze zbioru O operacji a ' . N iech dla operacji a ' : p(cr‘) ~ czas, niezbędny do w ykonania operacji (jednakow y dla w szystkich m aszyn), t ( a ' ) - czas, niezbędny do przezbrojenia m aszyny przed wykonaniem danej operacji.
Zadanie opracow ania harm onogram u polega na tym, aby w ybrać dla każdej operacji a ' e O m aszynę ze zbioru M ' ( i = 1 ..j i) i następnie określić sekwencję w ykonania operacji na m aszynach ze zbioru M w taki sposób, aby określony harm onogram m inim alizow ał sum aryczny czas w ykonania w szystkich prac (kryterium Johnsona).
Oznaczmy: S { u ‘) ~ czas rozpoczęcia w ykonania operacji technologicznej a ‘ , F (ct') = S(<j') + p { a ‘) - czas zakończenia jej wykonania, m ‘ - m aszyna w ybrana ze zbioru M ‘ dla w ykonania operacji a ' . W tedy m atem atyczne sform ułow anie zadania opracowania harm onogram u dla w ykonania operacji technologicznych będzie mieć następującą postać:
m in F (1)
przy ograniczeniach:
F 2łF (ty '),V o -' e O (2)
F (e r')< 5 (o -'),V c r' <a> (3)
e O (4)
F ( a ' ) = S V ) + p ( a ' ),Vcr' e O (5) F(<j')< S ( a J) - /( e r j) v
Ver', a j e O, takich że
m' = >?iJ,(<j‘ g k 1,1 — \...K (6) F(<t') < S { a J) v F ( a J) < ó(er'),
V er', a J e O, takich, że
n i = m i , ( a l v<TJ) e k ' , l e { \ . . . K } (7)
O graniczenia (1),(2) określają kryterium optym alizacji (kryterium m inim alizacji wykonania w szystkich zadań - kryterium Johnsona). Ograniczenia (3) określają ograniczenia kolejności zgodnie z technologicznym porządkiem wykonania.
O graniczenia (4) w ym agają w ykonania przezbrojenia m aszyny przed rozpoczęciem w ykonania operacji. O graniczenia (5), (6) przedstaw iają ograniczenia na zasoby (m aszyna m oże w ykonyw ać jednocześnie tylko jedna operację). Te ograniczenia także uw zględniają czas niezbędny na przezbrajanie m aszyn przy w ykonaniu operacji.
O graniczenia (7) w y m ag a ją aby operacje były wykonyw ane na odpowiednich, w stępnie określonych m aszynach technologicznie zamiennych z danej grupy.
Dalej przedstaw iono zastosow anie algorytm u sym ulow anego w yżarzania (SA) do harm onogram ow ania w przypadku istnienia grup technologicznie zam iennych m aszyn.
Zastosowanie algorytm u sym ulowanego 13
Rozwiązania zadania ( l)-(7) m ożna poszukiw ać w postaci uporządkow anego zbioru Fqucuc par w postaci (.<r',m) , gdzie a ' e O , m e M ' .
3. Przeszukiw anie lokalne
Istotę algorytm u SA, podobnie ja k wielu innych algorytm ów w ykorzystujących przeszukiwanie lokalne, stanowi operacja zam iany danego rozw iązania na rozwiązanie z tego sąsiedztwa. Przez sąsiedztw o zw ykle rozum iem y zbiór rozwiązań otrzym anych za pom ocą określonych przekształceń nad rozwiązaniem w yjściow ym . W iększość sąsiedztw dla zadań harm onogram ow ania, w których jako kryterium optym alności występuje kryterium Johnsona, w ykorzystuje określenie drogi krytycznej.
Różne rodzaje sąsiedztw opisano w [3,4], Sąsiedztwo zaproponow ane w [3]
składa się z rozw iązań otrzym anych z rozw iązania wyjściowego poprzez zmianę porządku uszeregow ania dwóch pierw szych lub dwóch ostatnich operacji w blokach krytycznych. O znaczm y N NS(x) zbiór rozwiązań z tego sąsiedztwa dla rozw iązania x.
Zastosowanie tego sąsiedztwa do zadania (1 )-(7) je st utrudnione, gdyż nie uw zględnia ono możliwości w ykonania operacji na jednej z technologicznie zam iennych m aszyn danej grupy. Dlatego też, stosując lokalne przeszukiw anie, wykorzystujące to sąsiedztwo, dla zadania (l)-(7 ) w ybór m aszyn do w ykonania operacji pozostaje niezmienny. W celu zaadaptow ania tego sąsiedztw a rozszerzam y je dodając do niego rozwiązania otrzym ane w w yniku przeniesienia operacji krytycznej na in ną maszynę.
W przypadku przeniesienia operacji cr' na inną m aszynę, którą oznaczym y przez m ‘ , powinniśm y także określić porządek, w jak im b ędą wykonyw ane operacje na nowej maszynie m ‘ po takiej zam ianie. Poniew aż liczba rozwiązań w tym sąsiedztw ie będzie bardzo duża, to należy ograniczyć liczbę w ariantów przeszukiw ania poprzez dokładny i efektywny w ybór m iejsca wstaw ienia a' do uszeregow ania w ykonania operacji na nowej maszynie.
Dla każdej operacji a 1 e O określim y zbiór J P ( a ) , zaw ierający operacje o ’ e O takie, że a J i nie istnieje operacja a 1 e O taka, że a J < a ' . Oznaczymy przez M P{a‘) operację, dla której {<7*,m ,) , ( M P { a ') , m ) e Fąumc, (MP(crl),m‘) = ( a l,m i) oraz nie istnieje operacja a ' e O taka, że (cr',/»') e Fqucue i (M P(aj ),m i) = (cTl,m i) = ( a ‘,m i). Zbiór J P dla każdej operacji pozostaje nie
zmienionym, a M P zależy od konkretnego rozw iązania określonego przez zbiór Fqueue.
Dalej oznaczm y przez J P ( c ‘) zbiór operacji c r 'e D , dla których cr' e JP (< j')oraz MS(cr') - operację, dla której MP(MS(a')) = a ‘ .
Oznaczymy przez jVA’£il (jc) zbiór rozwiązań, które odpow iadają zbiorowi uporządkowanych zbiorów , otrzym anych z Fqmilt poprzez zam ianę pary ( ) na parę ( c r g d z i e crJ - operacja krytyczna, /; e M J oraz V * m j , a uszeregow anie pozostaje poprzednie. W takim przypadku w szystkie rozw iązania przynależące do Nne" \x) będą dopuszczalne, z pow odu w stępnie przeprow adzonego przeszeregow ania F . W ten sposób określam y sąsiedztw o dla rozw iązania x, które jest bardziej uniwersalne.
14 P. Antczak. A. Antczak. T. W itkowski
Najbardziej pracochłonnym etapem lokalnego przeszukiw ania jest ocena rozw iązań z danego sąsiedztwa. W pracy do realizacji lokalnego przeszukiw ania w sąsiedztw ie JV'v£"'() wykorzystano schemat szybkiej oceny rozw iązań przedsta
wiony w [7].
4. Algorytm symulowanego wyżarzania
W pracy dla rozwiązania zadania harm onogram ow ania przedstaw iono algorytm wykorzystujący m etodę sym ulowanego w yżarzania [4,8]. Niżej przedstaw iono ogólny schemat tego algorytm u do opracowania harmonogram u.
Określić wejściowe param etry algorytmu k = 1
while k <=K do for iter = 0 do L do
losowo wybrać rozwiązanie y e N ns (x)
if f (y) < f (x) then
przejście do rozwiązania y, tj. x = y else
przejście do rozwiązania y z praw dopodobieństw em e x p [ - { f ( y ) - f ( x ) } / T ]
end if
if iter % freq = 0 then
{ % - reszta od dzielenia}
im provem ent = true while improvem ent do
if istnieje rozwiązanie y e Nnew (x) takie, że f (y) c f (x) then
x = y
im provem ent = true else
im provem ent = false end if
end while end if end for k = k + I T = T * r end w hile
5. Eksperym ent komputerowy
W algorytm ie SA występuje w iele param etrów , których w artości m uszą być ustalone. Brak jest jednak ogólnych metod ich doboru. Przyjm uje się, że początkowa tem peratura Ta powinna być wystarczająco wysoka, tak aby zagwarantować odpow iednio dużą w artość praw dopodobieństw a p a zaakceptow ania ruchów, które nie
Zastosow anie algorytm u sym ulowanego 15
prow adzą do popraw y rozw iązania. M ożna przyjąć wartość p a = 0,9, chociaż niektórzy autorzy proponują tylko wartość 0,4. Duży w pływ na czas przetw arzania m ają w spółczynnik schładzania r oraz liczba iteracji ze stałą temperaturą.
W przedstaw ionym algorytm ie sąsiedztwo N NS( § w ykorzystuje się dla realizacji cyklu tem peratury algorytm u sym ulow anego wyżarzania. Korzystne przejścia z tego sąsiedztw a s ą od razu stosow ane do rozwiązania, a niekorzystne stosow ane są z praw dopodobieństw em zależnym od bieżącej tem peratury i stopnia pogorszenia rozwiązania. Każda liczba freq iteracji przeprow adza lokalne prze
szukiw anie w sąsiedztw ie N S'E”\ g), co pozw ala istotnie polepszyć rozwiązania.
W ykonane badania testowe [5, 8] dla różnych w ariantów algorytm u sym u
lowanego w yżarzania z różnym i sąsiedztw am i i z kryterium m inim alnego czasu przetw arzania, przy różnych m etodach strojenia algorytm u, wykazały um iarkowany optym izm w ocenach postaci: jakość rozw iązania / czas obliczeń. Z tego też względu kolejne prace badaw cze zm ierzały w kierunku algorytm ów hybrydow ych, otrzy
manych głów nie poprzez w budow anie dodatkowej procedury przeszukiw ania lokal
nego (pełny przegląd subotoczenia) poprzedzającej w ybór końcow ego rozwiązania.
Podobne podejście zastosow ano w pracy.
Dla rozw iązania zadania (l)-(7 ) opracowano oprogram ow anie realizujące algorytm w ykorzystujący m etodę SA, którego szczegóły przedstaw iono wyżej.
Eksperym enty obliczeniow e przeprow adzone dla danych przedstaw ionych w [5]
pokazały d użą efektyw ność tego algorytm u. Liczba operacji dla tych danych wynosi 160, a liczba m aszyn 26. Eksperym enty kom puterow e były przeprow adzone z w ykorzystaniem kom putera z procesorem Pentium 733 MElz z 256 MB pamięci operacyjnej z następującym i param etram i: K - liczba zm ian tem peratury, L - liczba iteracji ze stałą tem p eratu rą T - tem peratura początkowa, r - param etr zm niejszenia te m p e ra tu ry ,/ra ? - częstość lokalnego przeszukiw ania w sąsiedztw ie N SEn (AT= 100, 1=100, 7=100, 7- 0 .95). Jako początkow e rozw iązanie przyjm ow ano najlepsze rozw iązania znalezione na w szystkich iteracjach.
0 20 40 60 80 100 120
Iteracje [s]
V)
Iteracje [s]
Rys. 1. W yniki obliczeń dla FT10 Rys. 2. W yniki obliczeń dla FT20
W stępne eksperym enty przeprow adzone na testowych zadaniach typu FT10 i FT20 (Fischer i Thom pson) d ają wyniki zbliżone do w yników otrzym anych za pom ocą innych efektyw nych algorytm ów , np. [ 1], chociaż gorsze niż otrzym ane np.
w [3], D okładniejsza analiza param etrów algorytm u zapew ne przyczyni się do
16 P. A ntczak, A. Antczak. T. W itkowski
popraw y otrzym anych wyników. N a rysunkach 1 i 2 przedstaw iono wartości funkcji kryterialnej (m akespan) dla rozw iązania zadań typu FT10 i FT20. Przy czym liczba iteracji dla tego samego czasu obliczeń (ok. 7000 s) problem u FT10 i FT20 w zrosła kilkanaście razy (odpow iednio 9 i 113).
C elem naszej pracy było głów nie zastosow anie efektyw nego algorytm u do rozw iązania problem u gniazdow ego z grupami technologicznie zam iennych m aszyn.
D okładne obliczenia praktycznego zadania (10 zadań, 16 operacji i 27 m aszyn) dla innych algorytm ów , m.in. algorytm ów genetycznych, GRASP zaprezentowano w [6,7]. R ozw iązania otrzym ane za pom ocą algorytm u SA n ależą do najlepszych.
LITERATU RA
1. D om d o rf U., Pesch E.: Evolution Based learning in a Job Shop Environm ent.
Com puters and Operations Research, Vol. 22, 1995, p. 2 5 -4 0 .
2. Janiak A.: W ybrane problem y i algorytm y szeregow ania zadań i rozdziału zasobów. A kadem icka O ficyna W ydaw nicza PLJ, W arszaw a 1999.
3. Now icki E., Smutnicki Cz.: A Fast Taboo Search A lgorithm for the Job Shop Problem. M anagem ent Science, Vol. 42, N o 6, 1996, p. 797-813.
4. Van Laarhoven P., Aarts E, and Lenstra J.: Job shop scheduling by sim ulated annealing. Operations Research, 40, 1992, p. 113-125.
5. W itkowski T.: Decyzje w zarządzaniu przedsiębiorstw em . W NT, W arszaw a 2000.
6. W itkowski T., A ntczak P., A ntczak A.: R andom and Evolution Algorithm s o f Tasks Scheduling and the Production Scheduling. Proceedings o f International Joint C onference on Fuzzy Systems - Fuzz - IEEE 2004, Budapest 2004, Vol.2, p. 727-732.
7. W itkow ski T., A ntczak A., A ntczak P.: Taboo search and GRASP used in hybrid procedure for optim ize the flexible jo b shop problem . In Proceedings o f the Eleventh International Fuzzy System s A ssociation W orld Congress, Beijing 2005 Vol. Ill, p. 1620-1625.
8 . Yam ada T., Rosen B. E., N akano R.: A sim ulated approach to job-shop scheduling using critical block transition operators. Proceedings o f the 1st IEEE C onference on Evolutionary Com putation, Florida 1994, p. 4687^1692.
Recenzent: D r hab.inż: M. Zaborow ski, prof. IITiS Gliwice
A bstract
The paper presents a sim ulated annealing procedure for the flexible jo b shop scheduling problem . One class o f problem with defined order o f realization operations on groups technologically exchangeable m achines, w as searched. To solve this class o f problem an algorithm was created based on sim ulated annealing procedure.
Sim ulations studies have been perform ed to evaluate the perform ance o f the algorithm and to com pare the solution results with those obtained by using GRASP procedure.
