Problem brzegowy obliczania pola elektromagnetycznego w układzie: bryła metalu - gaz

(1)

ZESZYTY HAUKOWB POLITBCHKIKI ŚLĄSKIEJ Seria« ELEKTRYKA, z. 88

984 Kr kol. 779

Edward WILCZYisKt

Instytut Maszyn l Urządzeń

Przemysłu Hutniczego i Ceramicznego Politechniki Śląskiej

PROBLEM BRZEGOWY OBLICZAKIA POLA ELEKTROHA.GHBTY CZHBSO W UKŁADZIE« BRYŁA METALU - OAZ

Streszczenie. Artykuł jest propozycją metody obliczania rozkładu pola elektromagnetycznego sinusoidalnie zmiennego w układzie cewka - bryła metalu o symetrii osiowo-obrotowej i skończonych wymiarach.

Zagadnienie istnienia rozwiązania sformułowanego problemu brzegowe

go sprowadzono do rozwiązania równania FredhoIma pierwszego rodzaju.

1. Sformułowanie problemu

Przyjmujemy następujące ograniczenia i założenia«

a) układ bryła metalu - cewka ma symetrię osiowo-obrotową (jest to układ składający się z jednej bryły metalu i jednej cewki),

b) układ zanurzony jest w mieszaninie gazów o ściśle określonym składzie i własnościach elektrycznych i magnetycznych (najczęściej będzie to po

wietrze),

o) metal jest ośrodkiem izotropowym, jednorodnym i liniowym,

d) pole elektromagnetyczne jest sinusoidalnie zmienne o częstotliwości do około 100 kHz,

e) źródłem pola jest cewka cienka, tzn. taka, te w przyjętym później mo

delu matematycznym może być opisana powierzchnią.

Przyjęte założenia i ograniczenia nie wy

znaczają zupełnie granic stosowania metody, e zastosowany przypadek symetrii osiowo-obrotowej jest najczęściej spotykany w praktyce prze

mysłowej. Układ fizyczny cewka - brała metalu (rys. 1) zastępujemy modelem matematycznym.

Cewka opisana jeBt powierzchnią Sc klasy C2, z określoną gęstością powierzchniową prądu I • I^1jj (w układzie współrzędnych cylindrycz

nych (r,^?,z). W przypadku r * r Q, * * s 0 f « R zakładamy, że składowa I^(r0,...,z0 )« const(R).

(2)

154 B. Wilczyński

Bryła metalu opisana Jest obszarem Vn wraz z brzegiem S dyfeomorficz- nym z kula domkniętą. Pole elektromagnetyczne spełnia następujący układ równań:

y x H - jw(£m - j |)E d )

V I E m - jmjuH (2)

V . D - p (3)

V - B - 0 (4)

D ■ £ E

Dl (5)

B * ¿juH (6)

j ■ (7)

Wielkośoi H, E, B, D i J są wektorowymi funkcjami punktu w trójwymiaro

wej przestrzeni euklidesowej (zespolonymi amplitudami). Wprowadzamy po

tencjał wektorowy A wg wzoru:

B - V x A (8)

Po uwzględnieniu wzorów (2)y (6), (8) pole elektryczne oblicza się z na

stępującej zalotności:

B « - jcoA - V f (9)

W dalszych rozważaniach pomijamy pole Estat ■ pochodzące od wolno- zmiennych ładunków elektrycznych, tzn. można założyć, że potencjał ska

lamy:

0 (10)

w oałej przestrzeni.

Podstawiająo zależności (6), (8), (9), (10) do wzoru (1) otrzymuje się równanie różniczkowe, jakie spełnia potencjał wektorowy w obszarze VD o- pisującym bryłę metalu:

y i V x A - k2A w 0, k2 » - jo^fl, £ffi s 0 (11)

oraz w obszarze Vp, odpowiadającym mieszaninie gazów:

V x V x A - 0

(

₁₂

)

(3)

Zakładamy, te potencjał wektorowy A. » spełniał a) w obszarze Vn U Vp następujący warunek!

1 9

( 1 3 >

b) w nieskończoności (w obszarze Yp) warunki regularności!

•ś * °(is)» <*>1» “ (14)

( V x A) x n e O(-Tjij), c«>1, ~ (15)

X

gdzie*

X - promień sfery K otaczającej cały układ cewka - bryła metalu, n - pole wektorów jednostkowych normalnych do sfery K, skierowanych

na zewnątrz sfery K,

o) na powierzchni S metalu warunki brzegowe!

n x l p - n x A Sl» 0 (16)

J-(Vx A) x n - j|-(Vx A)a x n - 0 (17)

P o p h a ■

6-a • Ap - 6aa • ^ - 0, (1®)

Problem brzegowy obliczania pola elektromagnetycznego.». 155

o

gdziei

- granica jednostronna wartości pola potencjału wektorowe

go na powierzchni S przy zbliżaniu się punktu obliczeń I c VB do punktu Y e S,

A p - jak wyżej, lecz dotyczy punktu I € 7p,

( V x A)m x n - granica jednostronna wartości składowej styoznej induk

cji magnetycznej na powierzchni S przy zbliżaniu się punktu X c VB do punktu Y « S,

( V x i ) p x n - jak wyżej, lecz dotyczy punktu X e Vp,

d) na powierzchni Se cewki warunki brzegowe!

A' x n„ - A" x n » 0

O o (19)

(4)

!2£ B. Wilczyński

(V x A)' x nc - (V x A)" x n0 - fiQ I

(

2 0

)

(_{2 1})

gdzie i A!

(7 x A)'

granica jednostronna wartości potencjału wektorowego i in

dukcji magnetycznej w punkcie Y e S„, przy zbliżaniu się C G

punktu przestrzeni X e Vp do punktu Yc ze strony ze

wnętrznej powierzchni S (powierzchnia S. jest zoriento-

c c

wana polem wektorowym n _c tak jak na rys. 1

),

A"

( f x A)"

jak wyżej, lecz punkt Z zdąża do punktu YQ ze atrony wewnętrznej powierzchni SQ.

Obecnie można sformułować właściwy tutaj problem brzegowy. Poszukuje się rozwiązania potenojału wektorowego A w przestrzeni (rys. 1), ktćry spełniał

- równania (11), (13) w obszarze Vffl opisującym bryłę metalu,

- równania (12), (13) w obszarze odpowiadającym ośrodkowi gazowemu, - warunki brzegowe (16), (17), (18) na powierzchni S stanowiącej w sen

sie fizyoznym powierzchnię rozgraniczenia ośrodków metalu i mieszaniny gazów,

- warunki brzegowe (19), (20), (21) dla punktów powierzchni cewki, - warunek symetrii osiowo-obrotowej pola potenojału wektorowego, - w nieskończoności warunki (14), (15).

Należy wykazać jednoznaczność i istnienie rozwiązania tak postawione

go problemu brzegowego.

2. Wzory całkowe na potencjał wektorowy w przestrzeni

Rozwiązań problemu brzegowego poszukuje się w postaci wzorów oałkowyoh wynikających z wektorowego symetrycznego wzoru Greena. Postępując podob

nie jak w pracy [1] i publikacji [6] otrzymuje się następujące wzory na po

tencjał wektorowy w przestrzeni»

a) dla punktu I t T.

IB

(5)

Problem brzegowy obliczania pola elektromagnetycznego«.»

-

< Ł ’ ^ w s c °ł

* hf f f i(V X X n) ^m(Y)(ŁT“

⁵

(I,Y)dS(Y)» (22>

S S

b) dla punktu I e 7 ^

A “ > ■ f e / / * ? « ” ! » (!,*)“ < » ł

+ fc .ii^V T 1 Q^p(Y)^r)(Xlr)d3*y^ +

* «

II

I(Yo ><i )(x,r0)ds(''o>' < «>

SC

gdziet A ■ A^1ę,f

t ■ ~ P&lo wektorów Jednostkowych określonych na powierzchni S.

Pole indukcji magnetycznej jest funkcją nieciągłą na S (wzór (17))»

Z powyższego wynikają różne wartości funkcji (V x A) i n we wzorach (22), (23)» Funkoje te są wartościami granicznymi określonymi tak jak we wzorze (17).

3« Układ równań całkowych na powierzchni rozdziału ośrodków metalu i mieszaniny gazów

Pole potencjału wektorowego w przestrzeni (rys. 1) można obliczyó ze wzorów (22), (23)* pod warunkiem że znamy wartości : funkcji podcałkowych A^n, A ( (v* A) x n)m , ((V x A) x n)p. Punkoje te będą rozwiązaniem rów

nań całkowych, jakie można utworzyć z równań (22), (23)* przy zdążaniu

(6)

158 B. Wilczyński

punktu I do powierzchni S. Po uwzględnieniu nieregularności poszczegól

nych całek wzorów (22), (23) wzory te można przepisać dla punktu Z zdąża

jącego do punktu P e St

A <p> - h / v y)o(x) ^ W ) * 8 0 0 "

¡ Ą r ) (2^ )(p.i)dS(Y) +

+ x x nJm(y)( Ł r“ )(P,Y)i s W (24)

s

A <*> - k | V > n (Y) (|)(P,y)is(y) .

- S r / / A <y > en “ T 4 > ( P , Y ) d S (Y ) + H / / ) d 3 (V +

s • sc

* h I « ’ x A) x a)p(Y)(|)(Pfy)dS(Y) (25)

Pole wektorów n we wzorze (24) skierowane Jest na zewnątrz obszaru Vm, a we wzorze (25) na zewnątrz obszaru Vp. Uwzględniając warunek (17) uzys

kamy układ równań, z którego możliwe będzie obliczenie wartości A(Y), ((17x A) X n)p , ((7x A) x n)ffi w każdym punkcie Y e S.

Zagadnienie istnienia rozwiązania postawionego problemu brzegowego zo

stało sprowadzone do rozwiązania układu równań (24), (25).

ł. Istnienie rozwiązania układu równań (24). (25)

W publikacjach [6], [7],[8] udowadnia się, że potencjał wektorowy speł

nia niektóre postulaty postawionego problemu brzegowego. Zagadnienie ist

nienia rozwiązania problemu brzegowego Jest rozpatrywane w pracy [9 J.

W tym oelu wektorowy układ równań (24), (25) zamienia się na skalamy u- kład równań całkowych, zapisany na krzywej Lg (rys. f) (będącej krawę

dzią przecięcia półpłaszczyzny <pQ = 0 i powierzchni S metalu) t

(7)

Problem brzegowy obliczania pola elektromagnetyczna

ko..

<ł(P) - / 0(T)K^(P,T)dl(T) - / ZB (T)4(P,T)dl(ł) (26)

Ł. ^

G(P) -

f

G(T)K§(P,T)dl(f) - / Z (I)K2 (P,T)dl(T) + W(P), (27)

L s •Ł

gdziet

P(R0,z0), P * le, I (R,z), T « l-t (iys. 2) G(T) - k y , k m k t f y

ZB (T > V - A) x n)m

dl(T) - różniczkę łuku krzywej Lfl

Kg, Kg, kJ, Kg e L2 (1b x Lfl), W e C(LB ) - funkcje należące do prze*

etrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem.

Wektorowemu równaniu (17) odpowiada następujące równanie skalarne!

Z (P) + 1. ZC (P) - 0, P « (28) r m r o y

Z układu równań (26), (27), (28), z niewiadomymi funkojand. G, Z^, Z^, uzyskuje się równanie całkowe:

/ Zb(T)Kz( P ,S ) « 1 ( S ) ■ * 2 (p> ( 2 9 ) Łs

z niewiadomą funkcją ZB oraz znanymi funkcjami Wj-e C(L0) i Kg«

(8)

160 E. Wilczyński

Zagadnienie istnienia rozwiązania postawionego problemu brzegowego zo

stało sprowadzone do rozwiązania równania Fredholma pierwszego rodzaju (29). Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania (29) rozstrzyga twierdzenie załączone w pracy [3J, ss. 112, 124 oraz [9] str. 100.

LITERATURA

[li BOCHENEK K.: Metody analizy pól elektromagnetycznych. PWN, Warszawa J 1961.

[2] MULLER C.* Grundprobleme der Mathematischen Theorie Elektromagneti

scher Schwingungen. Springer Verlag Berlin 1957.

[3] PISKOREK A.t Równania całkowe. WNT, Warszawa 1971.

[4] POGORZELSKI W.: Równania całkowe i icb zastosowania. Tom 1, 2. PWN, Warszawa 1953«

[5] TOZONI O.V., MAERGOIZ I.D.: Rascet trechmernycb elektromagnitnycb po- lei. Kijów 1974.

[6] WILCZYŃSKI E.: Problem brzegowy analizy pola elektromagnetycznego si

nusoidalnie zmiennego w przestrzeni powietrznej i objętości metalu.

Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, s. Elektryka nr 75, 1981.

[7] WILCZYŃSKI E.: Potencjał wektorowy na granicy środowiska powietrza i przewodnika metalowego, dyskusja poprawności postawionego problemu brzegowego. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, s.Elektryka nr 75, 1981.

[8] WILCZYŃSKI E.t Zagadnienie istnienia rozwiązania problemu brzegowego analizy pola elektromagnetycznego w przestrzeni powietrznej i obję

tości metalu. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, s. Elektryka nr 75, 1981.

[9] WILCZYŃSKI E.: Analiza pola magnetycznego w układzie bryła metalu - powietrze. Praca doktorska. Politechnika Śląska, Gliwice 1982.

Recenzent! Doc. dr bab. inż. Stanisław Krzemiński

Wpłynęło do redakcji: 5.V.1983 r.

HP0EJEMA KPAEBOii 3A M ® PACHElA BJIEKTPOMArHHTHOrO IIOJIH B CHCTEME: KYCK METAJUIA - TAS

p e 3 » m e

B p e j e p a i e npejinpuHÄ ia n om m ca $opMyjizpoBKH a Tajcxe npe^-nozeHo pemeime npofijieuH KpaeB oiŁ s a g a n a pachte Ta sjreKTpouarHHTHoro nojia b CHCTeue KyeoK Me- r a ju ia - r a s . P accaso ip ea c jiy u a ä cacieM u KaiymKa - KycoK u e i a - o a c B p aajaiejib - h o 8 o c e so ił' cHMMexpaeß nim c u n y co zj;2j i ł h o — nepeiieHHHx exeK TpouarazTH ux nojieił.

(9)

Problem brzegowy obliczania pola elektroaegnetycznego..

BOUNDARY PROBLEM OP ELECTROMAGNETIC FIELD COMPUTATION IN THE SYSTEM»

BLOCK OF METAL - GAS

S u m m a r y

This paper is an approach to formulation and solving of the boundary problem of electromagnetic field in the system» block metal - gas« The ca

se of coil - block of metal system with an axial - rotating symetry for sinusoidally variable electromagnetic fields are studied«