A U TO M A TY K A
z . s o
O L S W IC E 1931
NIEPEWNOŚCI -
ZESZYTY NAUKOWE
r 9 1 7
Pt
A N D R Z E J SW IERNIAI^
8
£ >STEROW ANIE W W ARUNKACH NIEPEW NO ŚCI - MODELE N IER Ó W N O ŚC IO W E
G L I W I C E 1 9 8 8
OPINIOD A W CY
Doc. d r hab. inż. J e rz y K lam ka Doc. d r hab . inż. W ojciech M itk o w sk i
K O LEG IU M R ED A K C Y JN E
i y
J Ą
R ED A K TO R NA CZELNY REDA K TO R D ZIAŁU S EK R ETA R Z R ED A K C JI CZŁO N K O W IE K O LEG IUM
P ro f. d r hab. inż. W iesław G abzdyl
— D r inż. A nna S k rz y w a n -K o se k
— M gr E lż b ieta S tinzing
— P rof. d r hab, inż. A dolf M aciejny
— P ro f. d r inż. S ta n is ła w M alzacher
P ro f. d r hab. inż. B ro n isław S k in d ero w icz |
"' O PR A C O W A N IE R ED A K C Y JN E M g r A n n a B łażkiew icz _ ,
W ydano za zgodą R e k to ra P o lite c h n ik i Ś ląsk iej
P L ISSN 0434-0760
Dział W ydaw nictw P o lite c h n ik i Ś ląskiej ul. K u ja w sk a 3, 44-100 G liw ice
N a k ł. 160+85 . A r k . w y d . 13,2 A r k . d r u k ]2 P a p i e r o f f s e t , k l . 11110x100. 70g O d d a n o d o d r u k u 6.C8.87 P o d p is , d o d r u k u 14.01.88 D r u k u k o ń c z , w l u t y m 1988
Z am . 676/87 L-23 C e n a z ł 264,—
S kład, fotokopie, d ru k i o p raw ą
w y konano w Z akładzie G raficznym P o lite c h n ik i Ś ląsk iej w G liw icach
S tr .
1. WSTĘP... 13
2. ZASTOSOWANIE MODELI NIEROWNOSCIOWYCH DO ANALIZY JAKOŚCI OPTY MALNYCH UKŁADÓW STEROWANIA ... 18
2 . 1 . Stosowane modele n ie p e w n o ś c i ... 18
2 . 2 . A n a l i z a j a k o ś c i s t e r o w a n i a układów c i ą g ł y c h n o m in a ln ie op ty m a ln y c h ... 23
2 . 2 . 1 . Wstęp ... 23
2 . 2 . 2 . Problem l i n i o w o kwadratowy s t a c j o n a r n y ... 26
2.2.2.1. F u n k c jo n a ły o p ty m a ln e j j a k o ś c i ... 28
2 . 2 . 2 . 2 . Ocena wpływu w i e l k o ś c i n ie p e w n o ś c i na od c h y ł k ę od j a k o ś c i n o m in a ln e j - o g r a n i c z e n i a chwilowe ... 29
2 . 2 . 2 . 3 . Ocena wpływu n i e d o k ł a d n o ś c i modelu na od c h y ł k ę od j a k o ś c i o p ty m a ln e j - o g r a n i c z e n i a chwilowe ... 36
2 . 2 . 2 . 4 . Z a g a d n ie n i a z o g r a n i c z e n i a m i sumarycznymi 39 2 . 2 . 3 . P roblemy n i e l i n i o w e ... 46
2 . 2 . 3 . 1 . Ocena wpływu w i e l k o ś c i n ie p e w n o ś c i na od c h y ł k ę od w a r t o ś c i n o m in a ln e j w sk aź n ik a . . 47
2 . 2 . 3 . 2 . Ocena wpływu n i e d o k ł a d n o ś c i modelu na od c h y ł k ę od j a k o ś c i o p ty m a ln e j ... 49
2 . 2 . 3 . 3 . Z a g a d n ie n i a s t a b i l i z a c j i z zadanym stanem końcowym ... 53
2 . 2 . 4 . Algorytmy s t e r o w a n i a w y k o r z y s t u j ą c e i n f o r m a c j ę po miarową o w i e l k o ś c i b ł ę d u modelu ... 57
2 . 2 . 4 . 1 . Algorytm s t e r o w a n i a w p rzy p a d k u r e a l i z a c j i s t e r o w a n i a nom ina lne go w u k ł a d z i e otw artym 58 2 . 2 . 4 . 2 . A lgorytm s t e r o w a n i a w p rzy p a d k u r e a l i z a c j i s t e r o w a n i a nom inalnego w u k ł a d z i e zam knię tym ... 62
2 . 3 . A n a l i z a j a k o ś c i s t e r o w a n i a układów d y s k r e t n y c h n o m in a ln ie o p t y m a l n y c h ... 67
2 . 3 . 1 . Wstęp ... 67
2 . 3 . 2 . Ocena wpływu w i e l k o ś c i n i e p e w n o ś c i na o d c h y ł k ę od w a r t o ś c i n o m in a ln e j... 68
2 . 3 . 3 . Ocena wpływu n i e d o k ł a d n o ś c i modelu na o d c h y ł k ę od w a r t o ś c i o p ty m a ln e j w skaź nika ... 72
2 . 3 . 4 . Alg orytm y s t e r o w a n i a w y k o r z y s t u j ą c e i n f o r m a c j ę p o miarową o w i e l k o ś c i b ł ę d u modelu ... 75
S t r . 2 . 3 . 4 . 1 . Algorytm y s t a r o w a n i a d l a układów d y s k r e t
nych w c z a s i e ... 76
2 . 3 . 4 . 2 . Algorytm y s t e r o w a n i a d l a układów d y s k r e t nych. w e t a p a c h p r a c u j ą c y c h w s t a n i e u s t a l o nym ... 79
2.4* Uwagi końcowe r o z d z i a ł u ... 84
3. ZASTOSOWANIE MODELI NIERÓWNOŚCIOWYCH DO SYNTEZY ALGORYTMÓW STE ROWANIA ... 68
3 . 1 . Modele i c e l e s t e r o w a n i a w w arunkach n ie p e w n o ś c i . . . 88
3 . 2 . Z a sto so w a n ie t e o r i i g i e r n i e k o o p e r a c y j n y c h do s y n t e z y s t e ro w a n ia b e z p ie c z n e g o . . . 89
3 . 2 . 1 . P roblemy d y s k r e t n e w c z a s i e ... 89
3 . 2 . 1 . 1 . P ie r w o tn y i w tó rn y problem o p t y m a l i z a c y j n y 90 3 . 2 . 1 . 2 . Warunki k o n ie c z n e równowagi i prawo s t e r o wania d l a o t w a r t e j s t r u k t u r y i n f o r m a c y j n e j 92 3 . 2 . 1 . 3 . O k r e ś l e n i e s t r a t e g i i s t e r o w a n i a d l a s t r u k t u r y o t w a r t e j ze s p r z ę ż e n ie m O L P ... 95
3 . 2 . 1 . 4 . A lg orytm o b l i c z e n i o w y w y zn a cz an ia s t r a t e g i i minlmaksowych ... 98
3 . 2 . 1 . 5 . Uwagi o ro zw ią zy w an iu z a g a d n i e ń n i e l i n i o wych ... 107
3 . 2 . 2 . P roblemy c i ą g ł e w c z a s i e ... 110
3 . 2 . 2 . 1 . Sform uło w anie i r o z w i ą z a n i e problem u . d la przy p a d k u n ie p e w n o ś c i w r ó w n a n ia c h s t a n u 110 3 . 2 . 2 . 2 . Sform uło wanie i r o z w i ą z a n i e problem u d l a przy p a d k u n i e p e w n o ś c i p r z e n i e s i o n e j na w y j ś c i e ... 116
3 . 3 . Uwagi o modelowaniu układów z nierównościowym sumacyjnym modelem n ie p e w n o ś c i . . . 120
3 . 4 . S y n te z a s t e r o w a n i a g w a r a n t u ją c e g o o k r e ś l o n ą w a r t o ś ć wskaź n i k a j a k o ś o i ... 124
3 . 4 . 1 . P o s t a ć modelu r o z s z e r z o n e g o 126 3 . 4 . 2 . S y n te z a prawa s t e r o w a n i a g w a r a n t o w a n e g o ... 127
3 . 4 . 3 . S te r o w a n ie gwarantowane d l a m ode li n i e l i n i o w y c h . . . Związek z alg o ry tm a m i s t e r o w a n i a za pe w n ia ją c y m i s t a b i l n o ś ć p r a k t y c z n ą ... 133
3 . 5 . Modele nie rów nośc iow e w ejś c io w o - w y jś o io w e . Z a sto so w a n ie t w i e r d z e ń o p u n k ta c h s t a ł y c h ... 134
3 . 5 . 1 . S te r o w a n ie z zadanym s to p n ie m r y z y k a ... 136
3 . 5 . 2 . S te r o w a n ie a d a p t a c y j n e ... 141
3 . 6 . Uwagi końcowe r o z d z i a ł u ... 147 - 4 -
S t r .
4 . UOGÓLNIONE MODELE NIERÓWNOSCIOWE ...* . . . 149
4 . 1 . Geneza m ode li u o g ó l n i o n y c h ... 149
4 . 1 . 1 . Unormowane p r z e s t r z e n i e niepewne ... 151
4 . 1 . 2 . P r z y k ł a d y norm nie pew nych ... 152
4 . 1 . 3 . N i e k t ó r e p o j ę c i a unormowanych p r z e s t r z e n i nie pew nych ... 195
4 . 2 . W ejścio wo-w yjś oio we u o g ó ln io n e modele n ie rów nośc low e i i c h w ł a s n o ś c i ... 156
4 - 3 . Warunki r e a l i z o w a l n o ś c i c e l u s t e r o w a n i a ... 159
4 . 3 . 1 . S y n te z a s t e r o w a n i a z a d a w a la j ą c e g o ... 159
4 . 3 . 2 . S formułowanie problemów o p t y m a l i z a c y j n y c h 162 4 . 3 . 2 . 1 . Problem p i e r w o tn y ... 163
4 . 3 . 2 . 2 . P roblemy w tó rn e ... 169
4. 3 . 2 . 3 . P r z y k ł a d . ' . ... 167
4 . 4 . Uwagi końcowe r o z d z i a ł u ... ... 171 5 . WNIOSKI ... 173
WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ ... . . 174
LITERATURA... 176
STRESZCZENIA 187
COAEPJKAHHE
C ip . L . BBĘliEHHE ... 1 3
i , HPHMEHEHHE HEPABEHCTBEHHHX MOÍ.EJIE/1 K AHAJlH3y KAHECTBA OiiraMAJIb-
HHX CHCTEM ynPABJIEHHfl ... 1 8
2 . 1 . npmieHHeMhie MOAejiH HeyBepeHHOCiH ... 18
2.2. AHajin3 xa'iecTBa ynpaBaeHHH HenpepuBHboc CHCTeM HOMHHaabHO o n i m a j b H H x ... 23
2.2.1. BBeaeHHe ... 23
2.2.2. JlHHeäHO—KBaApnTMWKaa CTannoHapHaa npo6aena ... 26
2.2 .2,1. íyHKUHOKajra oniHMaabHoro KanecTBa ... 28
2.2.2.2. O neH K a b a h h h h h BejisNHHU H e y B ep en H o cT H Ha OTKJIOHeHHe OT HOMHHaABHorO K a n e c i B a - B p e - MeHHue orpaHHHeHHH ... 29
2.2.2.3. O neH K a b a h h h h h h s t o h h o c t h M o n e a n Ha o t k a o - HeHHe o i oHTHM ajiLHoro K a n e c T B a - BpeMenHHe orpaHHHeHHH ... 36
2 . 2 . 2 . 4 . npOÖJieMH O CyManHOHHHMH orpaHHHeHHHMH ... 3 9 2 .2.3. HejiKHeitHae npoöaeMU ... 46
2 . 2 . 3 . 1 . O n e m c a b a h h h h h B ea h h h h h H e y B e p e H H o c iH Ha OTKAoneHHe o t HOMHHaflbHoîi BeJiHHHHbi n o K a 3 a - Ter.fi ... 47
2 . 2 . 3 . 2 . O neH K a b a h h h h h H exoH H ocTH u o n e jiH Ha o x K a o e — HHe o x o n T H M a rb H o ro K a n e o T B a ... 4 9 2 . 2 . 3 . 3 . BonpOCH CTaÖHAH3anHH O 3aA3-HHHM KOHeKHHM COCTOHHHeu ... 5 3 2 , 2 . 4 . AaropHTM hi ynpaBaeHHH Hcnoab3y»mHe H3MepHTeabHyi3 h h- ¡to p x a n H n o BeAHHHHe o ih h ö k h u o Ą e n u ... 5 7 2 . 2 . 4 . 1 . AmropHTM ynpaBaeHHH b caynae peajiH3anHH HOMHHaabHoro ynpaBaeHHH b oiKpbixoß CHCxeMe 5 8 2 . 2 . 4 . 2 . AaropHTM ynpaBeHHH b c a y n a e peaaH3an«H h o - MHHaabHoro ynpaBaeHHH b aaKpaxoB OHCieMe 62 2 . 3 . A n a a H 3 K a n e c x B a ynp aB aeH H H AHCKpexHbtx c h c t b m HOMHKaabHo onTH uaabH boc ... 6 7 2 . 3 . 1 . BBeaeHHe ... 6 7 2 . 3 . 2 . O neH K a b a h h h h h BeaHHHHH HeyBepeHHociH H a oiKaoHeHHe OT HOMHHaAbHOfl BeAHHHHU ... 6 8 2 . 3 . 3 . O neH K a b a h h h h h H e x o w H o c iH MOAean H a OTKaoHeHHe ot o n T H u a a b H o ß seaHKHHU n o K a a a x e a a . . . 72
2 . 3 . 4 . A aro p H T b tu ynpaB aeH H H H O n o a b a y c n H e H 3 n e p H x e a b H y » HH$opuanH® o BeaHHBHe oshhÖk h MOAeaH . . . 75
C x p. 2.3.4.1. AaropHTMb; ynpaBaeHHH a a h cacxeM AHCKpeT-
h k x no BpeMeHH ... 76
2.3 .4.2. AaropHTMhi ynpaBaeHHH nan cncxeM AHCKpex— Hbix b nepHOAbi pafioxaioniHX b ycTaHOBHbmeMCH COCTOHHHH ... 7 3 2.4. 3aMenaHHH noAHToxHBaiomHe raaBU ... e4 3 . nPH U EH K liH E H EPABEHCTBEH Hha MOAEJIEri M M CHHTE3A A lirO PH lM O B ynPABJLEHHn ... 6 8 3.1. MoaeaH h neaa ynpaBaeHHH b ycaoBHHx HeyBepeHHociH ... 88
3.2. IIpHMeHeHHe TeopHH HeKoonepanHOHHUX Hrp a h h ciiHTe3a Oe30- nacHoro ynpaBaeHHH ... ... 69
3.2.1. npoCaeMu AHCKpeiHue no BpeweHH ... 89
3.2.1.1. nepBHHHaa h BxopHHHaa onxHMH3auHOHHbie npoC- aeMH ... • SO 3.2.1.2. HeoSxoAHMue ycaoBHH paBHOBeccHH h s h k o h ynpaBaeHHH AHH OTKp'JTOiv HHCpopMaUHOHHOH cxpyKiypu ... 9..
3.2.1.3. OnpeAeaeHHe cxpaxerKH ynpaBaeHHH a h h o t- KpuToił cxpyKxypbi c conpnxeHaeM 0JI4> .... 95
3.2.1.4. PacHhTHbiB aaropHTM onpeAeaenaH mhhhms-kcobhx c x p a x e r K H ... 96
3.2.1.5. 3aMeHaHHH o pemeHHK HeaHHeHHux npoOaeM .... 107
3.2.2. IlpoSaeMH HenpepuBHH no BpeMeHH ... i-C 3.2.2.1. OopMyaapoBKa h pemeHHe npobaeMU a h h cayaan HeyBepeHHociH b ypaBHeHHflx c c c t o h h h h ... 1-0 3.2,2.2.. OopMyaapoBKa h peaeHHe npooaewu a a h cayaan HeyBepeHHociH nepeHeceHHoti Ha bu xo a ... -16
3.3. SaMenaHHH o MOAeaHpoBaHHH cncxeM c HepaBencTBeHHofi cyMMa- UHOHHoii MOAeabB HeyBepeHHociH ... 120
3.4. CHHTe3 ynpaBaeHHH rapaHTHpyranero onpeaeaeHHyio BeaHHHHy no- KasaTean KanecTBa ... 124
3.4.1. UoAeab pacmHpeHHoro BHAa ... 126
3.4.2. CHHTe3 aaKOHa rapaHxapoBaHHoro ynpaBaeHHH ... 12?
3.4.3. TapaHiHpoBaHHoe ynpaBaeHHe a h h Heaimeaiibix MOAeae»... Cb h3b c aaropHTMaMH ynpasaeHHH otiecneaaBawiaHMH npaa- THHecKyi) CTaSHabHocib ... 133
3.5. BxoAHO-BbocoAHue HepaBeHCTBeHHue MOAeaa ... 134
3.5.1. ynppBaeHHe c saAaHHoS CTeneHbio p n c a a ... 136
3.5.2. AAaniHBHoe ynpaBaeHHe ... 141
3.6. 3aMenaHHH noAHTOxHBa»ąHe raaBU ... 147
- 8 -
C i p .
4 . OBOBUIËKHHE HEPABEHC TiJEHHhlE MOÄEJIH ... 149
4 . 1 . rene3KC oöoÖneHHRx: MOAejieit ... 149
4 . 1 . 1 . HopMHpoBaHHae npooTpaHCiBa HeyBepemiocTH ... 151
4 . 1 . 2 . npHMepa HeyBepeHHUX HopM ... 152
4 . 1 . 3 . HeKOTopae dohäthä HopuapoBaHHux npocTpaHCiB HeyBe- peHHOCTH o ... 155
4 . 2 . BxoAHO-BHxoÄHhie oÔoônëHHtie HepaBeHCiBeHHue moasjih h hx c BoííCTBa ... '... 156
4 . 3 . ycjioBHfl nojiy'ieHHÄ uejin ynpaBJieHHH ... 159
4 . 3 . 1 . CiiHxe3 yÄOBjieiBopHTejibHoro ynpaßxeHHÄ . . . 159
4 . 3 . 2 . <topMyjinpoBKa oniHMM3auHOHHLtx npoÖJieu ... 162
4 . 5 . 2 . 1 . riepBHWaa npoSneua ... 163
4 . 3 . 2 . 2 . BiopMHHBie npoöJieMH ... 165
4 . 3 . 2 . 3 . ripHMep ... 167
4 . 4 . 3aMe>iaHHH nonmojcKBaioinHe rna.su ... 171
5 . bHBOÀü ... 173 OIWCOK BAOKHEdüfflX 0B03HAHEHHH ... 1 7 4
JlKTEPATyPA ... 1 7 6
PE3KME 187
1. INTRODUCTION ... 13 2. APPLICATION OP INEQUALITY MODELS TO ANALYZE PERFORMANCE OF
OPTIMAL CONTROL PROBLEMS... ... 18
2 . 1 . Models o f u n c e r t a i n t y ... 18 2 . 2 . A n a l y s i s o f c o n t i n u o u s n o m i n a l l y o p t i m a l c o n t r o l sy ste m s
p e rfo rm a n c e ... 23 2 . 2 . 1 . I n t r o d u c t i o n ... 23 2 . 2 . 2 . T i m e - i n v a r i a n t l i n e a r - q u a d r a t i c p r o b l e m ... 26 2 . 2 . 2 . 1 . O ptim al p e rf o rm a n c e f u n c t i o n a l s . . . . 28 2 . 2 . 2 . 2 . E s t i m a t i o n o f t h e i n f l u e n c e o f u n c e r t a i n t y
on t h e d e t e r i o r a t i o n o f nom inal p e r f o r m a n c e - i n s t a n t a n e o u s c o n s t r a i n t s ... 29 2 . 2 . 2 . 3 . E v a l u a t i o n o f t h e i n f l u e n c e o f model i n a c
c u r a c y on t h e d e t e r i o r a t i o n o f o p t i m a l
perform ance-.’i n s t a n t a n e o u s c o n s t r a i n t s . . . . 36 2 . 2 . 2 . 4 « P roblem s w i t h e n e r g y c o n s t r a i n t s ... 39 2 . 2 . 3 . N o n l i n e a r problem s ... 46
2 . 2 . 3 . 1 . E s t i m a t i o n o f t h e i n f l u e n c e o f u n c e r t a i n t y on t h e d e t e r i o r a t i o n o f n om ina l p e r f o rm a n c e 47 2 . 2 . 3 . 2 . E v a l u a t i o n o f t h e i n f l u e n c e o f model i n a c
c u r a c y on t h e d e t e r i o r a t i o n o f o p t i m a l
p e r f o rm a n c e ... 49
2 . 2 . 3 . 3 . S t a b i l i z a t i o n p roblem s w i t h f i x e d t e r m i n a l s t a t e ... 33 2 . 2 . 4 . C o n t r o l a l g o r i t h m s u s i n g t h e i n f o r m a t i o n a b o u t th e
e r r o r o f t h e model ... 57 2 . 2 . 4 . 1 . C o n t r o l a l g o r i t h m i n t h e c a s e o f o p e n - lo o p
r e a l i z a t i o n o f t h e n o m ina l c o n t r o l ... 58 2 . 2 . 4 . 2 . C o n t r o l a l g o r i t h m i n t h e c a s e o f c l o s e d -
- l o o p r e a l i z a t i o n o f t h e nom inal c o n t r o l 62 2 . 3 . P e rfo rm a n c e a n a l y s i s o f d i s c r e t e n o m i n a l l y o p t i m a l sy s te m s 67 2 . 3 . 1 . I n t r o d u c t i o n ... 67 2 . 3 . 2 . E s t i m a t i o n o f t h e i n f l u e n c e o f u n c e r t a i n t y on th e
d e t e r m i n a t i o n o f nom inal p e r f o r m a n c e ... 68 2 . 3 . 3 . E v a l u a t i o n o f t h e i n f l u e n c e o f model i n a c c u r a c y on
th e d e t e r i o r a t i o n o f o p t i m a l p e r fo rm a n c e ... 72 2 . 3 . 4 . C o n t r o l a l g o r i t h m s u s i n g th e i n f o r m a t i o n a b o u t th e
e r r o r o f t h e m o d e l ... 75
Page.
- 10 -
2 . 3 . 4 . 1 . C o n t r o l a l g o r i t h m s f o r d i s c r e t e - t i m e s y
ste m s ... 76
2 . 3 . 4 . 2 . C o n t r o l a l g o r i t h m s f o r d i s c r e t e - s t a g e s y ste m s ... 79
2 . 4 . P i n a l rem a rk s o f t h e c h a p t e r ... 84
3 . APPLICATION OF INEQUALITY MODELS TO CONTROL ALGORITHMS DESIGN 88 3 . 1 . Models and o b j e c t i v e s i n t h e p r e s e n c e o f u n c e r t a i n t y . . . . 88
3 . 2 . N o n c o o p e r a tiv e games t h e o r y a p p l i c a t i o n t o d e s i g n min-max c o n t r o l ... 89
3 . 2 . 1 . D i s c r e t e - t i m e problem s ... 89
3 . 2 . 1 . 1 . P rim a ry and s e c o n d a r y p e r f o rm a n c e i n d i c e s 90 3 . 2 . 1 . 2 . N e c e s s a r y c o n d i t i o n s o f t h e e q u i l i b r i u m and th e c o n t r o l s t r a t e g y f o r th e OL i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e ... 92
3 . 2 . 1 . 3 . D e t e r m i n a t i o n o f t h e c o n t r o l s t r a t e g y f o r t h e OLF i n f o r m a t i o n s t r u c t u r e ... 95
3 . 2 . 1 . 4 . C o m p u ta t io n a l a l g o r i t h m f o r min-max s t r a t e g i e s a s s i g n m e n t ... 98
3 . 2 . 1 . 5 * Remarks on t h e s o l u t i o n s o f n o n l i n e a r problem s ... 107
3 . 2 . 2 . C o n t i n u o u s - t i m e p roblem s ... 110
3 . 2 . 2 . 1 . Problem s t a t e m e n t and s o l u t i o n i n t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y i n t h e s t a t e e q u a t i o n s . . . . 110
3 . 2 . 2 . 2 . Problem s t a t e m e n t and s o l u t i o n i n t h e c a s e o f u n c e r t a i n t y t r a n s f e r e d t o t h e o u t p u t . . 116
3 . 3 . Remarks on t h e m o d e lin g b f t h e s y s t e m s w i t h e n e r g y i n e q u a l i t y models o f u n c e r t a i n t y 120
3 . 4 . Guaranteed cost c o n t r o l d e s i g n ... 124
3 . 4 . 1 . The form o f e x t e n d e d model ... 126
3 . 4 . 2 . Guaranteed cost c o n t r o l s y n t h e s i s ... 127
3 . 4 . 3 . G u a r a n te e d c o s t c o n t r o l f o r n o n l i n e a r m ode ls. C o i n c id e n c e w i t h p r a c t i c a l s t a b i l i t y c o n t r o l a l g o r i t h m s ... 133
3 . 5 . I n p u t - o u t p u t i n e q u a l i t y m ode ls. A p p l i c a t i o n o f f i x e d p o i n t th e o re m s ... 134
3 . 5 * 1 . C o n t r o l w i t h g i v e n d e g r e e o f r i s k ... 136
3 * 5 . 2 . A d a p ti v e c o n t r o l ... 141
3 . 6 . F i n a l r e m a rk s o f t h e c h a p t e r ... ... 147 Page
4 . GENERALIZED INEQUALITY MODELS ... 149
4 . 1 . G e n e r a l i z e d models o r i g i n ... 149
4 . 1 . 1 . Norwed u n c e r t a i n s p a c e s ... 151
4 . 1 . 2 . Examples o f u n c e r t a i n norms ... 152
4 . 1 . 3 . Some n o t i o n s o f normed u n c e r t a i n s p a c e s ... 155
4 . 2 . I n p u t - o u t p u t g e n e r a l i z e d i n e q u a l i t y models and t h e i r p r o p e r t i e s ... 156
4 . 3 . C o n d i t i o n s o f r e a l i z a t i o n o f t h e c o n t r o l o b j e c t i v e ... 159
4 . 3 . 1 . G u a ra n t e e d c o n t r o l d e s i g n ... 159
4 . 3 . 2 . S t a t e m e n t o f o p t i m i z a t i o n p r oblem s ... 162
4 . 3 . 2 . 1 . P t i m a r y p r o b l e m ... 163
4 » 3 . 2 . 2 . S eco n d a ry problem s ... 165
4 . 3 . 2 . 3 . An example ... 167
4 . 4 . P i n a l re m a rk s o f t h e c h a p t e r ... 171
5. CONCLUSIONS. 173 LIST OP IMPORTANT SYMBOLS... 174
REFERENCES ... 176
Page SUMMARIES ... 187
1 . WSTĘP
F a k t , i ż modele sto sowane p r z y s y n t e z i e s t e r o w a n i a układam i n i e w p e ł n i o d p o w ia d a ją r z e c z y w is ty m r e l a c j o m zachodzącym w t y c h u k ła d a c h j e s t pow szechnie znany i b r a n y pod uwagę wśród s p e c j a l i s t ó w z d z i e d z i n y s t e r o w a n ia . J a k p o d k r e ś l a s i ę w w i e l u k l a s y c z n y c h p o z y o j a c h z z a k r e s u podstaw r e g u l a c j i a u t o m a t y c z n e j ( n p . j [63] , [68] , [74] , [187] , [45] ) , w ła ś n i e świadomość te g o p roblem u l e g ł a u podstaw n a j b a r d z i e j i s t o t n e j i d e i s t e r o wania a u t o m a t y c z n e g o , j a k ą j e s t i d e a s p r z ę ż e n i a zw ro tn e g o , c z y l i w yznacza
n i a s t e r o w a n i a b e z p o ś r e d n i o na p o d s ta w ie d o s t ę p n e j b i e ż ą c e j i n f o r m a c j i pomiarowej o za chow aniu s i ę u k ł a d u .
N iem niej je d n a k samo " s p r z ę ż e n i e zw ro tn e " dob ran e J e d y n i e na p o d sta w ie modelu w w i e l u s y t u a c j a c h n i e zapewnia d o s t a t e c z n i e d obrego zachowania s i ę u k ł a d u , może doprow a dzić do r o z w ią z a ń n i e z a d o w a l a j ą c y c h , p r z e i d e a l i - zowanych c z y w rę cz n ie b e z p i e o n n y c h . N ieu w z g lęd n io n e w modelu z a k ł ó c e n i a , n i e l i n i o w o ś c i , n i e s t a c j o n a r n o ś c i , r ó ż n i c e s t r u k t u r a l n e między modelem i o b ie k te m , n i e d o k ł a d n i e znane p a r a m e t r y , b ł ę d y pomiarów w yjść powodują, i ż w r z e c z y w i s t o ś c i problem s y n t e z y s t e r o w a n i a na p o d s ta w ie modelu j e s t problemem podejmowania d e c y z j i w warunkach n i e p e w n o ś c i . J e ś l i d y s p o n u j e my i n f o r m a o j ą o t e j n i e p e w n o ś c i , może ona p o s ł u ż y ć do zbudowania modelu n i e p e w n o ś c i , k t ó r y z k o l e i s t a n o w i p odsta w ę a n a l i z y j a k o ś c i s t e r o w a n i a wyznaczonego na p o d s ta w ie modelu l u b t e ż s y n t e z y s t e r o w a n i a na p o d sta w ie modelu u w z g l ę d n i a j ą c e g o n ie p e w n o ś ć , o ż y l i tz w . modelu z n ie p e w n o ś c i ą . P o s ł u g u j ą c s i ę t e r m i n o l o g i ą zaproponowaną p r z e z W i e r z b i c k i e g o w [192] , p i e r w s z y z t y c h m o d e l i , t z n . model b ez n i e p e w n o ś c i , będziemy n a z y w a li podstawowym, d r u g i n a t o m i a s t , t z n . model z n i e p e w n o ś c i ą , nazywać będziemy ro z s z e rz o n y m .
Z a g a d n ie n i e ooeny wpływu n i e d o k ł a d n o ś c i modelu na j a k o ś ć s t e r o w a n i a wyznaczonego na p o d s ta w ie modelu podstawowego j e s t przedmiotem o g ó l n i e r o z u m ia n e j a n a l i z y w r a ż l i w o ś c i . Po r a z p i e r w s z y problem w r a ż l i w o ś c i u k ł a dów opty m a ln y c h z o s t a ł sform uło wany w [40] . P a g u r e k w [112] d l a problem u lin i o w o - k w a d r a t o w e g o , a n a s t ę p n i e W its e n h a u s e n w [194] d l a d o ść o g ó l n e j k l a s y problemów s t e r o w a n i a optym alnego w y k a z a l i , że w r a ż l iw o ś ć p ie r w s z e g o r z ę d u n i e z a l e ż y od s t r u k t u r y , w j a k i e j s t e r o w a n i e z o s t a ł o z a p r o j e k t o w a n e , a wlęo J e s t t a k a sama d l a s t e r o w a n i a w u k ł a d z i e otwartym i ze sp r z ę ż e n ie m zwrotnym. Wynik t e n zwany paradoksem P a g u r k a - W it s e ń h a u s e n a b y ł w y ja ś n ia n y p r z e z K r e i n d l e r a [84] , K okotovloa i i n . [80] , Youlę i D o ra to [200] , z n a j d u j ą c p e ł n e , w y j a ś n i e n i e w p r a c a c h W i e r z b lo k i e g o i współpracowników [190] ,
[192, 193] . K r e l n d l e r p r o p o n u je z a s t ą p i e n i e problem u w r a ż l i w o ś c i w skaż-
n i k a a m a l i z ą w r a ż l i w o ś c i t r a j e k t o r i i [84] - [86] , wychodząc z z a ł o ż e n i a , że w w i e l u wypadkach w sk a ź n ik j e s t j e d y n i e n a r z ę d z i e m p r o j e k t o w a n i a , a I n t e r e s u j ą c e b a r d z i e j j e s t zachow anie t r a j e k t o r i i . L i n i a t a j e s t r ó w n i e ż z a p re z e n to w a n a w in n y c h p r a c a c h [33] , [34] , [115] d o ty o z ą c y e h głó w n ie tz w . w r a ż l l w o ś o i porównaw czej. Podstawowy r e z u l t a t t a o o trzy m an y j e s t w z a s a d z i e r o z s z e r z e n i e m p o k a z a n e j j u ż p r z e z Kalmana [73] w ł a s n o ś c i u k ł a dów l i n i o w y c h optym a lnyc h (w s e n s i e p r o b l e a u lin i o w o - k w a d r a t o w e g o ) , a m ia
n o w ic i e f a k t u , i ż d l a t e g o t y p u układów r ó ż n i c a zw rotna j e s t w ię k s z a od j e d n o ś c i . Rzadko n a t o m i a s t s p o ty k a s i ę p o d e j ś c i e w y k o r z y s t u j ą c e a n a l i z ę w r a ż l i w o ś c i wyższego r z ę d u . A n a l i z a t a k a sto sowana' w p r a c a c h a u t o r a
[146], [147], [148], [152], [154] b y ł a ró w n i e ż w ykorzystyw ana p r z e z W i e r z b i c k i e g o [188], [l89jl [193] , k t ó r y p r z e k o n y w a ją c o u z a s a d n i ł j e j po
t r z e b ę w [192] .
N a le ż y zwróoió uwagę, że a n a l i z a wyższego r z ę d u um o ż liw ia oce nę wpływu n i e t y l k o n i e s k o ń c z e n i e m a łych, a l e r ó w n i e ż skońozonych o d c h y ł e k . J e s t t o tym b a r d z i e j i s t o t n e , i ż i n n e p r ó b y a n a l i z y w r a ż l i w o ś c i d l a skońc zonyc h o d c h y ł e k , o p a r t e n p . na a p a r a o i e H a m i lto n a - J a o o b i e g o - B e l l m a n a ( n p . [118] ) , mają b a r d z o o g r a n i c z o n y z a k r e s .
W n i n i e j s z e j p r a c y ocena j a k o ś c i s t e r o w a n i a o p a r t a j e s t na modelu r o z szerzonym za w ie r a ją c y m n ie ró w n o śc io w y model n ie p e w n o ś c i wprowadzony po r a z p i e r w s z y w [146] . N ie r ó w n o ś c i w nim w y s t ę p u j ą c e s ą wynikiem i n f o r m a c j i o o g r a n i c z e n i u b ł ę d u a p r o k s y m a c j i o b i e k t u równania m i m odelu. S tą d n i e r ó w n o ś c i o k r e ś l a j ą normę zm iennej n ie p e w n e j i mogą mieć c h a r a k t e r c h w i l o wy l u b s u a a c y j n y ( z a c a ł y h o r y z o n t s t e r o w a n i a ) .
A n a l i z a wpływu n ie p e w n o ś c i na j a k o ś ć s t e r o w a n i a może mieć d w o ja k i c h a r a k t e r . Po p ie r w s z e można o c e n i a ć wpływ n i e d o k ł a d n o ś c i modelu podstawowe
g o , z a k ł a d a j ą o , że model r o z s z e r z o n y pokrywa s i ę z o b ie k te m . Oceniamy wówczas, j a k wpływa s t o s o w a n i e modelu podstawowego do s y n t e z y s t e r o w a n i a na p o g o r s z e n i e j a k o ś c i w s t o s u n k u do o p ty m a ln e j d l a o b i e k t u . Z d r u g i e j s t r o n y o ptym alna w a r t o ś ć w sk aź n ik a d l a modelu podstawowego i o d p o w ia d a ją c e mu zachowanie s i ę t r a j e k t o r i i modelu s ą c z ę s t o w i e l k o ś c i a m i narz u co n y m i p r o j e k t a n t o w i i i n t e r e s u j e n a s , j a k w i e l k o ś ć n i e p e w n o ś c i wpływa na o d c h y ł k i od t y c h w a r t o ś o i . I s t n i e j e wówczas p o t r z e b a oceny wpływu w i e l k o ś c i n i e pew ności na o d c h y ł k i od j a k o ś c i n o m i n a l n e j . Oba t e a s p e k t y b ę d ą a n a l i z o wane w n i n i e j s z e j p r a o y w r o z d z i a l e 2.
A n a l i z a j a k o ś o i p ro w a d zi do wyników m a jąc y ch z r e g u ł y j e d y n i e c h a r a k t e r ja k o ś c i o w y , gdyż otrzym ane o sz ac o w a n ia s ą zazw yczaj zawyżone. Niem niej je d n a k może wskazywać na n i e b e z p i e c z e ń s t w a zw iązane z w y k o rz y sta n iem mo
d e l u podstawowego do s y n t e z y , p r e f e r o w a ć pewne s t r u k t u r y , im p lik o w ać ko n i e c z n o ś ć s t w o r z e n i a l e p s z e g o modelu l u b w y k o r z y s t a n i a modelu r o z s z e r z o nego na e t a p i e s y n t e z y . Pewnym po śred n im ro z w ią z a n ie m j e s t s y n t e z a a l g o rytmów s t e r o w a n i a o p ty m a ln ie w ra ż l iw e g o ( n p . [81] , [93] , [119] , [121] ,
[186] , [199] , [33] ) , w k t ó r y c h s t o s u j e s i ę modele w ra ż liw o śo io w e do s y n t e zy układów su b optym alnyoh ze w zglę du na w r a ż l iw o ś ć l u b o d p ornych n a n i e -
- 15 -
d o k ł a d n o ś c i modelu ( n p . : [ 6 ] , [ m ] , [114] , [123] , [127], [139] , [198] ).
Tego ty p u a l g o r y t m y s t e r o w a n i a n i e l e ż ą w ce ntrum z a i n t e r e s o w a n i a n i n i e j s z e j p r a c y , p r z e d sta w im y je d n a k w r o z d z i a l e 2 pochodz ąc e z p r a c a u t o r a
[149], [151], [153], [155] r e z u l t a t y , k t ó r e można z a k w a l i f i k o w a ć do t e j g r u p y .
S y n te z a algorytm ów s t e r o w a n i a na p o d s ta w ie m ode li z n ie p e w n o ś c i ą ma ró w n ie ż d o ść d ł u g a h i s t o r i ę . T r a d y c y j n i e modele n ie p e w n o ś c i mają c h a r a k t e r p r o b a b i l i s t y c z n y , a s y n t e z a n a j c z ę ś c i e j d o t y c z y wówczas zachowania s i ę u k ł a d u ( s c h a r a k t e r y z o w a n e g o np. p r z e z w sk a ź n ik j a k o ś c i ) w s e n s i e śred n im ( n p . : [1] , [2] , [15] , [5 4 ], [5 5 ], [62]., [7 2 ], [92] , [101] , [123] , [137] , [143] , [205] ' ) . R z a d z i e j s p o t y k a s i ę i n n e r e g u ł y d e c y z y j n e w ynika
j ą c e z o b s e r w a c j i , że b r a n ie pod uwagę je d y n ie p ie rw sz e g o momentu sta tystyc z nego n i e r e d u k u j e p raw dopodobie ństw a u z y s k a n i a z ł e j j a k o ś c i w p o j e d y n c z e j r e a l i z a c j i ( n p . [97]-, [1S3],). O trzym anie c h a r a k t e r y s t y k s t a t y s t y c z n y c h zmiennych nie p ew n y ch , j a k r ó w n i e ż t r u d n o ś c i w t e s t o w a n i u h i p o t e z z w ł a s z cza p r z y k r ó t k i c h s e r i a c h pomiarowych ( n a j c z ę ś c i e j wymaga s i ę s p e ł n i e n i a pewnych z a ł o ż e ń d o t y c z ą c y c h procesów lo sow yc h o r a z zm iennych niepew nych, n p . c h a r a k t e r u g a u s s o w s k ie g o ) pow odują, że model p r o b a b i l i s t y c z n y nie pew n o ś c i bywa n i e r e a l n y , t r u d n y w o k r e ś l e n i u l u b n i e a d e k w a tn y . Kłopotów t y c h n i e s p r a w i a j ą sto s o w a n e w p r a c y modele n i e r ó w n o ś c i o w e , gdyż i n f o r m a c j e o o g r a n i c z e n i a c h na zmienne niepewne uzyskiw ane s ą ja k b y mimochodem na e t a p i e tw o r z e n i a modelu podstawowego. Modele n ie ró w n o śc io w e n a k a z u j ą t r a k tować zmienne niepewne j a k o e l e m e n t y d o m k n ię ty c h z b i o ró w , tym samym upo
d a b n i a j ą j e do tz w . zm iennych o r o z k ł a d z i e ograniczonym ( n p . : [13] ,. [21] , [22] , [24] , [57] , [137] , [182] , [195] )• Ponieważ j e d n a k ge n e z a n ie p e w n o ś
c i , a tym samym i n f o r m a c j a o n i e p e w n o ś c i j e s t w tym p r z y p a d k u odmienna ( b ł ą d a p r o k s y m a c j i a n i e z a k ł ó c e n i a o r o z k ł a d z i e o g r a n ic z o n y m ) , metody s y n t e z y i problem y p r z y n i e j w y s t ę p u j ą c e w y d a ją s i ę być odm ienne. I t a k w p rzy p a d k u modelu ze zmiennymi o g r a n ic z o n y m i naczelnym problemem j e s t es ty m a c ja - s t a n u modelu i wśród c y to w a n e j l i t e r a t u r y p r a c e d o ty c z ą c e te g o z a g a d n i e n i a s ta n o w i ą z n a c z n ą j e j c z ę ś ć ( [ 2 3 ] , [2 4 ] , [ 2 9 ], [ 9 1 ] , .[130] ,
[136] , [137] , [196] ) . S to so w a n ie modelu nle ró w n o śc io w eg o j e s t n a t o m i a s t c z ę s t o powiązane z z a ł o ż e n i e m , i ż wymlarowość s t a n u modelu podstawowego pokrywa s i ę z wym iarowością d o s tę p n e g o pomiarowo w y j ś c i a , co powoduje, i ż problem e s t y m a c j i s t a n u n i e j e s t k r y t y c z n y . W p r a c y ( r o z d z i a ł 3 ) p r z e d sta w io n e z o s t a n ą o p a r t e n a ' w y n i k a c h - a u t o r a - u z y s k a n y c h w [165] , [169] ,
[177] , [170] , [174] , .[173] , [176]. metody s y n t e z y s t e r o w a ń b e z p i e c z n y c h , g s t a ra n tu ją c y o h o k r e ś l o n ą w a r t o ś ć w sk a ź n ik a j a k o ś c i b ądź i n n e c h a r a k t e r y s t y k i zachow ania s i ę u k ł a d u w y k o r z y s t u j ą c e t e o r i ę g i e r , j a k o ś c i o w ą t e o r i ę równań r ó ż n ic z k o w y c h l u b t w i e r d z e n i a o p u n k t a c h s t a ł y c h .
Oprócz wspomnianych j u ż p r z y c z y n , d l a k t ó r y c h model n ie ró w n o śc io w y j e s t w pewnym s e n s i e k o n k u r e n c y jn y w s t o s u n k u do p r o b a b i l i s t y c z n e g o , n a l e ż a ł o b y wspomnieć o z a g a d n i e n i a c h , w k t ó r y c h j e s t on jedynym r a c j o n a l n i e uzasadnionym . S y t u a c j a t a k a w y s t ę p u j e p r z e d e w sz y s tk im w p r z y p a d k u , gdy model podstawowy j e s t wynikiem świadomie dokonanych u p r o s z c z e ń , n p . : p o -
m inięciem n i e l i n i o w o ś c i l u b i c h r o z w in ię o ie m w s z e r e g ( n p . [51] , [33] , [107] ) , r e d u k c j ą r z ę d u u k ł a d u ( b o g a t y p r z e g l ą d l i t e r a t u r y z te g o z a k r e s u z a w a rty j e s t w [53] ) , b łę d a m i modelowania bądź d y s k r e t y z a c j ą . T ra k to w a n ie p o m i n i ę t e j c z ę ś c i dynam ik i ja k o n ie p e w n o ś c i lo so w e j j e s t c a ł k o w i c i e n i e u z a s a d n i o n e , po d c z a s gdy b e z t r u d u można wydobyć i n f o r m a c j e p o t r z e b n e d l a modelu n ie ró w n o śc io w e g o , n i e z a l e ż n i e od s to s o w a n e j metody r e d u k c j i r z ę d u , n p . p r z e z p o z o s t a w i e n i e d o m in u ją c y c h w a r t o ś c i w ła s n y c h ( n p . [30] ,
[36] , [161] ) c z y t e ż ró ż n e g o t y p u a p ro k s y m a c je t r a n a m i t a n o j i , n p . : a p r o ksymacje P ade, Routha ( n p . : [71] , [141] ) i t p . P r z y k ł a d y ' zo ty p u o s z a cowań w ykorzysty w anych w w ielowarstw owych u k ł a d a c h s t e r o l i a można z n a T l e ź ć m . i n . w p r a c a c h a u t o r a [145] , [157] , [158] , [161] , [168] . S z c z e g ó l n i e p o c i ą g a j ą c e j e s t r ó w n ie ż s to s o w a n ie t e g o t y p u m odeli w z a g a d n i e n i a c h , w k t ó r y c h d y s p o n u je s i ę n i e w i e l k ą l i c z b ą pomiarów p r z y d o ść znacznym i c h r o z r z u c i e , co ma m i e j s c e np. p r z y modelowaniu problemów biomedycznych ( n p . [25] , [30] , [59] , [108] , [164] , [178] , [17] ) .
R o z sze rzen iem m o d e li o r o z k ł a d z i e ogranic zonym s ą modele rozm yte n i e pewności ( n p . [20] , [202] , [203] , [204] ) . Modele t e n i e s ą przedmiotem ro zw ażań t e j p r a c y . Pokażemy j e d n a k , że s ą one p o d o b n ie j a k modele p r o b a b i l i s t y c z n e 1 nie ró w n o śc io w e sz c z e g ó ln y m i przypa dkam i o g ó lnyoh m o d e li n i e - równościowych o p a r t y o h na a p a r a c i e p r o b a b i l i s t y c z n y c h p r z e s t r z e n i m e t r y c z nych. P r z e d s t a w i o n e w r o z d z i a l e 4 u o g ó ln io n e modele n ie ró w n o śc io w e p o w sta
j ą p o p r z e z ( u z a s a d n io n e w w i e l u wypadkach) z a s t ą p i e n i e normy tzw . normą nie p ew n ą. R e z u l t a t y d l a t e j k l a s y m o d e l i , s ta n o w i ą c e pewną m o d y f i k a c j ę wyników a u t o r a p r z e d s t a w i o n y c h w [156] , [159] , [160] , [167] , [172] , o g r a n i c z a j ą s i ę do sfo rm u ło w a n ia modelu n i e p e w n o ś c i , p o k a z a n i a je g o związków z innymi modelami n i e p e w n o ś c i , o k r e ś l e n i a odpowiedników podstawowych po
j ę ć t e o r i i s t e r o w a n i a d l a t y c h m o d e l i , p o d a n i a pewnych warunków r e a l l z o - w a l n o ś c i c e l u s t e r o w a n i a o r a z s f o rm u ło w a n ia problemów o p ty m a l i z a c y j n y c h i związków między n i m i . N iem niej j e d n a k i s t o t n ą w a r t o ś c i ą t e j c z ę ś c i p r a cy j e s t n i e t y l e u o g ó l n i e n i e modelu n i e p e w n o ś c i , co możliwość r a c j o n a l n e go s p o j r z e n i a na sposób fo rm u ło w a n ia c e l u p r z y p r o j e k t o w a n i u układów w warunkach n i e p e w n o ś c i .
Reasum ując, celem p r a c y j e s t p r z e d s t a w i e n i e m o ż l i w o ś c i , j a k i e d a j ą mo
d e l e n ie ró w n o śc io w e w z a k r e s i e a n a l i z y i s y n t e z y s t e r o w a n i a w warunkach n i e p e w n o ś c i , p r z e d s t a w i e n i e wybranych, o p a r t y c h na n ie ró w n o śo io w y c h mo
d e l a c h n i e p e w n o ś c i , algorytm ów s t e r o w a n i a , l u b p r z y n a j m n i e j sform ułow a
n i e n i e k t ó r y c h problemów mogąpych t a k i e a l g o r y t m y im p lik o w a ć , a t a k ż e p r z e d y s k u to w a n ie pewnych o g ó ln y c h z a g a d n i e ń zw ią za nych z podejmowaniem d e c y z j i w w arunkach n i e p e w n o ś c i .
O zn a cz en ia i n o m e n k la t u ra sto s o w a n e w p r a c y n i e r ó ż n i ą s i ę od s t o s o wanych w w i ę k s z o ś c i p o z y c j i l i t e r a t u r o w y c h z z a k r e s u t e o r i i s t e r o w a n i a , n p . : [4 ], [7 4 ], [120].
- 17 -
W p rzy p a d k u pewnych s z c z e g ó ln y c h o z n a c z e ń l u b p o j ę ć stosowanych w p r a c y z o s t a n ą one d o k ł a d n i e omówione. W z a s a d z i e s to s o w a n a s y m b o lik a j e s t w sp ó l
na d l a - c a ł e j p r a c y . Może s i ę je d n a k z d a r z y ć , że z® względów zwyczajowych t e n sam symbol w ró ż n y c h r o z d z i a ł a c h o z n a c z a t ę samą ja k o śc io w o w i e l k o ś ć , l e c z w yrażoną i n n ą z a l e ż n o ś c i ą m a tem aty c zn ą , zw ią za ną ze s p e c y f i k ą danego modelu m a tem atyc zne go.
Symbol normy | | . || stosow a ny j e s t d l a o k r e ś l e n i a ró ż n e g o ty p u norm z a równo w p r z e s t r z e n i a c h s k o ń c z e n i e wymiarowych, j a k i f u n k c y j n y c h . J e ś l i z a c h o d z i p o t r z e b a r o z r ó ż n i e n i a norm, j e s t t o w y r a ź n i e sp r e c y z o w a n e , w i n nym p rzypadku r o d z a j normy w ynika z k o n t e k s t u . "O" o z n a c z a n i e t y l k o c y f r ę z e r o , a l e ró w n ie ż e l e m e n t zerowy ro z w a ż a n e j p r z e s t r z e n i , co je d n a k n i e po
winno powodować n i e j e d n o z n a c z n o ś c i .
W iększość r e z u l t a t ó w n i n i e j s z e j p r a c y z o s t a ł o o publikow a ne w p r a c a c h a u t o r a , s t ą d w przy p a d k u p o d r o z d z i a ł ó w po k ry w a ją cy ch s i ę w z a s a d z i e z od
powiednimi p u b l i k a c j a m i , po t y t u l e p o d r o z d z i a ł u podany z o s t a ł numer odpo
w i e d n i e j p u b l i k a c j i .
Począwszy od r o k u 1986 b a d a n i a b y ł y w s p i e ra n e fin a n so w o p r z e z iffliSzW w ramach Programu Resortow ego R P . I . 0 2 . : T e o r i a s t e r o w a n i a i o p t y m a l i z a c j i c i ą g ł y c h układów dynam icznych i procesów d y s k r e t n y c h .
\ \
OPTYMALNYCH UKŁADÓW STEROWANIA .
2 . 1 . STOSOWANE MODELE NIEPEWNOŚCI
Opis układów s t e r o w a n i a z a pomocą m ode li o p o s t a c i równań s t a n u i w y j ś c i a l u b t e ż z a l e ż n o ś c i w e jś c io w o -w y jśc io w y c b s ta n o w i J e d y n i e a p r o k s y m a c j ę r z e c z y w i s t y c h r e l a c j i za chodzących między zmiennymi procesowym i. J e ś l i do
s t ę p n a j e s t i n f o r m a c j a c h a r a k t e r y z u j ą c a b łą d t e j a p r o k s y m a c j i , cmoże być ona w y k o r z y s ta n a w a n a l i z i e j a k o ś c i układów s t e r o w a n i a , k t ó r y c h s y n t e z a z o s t a ł a o p a r t a n a modelu podstawowym. N a j c z ę ś c i e j d o s t ę p n ą i n f o r m a c j ą wy
d a j e s i ę być o g r a n i c z e n i e g ó rn e normy b ł ę d u a p r o k s y m a o j i , gdyż o tr z y m u je s i ę j ą w p r o c e s i e w y z n a c z a n ia param etrów aproksym ując ych m o d e l i .
Tak w ię c w przy p a d k u układów c i ą g ł y c h w c z a s i e o p ró c z modelu p o d s t a wowego w p o s t a c i równań s t a n u :
xm( t ) = i ( * m( t ) , u ( t ) , t ) t £ [t o»t k] • xm( t o 5 = x 0 ( 2 - 1 ) dysponować możemy o c e n ą b ł ę d u t e g o r ó w n a n ia w p o s t a c i o g r a n i c z e n i a normy:
| | x ( t ) - f ( x ( t ) , u (t ) , t)JJ < 6 ( 2 . 2 )
p r z y czym x o z n a c z a w tym p r zypa dku zmienne w y s t ę p u j ą c e w r z e c z y w is ty m o b i e k c i e o d p o w ia d a ją c e zmiennym s t a n u modelu podstawowego x0 ,
xn ( t ) e R n J e s t wektorem s t a n u modelu podstawowego,
x ( t ) e R n J e s t wektorem s t a n u modelu r o z s z e r z o n e g o , u ( t ) c R m j e s t wektorem w a r t o ś c i s t e r o w a ń w c h w i l i t , f : Rn x Rm x ['t 0 »'*:ic]~> Rn ’J e s t f u n k c j ą , k t ó r e j w ł a s n o ś c i z o s t a n ą s p r e c y
zowane w k o n k r e tn y c h z a g a d n i e n i a c h ; t u za łó ż m y , że f j e s t c i ą g ł a . f u n k c j ą sw oic h argumentów, co w y s t a r c z a do z a p e w n ie n ia i s t n i e n i a - r o z
w ią z a n i a rów nania ( 2 . 1 ) . ( Z a ł o ż e n i e t o n i e j e s t k o n i e c z n e , w y s t a r c z y ł by warunek" C a r a t h e o d o r y [4] , l e c z w p r a c y n i e ma p o t r z e b y r o z p a t r y w a n i a t a k i e g o p r z y p a d k u ) . Umożliwia t o budowę modelu r o z s z e r z o n e g o ( z n ie
p e w n o ś c ią ) o p o s t a c i r ó w n a n ia :
x ( t ) = f ( x ( t ) , u ( t ) , t ) + v ( t ) ( 2 . 3 )
- 19 -
w którym v o w a r t o ś c i a c h w Rn j e s t d e fe k te m rówr.ania s t a n u względem s t a n u modelu podstawowego [117] stanowiącym zmienną niepewną c h a r a k t e r y z u j ą c ą b łą d a p r o k s y m a c j i o b i e k t u równaniami s t a n u .
Zmienna niepew na v s c h a r a k t e r y z o w a n a j e s t n i e r ó w n o ś c i ą :
IMI i £ ( 2 . 4 )
Norma || • || w y s t ę p u j ą c a w ( 2 . 3 ) i ( 2 . 4 ) może mieć r ó ż n ą p o s t a ć . W pewnych p rz y p a d k a c h norma może mieć c h a r a k t e r chwilowy, t z n . d o t y c z y chw ilowej w a r t o ś c i v ( t ) , c z y l i J e s t normą w p r z e s t r z e n i Rn . P rzykładowo może to być norma E u k lid e s o w a :
t ) i u =1/ v 2 ( t ) = ( v T( t ) v ( t ) ) 7
l u b j e d n o s t a j n a :
II v( t )|[ = Max | v, ( t )
Wówczas w i e l k o ś ć £ może być f u n k c j ą c z a s u £ =£ ( t ) . S y t u a c j a t a k a w y s tę p u j e , gdy v ( t ) j e s t wynikiem p o m in i ę ty c h n i e l i n i o w o ś c i , wyższych wyrazów r o z w in ię c ia w s z e r e g , z a k ł ó c e ń , dynam iki wyższego r z ę d u , i wprowadzony w ten? sposób b łą d można o c e n i ć w k a ż d e j c h w i l i c z a s u .
J e ż e l i je d n a k i n f o r m a c j a o d e f e k c i e otrzymywana j e s t j e d y n i e z wykony
wanego w c z e ś n i e j e k s p e r y m e n tu i d e n t y f i k a c y j n e g o prowadzonego p r z e z o k r e s [ t Q, t j , wówczas norma ma c h a r a k t e r su m a cy jn y , n p . j e s t normą w p r z e s t r z e n i k2 [ ( t o , Rn] » w p o s t a c i :
m l o
L J
ł
v ( t ) v ( t ) d t, ł oW tym p rzy p a d k u 6 n i e j e s t f u n k c j ą c z a s u . J e ś l i a p r o k s y m a c ja j e s t a p r o k sym a cją j e d n o s t a j n ą , . wówczas (norma w p r z e s t r z e n i C( > Rn ) ) !
max | | v ( t ) | | t 6 1*0 ’ ^k]
W tym p rzypadku o g r a n i c z e n i e nierów nościow e może być rozum iane zarówno ja k o chwilowe, t z n :
l |v ( t ) || ś ć
j a k i d o ty c z ą c e c a łe g o p r z e b i e g u , t z n . :
INI c « £
Należy zauważyć, że j e ż e l i w p rzypa dku norm chwilowych przyjm iemy
max £ ( t ) = £ , wówczas o g r a n i c z e n i e chwilowe można u t o ż s a m i a ć z o g r a n o ' * k l
n ic z e n ie m w s e n s i e normy t y p u maksimum.
Stąd będziemy przyjmować w d a l s z y c h r o z w a ż a n ia c h , że nie ró w n o ść io w y mo
d e l d l a d e f e k t u v ma je d n ą z dwóch p o s t a c i :
l |v ( t ) | | k £ 1
l u b
M l 2 = ( j | [ v ( t ) | | 2 d t ) ? = ( j v T( t ) v ( t ) d t ) ? ś &,
o o
Ponieważ norma chwilowa j e s t normą w p r z e s t r z e n i Rn , s t ą d w s z y s t k i e normy są (w s e n s i e to p o lo g i c z n y m ) równoważne. D la u s t a l e n i a ro zw ażać p rzy jm iem y , że j e s t to norma E u k lid e so w a .
W s e n s i e matematycznym n i e j e s t o b o j ę t n e , j a k a z o s t a j e p r z y j ę t a normaj odpowiada t o r o z w a ż e n iu v ja k o e le m e n tu o d p o w ie d n ie j p r z e s t r z e n i , n p . : f u n k c j i c i ą g ł y c h d l a normy | | . | | l u b całkow alnych z kwadratem d l a II *||
0 1
Z a ł o ż e n i a t e s ą w z a s a d z i e n i e s p r a w d z a l n e , n ie m n i e j z f i z y k a l n e g o p u n k tu w i d z e n i a p r z y j ę c i e c a ł k o w a l n o ś c i z kwadratem ( o g r a n i c z o n o ś c i n i e s i o n e j e n e r g i i ) j e s t c a ł k o w i c i e u z a s a d n i o n e .
Z a stosow anie normy su m a cy jn ej ma s e n s t y l k o wówczas, gdy rozw ażane mo
d e l e s ą s t a c j o n a r n e - f u n k c j a f n i e z a l e ż y ja w n ie od t .
N o n a sum acyjna J e s t s z c z e g ó l n i e u z a s a d n i o n a , gdy b łą d a p r o k s y m a c j i r o z ważany j e s t n i e ja ko d e f e k t r ó w n a n ia s t a n u , l e c z ja k o r ó ż n i c a między stanem
xm
równaniem s t a n u ( 2 .1 ) o r a z n i e r ó w n o ś c i ą :
II x " x j | ś E ( 2 . 5 )
- 21 -
Model r o z s z e r z o n y s k ł a d a s i ę wówczas z r ó w n a n ia s t a n u ( 2 . 1 ) i ró w n a n ia w y j ś c i a :
x = x _ + e Q ( 2 . 6 )
g d z i e e j e s t błędem s t a n u modelu podstawowego stanowiącym zmienną n i e pewną s c h a r a k t e r y z o w a n ą n i e r ó w n o ś c i ą :
Ue|| < E ( 2 . 7 )
Dla u p r o s z c z e n i a przyjmować b ędziem y, że s t a n początkowy j e s t o k r e ś l o n y d o k ł a d n i e , t z n . ż e :
* ( V = W = *o ( 2 ' 8 )
zarówno w modelu ( 2 . 3 ) , j a k i ( 2 . 6 ) .
P r z y j ę c i e normy su m a c y jn e j ma swoje u z a s a d n i e n i e z w ła s z c z a w p rz y p a d k u , gdy l i c z b a m ie rzo n y ch ( n i e z a l e ż n y c h ) w y jś ć o b i e k t u j e s t równa n, t z n . l i c z b i e zmiennych s t a n u modelu podstawowego, a p a r a m e t r y estymowane s ą metodą n a j m n i e j s z y c h kw adratów. W tym p rzy p a d k u model ( 2 . 7 ) ma p o s t a ć :
1
\
1( j | | e ( t ) | | 2 d t ) ^ = ( J e T( t ) e ( t ) d t ) ? i: E2 t °
Niem niej j e d n a k o g r a n i c z e n i e chwilowe może być ró w n ież u z a s a d n i o n e , z w ła s z c z a gdy nie pew ność j e s t m ia r ą d o k ł a d n o ś c i pomiarów bądź ic h p r z e t w a r z a n i a . Wówczas model ( 2 . 7 ) ma p o s t a ć :
l | e ( t ) | | « E,
Zauważmy, że w tym p rzy p a d k u o g r a n i c z e n i e b ę d z i e d o t y c z y ł o p o sz c z e g ó ln y c h składowych i może c h a r a k te r y z o w a ć b łą d w zględny, t z n , :
| e . ( t ) | « E1 |x B i |
Nie będziemy je d n a k szczegółow o a n a liz o w a ć te g o modelu, o g r a n i c z a j ą c s i ę , p odobnie j a k p o p r z e d n i o , do rozw ażań d l a normy E u k l i d e s o w e j .
W p rzy p a d k u modelu nie rów nośoiow ego sumacyjnego o g r a n i c z e n i e E może być w n i e k t ó r y c h p rz y p a d k a c h tr a k t o w a n e ja k o f u n k c j a normy s t e r o w a n i a . D z ie je s i ę t a k z w ł a s z c z a , j e ś l i dane do e s t y m a c j i param etrów uzyskiw ane s ą p o p r z e z ap ro k sy m a c ję w d z i e d z i n i e c z ę s t o t l i w o ś c i o w e j . B a r d z i e j s z c z e g ó -
łowe omówienie te g o problemu p r z e d sta w im y w przypadku m ode li w e jś c io w o - w y jśc io w y c h . Zauważmy t u J e d y n i e , że r a c jo n a ln y m modelem n i e r ó w n o ś c i owym b ę d z ie w tym przypadku r e l a c j a :
IMI 2 ^ Ex N I 2 + E4
I. ^ 1
c z y i i :
, > 1 ok I
' I e T( t ) e ( t ) d t ) 2 -i E3 ( J u T( t ) u ( t ) d t ) 2 + E4
t O to
W p rzypadku m odeli d y s k r e t n y c h w c z a s i e , obok modelu podstawowego w po
s t a c i równań s t a n u :
xm(k+ 1 ) = f k ( x m( k ) , uCk) ) ; k = 0 , 1 , . . . , N -1; x m( 0 ) = x Q ( 2 . 9 )
dysponujemy oceną b ł ę d u te g o r ów na nia w p o s t a c i o g r a n i c z e n i a normy:
| | x ( k+1 ) - f k ( x ( k ) , u(k ) )|| ś Ł ( 2 . 1 0 )
P ro wadzi to do modelu r o z s z e r z o n e g o o p o s t a c i :
x (k + 1 ) = f k ( x ( k ) , u ( k )) + v ( k ); x ( 0 ) = x Q ( 2 . 1 1 ) i n i e r ó w n o ś c i :
||v|| ^ 6 ( 2 . 1 2 )
Wymiary w e k t o r a s t a n u i s t e r o w a n i a s ą t a k i e j a k w p rzy p a d k u c i ą g ł y m . Po
d o b n ie j a k p o p r z e d n i o n ie ró w n o ś ć ( 2 . 1 2 ) może mieć c h a r a k t e r chwilowy, t z n . :
II v ( k )|| « £ 1
l u b sumacyjny (norma n p . : w l 2 [o, N—1] ):
N-1 1 N-1 1
|v|| 2 = ( ^ v T( k ) v ( k ) ) ? = ( ^ Hv(k)|| 2 )? ś £ .
1 k=0 k=0
Należy z w r ó c ić uwagę, że v ( k ) w przypadku m odeli d y s k r e t n y c h .ma d o d a t kową ciekawą i n t e r p r e t a c j ę n i e w y s t ę p u j ą c ą w p rzypa dku c i ą g ły m , j e s t bo
wiem błędem jednokrokow ej p r e d y k c j i s t a n u m odelu . Stąd o b i e p o s t a c i e o g r a
- 23 -
n i c z e ń : chwilowe i sumacyjne w ydają s i ę być w p e ł n i u z a s a d n i o n e . W p r z e c i w i e ń s t w i e do s y t u a c j i z r e g u ł y w y s t ę p u j ą c e j w p rzy p a d k u układów c iągł.yc w c z a s i e , u z y s k a n i e o g r a n i c z e n i a n a v ( k ) b e z p o ś r e d n i o z pomiarów j e s t c a ł k o w i c i e r e a l n e .
N iem niej je d n a k c z ę s t o w y g o d n ie j s z y może być model r o z s z e r z o n y w po
s t a c i ró w n a n ia s t a n u ( 2 . 1 1 ) , r ó w n a n ia w y j ś c i a :
Z a sto so w a n ie normy su m a c y jn e j może być i n t e r p r e t o w a n e ja k o o g r a n i c z e n i e b ł ę d u w m e to d z ie n a j m n i e j s z y c h kwadratów zarówno w p rzypa dku modelu nierów nościow ego d l a zm iennej e , ja k i v .
Przyjm owanie rów ności wymiarów d o s tę p n e g o w y j ś c i a o b i e k t u i s t a n u mo
d e l u podstawowego j e s t pewnym u p r o s z c z e n ie m . Niem niej je d n a k może być rów n i e ż tr a k t o w a n e jako z a ł o ż e n i e metody t w o r z e n i a modelu t a k , aby i i c z b a zmiennych s t a n u modelu podstawowego b y ł a t a k a , j a k l i c z b a obserwowanych zmiennych o b i e k t u ( t z n . m ierzonych b ądź o dtw arzanych ze znaną d o k ła d n o ś c i ą ) .
Inne uwagi d o t y c z ą c e różnych przypadków m odeli nie rów nościow ych ( 2 . 1 2 ) l u b ( 2 . 1 4 ) s ą a n a lo g ia m i odpow iednich rozw ażań d o ty c z ą c y c h układów c i ą g ły c h w c z a s i e . Dotyczy t o w s z c z e g ó l n o ś c i f a k t u , i ż k o r z y s t a n i e z o g r a n i c z e n i a sumacyjnego ma s e n s j e d y n i e w p rzy p a d k u s t a c j o n a r n o ś c i u k ł a d u , t z n n i e z a l e ż n o ś c i f u n k c j i f od k .
2 . 2 . ANALIZA JAKOŚCI STEROWANIA UKŁADÓW CIĄGŁYCH NOMINALNIE OPTYMALNYC
2 . 2 . 1 . Wstęp
W r o z d z i a l e tym rozważany b ę d z i e model podstawowy ( 2 . 1 ) i r o z s z e r z o n y ( 2 . 3 ) , ( 2 . 4 ) l u b ( 2 . 6 ) , ( 2 . 7 ) . Model podstawowy j e s t w ykorzysty w any w c e l u w y z n a c z a n ia s t e r o w a n i a (w u k ł a d z i e o tw artym ) bądź prawa s t e r o w a n i a (w u k ł a d z i e zamkniętym) m i n i m a l i z u j ą c e g o w sk a ź n ik j a k o ś c i :
x ( k ) = xffl( k ) + e ( k ) ( 2 . 1 3 )
i nie rów nościow ego o g r a n i c z e n i a na b łą d e ( k ) :
I N I < E ( 2 . 1 4 )
T
( 2 . 1 5 ) o
g d z i e :
L : Rn x Rm x [0, T] —► R, h : Rn— >R, T - dane
Zakładamy, że s p e ł n i o n e s ą n a s t ę p u j ą c e p o s t u l a t y :
A1. f o r a z I s ą d w u k ro t n ie r ó ż n i c z k o w a l n e w sposób c i ą g ł y względem u o r a z x i c i ą g ł e względem t , a h d w u k ro tn ie c i ą g l e r ó ż n ic z k o w a l n e względem x ( T ) .
A2. I s t n i e j e r o z w i ą z a n i e optym alne u ( t ) d l a r ó w n a n ia modelu ( 2 . 1 ) m in i
m a l i z u j ą c e w sk aź n ik ( 2 . 1 5 ) d l a x ( t ) = x m( t ) .
W p rzy p a d k u d ł u g i c h hory zo n tó w s t e r o w a n i a T— »00 z a k ł a d a ć będziemy do
datkowo :
A3. Model podstawowy i r o z s z e r z o n y s ą a s y m p to ty c z n ie g l o b a l n i e s t a b i l n e . P rz ed p r z y s t ą p i e n i e m do oceny wpływu n ie p e w n o ś c i na j a k o ś ć s t e r o w a n i a z d e f i n i u j e m y p o j ę c i e s t e r o w a n i a n om ina lne go.
D e f i n i c j a 2 . 1 .
S te r o w a n ie u ( t ) , t 6 [o, t] nazywamy nominalnym, j e ś l i m inim alizuje*, w skaźnik ( 2 . 1 5 ) d l a x ( t ) = xm( t ) danego równaniem modelu podstawowego ( 2 . 1 ) . Odpowiednio t r a j e k t o r i a x _ ( t ) w y n i k a j ą c a z t e g o s t e r o w a n i a o r a z o d p o w ia d a ją c a im w a r t o ś ć w s k a ź n ik a j a k o ś c i nazywane będą nom inalnym i. P r a wo s t e r o w a n i a P t a k i e , że u = P ( x ( t ) , t ) o w a r t o ś c i a c h równych s t e r o waniu nominalnemu u ( t ) d l a n o m in a ln e j t r a j e k t o r i i ( t z n . u ( t ) = P (x ffl( t ) , t ) ) nazywać będziemy nominalnym prawem s t e r o w a n i a . Układ s te r o w a n y p r z e z nomi
n a l n e s t e r o w a n i e u ( t ) l u b nom inalne prawo s t e r o w a n i a nazywany b ę d z i e układem n o m in a ln ie optymalnym odpowiednio otw artym l u b zamkniętym.
I l u s t r a c j ą d e f i n i c j i 2.1 j e s t r y s . 1.
Przyjmowane z a ł o ż e n i a A1 i A2 u m o ż l i w i a j ą k o r z y s t a n i e z w a r i a c y j n y c h warunków k o n ie c z n y c h o p ty m a ln o ś c i s t e r o w a n i a o r a z z r o z w i n i ę c i a w sk a ź n ik a j a k o ś c i i w y k o rz y s ty w a n i a p ie rw sz y c h dwóch wyrazów t e g o r o z w i n i ę c i a , c z y l i p i e r w s z e j i d r u g i e j w a r i a c j i w s k a ź n ik a .
A n a l i z a j a k o ś c i w warunkach n ie p e w n o ś c i może być ro zu m ian a dwojako:
po p ie r w s z e ja k o oc e n a wpływu n i e p e w n o ś c i , t z n . w i e l k o ś c i b ł ę d u a p r o k s y m a c j i na o d c h y łk ę od w a r t o ś c i n o m i n a l n e j ; po d r u g i e ja k o oce na wpływu n i e d o k ł a d n o ś c i modelu n a w a r t o ś ć w s k a ź n ik a , t z n . odch y łk ę od w a r t o ś c i o p t y m a ln e j d l a o b i e k t u .
Należy zauważyć, że a b s t r a h u j ą c od r ó ż n i c w t r u d n o ś c i a c h p r z y r o z w ią zywaniu każdego z ty c h problemów, wybór je d n e g o l u b d r u g ie g o sposobu o c e ny z a l e ż y od c e l u s ta w ia n e g o n a e t a p i e p r o j e k t o w a n i a u k ła d u s t e r o w a n i a . J e ż e l i celem j e s t o s i ą g n i ę c i e w a r t o ś c i w s k a ź n ik a b l i s k i e j w a r t o ś c i o p ty m a lnej d l a modelu podstawowego, wówczas i n t e r e s o w a ć n a s b ę d z i e p ie r w s z y sposób o c e n y . Należy z w r ó c i ć uwagę, że c z ę s t o w sk aź n ik j a k o ś c i n i e j e s t m ia r ą r z e c z y w i s t y c h k o sz tó w w u k ł a d z i e , l e c z s ta n o w i n a r z ę d z i e s y n t e z y wybrane d l a k o n k r e tn e g o modelu podstawowego [45] • Wówczas u ży tk o w n ik a i n t e r e s u j e oce na o d c h y ł k i od w a r t o ś c i n o m i n a l n e j , k t ó r ą powinno gwarantować mu z a s t o s o w a n i e s t e r o w a n i a n o m in a ln e g o . Z d r u g i e j s t r o n y , j e ś l i w skaźnik
j e s t r z e c z y w i s t ą m ia r ą k osz tów i celem s t e r o w a n i a j e s t u z y s k a n i e w a r t o ś c i
- 25 -
obiekt
bj P P |
T i r
Modei podstaw ow y
Xm M in 3 P O )
o b ie k t
br
X 1—S
1 M o d e i ro zs z e rz o n yRys. 1. Wyznaczanie i w y k o r z y s t a n i e s t e r o w a n i a nom inalnego a ) o r a z nomi
n a l n e g o prawa s t e r o w a n i a b )
F i g . 1 . D esign and use o f t h e nom inał c o n t r o l a ) and nom in ał s t r j a t e g y b )
o p ty m a ln e j w s k a ź n i k a , wówczas i s t o t n e j e s t o k r e ś l e n i e o d c h y ł k i od w a r t o ś c i o p ty m a ln e j wywołanej użyciem s te ro w a n ia ' n o m in a ln e g o . Ocena ty c h s t r a t j e s t a n a l o g i c z n a do s to s o w a n e j w [192] m ia r y w r a ż l i w o ś c i .
Oceny s t r a t d o k o n u je s i ę w s to s u n k u do f u n k c j o n a ł u j a k o ś c i o p t y m a l n e j , k t ó r y mcżna z d e f i n i o w a ć n a s t ę p u j ą c o .
D e f i n i c j a 2 . 2
F u n k c ja J ( v ) (o d p o w ie d n io J ( e ) ) nazywana j e s t f u n k c jo n a łe m o p ty m a l
n e j j a k o ś c i , j e ś l i o k r e ś l a ona z a l e ż n o ś ć m i n i m a l n e j w a r t o ś c i f u n k c j o n a ł u ( 2 . 1 5 ) d l a modelu r o z s z e r z o n e g o ( 2 . 3 ) (o d p o w ie d n io ( 2 . 1 ) , ( 2 . 6 ) ) od zmien
n e j nie p e w n e j v (o d p o w ied n io e ) .
_
AŁatwo zauważyć, że n o m in a ln a w a r t o ś ć w s k a ź n ik a j a k o ś c i J = J ( 0 ) . O zna c z a ją c p r z e z J ( v ) w a r t o ś ć w s k a ź n ik a j a k o ś c i d l a o b i e k t u s t e r o w a nego nominalnym s te r o w a n ie m , można wpływ w i e l k o ś c i n i e p e w n o ś c i o c e n i ć wy
r a ż e n ie m :
A J = | J( v ) - J ( 0 ) | ( 2 . 1 6 )
a s t r a t y spowodowane n i e d o k ł a d n o ś c i ą modelu - w y ra że n iem :
A J = J ( v ) - i ( v ) ( 2 . 1 7 )
Odpowiednio d l a zm ienne j nie p e w n e j e :
AJ = | J i e ) - J ( 0 ) | 1 2 . 1 8 )
o r a z
A J = J U ) - ¿ t e ) ( 2 . 1 9 )
S z c z e g ó l n i e p r o s t e r e z u l t a t y można o trzy m ać d l a problem u l i n i o w o - k w a d r a towego, k t ó r y ma i s t o t n e z n a c z e n i e p r a k t y c z n e zarówno ze w zględu na w ł a s n o ś c i r o z w i ą z a ń opty m aln ych ( n p . [74-] , [75] , [115] ) , p o p u l a r n o ś ć , u z a s a d n io n e z a s t o s o w a n i e ( n p . , [105] , [33] , [26] ) , Jak i m o ż liw o ś c i a n a l i t y c z n e go p r o j e k t o w a n i a r e g u l a t o r a [4] , [46] , [62] .
Nasze r o z w a ż a n i a rozpoczniem y od te g o p ro b le m u , tym b a r d z i e j , że j a k wspomniano, oceny dokonywać będziemy w ogólnym p rzy p a d k u ró w n ie ż p r z e z ap ro k sy m a c ję o c e n ia n y c h r ó ż n i c f u n k c jo n a łe m kwadratowym wynikającym z u w z g l ę d n i e n i a dwóch p ie rw s z y c h wyrazów r o z w i n i ę c i a ty c h r ó ż n i c .
2 . 2 . 2 . Problem lin i o w o - k w a d r a to w y ( s t a c j o n a r n y )
Zajmować s i ę będziemy z a g a d n i e n ie m , w którym model podstawowy ma p o s
t a ć :
*m = t ó m + Bu ( 2 ’ 2° )
g d z i e A o r a z B s ą m a cie rz am i s t a ł y m i odpow iednich wymiarów, n a t o m i a s t m in im alizowany w sk aź n ik j a k o ś c i ma p o s t a ć :
T
I = j ^ ( x T Qx + u T Ru ) d t ( 2 . 2 1 )
o
g d z i e Q, R s ą s t a ł y m i m a cie rz am i symetrycznymi odpow iednich wymiarów odpowiednio p ó ł d o d a t n i o i d o d a t n i o o k r e ś l o n ą . Z ak ład ać będz ie m y, że model ( 2 . 2 0 ) j e s t s t e r o w a l n y .
S te r o w a n ie nom inalne ma p o s t a ć ( p . n p . [ 4 ] ) :
u ( t ) = - R“ 1 BT K ( t ) x m( t )
a n o m in a ln a w a r t o ś ć w s k a ź n ik a :
J = j x T( 0 ) K ( 0 ) x ( 0 )
K ( t ) j e s t symetrycznym d o d a t n i o ok reślo n y m r o zw ią zan iem r ó w n a n ia R i c c a - t i e g o :
K + KA + ATK - K BR-1 BTK + Q = 0 (2 .2 2 )
Modele r o z s z e r z o n e mają odpowiednio p o s t a ć :
x = Ax + Bu + v ( 2 . 2 3 )
IMI ^ £
l u t ( 2 . 2 0 ) o r a z równanie w y j ś c i a :
x ( 2 . 2 4 )
( 2 . 2 5 )
P o s t a ć f u n k c j i f i L w p rzy p a d k u problem u lin io w o - k w a d r a to w e g o o r a z p r z y j ę t e z a ł o ż e n i a g w a r a n t u j ą s p e ł n i e n i e z a ł o ż e ń A1 i A2.
Z a ł o ż e n i e A3 d l a modelu o z n a c z a , że m a c i e r z A j e s t s t a b i l n a , t z n . ma w a r t o ś c i w ła s n e o ujemnych c z ę ś c i a c h r z e c z y w i s t y c h . Z a ł o ż e n i e t o n ie j e s t j e d n a k k o n i e c z n e , j e ś l i s t e r o w a n i e nom in aln e r e a l i z o w a n e j e s t w u k ł a d z i e zamkniętym. Wówczas w y s t a r c z y z a ł o ż e n i e o s t e r o w a l n o ś c i modelu i
X
w1o b se rw o w a ln o ś c i p a r y (A, Q ) , g d z i e Q o z n a c z a t a k ą m a c i e r z Q1 , że
= Q. Te z a ł o ż e n i a można z r e s z t ą j e s z c z e o s ł a b i ć [62] .
Problem s t a b i l n o ś c i modelu r o z s z e r z o n e g o j e s t b a r d z i e j z ł o ż o n y . J e ś l i v n i e z a l e ż y od s t e r o w a n i a , w aru n k i s t a b i l n o ś c i modelu podstawowego i r o z s z e r z o n e g o s ą t a k i e same. J e ś l i Je dnak v j e s t f u n k c j ą s t e r o w a n i a , to p r z y j m u j ą c , że ||v || < 'JplMI , można podać n a s t ę p u j ą c y l e m a t w y k o r z y s t u j ą c y metodę Lapunowa i s ta n o w ią c y n i e w i e l k i e r o z s z e r z e n i e warunków podanych w [139] .
LEMAT 2.1
J e ś l i model ( 2 . 2 0 ) j e s t s t a b i l n y , a 1? ^ £ dzi-e V0 s Pe ł ~
V A + ATVO <o I
t o model r o z s z e r z o n y ( 2 - 2 3 ) j e s t ró w n ież a s y m p t o t y c z n i e s t a b i l n y .
