• Nie Znaleziono Wyników

Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Projekt realizowany pod patronatem Dziekana Wydziału Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Jagiellońskiego.

Zestaw 8

GIMNAZJUM 1. Udowodnij, że jeżeli 𝑥2+ 1

𝑥2 jest liczbą całkowitą, to również 𝑥4+ 1

𝑥4 jest liczbą całkowitą.

2. Dane są dwa okręgi, przecinające się w punktach 𝐴 i 𝐵. Przez punkt 𝐴 poprowadzono sieczną obu okręgów, przecinającą pierwszy z nich w punktach 𝐴 i 𝐾, zaś drugi w punktach 𝐴 i 𝐿. Analogicznie przez punkt 𝐵 poprowadzono sieczną przecinającą oba okręgi odpowiednio w punktach 𝑀 i 𝐵 oraz 𝑁 i 𝐵.

Udowodnij, że odcinki 𝐾𝑀 i 𝐿𝑁 są równoległe.

3. Danych jest 111 dodatnich liczb całkowitych. Wykaż, że spośród nich można wybrać 11 takich liczb, których suma jest podzielna przez 11.

LICEUM

1. Miara każdego kąta sześciokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 jest równa 120 . Udowodnij, że symetralne odcinków 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 i 𝐸𝐹 przecinają się w jednym punkcie.

2. Uzasadnij, że dla dowolnego 𝑚 całkowitego ułamek 14𝑚+321𝑚+4 jest nieskracalny.

3. Wykaż, że obraz ortocentrum trójkąta w symetrii osiowej względem prostej zawierającej dowolny bok trójkąta należy do okręgu opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązania należy oddać do piątku 20 lutego do godziny 12.30 koordynatorowi konkursu panu Jarosławowi Szczepaniakowi lub swojemu nauczycielowi matematyki.

Na stronie internetowej szkoły w zakładce Konkursy i olimpiady można znaleźć wyniki dotychczasowych rund i rozwiązania zadań.

Cytaty

Powiązane dokumenty

b) pierwsz¡ kart¡ nie byªa dama, a drug¡ byªa karta koloru tre, c) obie karty byªy tego samego koloru... Zad 3. Rzucamy po kolei trzy

a) Pole działki pana Zbyszka jest równe ……… m 2. b) Długość boku działki pana Zbyszka jest równa ……….. c) Obwód działki pana Jana jest równy: ………m. ). Za pomocą cyfr

Jeśli natomiast wynik 4 otrzymamy dodając cztery jedynki stojące w pewnej kolumnie, to sumę 0 możemy uzyskać jedynie dodając cztery zera w innej kolumnie.. Wobec tego drugą sumę

6. Przy okrągłym stole usiadło osiem dziewcząt i ośmiu chłopców. Jaka jest szansa, że osoby tej samej płci nie siedzą obok siebie? Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzy

• cz¦±¢ pierwsza: nale»y j¡ rozwi¡za¢ samodzielnie przed zaj¦ciami; jedynie pojedyncze zadania z tej cz¦±ci b¦d¡ rozwi¡zywane podczas ¢wicze«;?. • cz¦±¢ druga: zadania

Hipoteza Goldbacha (1742) (I) Każda liczba naturalna wi¸eksza niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pier- wszych.. (II) Każda liczba parzysta wi¸eksza niż 2

Hipoteza Goldbacha (1742) (I) Każda liczba naturalna wi¸eksza niż 5 może być przedstawiona w postaci sumy trzech liczb pier- wszych.. (II) Każda liczba parzysta wi¸eksza niż 2

Z twierdzenia 1.1 wynika, że q jest dzielnikiem liczby −1, więc jest równe ±1, a to oznacza, że liczba x jest całkowita. Zaznaczyć wypada, że to czy jakaś liczba jest