Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny dla klasy IIBg LO - zakres rozszerzony

(1)

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny dla klasy IIBg LO - zakres rozszerzony

1. PLANIMETRIA

Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą , jeśli:

• rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne

• stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

• sprawdza, czy z trzech odcinków o danych długościach można zbudować trójkąt

• uzasadnia przystawanie trójkątów, wykorzystując cechy przystawania

• uzasadnia podobieństwo trójkątów, wykorzystując cechy podobieństwa

• zapisuje proporcje boków w trójkątach podobnych

• stosuje twierdzenie Pitagorasa

• wykorzystuje wzory na przekątną kwadratu i wysokość trójkąta równobocznego

• oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, gdy dane są boki tego trójkąta

• rozwiązuje trójkąty prostokątne

• stosuje w zadaniach wzór na pole trójkąta: oraz wzór na pole trójkąta równobocznego

o boku a:

• podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º

• rozróżnia czworokąty: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez oraz zna ich własności

• wykorzystuje w zadaniach wzory na pola czworokątów

Uczeń otrzymuje ocenę dostateczną jeśli spełnił wymagania na ocenę dopuszczającą oraz dodatkowo:

• wykorzystuje cechy przystawania trójkątów do rozwiązywania zadań

• wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania zadań

• sprawdza, czy dane figury są podobne

• oblicza długości boków figur podobnych

• posługuje się pojęciem skali do obliczania odległości i powierzchni przedstawionych za pomocą planu lub mapy

• stosuje w zadaniach twierdzenie o stosunku pól figur podobnych

• wskazuje w wielokątach odcinki proporcjonalne

• rozwiązuje proste zadania, wykorzystując twierdzenie Talesa

• odczytuje z tablic wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego

• znajduje w tablicach kąt ostry, gdy zna wartość jego funkcji trygonometrycznej

• oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając dany sinus lub cosinus kąta

• wykorzystuje funkcje trygonometryczne do obliczania obwodów i pól podstawowych figur płaskich Uczeń otrzymuje ocenę dobrą jeśli spełnił wymagania na ocenę dostateczną oraz dodatkowo:

• przeprowadza dowód twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie

• stosuje cechy przystawania trójkątów do rozwiązywania trudniejszych zadań geometrycznych

• wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania praktycznych problemów

• oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając dany tangens lub cotangens kąta

• stosuje podczas rozwiązywania zadań wzór na pole trójkąta

Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą jeśli spełnił wymagania na ocenę dobrą oraz dodatkowo:

• wyprowadza wzór na jedynkę trygonometryczną oraz pozostałe związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

• przekształca wyrażenia trygonometryczne, stosując związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

ah

P 2

= 1

4

2 3 P= a

g 2 sin 1ab P=

(2)

Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poprzednich poziomów oraz:

• przeprowadza dowód twierdzenia Talesa

• przeprowadza dowód twierdzenia Pitagorasa

• stosuje twierdzenia o związkach miarowych podczas rozwiązywania zadań, które wymagają przeprowadzenia dowodu

• rozwiązuje zadania wymagające uzasadnienia i dowodzenia z zastosowaniem twierdzenia Talesa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa

• stosuje własności podobieństwa figur podczas rozwiązywania zadań problemowych oraz zadań wymagających przeprowadzenia dowodu

• stosuje własności czworokątów podczas rozwiązywania zadań, które wymagają przeprowadzenia dowodu

• rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące przystawania i podobieństw figur oraz związków miarowych z zastosowaniem trygonometrii

2. GEOMETRIA ANALITYCZNA

• oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych

• wyznacza współrzędne środka odcinka, mając dane współrzędne jego końców

• wyznacza środek i promień okręgu, mając jego równanie

• opisuje równaniem okrąg o danym środku i przechodzący przez dany punkt

• określa, ile punktów wspólnych mają prosta i okrąg przy danych warunkach

• sprawdza, czy punkt należy do danego okręgu (koła)

• sprawdza, czy wektory mają ten sam kierunek i zwrot

• wykonuje działania na wektorach

• stosuje działania na wektorach do badania współliniowości punktów

• wyznacza współrzędne punktów w danej symetrii osiowej lub środkowej

• rozpoznaje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne

• oblicza odległość punktu od prostej

• oblicza pole figury stosując zależności między okręgami stycznymi

• określa, ile punktów wspólnych mają prosta i okrąg przy danych warunkach

• opisuje koło w układzie współrzędnych

• podaje, w prostych przypadkach, geometryczną interpretację rozwiązania układu nierówności stopnia drugiego

• stosuje działania na wektorach do podziału odcinka

• wyznacza współrzędne punktów w danej jednokładności

Uczeń otrzymuje ocenę dobrą jeśli spełnił wymagania na ocenę dostateczną oraz dodatkowo:

• stosuje własności stycznej do okręgu do rozwiązywania zadań

• stosuje wzory na odległość między punktami i środek odcinka do rozwiązywania zadań dotyczących równoległoboków

• sprawdza, czy dane równanie jest równaniem okręgu

• stosuje równanie okręgu w zadaniach

• wyznacza wartość parametru tak, aby równanie opisywało okrąg

• stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej

• stosuje działania na wektorach oraz ich interpretację geometryczną w zadaniach

• opisuje układem nierówności przedstawiony podzbiór płaszczyzny

• stosuje własności jednokładności w zadaniach

(3)

• wyprowadza wzór na odległość punktu od prostej

• wykorzystuje działania na wektorach do dowodzenia twierdzeń

3. WIELOMIANY

• podaje przykłady wielomianów, określa ich stopień i podaje wartości ich współczynników

• zapisuje wielomian w sposób uporządkowany

• oblicza wartość wielomianu dla danego argumentu; sprawdza, czy dany punkt należy do wykresu danego wielomianu

• wyznacza sumę, różnicę, iloczyn wielomianów i określa ich stopień

• oblicza wartość wielomianu dwóch (trzech) zmiennych dla danych argumentów

• stosuje wzory na kwadrat i sześcian sumy i różnicy oraz wzór na różnicę kwadratów do wykonywania działań na wielomianach oraz do rozkładu wielomianu na czynniki

• rozkłada wielomian na czynniki, stosując metodę grupowania wyrazów i wyłączania wspólnego czynnika poza nawias

• dzieli wielomian przez dwumian

• sprawdza poprawność wykonanego dzielenia

• sprawdza podzielność wielomianu przez dwumian bez wykonywania dzielenia

• określa, które liczby mogą być pierwiastkami całkowitymi lub wymiernymi wielomianu

• wyznacza pierwiastki wielomianu i podaje ich krotność, mając dany wielomian w postaci iloczynowej

• rozwiązuje równania wielomianowe

• szkicuje wykres wielomianu będącego sumą jednomianów stopnia pierwszego i drugiego

• określa stopień iloczynu wielomianów bez wykonywania mnożenia

• oblicza wartość wielomianu dwóch (trzech) zmiennych dla danych argumentów

• stosuje wzory na sumę i różnicę sześcianów

• zapisuje wielomian w postaci

• sprawdza, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu i wyznacza pozostałe pierwiastki

• wyznacza pierwiastki wielomianu i podaje ich krotność, mając dany wielomian w postaci iloczynowej

• znając stopień wielomianu i jego pierwiastek, bada, czy wielomian ma inne pierwiastki oraz określa ich krotność

• wyznacza punkty przecięcia się wykresu wielomianu i prostej

• szkicuje wykres wielomianu, mając daną jego postać iloczynową

• dobiera wzór wielomianu do szkicu wykresu

• rozwiązuje nierówności wielomianowe, korzystając ze szkicu wykresu lub wykorzystując postać iloczynową wielomianu

• opisuje wielomianem zależności dane w zadaniu i wyznacza jego dziedzinę

• wyznacza współczynniki wielomianu, mając dane warunki

• rozkłada wielomian na czynniki możliwie najniższego stopnia

• stosuje rozkład wielomianu na czynniki w zadaniach różnych typów

• wyznacza iloraz danych wielomianów

• wyznacza resztę z dzielenia wielomianu, mając określone warunki

• porównuje wielomiany

• rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe wymagające rozkładu na czynniki z zastosowaniem twierdzenia o współczynnikach całkowitych.

• szkicuje wykres wielomianu, wyznaczając jego pierwiastki

• wykonuje działania na zbiorach określonych nierównościami wielomianowymi a

x-

a x-

r x q x p x

w( )= ( ) ( )+

(4)

• stosuje wielomiany wielu zmiennych w zadaniach różnych typów

• stosuje wzór:

• analizuje i stosuje metodę podaną w przykładzie, aby rozłożyć dany wielomian na czynniki

• sprawdza podzielność wielomianu przez wielomian bez wykonywania dzielenia

• rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące pierwiastków wielokrotnych

• stosuje nierówności wielomianowe do wyznaczenia dziedziny funkcji zapisanej za pomocą pierwiastka

• rozwiązuje zadania z parametrem

• opisuje za pomocą wielomianu objętość lub pole powierzchni bryły oraz określa dziedzinę powstałej w ten sposób funkcji

• rozwiązuje zadania z parametrem, o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące wyznaczania reszty z dzielenia wielomianu przez np. wielomian stopnia drugiego

• stosuje równania i nierówności wielomianowe do rozwiązywania zadań praktycznych

• przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących wielomianów, np. twierdzenia Bézouta, twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianów

4. FUNKCJE WYMIERNE

• wskazuje wielkości odwrotnie proporcjonalne

• wyznacza współczynnik proporcjonalności

• podaje wzór proporcjonalności odwrotnej, znając współrzędne punktu należącego do wykresu

• szkicuje wykres funkcji ( także w podanym zbiorze), gdzie i podaje jej własności (dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności)

• przesuwa wykres funkcji , gdzie o wektor i podaje jej własności

• podaje współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć wykres funkcji , gdzie , aby

otrzymać wykres

• wyznacza asymptoty wykresu funkcji homograficznej

• wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego

• oblicza wartość wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej

• skraca i rozszerza wyrażenia wymierne

• rozwiązuje proste równania wymierne

• dobiera wzór funkcji do jej wykresu

• przekształca wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej w prostych przypadkach

• wykonuje działania na wyrażeniach wymiernych i podaje odpowiednie założenia

• rozwiązuje równania wymierne

• wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania tekstowych

• wyznacza ze wzoru dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej

• rozwiązuje zadania tekstowe, stosując proporcjonalność odwrotną

• wyznacza równania osi symetrii i współrzędne środka symetrii hiperboli opisanej równaniem

• przekształca wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej

• szkicuje wykresy funkcji homograficznych i określa ich własności

(

¹

) (

^... ¹

)

1= - ¹ + +

- ⁿ^-

n a a

a

) )(

(x- p x-q

x x a

f( )= a¹0

x x a

f( )= a¹0

x x a

f( )= a¹0

p q x x a

g +

= - ) (

(5)

• wyznacza wzór funkcji homograficznej spełniającej podane warunki

• przekształca wzory, stosując działania na wyrażeniach wymiernych

• rozwiązuje równania i nierówności wymierne

• stosuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania prostych równań i nierówności wymiernych

• rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące funkcji homograficznej

• szkicuje wykresy funkcji , , , gdzie jest funkcją

homograficzną i opisuje ich własności

• wykonuje działania na wyrażeniach wymiernych i podaje odpowiednie założenia

• rozwiązuje układy nierówności wymiernych

• wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania trudniejszych zadań tekstowych

• rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące funkcji wymiernej

• stosuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności wymiernych

• zaznacza w układzie współrzędnych zbiory punktów spełniających określone warunki Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poprzednich poziomów oraz:

• stosuje własności hiperboli do rozwiązywania zadań

• stosuje funkcje wymierne do rozwiązywania zadań z parametrem o

5. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

• zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe

• wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na jego końcowym ramieniu

• określa znaki funkcji trygonometrycznych danego kąta

• oblicza wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90°, 120°, 135°, 225°

• określa, w której ćwiartce układu współrzędnych leży końcowe ramię kąta, mając dane wartości funkcji trygonometrycznych

• zamienia miarę stopniową na łukową i odwrotnie

• stosuje tożsamości trygonometryczne

• dowodzi proste tożsamości trygonometryczne, podając odpowiednie założenia

• oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, znając wartość funkcji sinus lub cosinus

• wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów z zastosowaniem wzorów redukcyjnych

• posługuje się tablicami lub kalkulatorem do wyznaczenia kąta, przy danej wartości funkcji trygonometrycznej

• odczytuje okres podstawowy funkcji na podstawie jej wykresu

• szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych w danym przedziale i określa ich własności

• szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując przesunięcie o wektor i określa ich własności

• szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując symetrię względem osi układu współrzędnych oraz symetrię względem początku układu współrzędnych i określa ich własności

• szkicuje wykresy funkcji oraz , gdzie jest funkcją trygonometryczną i określa ich własności

• wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów z zastosowaniem wzorów na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów

• stosuje wzory na funkcje trygonometryczne kąta podwojonego

• wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów z zastosowaniem wzorów redukcyjnych

• rozwiązuje proste równania i nierówności trygonometryczne

• oblicza wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: – 90°, 315°, 1080°

) (x f

y= y= f( x) y= f( x) y= f(x)

) (x af

y= y= f(x) y= f(x)

(6)

• stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań

• oblicza wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów

• wyznacza kąt, mając daną wartość jednej z jego funkcji trygonometrycznych

• wykorzystuje własności funkcji trygonometrycznych do obliczenia wartości tej funkcji dla danego kąta

• oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, znając wartość funkcji tangens lub cotangens Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą jeśli spełnił wymagania na ocenę dobrą oraz dodatkowo:

• szkicuje wykres funkcji okresowej

• stosuje okresowość funkcji do wyznaczania jej wartości

• szkicuje wykresy funkcji oraz , gdzie jest funkcją trygonometryczną i określa ich własności

• na podstawie wykresów funkcji trygonometrycznych szkicuje wykresy funkcji, będące efektem wykonania kilku operacji oraz określa ich własności

• stosuje wzory na funkcje trygonometryczne kąta podwojonego do przekształcania wyrażeń, w tym również do uzasadniania tożsamości trygonometrycznych

• stosuje związki między funkcjami trygonometrycznymi do rozwiązywania równań i nierówności trygonometrycznych

• wyprowadza wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów oraz na funkcje kąta podwojonego

6. CIĄGI LICZBOWE

• wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego początkowych wyrazów

• szkicuje wykres ciągu

• wyznacza wzór ogólny ciągu, mając danych kilka jego początkowych wyrazów

• wyznacza, które wyrazy ciągu przyjmują daną wartość

• podaje przykłady ciągów monotonicznych, których wyrazy spełniają dane warunki

• bada, w prostszych przypadkach, monotoniczność ciągu

• wyznacza wyraz ciągu określonego wzorem ogólnym

• wyznacza wzór ogólny ciągu będącego wynikiem wykonania działań na danych ciągach w prostych przypadkach

• podaje przykłady ciągów arytmetycznych

• wyznacza wyrazy ciągu arytmetycznego, mając dany pierwszy wyraz i różnicę

• wyznacza wzór ogólny ciągu arytmetycznego, mając dane dowolne dwa jego wyrazy

• stosuje średnią arytmetyczną do wyznaczania wyrazów ciągu arytmetycznego

• sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny (proste przypadki)

• oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

• podaje przykłady ciągów geometrycznych

• wyznacza wyrazy ciągu geometrycznego, mając dany pierwszy wyraz i iloraz

• wyznacza wzór ogólny ciągu geometrycznego, mając dane dowolne dwa jego wyrazy

• sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny (proste przypadki)

• oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

• oblicza wysokość kapitału przy różnym okresie kapitalizacji

• wyznacza początkowe wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym oraz ciągu określonego rekurencyjnie

• podaje przykłady ciągów monotonicznych, których wyrazy spełniają dane warunki

• uzasadnia, że dany ciąg nie jest monotoniczny, mając dane jego kolejne wyrazy

• bada monotoniczność sumy i różnicy ciągów

• oblicza, oprocentowanie lokaty i okres oszczędzania

• bada na podstawie wykresu, czy dany ciąg ma granicę i w przypadku ciągu zbieżnego podaje jego granicę

• bada, ile wyrazów danego ciągu jest oddalonych od liczby o podaną wartość oraz ile jest większych (mniejszych) od danej wartości (proste przypadki)

) (ax f

y= ^y⁼ ^f

( )

^x ^y⁼ ^f^(x⁾

+1

an

(7)

• podaje granicę ciągów dla q oraz dla k > 0

• rozpoznaje ciąg rozbieżny na podstawie wykresy i określa, czy ma on granicę niewłaściwą, czy nie ma granicy

• oblicza, granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach ciągów zbieżnych i rozbieżnych (proste przypadki)

• podaje twierdzenie o rozbieżności ciągów: dla q > 0 oraz n^k dla k > 0

• sprawdza, czy dany szereg geometryczny jest zbieżny

• oblicza sumę szeregu geometrycznego w prostych przypadkach

• wyznacza wzór ogólny ciągu spełniającego podane warunki

• bada monotoniczność ciągów

• bada monotoniczność iloczynu i ilorazu ciągów

• sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny

• sprawdza, czy dany ciąg jest geometryczny

• rozwiązuje równania z zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego

• wyznacza wartości zmiennych tak, aby wraz z podanymi wartościami tworzyły ciąg arytmetyczny i geometryczny

• stosuje średnią geometryczną do rozwiązywania zadań

• określa monotoniczność ciągu arytmetycznego i geometrycznego

• rozwiązuje zadania związane z kredytami dotyczące okresu oszczędzania i wysokości oprocentowania

• stosuje własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego w zadaniach

• stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego w zadaniach Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą jeśli spełnił wymagania na ocenę dobrą oraz dodatkowo:

• rozwiązuje zadania związane ze wzorem rekurencyjnym ciągu

• rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące monotoniczności ciągu

• bada, ile wyrazów danego ciągu jest oddalonych od liczby o podaną wartość oraz ile jest większych (mniejszych) od danej wartości

• oblicza, granice ciągów, korzystając z twierdzeń o granicach ciągów zbieżnych i rozbieżnych

• stosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym

• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące ciągów, w szczególności monotoniczności ciągu

• oblicza granice ciągów, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach

7. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY

• uzasadnia w prostych przypadkach, że funkcja nie ma granicy w punkcie

• oblicza granice funkcji w punkcie, korzystając z twierdzeń o granicach

• oblicza granice jednostronne funkcji w punkcie

• oblicza granice niewłaściwe jednostronne w punkcie i granice w punkcie

• oblicza granice funkcji w nieskończoności

• wyznacza równania asymptot pionowych i poziomych wykresu funkcji

• sprawdza ciągłość nieskomplikowanych funkcji w punkcie

• stosuje interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznaczenia współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicza kąt, jaki ta styczna tworzy z osią OX

• korzysta ze wzorów (c)' = 0, (x)' = 1, (x²)' = 2x oraz (x³)' = 3x² do wyznaczenia funkcji pochodnej oraz wartości pochodnej w punkcie

qn Î

(

-1;1

)

_k

n 1

qn

(8)

• korzysta z własności pochodnej do wyznaczenia przedziałów monotoniczności funkcji

• podaje ekstremum funkcji, korzystając z jej wykresu

• wyznacza ekstrema funkcji stosując warunek konieczny istnienia ekstremum

• uzasadnia, że dana funkcja nie ma ekstremum

• wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale domkniętym i

• zna i stosuje schemat badania własności funkcji

• uzasadnia, także na odstawie wykresu, że funkcja nie ma granicy w punkcie

• uzasadnia, że dana liczba jest granicą funkcji w punkcie

• oblicza granicę funkcji w punkcie

• oblicza granice funkcji w punkcie, stosując własności granic funkcji sinus i cosinus w punkcie

• oblicza granice w punkcie, także niewłaściwe

• oblicza w granice funkcji w nieskończoności

• wyznacza równania asymptot pionowych i poziomych wykresu funkcji

• sprawdza ciągłość funkcji

• wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja jest ciągła w danym punkcie lub zbiorze

• oblicza pochodną funkcji w punkcie

• stosuje interpretację geometryczną pochodnej funkcji w punkcie do wyznaczenia współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji w punkcie i oblicza kąt, jaki ta styczna tworzy z osią OX

• uzasadnia istnienie pochodnej w punkcie

• korzysta ze wzorów (xⁿ)' = nx^{n – 1} dla i x ≠ 0 oraz dla x ≥ 0 do wyznaczenia funkcji pochodnej oraz wartości pochodnej w punkcie

• wyprowadza wzory na pochodną sumy i różnicy funkcji

• wyznacza przedziały monotoniczności funkcji

• uzasadnia monotoniczność funkcji w danym zbiorze

• wyznacza wartości parametrów tak, aby funkcja była monotoniczna

• wyznacza ekstrema funkcji stosując warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum

• uzasadnia, że funkcja nie ma ekstremum

• wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale domkniętym i stosuje do rozwiązywania trudniejszych zadań w tym optymalizacyjnych

• bada własności funkcji i szkicuje jej wykres

• stosuje pochodną do wyznaczenia prędkości oraz przyspieszenia poruszających się ciał

• oblicza pochodną funkcji w punkcie, korzystając z definicji

• szkicuje wykres funkcji na podstawie jej własności

• stosuje twierdzenie o związku między wartościami granic jednostronnych w punkcie a granicą funkcji w punkcie

• wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja jest ciągła w danym punkcie lub zbiorze Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poprzednich poziomów oraz:

• wyprowadza wzory na pochodną iloczynu i ilorazu funkcji

• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące rachunku różniczkowego

8. PLANIMETRIA

• podaje i stosuje wzory na długość okręgu, długość łuku, pole koła i pole wycinka koła

• rozpoznaje kąty wpisane i środkowe w okręgu oraz wskazuje łuki, na których są one oparte

• stosuje, w prostych przypadkach, twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym, opartych na tym samym łuku oraz twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą okręgu

• rozwiązuje zadania dotyczące okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

• rozwiązuje zadania związane z okręgiem opisanym na trójkącie prostokątnym lub równoramiennym )

(x f y=

} 0 {

\ C

nÎ

( )

x x 2 '= 1

(9)

• określa własności czworokątów i stosuje je do rozwiązywania prostych zadań

• sprawdza, czy w dany czworokąt można wpisać okrąg

• sprawdza, czy na danym czworokącie można opisać okrąg

• stosuje twierdzenie o okręgu opisanym na czworokącie i wpisanym w czworokąt do rozwiązywania prostszych zadań także o kontekście praktycznym

• stosuje twierdzenie sinusów do wyznaczenia długości boku trójkąta, miary kąta lub długości promienia okręgu opisanego na trójkącie

• stosuje twierdzenie cosinusów do wyznaczenia długości boku lub miary kąta trójkąta Uczeń otrzymuje ocenę dobrą jeśli spełnił wymagania na ocenę dostateczną oraz dodatkowo:

• stosuje twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym, opartych na tym samym łuku oraz twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą okręgu do rozwiązywania zadań o większym stopniu trudności

• rozwiązuje zadania związane z okręgiem wpisanym w dowolny trójkąt i opisanym na dowolnym trójkącie

• stosuje własności środka okręgu opisanego na trójkącie w zadaniach z geometrii analitycznej Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą jeśli spełnił wymagania na ocenę dobrą oraz dodatkowo:

• stosuje różne wzory na pole trójkąta i przekształca je

• stosuje własności czworokątów wypukłych oraz twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i wpisanym w czworokąt do rozwiązywania trudniejszych zadań z planimetrii

• stosuje twierdzenie sinusów i cosinusów do rozwiązywania trójkątów także o kontekście praktycznym Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poprzednich poziomów oraz:

• dowodzi twierdzenia dotyczące kątów w okręgu

• dowodzi wzory na pole trójkąta

• dowodzi twierdzenia dotyczące okręgu wpisanego w wielokąt

• przeprowadza dowód twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów

• rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące zastosowania twierdzenia sinusów icosinusów