Pole magnetyczne w otoczeniu jednobiegunowych osłonietych torów wielkoprądowych

ZESZYTY NAUKOWE

POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ

Zygmunt PIĄTEK I? 3 m ^('99

POLE MAGNETYCZNE W OTOCZENIU JEDNOBIEGUNOWYCH OSŁONIĘTYCH TORÓW WIELKOPRĄDOWYCH

E L E K T R Y K A

Z. 166

GLIWICE 1999

8

P O L I T E C H N I K A Ś L Ą S K A

Z ygm u n t P IĄ T E K

POLE M AGNETYCZNE W OTOCZENIU JED NO BIEG UNO W YCH O SŁO NIĘTYCH TO RÓ W W IELK O PRĄDO W YCH

GLIWICE 1999

O PIN IO D A W C Y

% Prof. df.hab. inż. A ndrzej Jordan

; | inż. K rystyn P aw luk

W ^ i W

K O L E G IU M R E D A K C Y JN E

R E D A K T O R N A C Z E L N Y - Prof. dr hab. Z y g m u n t K leszczew ski R E D A K T O R D Z IA Ł U - Doc. dr inż. Z ofia C ichow ska S E K R E T A R Z R E D A K C JI - M gr E lżbieta L eśko

R E D A K C JA M gr K azim iera S zafir

R E D A K C JA T E C H N IC Z N A A licja N ow acka

W ydano za zg o d ą R ektora P olitechniki Śląskiej

PL ISSN 0072-4688

W ydaw nictw o P olitechniki Śląskiej ul. A kadem icka 5 ,4 4 -1 0 0 G liw ice

tel./fax 237-13-81

N ak ład 110+83 egz. A rk. w yd. 14. A rk. dru k . 12,25. P a p ier o ffset, kl. III 70 x 1 0 0 80 g Oddano i podpisano do druku 10.06.1999 r. Druk ukończono w czerwcu 1999 r.

Zam. 16/99

F o tokopie, dru k i o p raw ę w y konano w U K iP sc, J& D. G ąbka, G liw ice, ul. P szczy ń sk a 44, tel./fax 231-87-09

SPIS TREŚCI

WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ ... 9

1. WSTĘP ... 11

1.1. Tory wielkoprądowe o przewodach szynowych osłoniętych ... 11

1.2. Badania i obliczenia przewodów osłoniętych ... 13

1.3. Cel i zakres pracy ... 14

2. RÓWNANIA CAŁKOWE ... 18

2.1. Równanie całkowe dla przewodu odosobnionego ... 18

2.2. Równania całkowe dla układu Nc przewodów równoległych ... 22

3 WEKTOROWY POTENCJAŁ MAGNETYCZNY PRZEWODÓW RUROWYCH ... 28

3.1. Potencjał m agnetyczny przew od u rurow ego - m etod a analityczna ... 28

3.2 Potencjał magnetyczny niewspółosiowego układu dwóch rurowych przewodów równoległych ... 31

3.3. Potencjał magnetyczny układu A t przewodów równoległych - metoda analityczno-numeryczna ... 33

3.3.1. A proksym acja w e k to r o w e g o potencjału m agnetyczn ego ... 33

3.3.2. Funkcja kształtu ... 35

3.3.2.1. Prostokątny obszar elementarny ... 36

3.3 .2.2. Obszar elementarny przewodu walcowego i rurowego ... 37

3.3.2.3. Trójkątny obszar elementarny ... 39

3.3.3. Aproksymacja gęstości prądu funkcjami sklejanymi ... 45

4. IMPEDANCJE JEDNOBIEGUNOW EGO TORU WIELKOPRĄDOWEGO ... 53

4.1. Impedancja własna przewodu odosobnionego ... 53

4.2. Impedancje własne i wzajemne układu Nc przewodów równoległych ... 55

4.3. Impedancja przewodu rurowego ... 56

4.3.1. Impedancja przewodu rurowego bez uwzględnienia zjawiska naskórkowości ... 56

4.3.2. Impedancja przewodu rurowego z uwzględnieniem zjawiska naskórkowości i... 58

4.4. Impedancje układu współosiowego dwóch przewodów rurowych ... 62

4.4.1. Impedancje układu współosiowego dwóch przewodów rurowych bez uwzględnienia zjawisk naskórkowości i zbliżenia ... 63

4.4.2. Impedancje układu współosiowego dwóch przewodów rurowych z uwzględnieniem zjawisk naskórkowości i zbliżenia ... 67

4.5. Impedancje niewspółosiowego układu dwóch rurowych przewodów równoległych ... 79

4.5.1. Impedancje niewspółosiowego układu dwóch rurowych przewodów rów n oległych bez uw zględnienia zjaw isk nask órkow ości i zbliżenia ... 81

- 4 -

4.5.2. Impedancje niewspółosiowego układu dwóch rurowych przewodów

równoległych z uwzględnieniem zjawisk naskórkowości i zbliżenia ... 83

4.6. Całkowite impedancje własne przewodów fazowych i osłon trójfazowego, jednobiegunowego toru w ielkoprądowego ... 89

4.7. Analityczno-numeryczne obliczanie impedancji układu Nc przewodów równoległych ... 90

5. POLE M AGNETYCZNE W OTOCZENIU O SŁONIĘTYCH TORÓW PRĄDOW YCH ... 93

5.1. Analityczne wyznaczanie pola magnetycznego ... 93

5.1.1. Pole magnetyczne w otoczeniu jednobiegunowego, jednofazowego, osłoniętego toru prądow ego ... 94

5.1.2. Pole magnetyczne w otoczeniu fazy A ... 99

5.1.3. Pole magnetyczne w otoczeniu fazy B ... 101

5.1.4. Pole magnetyczne w otoczeniu fazy C ... 103

5.2. Analityczno-numeryczne obliczanie pola magnetycznego ... 104

5.3 . Eliptyczne pole magnetyczne ... 106

6 . POLE MAGNETYCZNE W ŚRODOWISKACH O NIEJEDNORODNOŚCI ELEKTRYCZNEJ I M AGNETYCZNEJ ... 110

6.1. Potencjał wektorowy ferromagnetyka ... 110

6.1.1. Aproksymacja wektorowego potencjału magnetycznego ferromagnetyka ... 113

6.2. Równania całkowe dla odosobnionego ferromagnetyka ... 116

6.3. Impedancja odosobnionego ferromagnetyka ... 122

6.4. Pole magnetyczne odosobnionego ferromagnetyka ... 125

6.5. Układ A t równoległych ferromagnetyków ... 126

7 POLE M AGNETYCZNE W OTOCZENIU W YBRANYCH UKŁADÓW O SŁONIĘTYCH TORÓW PRĄDOW YCH ... 132

7.1. Pole magnetyczne w otoczeniu jednobiegunowego, jednofazowego, osłoniętego toru prądow ego ... 133

7.1.1. Jednobiegunowy, jednofazowy tor prądow y z izolow aną osłoną ... 133

7.1.2. Jednobiegunowy, jednofazowy tor prądow y ze zw artą osłoną ... 137

7.2. Pole magnetyczne w otoczeniu płaskiego, jednobiegunowego, osłoniętego, trójfazowego toru prądow ego ... 142

7.2.1. Pole magnetyczne w otoczeniu płaskiego toru prądow ego z izolowanymi osłonami ... 142

7.2.2. Pole magnetyczne w otoczeniu płaskiego toru prądow ego z osłonami zwartymi między so b ą na ich końcach i izolowanymi od ziemi ... 146

7.2.3. Pole magnetyczne w otoczeniu płaskiego toru prądow ego ze zwartymi między so b ą i uziemionymi osłonami ... 149

7.2.4. Pole magnetyczne w otoczeniu płaskiego toru prądow ego z rów noległą płytą przew odzącą ... 159

7.2.5. Pole magnetyczne w otoczeniu płaskiego toru prądow ego z prostopadłą płytą przew odzącą ... 162

7.3. Pole magnetyczne w otoczeniu trójkątnego, jednobiegunowego, trójfazowego toru prądow ego ... 165

8 UWAGI KOŃCOWE I WNIOSKI ... 167

LITERATURA ... 172

ZAŁĄCZNIKI ... 180

Z. 1. Całki określające funkcję kształtu . Fpl(x,Y'ps,Yps,Yps) ... 180

Z.2. Całki określające funkcję kształtu . Fpsk ( x , Y ps,Yp,,Y ps) ... 183

Z.3. Pochodne f ix, / 3„ funkcji kształtu . Fps( X ) ... 186

STRESZCZENIA ... 195 - 5 -

CONTENTS

LIST OF PRINCIPAL SYMBOLS ... 9

1. INTRODUCTION ... 11

1.1. H igh-current isolated-phase busducts ... 11

1.2. Research and calculations o f isolated-phase busducts ... 13

1.3. Aims and scope o f the paper ... 14

2. INTEGRAL EQUATIONS ... 18

2.1. Integral equation for the separated conductor ... 18

2 .2 . Integral equations for the system o f N c parallel conductors ... 22

3. MAGNETIC VECTOR POTENTIAL OF TUBULAR CONDUCTORS ... 28

3 .1. Magnetic potential o f the tubular conductor - analytical method ... 28

3 .2. M agnetic potential o f the non-coaxial tw o parallel tubular conductors system ... 31

3 .3 . Magnetic potential o f the system o f N c parallel conductors - analytical-numerical method ... 33

3 .3 .1. Approximation o f the magnetic vector potential ... 33

3.3.2. Shape function ... 35

3.3 2.1. Rectangular elementary area ... 36

3.3.2.2. Elementary area o f a cylindrical or tubular conductor ... 37

3.3.2.3. Triangular elementary area ... 39

3.3.3. Approximation o f current density by means o f glued functions ... 45

4 IMPEDANCES OF THE ISOLATED-PHASE BUSDUCT ... 53

4.1. Self-impedance o f the separate conductor ... 53

4.2. Self and mutual impedances o f the system o f N c parallel conductors ... 55

4.3. Impedance o f the tubular conductor ... 56

4.3.1. Impedance o f the tubular conductor w ithout considering skin effect ... 56

4.3.2. Impedance o f the tubular conductor with regard to skin effect ...;... 58

4.4. Impedance o f the coaxial system o f tw o tubular conductors ... 62

4.4.1. Impedance o f the coaxial system o f tw o tubular conductors w ithout considering skin and proximity effects ... 63

4.4.2. Impedance o f the coaxial system o f tw o tubular conductors with regard to skin and proximity effects ... 67

4 .5. Impedance o f the non-coaxial system o f tw o parallel tubular conductors ... 79

4 .5 .1. Impedance o f the non-coaxial system o f tw o parallel tubular conductors without considering skin and proximity effects ... 81

4.5 .2. Impedance o f the non-coaxial system o f tw o parallel tubular conductors with regard to skin and proximity effects ... 83

- 7 -

4 .6 . Total self-impedances o f phase conductors and enclosures o f three-phase high-current isolated-phase busducts ...

4 .7 . Analytical-numerical calculation o f impedances o f the system o f

Nc

5. MAGNETIC FIELD IN THE NEIGHBOURHOOD OF ISOLATED-PHASE BUSDUCTS ...

5.1. Analytical determination o f the magnetic field ...

5.1.1. Magnetic field in the neighbourhood o f the single-phase

isolated-phase busduct ...

5.1.2. Magnetic field in the neighbourhood o f phase A ...

5 .1.3. Magnetic field in the neighbourhood o f phase

B

5 . 1.4. Magnetic field in the neighbourhood o f phase C ...

5 .2. Analytical and numerical calculation o f the magnetic field ...

5.3. Elliptical magnetic field ...

6 MAGNETIC FIELD IN M EDIA W ITH ELECTRIC AND MAGNETIC HETEROGENEITY ...

6 .1. V ector potential o f the ferromagnetic material ...

6.1.1. Approximation o f magnetic vector potential

o f the ferromagnetic material ...

6.2. Integral equation for the separate ferromagnetic material ...

6.3. Impedance o f the separate ferromagnetic material ...

6.4. Magnetic field o f the separate ferromagnetic material ...

6.5. System o f the

Nc

7 MAGNETIC FIELD IN SELECTED SYSTEMS OF ISOLATED-PHASE BUSDUCTS ...

7.1. Magnetic field in the neighbourhood o f the single-phase

isolated-phase busduct ...

7.1.1. Single-phase isolated-phase busduct with insulated enclosure ...

7.1.2. Single-phase isolated-phase busduct with shorted enclosure ...

7.2. Magnetic field in the neighbourhood o f the flat three-phase

isolated-phase busduct ...

7.2.1. Magnetic field in the neighbourhood o f the flat isolated-phase busduct with insulated enclosure ...

7.2 .2. Magnetic field in the neighbourhood o f the flat isolated-phase busduct with enclosures mutually shorted at its ends and isolated from earth ..

7.2 .3. Magnetic field in the neighbourhood o f the flat isolated-phase busduct with mutually shorted and grounded enclosures...

7.2.4. Magnetic field in the neighbourhood o f the flat isolated-phase busduct with parallel conducting plate ...

7.2.5. Magnetic field in the neighbourhood o f the flat isolated-phase busduct with perpendicular conducting plate ...

7.3. Magnetic field in the neighbourhood o f the triangular three-phase

isolated- phase busduct ...

89

9 0

93 93

9 4 99 101 103 104 106

110 110

113 116 122 125 126

132

133 133 137

142

142

146

149

159

162

165

- 8 -

8 FINAL REMARKS AND CONCLUSIONS ... 167

REFERENCES ... 172

APPENDIX ... 180

Z . l . Integrals determining shape function . Fps( x , Y ‘ps, Y ^ ,Y ps) ... 180

Z.2. Integrals determining shape function . F'p{ k [ x , Y ‘ps, Yps, Yps ) 183

Z.3. Derivatives

f 3x, f 3y,

Fps{ x )

ABSTRACT 195

WYKAZ WAŻNIEJSZYCH OZNACZEŃ

A - zespolony wektorowy potencjał magnetyczny, Wb m'

A - zespolona wartość skuteczna wektorowego potencjału magnetycznego, Wb m‘

B - zespolony wektor indukcji magnetycznej, T

B ^- zespolona wartość skuteczna indukcji magnetycznej, T E - zespolony wektor natężenia pola elektrycznego, V m'*

E ^- zespolona w artość skuteczna natężenia pola elektrycznego, V m‘‘

f ^- częstotliwość, Hz

H - zespolony wektor natężenia pola magnetycznego, A-m' 1

H - zespolona wartość skuteczna natężenia pola magnetycznego, A-m' 1 1 - zespolona wartość skuteczna prądu, A

l /l - wartość skuteczna prądu sinusoidalnego, A /* - zespolona sprzężona wartość skuteczna prądu, A J - zespolony wektor gęstości powierzchniowej prądu, A-m'2

J - zespolona w artość skuteczna gęstości powierzchniowej prądu, A-m'

/ - zespolona sprzężona wartość skuteczna gęstości powierzchniowej prądu, A-m j - jednostka urojona (j = - J - l )

- funkcja Bessela pierwszego rodzaju rzędu n

30, - zmodyfikowana funkcja Bessela drugiego rodzaju (Kelvina) rzędu n

£ - jednostkowa indukcyjność własna, H m 1 9tl - jednostkowa indukcyjność wzajemna, H m' 1 M - zespolony wektor magnetyzacji, T

R\, R 2 - promień wewnętrzny i zewnętrzny przewodu fazowego, m R3, R 4 - promień wewnętrzny i zewnętrzny osłony, m

& - rezystancja jednostkowa, O m 1 t"XY - odległość między punktami X i Y, m r, 0, z - współrzędne walcowe

- jednostkowa zespolona wartość skuteczna napięcia, V-m'‘

x , y , z - współrzędne kartezjańskie

- jednostkowa admitancja zespolona, S-m' 1 Z - impedancja zespolona, f l

Z - jednostkowa impedancja zespolona, O m' 1

r

A - przenikalność magnetyczna względna

/Jo - przenikalność magnetyczna bezwzględna próżni (po = 4^-10'7 H-m'1) T - zespolony wektor gęstości liniowej prądu, A-m' 1

T

lx, ly, lz - wektory jednostkowe prostokątnego układu współrzędnych lr, le, lz - wektory jednostkowe walcowego układu współrzędnych

Utycie w pracy innych oznaczeń, w szczególności powyiszych uzupełnionych indeksami, będzie w tekście katdorazowo dokładnie objaśnione.

1. WSTĘP

1.1. Tory wielkoprądowe o przewodach szynowych osłoniętych

W miarę wzrostu mocy elektrowni cieplnych i wodnych w końcu lat trzydziestych rozpoczęto instalowanie torów wielkoprądowych o przewodach szynowych osłoniętych, łączących wielkie generatory z transformatorami blokowymi [24, 41, 104, 181, 185].

Współczesnymi rozwiązaniami takich połączeń [104] są tory prądowe z izolacją powietrzną pod ciśnieniem atmosferycznym, o napięciach znamionowych do 36 kV oraz o prądach znamionowych:

• 10 kA w elektrowniach wodnych,

• 20 kA w elektrowniach cieplnych i jądrowych o mocach znamionowych do 900 MW,

• 31,5 kA w elektrowniach jądrowych o mocy 1300 MW.

Począwszy od lat siedemdziesiątych w elektroenergetyce światowej stosuje się tory wielkoprądowe z izolacją gazową. Najczęściej stosowanym gazem jest SF6 (sześciofluorek siarki) o ciśnieniu od 0,29 do 0,51 M Pa (przy 20°C) [29, 31, 64, 69, 74, 75, 79, 97, 123, 179, 180]. W ostatnich latach SF6 zastępowany jest mieszaniną 95% N 2 i 5% SF6 o ciśnieniu 13 MPa odpowiadającemu ciśnieniu 4 MPa w przypadku czystego SF6 [47, 107, 179]. Obecnie takie tory są budowane na napięcia od 72 do 1200 kV, najczęściej jednak na napięcia od 110 do 750 kV i prądach znamionowych od 1 do 12 kA i mocach znamionowych od 200 do 4000 MV A [31, 75, 97, 179, 180]. Najkorzystniejszym zastosowaniem torów wielkoprądowych z izolacją gazową, w porównaniu z liniami napowietrznymi lub kablowymi, jest stosowanie ich dla napięć większych od 245 kV i mocach przesyłowych od 2000 do 4000 MV-A. Według szacunków EdF [179, 180] koszt budowy takiego toru dla napięcia 400 kV jest dziesięciokrotnie mniejszy niż równoważnej linii napowietrznej i dwukrotnie mniejszy niż linii kablowej o izolacji z tworzyw sztucznych lub olejowej. Również wg polskich szacunków [31, 118] otrzymuje się podobną ocenę kosztów.

Tory wielkoprądowe z izolacją gazową w literaturze anglojęzycznej nazywane są GIL (gas- insulated line) lub GITL (gas-insulated transmission line). Spotyka się też nazwę CGIC (compressed gas-insulated cable). W literaturze francuskojęzycznej używa się nazwy CIG (câble à isolation gazeuse). W pracy [29] T.Bełdowski proponuje polską nazwę POG (przewód osłonięty z izolacją gazową).

Długości stosowanych torów wielkoprądowych o przewodach szynowych osłoniętych z izolacją lub bez izolacji gazowej zawarte są od kilku metrów do kilkunastu kilometrów [31, 68, 97, 123, 179, 180].

Tory wielkoprądowe o przewodach osłoniętych buduje się jako:

• trójbiegunowe, w których wszystkie trzy przewody fazowe są umieszczone we wspólnej obudowie; ang. TPGIL (three-phase gas insulated line), fr. TGT (Transport électrique à isolation Gazeuse Triphasé) - rys. 1.1.

• jednobiegunowe (z izolowanymi fazami), w których każdy przewód fazowy znajduje się w osobnej osłonie; ang. IPGIL (isolated-phase gas insulated line) - rys. 1.2.

- 12 -

W dotychczasowych rozwiązaniach osłoniętych torów wielkoprądowych przeważają od­

dzielne obudowy dla każdej z faz.

Rys. 1.1. Trójbiegunowy tor wielkoprądowy o przewodach osłoniętych; a) o przewodach rurowych, b) o przewodzie profilowym typu HON („Holduct” Pszczyna [68]), c) o przewodzie profilowym typu ELPO („Elektrobudowa” Katowice [122,123]), 1 - przewód fazowy, 2 - osłona

Fig. 1.1. Three-phase gas insulated line; a) with tubular conductors, b) with moulded conductors of HON type („Holduct” Pszczyna [68]), c) with moulded conductors of ELPO type („Elektrobudowa” Katowice [122, 123]), 1 - phase condoctor, 2 - enclosure

R<

Rys. 1.2. Jednobiegunowy płaski tor wielkoprądowy o przewodach osłoniętych; 1 - przewód fazowy, 2 - osłona Fig. 1.2. Fiat high-current isolated-phase busduct; 1 - phase condoctor, 2 - enclosure

P rzew ó d fa z o w y je st zazw yczaj p rzew od em rurow ym lub p rofilow anym z aluminium, z e stopu aluminium lub m iedzi. O słony w yk onan e są z e s to p ó w alum iniow ych, rzadziej z e stali niem agnetycznej. Jeżeli tor prądow y układany je st w ziem i, jak to m a c z ę sto m iejsce dla to r ó w trójb iegunow ych [6 4 , 179, 180], to d o d a tk o w o instaluje się koncentryczną, zew n ętrzn ą o b u d o w ę stalow ą.

- 13 -

Zrealizowane dotychczas przykładowe badania przewodów osłoniętych dotyczyły rozkładu pola elektrycznego [123, 156, 158, 184], strat mocy [19, 184], badania nagrzewania i pomiaru rezystancji obwodu głównego [19, 125] badań napięciowych [43, 125] oraz pól magnetycz­

nych w otoczeniu torów prądowych [140, 143].

Obliczenia osłoniętych torów wielkoprądowych dotyczą przede wszystkim:

• rozkładu pola elektromagnetycznego, prądów wirowych i strat mocy czynnej; dla torów trójbiegunowych w pracach [10, 2 1 , 28, 4 8 , 51, 79, 80, 81, 9 4 , 9 8 , 111, 122, 123, 124, 129, 133, 134, 161, 165, 172, 173, 189] oraz dla torów jednobiegunowych w pracach [1, 3, 12, 21, 2 3 , 2 4 , 2 5 , 26, 38, 4 1 , 53, 63, 6 5 , 70, 78, 82, 84, 9 3 , 117, 119, 120, 124, 129, 139,

142, 147, 148, 157, 162, 163, 177, 181, 185],

• rozkładu temperatur [20, 2 2 , 28, 55, 73, 122, 123, 124, 132, 149, 151, 174, 186],

• sił elektrodynamicznych [28, 56, 85, 122, 123, 127, 130, 133],

• rozkładu pola elektrycznego i zagadnień izolacyjnych [9, 28, 4 7 , 59, 107, 122, 157, 171].

Wśród metod obliczania osłoniętych torów wielkoprądowych wyróżnia się kilka podsta­

wowych grup:

• metody „półempiryczne”,

• metody analitycznego rozwiązywania równań różniczkowych,

• metoda elementów skończonych,

• metody równań całkowych,

• metoda elementów brzegowych.

Obszerne omówienie tych metod stosowanych dla osłoniętych torów wielkoprądowych wraz z podaniem literatury przedstawiono w pracach [28, 122, 123]. M etody te wywodzą się z bardzo obszernej problematyki zagadnień brzegowych [34, 4 0 , 7 7 , 9 0 , 109, 135, 157, 165,

190].

Obliczanie pól elektromagnetycznych w otoczeniu osłoniętych torów wielkoprądowych dokonuje się ze swej natury w obszarach nieograniczonych. Obliczenia te wykonuje się metodami analitycznymi, jak również numerycznymi, takimi jak: różnic skończonych, sieci reluktancyjnych, równań całkowych, elementów brzegowych i najbardziej rozpowszechnioną w obliczeniach pól elektromagnetycznych w urządzeniach technicznych o skomplikowanych kształtach - metodą elementów skończonych. Ta ostatnia metoda jest generalnie stosowana z dobrymi rezultatami w przypadku obliczeń w obszarach ograniczonych [8 7 , 88, 135, 165].

Stosowanie jej w ośrodkach nieograniczonych wymaga wprowadzenia powierzchni granicznej, na której wykonuje się obliczenie pola elektromagnetycznego, by następnie, wykorzystując równanie całkowe, obliczyć pole w obszarze nieograniczonym [3 7 , 58, 103, 160].

Sformułowanie zagadnień brzegowych w postaci równań całkowych umożliwia otrzymanie przybliżonych rozwiązań pola elektromagnetycznego układów o złożonej postaci. Ogólną zaletą równań całkowych jest fakt, że wystarczy tu dyskretyzować jedynie obszar przewodzący, zaś spełnienie odpowiednich warunków przez rozwiązanie w obszarze zewnętrznym jest zapewnione automatycznie. Równanie całkowe zostaje przybliżone układem

1.2. Badania i obliczenia przewodów osłoniętych

- 14 -

N równań algebraicznych, gdzie niewiadomymi są wartości poszukiwanej funkcji pola, natomiast elementy macierzy współczynników zespolonych są całkami z jądra równania całkowego. Otrzymane układy równań są skromniejszych rozmiarów niż przy zastosowaniu metody elementów skończonych, ale są to układy o macierzach pełnych niesymetrycznych. Nie stanowi to jednak większej trudności, uwzględniwszy możliwości obliczeniowe współczesnych elektronicznych maszyn cyfrowych.

Z powyższych względów, w niniejszej pracy, do obliczeń impedancji i pola magnetycznego osłoniętych torów wielkoprądowych zostaje wybrana metoda równań całkowych.

1.3. Cel i zakres pracy

Prądy znamionowe współcześnie instalowanych torów wielkoprądowych, zarówno nieosłoniętych jak i osłoniętych, m ogą osiągać wartość do 40 kA. W konsekwencji wartości natężeń zmiennych pól magnetycznych emitowanych przez takie tory są duże nawet w warunkach znamionowych. Pola te, o częstotliwości przemysłowej, oddziałują na własne elementy oraz na szeroko rozumiane otoczenie - inne urządzenia i aparaty elektroenergetyczne, konstrukcje stalowe, elektroniczne obwody sterowania, kontroli i transmisji danych, środowiska naturalne i na człowieka [6, 30, 42, 45, 72, 83, 116, 168, 169]. Przekroczenie przez te pola pewnych dopuszczalnych wartości natężeń prowadzić może do nieprawidłowego funkcjonowania urządzeń elektrycznych, nadmiernego nagrzewania się konstrukcji stalowych, degradacji środowiska naturalnego i może także stwarzać zagrożenia dla człowieka. Wszystkie te problemy można sprowadzić do zagadnień kompatybilności elektromagnetycznej [46, 105, 126, 159, 192, 193], dla której wymaga się precyzyjnego określania wartości natężeń magnetycznych o częstotliwości przemysłowej.

Wartości natężeń magnetycznych w otoczeniu osłoniętych torów prądowych zależą od ich prądów roboczych ale również od ich struktury: trójbiegunowej lub jednobiegunowęj.

W przypadku torów trójbiegunowych (rys. 1.1), dzięki symetrii geometrycznej (przewody fazowe umieszczone są w wierzchołkach trójkąta równobocznego) i przy osłonie przewodzącej, wypadkowe pole magnetyczne wytworzone przez symetryczne prądy fazowe zanika już w niewielkich odległościach od takiego toru [64, 131, 179, 180].

Odmienna sytuacja istnieje dla płaskich, jednobiegunowych, osłoniętych torów wielkoprądowych. Natężenia pola magnetycznego w ich otoczeniu osiągają duże wartości nawet w stosunkowo dużych odległościach od takiego toru. Spowodowane jest to ich asymetrią geometryczną. Natężenia tych pól zależą od fazowych prądów roboczych oraz od prądów powrotnych w osłonach. Wartości tych ostatnich prądów zależą od sposobów połączenia osłon między sobą, od sposobów uziemienia oraz od parametrów elektrycznych osłoniętego toru wielkoprądowego, tzn. impedancji własnych przewodów fazowych i osłon oraz impedancji wzajemnych między przewodami i osłonami.

Rozróżnia się trzy zasadnicze sposoby połączeń osłon toru wielkoprądowego [1, 24, 41, 162, 181, 185]:

• osłony izolowane, uziemione w jednym punkcie - rys. 1 3a,

• osłony ciągłe z uziemieniem na ich końcach - rys.l.3b - lub także w punktach pośrednich [25, 26],

• osłony ciągłe z uziemieniem na ich końcach poprzez dławiki - rys. 1.3c (rzadko stosowane).

Rys.1.3. Sposoby połączeń osłon torów wielkoprądowych; a) osłony dzielone; b) osłony ciągłe uziemione bezpośrednio; c) osłony ciągłe uziemione przez dławiki

Fig. 1.3. Ways of connections of high-current busducts enclosures; a) divided enclosures; b) continuous directly grounded enclosures, c) continuous enclosures grounded by reactors

We współczesnych rozwiązaniach stosuje się przede wszystkim uziemienie osłon na ich końcach, przy czym dla długich torów prądowych osłony łączą się ze sobą w punktach pośrednich i w punktach uziemienia - rys. 1.4a lub pozostawia się je odizolowane od ziemi- rys.l.4b.

a) L,- L,

b)

L,-

Rys.1.4. Osłony torów wielkoprądowych połączone ze sobą w więcej niż dwóch punktach; a) osłony połączone ze sobą w trzech punktach i uziemione - Elektrownia „Konin” [26]; b) osłony połączone ze sobą w wielu punktach, przy czym tylko ich końce są uziemione - tor o długości 17 km w Arabii Saudyjskiej, zainstalowany przez GEC ALSTHOM [139]

Fig. 1.4. High-current busducts enclosures mutually connected at more than two points; a) enclosures are mutually connected at three points and grounded - Power plant „Konin” [26]; b) enclosures are mutually connected at several points while only its extreme points are grounded - busduct of 17 km length in Saudi Arabia installed by GEC ALSTHOM [139]

W przypadku ogólnym płaski tor prądowy lub jego „przęsło”, tj. odcinek między dwoma sąsiednimi punktami zwarcia osłon między sobą, przedstawiono na rys. 1.5.

- 16 -

* Między przewodami fazowymi

A, B, C

a, b, c

Rys. 1.5. Jednobiegunowy, osłonięty, płaski tor wielkoprądowy ze zwartymi i uziemionymi osłonami Fig. 1.5. Flat isolated-phase high-current busduct with mutually shorted and grounded enclosures

i z *

(zr

L2 0 _

L3 e f-

r h Między przewodami fazowymi

ZK ZM

A, B,C

b, c

Z. , im pedancje wzajem ne

T !' T

Rys.1.6. Schemat zastępczy płaskiego, osłoniętego toru wielkoprądowego ze zwartymi i uziemionymi osłonami;

Zaa, 2bb, Zcc - impedancje własne przewodów fazowych, Zm, Zbi, Z„ - impedancje własne osłon, Zab ZM, ..., Za, - impedancje wzajemne między przewodami fazowymi i osłonami, Zn - impedancja szyny łączącej dwie osłony, Zb2 - impedancja szyny uziemiającej (wraz z impedancją ewentualnego dławika), Z, - impedancja uziemienia

Fig. 1.6. Equivalent diagram o f flat isolated-phase high-curTent busduct with mutually shorted and grounded enclosures; ZM , Zbb, Zcc - self impedances of phase conductors, Z „, Z ^, Z„ - self impedances of enclosures, Zab, ■■■, Z«, Zcj, - mutual impedances between the phase conductors and the enclosure, Z41 - impedance o f bar connecting two enclosures, Zb2 - impedance of grounding bar (together with the impedance o f possible reactor), Z, - ground impedance

- 17 -

Prądy Ia,/b i /c w przewodach fazowych indukują siły elektromotoryczne w osłonach.

W przypadku połączeń osłon ze sobą oraz z ziemią popłyną w nich prądy powrotne /„, h i h , które również indukują w osłonach siły elektromotoryczne. Zatem wartości tych prądów powrotnych zależą od wartości prądów IA, Ib i Ic oraz od parametrów elektrycznych toru prądowego (w szczególności od indukcyjności wzajemnej między przewodami i osłonami) i można je wyznaczyć ze schematu zastępczego przedstawionego na rys.1.6 .

Impedancje własne przewodów fazowych i osłon oraz ich reaktancje wzajemne zostaną wyznaczone poprzez modelowanie obwodowe układu polowego.

W przypadku torów prądowych z osłonami izolowanymi impedancja Zn = oo i wtedy brak jest prądów powrotnych, ale istnieją napięcia indukowane w osłonach oraz natężenie pola magnetycznego w otoczeniu takich torów osiąga duże wartości.

W przypadkach torów z osłonami zwartymi między sobą i ewentualnie uziemionymi bezpośrednio lub przez dławiki płynące w osłonach prądy powrotne zmniejszają natężenie pola magnetycznego w otoczeniu takich torów w porównaniu z torami o osłonach izolowanych.

Wartości prądów powrotnych w osłonach w sposób decydujący wpływają na wielkości pól magnetycznych, same zaś z kolei zależą od sposobów połączeń osłon między sobą (impedancji Zbi), uziemienia (impedancji Zb2 i Zt) i parametrów elektrycznych torów (impedancje ZAA,Zoo, ZCb).Stąd też formułuje się zasadniczy cel niniejszej pracy, którym jest:

W yznaczanie im pedancji w łasnych i w zajem nych oraz pól m agnetycznych w otoczeniu osłoniętych, jed n ob iegu n ow ych torów w ieikoprądow ych z uw zględnieniem sposobów połączeń osłon m iędzy sobą oraz sposobów ich uziem ień.

Przedstawiony cel pracy osiągnięto poprzez:

• opracowanie metody analitycznej wywodzącej się z równań całkowych dla układu Nc przewodów równoległych, w których wprowadzono jednostkowe spadki napięć, odpowiadające natężeniom bezwirowych pól elektrycznych w przewodach oraz w których wyznaczono analitycznie wektorowe potencjały magnetyczne w każdym z obszarów rurowych przewodów fazowych i rurowych osłon toru wielkoprądowego; zjawiska nakórkowości i zbliżenia zostały przy tym uwzględnione,

• opracowanie metody analityczno-numerycznej bazującej na równaniach całkowych i aproksymacji wektorowego potencjału magnetycznego analitycznie wyznaczonymi funkcjami kształtu zarówno dla układu N c przewodów, jak również ferromagnetyków,

• wykonanie obliczeń impedancji i natężeń pól magnetycznych oraz pomiarów sprawdzających dla wybranych układów torów wieikoprądowych.

W pracy przyjęto następujące założenia:

• środowiska, w których analizuje się pole elektromagnetyczne są liniowe i izotropowe,

• przewody fazowe i osłony są nieskończenie długie - rozważany system zostaje ograniczony do przestrzeni 2D,

• przewidywany zakres częstotliwości prądu pozwala na pominięcie w rozważaniach prądów przesunięcia.

2. RÓWNANIA CAŁKOWE

Sformułowanie zagadnień brzegowych w postaci równań całkowych, w których wprowadza się jednostkow e spadki napięć w przewodach, pozwala otrzymać dla prostych układów torów prądowych analityczne wzory, określające impedancje własne i wzajemne toru. W przypadku złożonego toru prądowego otrzymuje się przybliżone rozwiązania pola elektromagnetycznego w jego przewodach i jego otoczeniu. Impedancje własne i wzajemne są wtedy wyznaczone również w sposób przybliżony.

W rozdziale tym wyprowadzono równania całkowe dla przewodu odosobnionego oraz dla układu N c przewodów równoległych.

2.1. Równanie całkowe dla przewodu odosobnionego

Zakłada się, że przez równoległy do osi Oz przewód odosobniony (rys.2.1) o konduktancji Y i przekroju poprzecznym S płynie, zgodnie ze zwrotem osi Oz, prąd sinusoidalny o pulsacji co i wartości zespolonej 1.

Rys.2.1. Przewód odosobniony z prądem/

Fig.2.1. Separated conductor with current /

W ektor gęstości prądu J(X ) w przewodzie (X e S) jest równoległy do osi Oz, czyli ma jedną składową Ą X ) wzdłuż tej osi. W ektor ten zapisuje się w postaci:

Ą x ) = \ t Ą x ) .

(

.

)

Składowa J(X) je st niezależna od współrzędnej z. Rozważany problem je st zatem dwuwymiarowy.

- 19 -

Wektor gęstości prądu spełnia następujący warunek na granicy powierzchni przewodzącej:

Ą x ) n =0 , (2 . la)

gdzie n jest wektorem normalnym do powierzchni S przewodu. Ponadto wektor gęstości prądu spełnia warunek ciągłości

div7(Ar) = 0 . (2. Ib)

Zakładając, że przenikalność magnetyczna przewodu jest równa /Jo, natężenie pola magnetycznego w dowolnym punkcie

X

H(X)

rotA(X)

Mo

gdzie

A

W analizowanym przypadku przewodu odosobnionego potencjał

A(X)

A(X)

A(X)

i jego składowa A(X) wzdłuż osi Oz określona jest [89, 90, 175] przez skalarne, dwuwymiarowe równanie Poissona

V 2A {X ) = - H 0Ą X ) (2.3a)

w obszarze przewodzącym, tzn. dla X(x, y ) e S, oraz skalarne, dwuwymiarowe równanie Laplace’a

V 2A (X ) = 0 (2.3b)

poza tym obszarem, tzn. dla X(x, y ) e R2\S.

Zagadnienie brzegowe układu równań (2.3a) i (2.3b) polega na wyznaczeniu ich rozwiązania spełniającego określone warunki brzegowe. Spełnienie tych warunków stanowi tutaj podstawową trudność. Zagadnienie to jest stosunkowo łatwe dla odosobnionych przewodów o symetrii geometrycznej (np. przewód walcowy lub rurowy) oraz dla układów przewodów o pewnych szczególnych symetriach geometrycznych (np. układ współosiowy dwóch przewodów rurowych).

Innym sposobem podejścia do zagadnień brzegowych je st sformułowanie ich w postaci układu równań całkowych [90, 175]. Równania całkowe pozwalają w stosunkowo prosty sposób uzyskać spełnienie warunków brzegowych, a samo rozwiązanie zagadnienia brzegowego otrzymuje się przy zastosowaniu metod przybliżonych.

Z drugiego równania Maxwella

rot E ( X ) = -}a>p0H ( X ) (2.4)

- 20 -

oraz ze wzoru (2 .2) otrzym uje się równanie

ro t[ E (x )+ ]a > A (X )] = 0 , (2.4a)

a stąd [90]

E (X )¥ }o A (x )= -g ra d ę,

gdzie wielkość ę>jest zespolonym potencjałem elektrycznym.

Rozważany problem je st dwuwymiarowy, wobec tego

= = (2.5)

o x d y

gndcp = \ z ^ - (2 .5a)

a z oraz

(2.5b) d z

gdzie % jest jednostkowym (w V-m'‘) spadkiem napięcia w przewodzie. Wtedy też z równania (2.4b) otrzymuje się, że

E (x ) = Eln(x)+E „{X ),

2

6

gdzie:

• natężenie indukowanego pola elektrycznego

E in( X ) = - jc o A (x ), (2.6a)

• natężenie bezwirowego pola elektrycznego (w pracy [90] Krakowski nazywa je statycznym polem elektrycznym)

E„(x) = - ¥ = Ąi’

(26b)

które jest polem zewnętrznym (pierwotnym, źródłowym) [87, 88, 89, 175].

Ostatecznie z powyższych równań otrzymuje się następujące równanie:

E { X ) + ] 0 A ( X ) = ‘U . (2.7)

W ypadkowe natężenie pola elektrycznego E(X) w przewodzie związane jest z wypadkową gęstością prądu Ą X ) uogólnionym prawem Ohma

E { X ) = & - . (2 .8)

Y

- 21 -

Rozwiązaniem układu równań (2.3a) i (2.3b) jest funkcja zwana logarytmicznym potencjałem magnetycznym obszaru płaskiego S [40, 90, 95]

A (X ) =

f

2 * i r XY

gdzie: X = X(x, y ) - punkt obserwacji i X e R 2, Y = Y ( x 'y ) - punkt źródłowy i Y e S, S - powierzchnia, na której Ą Y ) * 0,

rxY - odległość między punktem obserwacji X a punktem źródłowym Y (rys.2.1), wyrażająca się wzorem:

rX Y

= + ( y - / ) 2 • (2 9a)

Po podstawieniu wzorów (2.8) i (2.9) do równania (2.7) otrzymuje się dla X{x,y) g S

^ ^ - + ] a > ^ - [ j{ Y ) \n — d x 'd y ' = eU. (2.10)

Y 2^-J rn

Równanie (2.10) jest dwuwymiarowym równaniem całkowym Fredholma drugiego rodzaju z jądrem słabo osobliwym [16, 89, 90, 152, 157, 175, 182, 188]. Jak wiadomo [16, 41, 182], ma ono jednoznaczne rozwiązanie dla dowolnej (nie tylko stałej) prawej strony.

W ogólnym przypadku równanie całkowe (2.10) daje się rozwiązać tylko metodami przybliżonymi. Istnieje szereg metod przybliżonego rozwiązywania równań całkowych [90, 112, 175, 188]. Metody sprowadzające równania całkowe do układu liniowych równań algebraicznych to przede wszystkim: metody momentów, Galerkina i kolokacji [90].

W niniejszej pracy proponuje się metodę zbliżoną do metody kolokacji, polegającą na podziale obszaru S przewodu na Nd obszarów elementarnych S, i przyjęciu, że w każdym z tych obszarów funkcja gęstości prądu jest stała i równa J,. Wtedy też potencjał (2.9), a więc całka w równaniu (2.10) zostaje aproksymowana tzw. funkcją kształtu FS(X), którą wyznaczono analitycznie w rozdziale 3, p.3.3.2. Wtedy potencjał

Ąx)

5=1

gdzie: s = 1, 2, Nd,

FS( X ) = f ln — d x 'd y '. (2.1 la)

l r „

*

W układzie jednostek SI prawa strona równania Poissona (2.3a) wyrażona jest w Wb m"3. Zatem zmienne x, y przyjętego tutaj płaskiego prostokątnego układu współrzędnych, występujące w Laplasjanie V2 lewej strony tego równania, wyrażone są w metrach. W konsekwencji odległość rxr określona wzorem (2.9a) również wyrażona jest w metrach. Aby zatem funkcja —-— , logaiytmowana we wzorze (2.9), była

rxr

bezwymiarowa, jej licznik, co należy wyraźnie podkreślić, musi być równy jednostce miary długości.

Obszerne przedstawienie zagadnień dotyczących matematycznej natury wielkości fizykalnych czytelnik znajdzie w pracy [36].

- 22 -

Stąd rów nanie c a łk o w e (2 .1 0 ) sprow adza się d o układu Nd rów nań a lgeb raiczn ych dla X e S ,

~

+

( ² . ¹² )

r 2 /r

gdzie: J t - stała w artość g ę sto śc i prądu w ob szarze elem entarnym S(, t = \ ,2, N d - num er /-te g o obszaru elem en tarn ego.

R ów n a n ie ( 2 .1 0 ) zo sta ło zatem p rzyb liżon e uk ładem Nd rów nań a lgeb raiczn ych (2 .1 2 ), g d z ie n iew ia d o m y m i s ą w artości g ę sto śc i prądu w obszarach elem en tarn ych S „ natom iast elem en ty m acierzy w sp ó łc z y n n ik ó w są całkam i p o elem en tach Sj z jądra rów nania c a łk o w eg o . Istnieją przy tym d w a sp o so b y p o d ejścia d o rozw iązan ia ta k ieg o układu równań:

• dla w y m u szen ia n a p ięc io w e g o znane je s t n a p ięcie ‘U na jed n o stk ę d łu gości p rzew od u i w ted y n iezn an e g ę sto śc i prądu J, w y z n a c za s ię z układu (2 .1 2 ) N d rów nań algeb raiczn ych ,

• dla w y m u szen ia p rąd ow ego znany je s t prąd c a łk o w ity I i w te d y układ rów nań (2 . 1 2 ) n a leży u zu p ełn ić r ów n an iem dod atkow ym :

I = (2 .1 3 )

s *-i

otrzym ując Nd + 1 równań algebraicznych.

2.2. Równania całkowe dla układu Nc przewodów równoległych

Jed n ob iegu n ow y, tró jfa zo w y o sło n ię ty tor w ielk o p rą d o w y z rys. 1.5 w raz z ew en tualnym i, u m ieszczo n y m i w je g o są sied ztw ie, inn ym i przew od am i lub p łytam i p rzew o d zą cy m i m oże b yć traktow any w przypadku o g ó ln y m ja k o układ N c p r z ew o d ó w ró w n o leg ły ch o różn ych konduktancjach yp ( p = 1 , 2 , . . . , N e) - rys.2 .2 .

Rys.2.2. Układ Nc przewodów równoległych Fig.2.2. System o f Nc parallel conductors

- 23 -

Przekroje p r zew o d ó w określone są przez S1 , S 2 , . . . , S ;, , . . . , S W . P rzez każdy z tych p rzew od ów płyną, zg o d n ie z e zw rotem o si O z , od p o w ied n io prądy z esp o lo n e

Л>/2 ■

W uk ładzie N c p rzew od ów z prądami Ip zach odzi w zajem n e od d zia ły w a n ie pól elektrom agnetycznych [1 1 3 , 175, 182]. W w yn ik u te g o odd ziaływ an ia w y p a d k o w y w ek tor g ęsto ści prądu w każdym z p rzew od ów , w o g óln ym przypadku, z a le ży o d prądu w ła sn eg o i od prądów w przew odach sąsiednich . W ektor ten spełnia warunki (2. la ) i ( 2 . Ib). Jest on rów n oległy d o o si O z, ma je d n ą sk ła d o w ą УДА), c zy li d \ a .X e SP

J p ( X ) = l z J p { X ) . (2 .1 4 )

S k ładow a J/^Х) jest n iezależn a o d w spółrzędnej z, c zy li rozw ażany problem je st d w uw ym iarow y.

W d o w o ln y m pu nk cie X (x ,y) e R2 w ektorow y potencjał m agnetyczny A ( X ) jest sumą w ek torow ą potencjałów A P(X ) generow an ych przez k ażd ą z g ę sto śc i prądu J P(Y), tj.

A ( X ) = ' £ A P( X ) . (2 .1 5 )

p-i

W a n alizow an ym przypadku układu N c p rzew o d ó w rów n o leg ły ch potencjał A ( X ) jest rów n oległy d o osi O z, czy li w yraża się w zo re m (2 .3 ), a je g o sk ładow a A ( X ) w zd łu ż osi O z

A ( X ) = ^ A P( X ) , (2 .1 5 a )

p= 1

g d zie potencjał AP( X ) gen erow an y je s t przez g ę s to ś ć prądu JP(Y ) i w yraża s ię wzorem :

A P { X ) = % - f y , ( y ) l n — d x ' d / , (2 15b)

2л ( fyry

ър g d zie У ( х ',У ) e S „ p = 1 ,2 , . . . , N e .

W ew nątrz /-teg o przew od u ( / = 1, 2 , ..., N c), tzn. dla X (x ,y) 6 Si z równania (2 .4 a ) otrzym uje się, an alogiczn ie do przew od u od o so b n io n eg o , następujące równanie:

E1{ X ) + ] C0A ( X ) = % , (2 .1 6 )

w którym w y p a d k o w e natężenie pola elektrycznego

(2 .1 6 a ) У i

g d zie J { X ) je s t w y p a d k o w ą g ę sto śc i prądu, z a ś A ( X ) je s t całk ow itym potencjałem m agnetycznym ok reślon ym w zorem ( 2 .1 5a).

- 24 -

P o p od staw ien iu w z o r ó w (2 .1 5 a ), (2 .1 5 b ) i (2 .1 6 a ) d o w zoru ( 2 .1 6 ) otrzym uje się dla X (x,y) e S; równanie:

y i ( x ) + i ^ L ^ t j ( y ) l n _ L d x ' d y = ^ , (2 .1 7 )

Yi 2 *

u

gdzie: p = 1 , 2 , . . . , N * l = l , 2 , . . . , N c.

R ó w n a n ie ( 2 .1 7 ) je s t rów n ież d w u w y m ia r o w y m rów n an iem c a łk o w y m Fredholm a dru giego rodzaju, które poprzez aproksym ację w e k to r o w e g o potencjału m agn ety czn eg o , tak jak zrob ion o to dla przew od u o d o so b n io n eg o , p rzybliża się uk ładem Nd równań algeb raiczn ych dla X e S i ,

' / p = 1 5=1

gdzie: Ju - stała w artość g ę sto śc i prądu w ob szarze elem entarnym S<,, / = 1, 2 , . . . , N c - num er /-teg o p r z e w o d u ,

I = 1 , 2 , Nd -1-ty num er obszaru elem en tarn ego /-teg o przew od u, / > =1 , 2 , . . . , N c ,

5 = 1 , 2 , . . . ,N d ,

Fps (A ) - funkcja kształtu (2 .1 la ) ob liczon a dla obszaru Sps.

R ó w n ież dla układu N c p r z ew o d ó w istnieją d w a sp o so b y p od ejścia d o rozw iązyw an ia układu rów nań (2 .1 8 ):

• dla w y m u sz eń n a p ięc io w y ch zn an e s ą n a p ięcia % , %., % , ■■■, %ic i w te d y n iezn an e g ę sto śc i prądu w y z n a cza się z układu N c Nd rów nań algeb raiczn ych (2 .1 8 ),

• dla w y m u sz eń prądow ych znan e są c a łk o w ite prądy h , / 2, ..., Ip, ..., Inc i w ted y układ równań (2 .1 8 ) n ależy u zu p ełn ić uk ładem N c rów nań d od atk ow ych typu (2 .1 3 ) otrzym ując N c N d + N c rów nań algeb raiczn ych .

P od staw iając w zo ry (2 .1 5 a ) i (2 .1 6 a ) do w zoru ( 2 .1 6 ) otrzym uje się ( A e S /):

J , { X ) A . ,

- ^ - + ]coY jAp{ X ) = % , (2 .1 9 )

Y i px i

w którym w y p a d k o w a g ę s to ś ć prądu Ji(X) jak ró w n ież p oten cjał A P( X ) z a le ż ą o d w szy stk ich prądów w przew odach.

W niektórych przypadkach, np. przy w y z n a c za n iu im pedancji w ła sn y ch i w zajem n ych , c e lo w e je s t od sep arow an ie w rów naniu ( 2 .1 9 ) sk ła d n ik ó w z a leżn y ch ty lk o o d prądu Ii od w szy stk ich p ozo sta ły ch , tzn. z a leżn y ch o d p rądów /*, g d zie k /; k = 1 , 2 , . . . , jVc-1. W tym celu c a łk o w itą g ę s to ś ć prądu J/(X) przedstaw ia s ię w p ostaci sum y:

- 25 -

N c N e-1

J , ( X ) = X J l p ( X ) = J U( X ) + X J M , (2 .2 0 )

p= i * = i

k*l

gdzie: Jip{X ) - g ę s to ś ć prądu w /-tym p r zew o d zie p och od ząca od prądu Ip { p = \, 2 ,. . . ,N c\

Jn(X) - g ę sto ść prądu w /-tym p rz ew o d zie p och od ząca od prądu Ii (/=l,2,...,7V c), Ju,{X) - g ę sto ść prądu w /-tym p r zew o d zie p o ch o d zą ca o d prądu h i, A:= l,2 ,...,A ^ -l).

A n a lo g ic zn ie postęp uje się w o d n iesieniu d o potencjału c a łk o w iteg o , w y stęp u ją ceg o w e w z o rze (2 .1 9 ). W pierw szym kroku ten potencjał ca łk o w ity w /-tym p rzew od zie zostanie rozd zielon y na potencjał Aip( X ) gen erow an y przez ca łk o w itą g ę sto ść prądu w /-tym przew od zie i potencjał p och od zący o d g ę sto śc i ca łk o w ity ch prądu w p rzew od ach sąsiednich;

<2-2 i )

P=i p=i *=i

y k*l

gdzie

A IP{ X ) = ^ [ ^ ( y ) l n — d x ' d / (2 .2 1 a )

2it J rn

jest potencjałem w /-ty m p rzew o d zie generow an ym p rzez g ę s to ś ć prądu JiP(Y) w /-tym p rzew od zie p och od zącą od prądu Ip oraz

A k p { X ) = ^ \ j kp{ Y ) \ n ^ ~ d x ' d / (2 .2 1 b)

2 * } v

je st potencjałem w /-ty m p rzew od zie ( X e S i ) generow an ym przez g ę sto ść prądu Jkp(Y) w A-tym p rzew od zie, p o ch o d zą cą o d prądu Ip.

W następnym kroku od k ażd ego z d w ó ch sk ład nik ów prawej strony w zoru (2 .2 1 ) od łącza się potencjał w y w o ła n y prądem W pierw szej k o lejn o ści otrzym uje się:

(2.22)

P=i <t=i

k*l

gdzie:

Au ( X ) =

^ \ j u{Y)\n— Ax'Ay',

{ r X Y

= —

dx' dy' .

2^ *

- 26 -

C ałk ow ita g ę s to ś ć prądu w £ -tym p rzew o d zie w,

J t ( y ) = ^ J J kp{ y ) = J u ( Y ) + Y j J d Y ) , ( 2 .2 3 )

p= 1 5=1

5 */

gdzie: ./*/(}') - g ę sto ść prądu w.fc-tym p rzew o d zie p och od ząca od prądu h ,

Jks(Y) - g ę sto ść prądu w k -tym p r zew o d zie p och od ząca od prądu Is (s *1, s = l , 2 , . . . J f c-l)-

Stąd drugi sk ładnik z prawej strony w zo ru (2 .2 1 )

N '-\ Nc K - l Nc- 1 K - \

ź 2 X ( * ) = $ > * ( * ) , (2 .2 4 )

k

k*l k*l k*l s*l

g d z ie

A U ( X ) = ^ ~ f j H( r ) l n J - d x ' d y . (2 .2 4 a )

2* SJ O t

J M = -£L f j j r ) l n — d x ' d y .

P od staw iając w z o ry (2 .2 2 ) i (2 .2 4 ) d o w zoru (2 .2 1 ) otrzym uje się:

£ A p ( X ) = A u ( x ) + ^ A M / j r A M + ^ r ] T aJ x ) . (2 .2 5 )

p=1 k=1 £=1 /t=l 5=1

k*l k*l k*l s*l

O statecznie, p o pod staw ieniu w z o r ó w ( 2 .2 0 ) i ( 2 .2 5 ) do w zoru (2 .1 9 ), otrzym uje się równanie:

% = l ^ + ]c0A u { x ) + i ( ^ A u ( x ) + !^ ^ 1 +

1 ^{*=i k}-1 Yi

k*l k*I

Nc-\ Nc-\ (2 .2 6 )

+ j ®2 > * ( * ) + j « 2 ; 2 ] i 4 b (jr ).

*=; *=i 1=i

k*l s*l

P ie rw sz e trzy sk ład niki prawej strony rów nan ia (2 .2 6 ) z a le żą o d prądu /*; p o zo sta łe o d prądu h (k*l). P ierw szy sk ład nik reprezentuje p o le elek tryczn e w y w o ła n e p rzep ływ em prądu h D rugi składnik reprezentuje p o le elek tryczn e indukcji g en ero w a n e p rzez g ę s to ś ć Ju. T rzeci składnik je s t p o lem indukcji g en ero w a n y m p rzez prądy w ir o w e ind u k ow an e w p rzew od ach są sied n ich p rzez p rzem ien n e p o le m a g n ety czn e prądu //. Składniki czw arty i p iąty reprezentują prądy w ir o w e in d u k ow ane w /-tym p r zew o d zie p rzez przem ien n e p o le m a g n ety czn e prądu /*. Składnik ostatni je s t p olem ind ukcji g en ero w a n y m p rzez prąd

- 27 -

W śród potencjałów w ch o d zą cy ch w skład te g o ostatn iego składnika je st ró w nież potencjał zw iązan y z prądem /* (dla s= k ) i w o b ec te g o zach odzi pytan ie o je d n o c z esn e istnien ie w składnikach czw artym , piątym i szó sty m e lem en tó w z a leżn y ch o d w yb ran ego prądu h . O tóż istnienie w ostatnim składniku potencjału z a le ż n e g o o d prądu h nie p o cią g a z a so b ą istnienia podobnych (za leżn y ch od /*) ele m en tó w w członach czw artym i piątym . J eżeli dla X e S / potencjał (s=k)

Ak3(x )=

to z g o d n ie z e w zorem ( 2 .2 ) p o le m agn etyczn e w pu nk cie X e S i je s t rów n e zero.

W k on sek w en cji w /-tym p rzew o d zie n ie m a prądów w iro w y ch za le żn y ch o d prądu /*, a to oznacza, ż e w składnikach czw artym i piątym znikają elem en ty za le żn e o d prądu /*, ale w składniku szó sty m nie zn ik a potencjał (2 .2 7 ).

W przypadkach sz c ze g ó ln y ch istn ien ie, p o szc z e g ó ln y c h e le m en tó w w składnikach prawej strony rów nania (2 .2 6 ), jak ró w n ież ca ły ch sk ład n ik ów z a le ży od konfiguracji w zajem nej przew od ów , stanu prąd ow ego w przew od ach oraz od zakresu p o czy n io n y ch założeń up raszczających, p o le g a ją c y c h , na zanied byw an iu lub n ie zja w isk zb liż en ia m ięd zy przew odam i.

R ów n an ie (2 .2 6 ) je st sz c ze g ó ln ie przydatne, jak to zostanie pokazane w rozdziale 4, przy w yznaczan iu im pedancji w ła sn y ch i w zajem n ych p rzew o d ó w rurowych.

3. WEKTOROWY POTENCJAŁ MAGNETYCZNY PRZEWODÓW RUROWYCH

W celu o b licz en ia natężen ia p o la m a g n e ty cz n eg o jak rów n ież im pedancji w ła sn y ch i w zajem n ych rurow ych p rz ew o d ó w fa z o w y ch i rurow ych o sło n je d n o b ie g u n o w e g o toru w ielk o p rą d o w eg o k o n ieczn e je st w y z n a c ze n ie rozw iązan ia równań P o isso n a i Laplace'a dla w ek to ro w eg o potencjału m a g n ety czn eg o w e w szy stk ich obszarach układu p rzew o d ó w (fa zo w y ch i o sło n ). D la o d o so b n io n eg o przew od u rurow ego z prądem zesp o lo n y m / i nierów nom iernym rozk ład em g ę sto śc i prądu potencjał m agn etyczn y b ęd zie w y z n a c zo n y analitycznie. O trzym ane rozw iązania m o g ą b y ć sto so w a n e do u k ład ów w sp ó ło sio w y c h p rzew o d ó w rurowych. D la układu d w ó ch p rz ew o d ó w rurow ych u m ieszczo n y ch w o d leg ło ści d od sieb ie u p roszczon ą m eto d ą an alityczn ą b ęd zie w y zn a czo n y potencjał m agn etyczn y w y tw o rzo n y p rzez prąd są sied n ieg o przew od u rurow ego. D la d o w o ln eg o układu p rzew o d ó w b ęd zie zaprezen tow ana m etod a an alityczn o-n u m eryczn a w yzn a cza n ia potencjału m a g n ety czn eg o w d o w oln ym pu nk cie te g o układu.

3.1. Potencjał magnetyczny przewodu rurowego - metoda analityczna

Zakłada się, ż e w n iesk o ń cz en ie dłu gim p rzew o d zie rurow ym (rys. 3 .1 ) w ek tor g ę sto ści prądu J ma jed n ą sk ła d o w ą J(r, 0 ) w zd łu ż o si Oz, która w przypadku o g ó ln y m je st funkcją zm ien n y ch r i © w a lc o w e g o układu w spółrzędnych.

Rys.3.1. Przewód rurowy Fig.3.1. Tubular conductor

W ek torow y potencjał m a g n ety czn y A ma w ted y rów n ież je d n ą sk ła d o w ą w zd łu ż o si Oz.

W ob szarze przew od zącym II je g o sk ład ow a A (r, 0 ) w zd łu ż osi O z sp ełnia d w u w ym iarow e rów nanie P o isso n a

V 2A{r,G ) = - p oj ( r , 0 ) ,

(3.1)

a poza tym obszarem , tzn. w obszarach I i III, d w u w ym iarow e rów nanie L aplace'a

v24 ^ . ć > ) = ° . (3 -2 )

gdzie J(r, 0 ) jest z esp o lo n ą g ę sto śc ią prądu w p rzew od zie rurow ym w A-m'2

R ozw iązan iem tych d w óch równań jest funkcja nazyw ana logarytm icznym potencjałem m agnetycznym [4 0 , 90 ]

A ( X ) = — [ J ( Y ) ln —— p d p d c p , (3 .3 )

2 ^ » r X Y

gdzie: X X ( r , 0 ) - punkt obserw acji,

Y Y(p,4>) - punkt źród łow y, g d z ie J * 0 ,

J ( Y ) - całk ow ita z esp o lo n a g ę s to ś ć prądu w p rzew od zie rurowym , fXo= 4ti-1 O'7 H m ' 1 - przenikalność m agnetyczna próżni,

(r, 0 ) oraz (p, 0 ) - w spółrzęd ne pu nk tów X ( r , 0 ) i Y(p, 0 ) w w a lc o w y m układzie w spółrzędnych,

S - przekrój pop rzeczny przew od u rurow ego,

rxr - o d le g ło ść m iędzy punktem ź ród łow ym a punktem obserw acji; w e w spółrzędnych w a lc o w y ch je st dana w zorem :

= r - + p2- 2 r p c o s ( ® - 0 ) . (3 .4 )

W yzn aczen ie w ek to ro w eg o potencjału m agn etyczn ego (rozw iązan ia rów nań (3 .1 ) i (3 .2 )) przew odu ru row ego sprow adza się w ię c do ob liczen ia całki (3 .3 ). W tym celu rozw aża się dw a przypadki w zajem n ych z w ią zk ó w m ięd zy w sp ółrzęd n ą r oraz w sp ółrzęd n ą p w a lc o w eg o układu w sp ółrzęd n ych : r > p i r < p .

D la r > p z e w zoru (3 .4 ) otrzym uje się:

rJOL-= \ J P \ - 2 — cos(<Z>-6>), (3 .5 )

r \ r) r

a stąd

f1 + f - ] - 2 — c o s ( 0 - < 9 ) l n ^ = - l n

r 2

(3 .5 a )

i w rozw in ięciu prawej strony równania (3 .5 a ) w szereg Fouriera (w yk orzystan o w zó r (1 .5 1 4 ) z pracy [6 0 ], str.53) otrzym uje się dla n e N, ż e

ln — = 1 c o s [ n ( 0 - 0 ) \ (3 .6 )

r

W ob ec tego

- 30 -

P odstaw iając w z ó r (3 .7 ) do w zoru (3 .3 ) otrzym uje się dla r > p

A { r , © ) - ~ - \ j { p ,0} l + cos[rt(<Z>-<9 ) ] j p d / 0 d<ź>. (3 .8)

Jeżeli g ę s to ś ć prądu J ( p . & ) nie z a le ż y o d zm iennej 0 w a lc o w e g o układu w sp ółrzęd n ych , to z esp o lo n y potencjał w ek to ro w y dla r > p

1 r S

A ( r ) = lim p0 ln — | J ( p ) p d p . (3 .9 )

D la r < p z e w zoru (3 .4 ) otrzym uje się:

-=1

+

a stąd

ln ^ 3 L = I l n

P 2

1

+ f r

-2 — c o s (0 ^-0⁾ P

(3 .1 0 )

(3.1 Oa)

i w ro zw in ięciu prawej strony rów nania (3.1 Oa) w szereg Fouriera otrzym uje się dla n e N , ż e

t a ^ - Ż ^ T o o s R « - » ) ] .

\ P W o b ec tego

ln

— — = l n — + — f — 1 co s[« (< 2 >

r * r p n { p j

( 3 .1 1 )

(3 .1 2 )

W tedy zesp o lo n y , w e k to ro w y potencjał m ag n ety czn y dla r < p

A (r ' 0 ) ~

^ f

<2>)j

X n[^j

Ą r ) = \m u0 f

Ó-+0 J n

r+ó H

(3 .1 4 )

Z e w z o r ó w (3 .9 ) i (3 .1 4 ) m ożna w y z n a c z y ć z e s p o lo n y potencjał m a g n ety czn y w e w s z y s t­

kich obszarach przew od u rurow ego, w którym g ę s to ś ć prądu nie n a leży o d zm iennej 0^.

- 31 -

D la r > R j z e w zoru (3 .9) otrzym uje się

A i n ( r ) = p0\ n j ] j ( p ) p d p , (3 .1 5 )

r Ą

z którego w ynika, ż e potencjał m agn etyczny w obszarze zew n ętrzn ym przew od u rurow ego jest funkcją zm iennej r w a lc o w e g o układu w spółrzędnych.

D la R \ < r < R.2 ze w zorów (3 .9 ) i (3 .1 4 ) otrzym uje się:

A11 (/•)= lim

s->o

f-8 Ri j

/ i0 l n - J j ( p ) p d p + M0 j j ( p ) p ln d p (3 .1 6 )

D la r < R i , z e w zoru (3 .1 4 ) otrzym uje się:

A , ( r ) = p0^ j ( p ) p ln — d p = co n st , (3 .1 7 )

skąd w ynika, ż e w obszarze w ew n ętrzn ym przew od u rurow ego potencjał m agn etyczn y jest stały, n iezależn y od zm iennej r w a lc o w e g o układu w spółrzędnych.

Jeżeli g ę s to ś ć prądu w p rzew od zie rurow ym je s t g ę sto śc ią prądów w iro w y ch indukow anych przez p o le m agn etyczn e p och od zen ia zew n ętrzn ego, to na o g ó ł (z w yjątkiem układu w s p ó ło s io w e g o ) g ę sto ść ta je st fun kcją d w óch zm ien n y ch p oraz <£ w a lc o w e g o układu w spółrzędnych (j = j ( p , 0 ) ) . W tedy przy w yzn a cza n iu w e k to r o w e g o potencjału m agn etyczn ego n ależy p o słu g iw a ć się w zoram i (3 .8 ) i (3 .1 3 ).

3.2. Potencjał magnetyczny niewspółosiowego układu dwóch rurowych przewodów równoległych

W n ie w sp ó ło sio w y m uk ładzie d w ó ch rurow ych p rzew o d ó w ró w n o leg ły ch (ry s.3 .2 ) potencjał m agn etyczn y w o to czen iu przew odu "1 ", w ytw orzony przez prąd /2 przew odu "2 ", w yzn acza się zakładając [53, 70, 93, 177], ż e punkt źró d ło w y Y u m ie sz cz o n y je st na osi przew odu "2". Innym i sło w y zakłada się, że p rzew ód "2" je st p rzew od em n iesk o ń czen ie cienkim .