Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś LĄ SK IE J
Seria: A U T O M A T Y K A z . 1 0 9
______LSi>'Ł
Nr k o l . 1 1 7 5
E ugeniusz Toczylow ski K rzy szto f P ieńkosz
In s ty tu t A u to m a ty k i P o litech n ik i W arszaw skiej
M I N I M A L N O K O S Z T O W E H A R M O N O G R A M O W A N I E P R O D U K C J I W E L A S T Y C Z N Y M S Y S T E M I E P R O D U K C Y J N Y M Z U W Z G L Ę D N I E N I E M R O Z D Z I A Ł U Z A S O B Ó W Z U Ż Y W A L N Y C H 1
M I N I M U M - C O S T P R O D U C T I O N S C H E D U L I N G A N D R E S O U R C E A L L O C A T I O N I N F L E X I B L E M A N U F A C T U R I N G S Y S T E M S
M I N I M A L K O S T E N F Ä L L I G E H A R M O N O G R A M M B I L D U N G I N D E R F L E X I B L E P R O D U K T I O N M I T D E R T R A N S P O R T - U N D L A G E R B E G R E N Z U N G E N S O W I E V E R S C H L E I ß R E S S O U R C E N
S treszczenie: W pracy je s t p rzed staw io n y a lg o ry tm d la problem u szczegółowego harm onogram o- w ania p ro d u k cji E S P , w k tó ry m czasy w ykonyw ania n iek tó ry ch o p eracji technologicznych m ogą być zm ien ian e w w yniku ro zd ziału zasobów zużyw alnych, n a to m ia st zasoby o d n aw ialn e sy ste m u są m o
delow ane w sposób zunifikow any ja k o tzw . p rocesory uogólnione.
S u m m ary: An a lg o rith m is p resen ted for th e d e ta ile d p ro d u c tio n scheduling p ro b lem in a FM S cell, w here processing ra te s of som e o p e ra tio n s m ay b e red u ced by a llo catio n s of som e consum able resources, w hereas th e ren ew ab le resources (w ork-centers, buffers an d m a te ria l h a n d lin g system s) are m odelled in a unified w ay as general processors.
Zusammenfassung: I» Beitrag wird der zweigeschossige Algorithmus fiir die
ausführliche Harjuonogramnbildung in der flexible Produktion gezeigt. In diesem Produktionssystem die Geschwindigkeiten des Ausführens manchen Arbeitsgänge können im
Resultat der Verteilung der Verschleißressourcen zu ändern sein. Die
Erneuerunggsressourcen des Systems modelliert man auf vereinheitliche Weise alB so genannte verallgemeinerte Prozessoren.
1. W prow ad zen ie
Z a u t o m a t y zo w a n y elastyczny sy ste m pr odukc yjn y (E S P ) je s t to zespól sterow anych kom puterow o m aszy
now ych n arzęd zi pracy, zintegrow anych poprzez zau to m aty zo w an y tr a n s p o r t, m ag azynow anie oraz układ sterow ania. Do n ajw ażn iejszy ch elem entów E S P zaliczym y p odstaw ow e n iezużyw alne zasoby system u, tak ie ja k ste ro w an e k o m p u tero w o m aszyny lu b zrobotyzow ane stan o w isk a p racy oraz in n e urząd zen ia p ro d u k cy jn e, p o n a d to u rz ą d z e n ia tra n sp o rto w e i m ag azy n y (c e n tra ln y i bufory m ięd zy o p eracy jn e). Do realizacji ró żn o ro d n y c h o p eracji m ogą być w y m ag an e dodatkow e zasoby ty p u odnaw ialnego (ta k ie jak narz ę d z ia , po m o cn icze elem enty, p a le ty itp .) oraz m ogą być w ykorzystyw ane zasoby ty p u zużyw alnego (ta k ie ja k en erg ia, k o sz t z u ży w a n ia narzęd zi Jjk tó ry ch p rzy d ział um ożliw ia sk ró cen ie n iek tó ry ch operacji.
S ystem je s t ste ro w an y p rzez k o m p u tero w y układ stero w an ia, re a liz u ją c y ró żn o ro d n e funkcje sterow ania o p eracy jn eg o o raz h arm o n o g ram o w a n ia p ro d u k cji. N a rys. 1 p rzed staw io n o sc h em aty czn ie przykładow e elasty czn e g n iazd o w y tw ó rcze z a w ierające 3 p a ry zau to m aty zo w an y ch stanow isk technologicznych (c e n tra obróbkow e), m a g a z y n c e n tra ln y oraz sy stem tra n s p o rtu części.
R o zw ażam y p ro d u k c ję jed n o stk o w ą w E SP. P rz y jm u jem y , że w w yniku ro z w iązan ia z a d a n ia h arm o n o g ram o w an ia n ad rzęd n eg o je s t zad an y zestaw zad ań p ro d u k cy jn y ch do w y k o n an ia w n ajb liższ y m okresie (tzw . w sad p ro d u k c y jn y ) oraz że E SP je s t uzbrojony do w ykonyw ania ty ch z a d a ń , a więc je s t dokonana
'P r a c a częściowo finansow ana przez K o m ite t B ad ań N aukow ych
R y s . 1; P rz y k ła d elastycznego g n ia z d a p ro d u k cy jn eg o ( 5 - m ag azy n c e n traln y , M H S - sys
te m tra n s p o rtu . M i , M i , M3 - ste ro w an e kom p u tero w o stanow iska)
F ig . 1 . A n ex am p le of a F lex ib le M a n u fa c tu rin g C ell ( 5 - c e n tra l sto ra g e , M H S - tra n s p o r t sy ste m , M i , M i , M3 - c o m p u te r-c o n tro lle d m achines)
alokacja niezbędnych n arzęd zi i e w en tu aln ie in n y ch zasobów o d n aw ialn y ch (p a le t, uch w y tó w ) p o trzeb n y ch do realizacji w szystkich w y m aganych operacji.
W p ra c y je s t ro zw ażan y p ro b le m szczegółowego h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k cji E S P , w k tó ry m w n a j
bliższym o kresie n ależy w y konać zestaw ró żn o ro d n y c h z a d a ń p ro d u k cy jn y ch . K a ż d e z z a d a ń je s t złożone z ciągu o p eracji realizow anych n a ró żn y ch m a sz y n a c h w edług in d y w id u aln y ch m a rs z ru t. R e a liz a c ja o p e
racji technologicznych, tra n sp o rto w y c h lu b o p eracji oczekiw ania w y m a g a zasobów o d n aw ialn y ch ( t a kich ja k c e n tra obróbkow e, wózki tra n sp o rto w e , m ag azy n y buforow e), p rz y czym prędkości w ykonyw ania n iek tó ry ch o p eracji technologicznych m ogą być zm ien ian e w w yniku ro zd ziału zasobów zużyw alnych (np.
kosztów zw iązanych z sz y b szą o b ró b k ą , a ty m sa m y m — szybszym zu ży w a n ie m n a rz ę d z i).
P ro b le m z n alezien ia o p ty m aln eg o h a rm o n o g ra m u szczegółowego w E S P m o ż n a zaliczyć do n a jtr u d niejszych zad ań o p ty m a liz a c ji d y sk re tn e j. N aw et w p rz y p a d k u zn acz n ie p ro stsz y c h , klasycznych zagadnień szeregow ania (tak ich ja k m o d el ty p u jo b -sh o p bez ograniczeń p o jem n o śc i buforów m ięd zy o p eracy jn y ch i ograniczeń tra n sp o rto w y c h ) do ro zw iązy w an ia z a d a ń o realisty czn y ch w y m iarach n ajczęściej sto su je się alg o ry tm y p rzy b liżo n e [2,1]. U w zględnienie ograniczeń buforow ych (i tra n sp o rto w y c h ) w klasycznych m o delach szeregow ania n a p o ty k a n a po w ażn e pro b lem y m odelow e i obliczeniow e i n ie w y k ro czy ło d o ty ch czas poza szczególne p rz y p a d k i, n p . p ro b lem u przepływ ow ego.
W pracy Toczylow skiego [7] opracow ano m odel m a te m a ty c z n y p ro b lem u h a rm o n o g ra m o w a n ia pro dukcji w E S P w p ro w a d z a ją c zunifikow any m o d el tzw . procesora ogólnego p o zw alając eg o n a jed n ak o w e trak to w an ie o p eracji technologicznych, tra n sp o rto w y c h i m agazynow ych. M odel te n um ożliw ia re p re z e n ta c ję podstaw ow ych ograniczeń zasobow ych sy stem u ( t j. m aszy n , buforów i sy stem ó w tra n sp o rto w y c h ) w postaci o dpow iednio k onstruow anej sieci zd arzeń , p rzy czym p o uszeregow aniu zd a rz e ń p o d p ro b le m wy
znaczenia h a rm o n o g ra m u m oże być łatw o sprow adzony do sieciowego z a d a n ia p ro g ra m o w a n ia liniowego o specjalnej stru k tu rz e . Z nacznie p ro stsz y p ro b lem h a rm o n o g ra m o w a n ia p ro d u k c ji realizow anej cyklicznie w sy stem ach o str u k tu r z e potokow ej byl rozw ażany w [5, 6).
W niniejszej p ra c y je st rozw ażany p ro b lem h arm o n o g ram o w a n ia p ro d u k cji w E S P w p rz y p a d k u ogólniejszym , gdy w sy ste m ie w y s tę p u ją zarów no zasoby o d n a w ia ln e ,ja k i zużyw alne. Z ap roponow any
Minimalnokosztowe harmonogramowanie produkcji 301
alg o ry tm h a rm o n o g ra m o w a n ia m a s tr u k tu r ę dw upoziom ow ą. N a poziom ie n ad rzęd n y m je s t w yznaczane uszeregow anie o raz alo k acja o p eracji z a p o m o c ą złożonego a lg o ry tm u poszukiw ań (z w ykorzystaniem h cu ry sty k o raz sterow anego alg o ry tm u sym ulow anego w y żarzan ia), n a to m ia st n a poziom ie niższym , w w yniku ro zw iązy w an ia odpow iednich zad ań pro g ram o w a n ia liniowego o specjalnej s tru k tu rz e , są w yzna
czane chw ile ro z p o c z y n a n ia i k ończenia o p eracji o raz rozdział zasobów zużyw alnych pom iędzy operacje.
R ozw iązanie każdego z a d a n ia liniowego d o sta rc z a isto tn y ch d o d atkow ych inform acji o ak tu aln y m h a rm o n o g ra m ie (w spółczynników w rażłiw ościow ych oraz w artości zm iennych d o p e łn ia ją c y c h niektórych ograniczeń), k tó re m ogą być w ykorzystyw ane w alg o ry tm ie poszukiw ań do znacznego ograniczenia p rze
strzen i poszukiw ali w w yniku selekcji n a jb a rd z ie j atra k c y jn y c h p u n k tó w są sie d z tw a a k tu a ln e g o h arm o n o g ram u . W ro zd ziale 4 zilu stro w an o n a p rzy k ład zie sposób w y k o rzy stan ia tych inform acji wrażłiwościowych w stosunkow o p ro stej m e to d z ie po p raw y uszeregow ania o p eracji za p o m o cą lokalnej zam iany o p e ra cji (zd arzeń ). W ro zd ziale 5 je s t rozw ażany ogólny sc h e m a t szeregow ania zd arzeń w y k o rzy stu jący za
aw ansow ane tech n ik i poszukiw ań. S form ułow ano ta m ogólne uwagi d o ty c z ą c e w y k o rzy stan ia inform acji wrażłiw ościow ych do zw iększenia efektyw ności m e to d poszukiw ań.
2. M o d el m a tem a ty czn y problem u harm onogram ow ania
W elasty czn y m sy ste m ie p ro d u k cy jn y m są realizow ane n a s tę p u ją c e ro d z a je operacji: technologiczne, mag azynowe i transportowe. Do w y k o n an ia każdej o p eracji je s t w y m ag an y pew ien o d n aw ialn y zasób podstaw ow y o raz (e w en tu aln ie) d o d atk o w e o d n aw ialn e zasoby p o m o cn icze, k tó re tu ta j pom iniem y, jako żc zasoby te są n a m ocy zało żen ia d o stę p n e w d o sta te czn ej liczbie w w yniku właściwego u zb ro jen ia sy stem u d la rozw ażanego w sadu p rodukcyjnego.
O p eracje technologiczne są realizow ane za p o m o cą m aszyn technologicznych, o p eracje tran sp o rto w e są realizow ane za p o m o cą system ów tra n s p o rtu ,n a to m ia st o p eracji1 m agazynow e (oczekiw ania n a ope
racje technologiczne i tra n sp o rto w e ) s ą realizow ane za p o m o c ą buforów (m agazynów ). Z biór w szystkich m aszy n , czyli m aszy n technologicznych, buforów i środków tra n sp o rto w y c h ESP, oznaczam y odpow iednio przez L r , L h, L ‘, p rz y czym L p U L k U L ‘ = L. N iech J = { 1 , . . . , / / } o zn acz a zbiór zad ań do wyko
n an ia w gnieździe p ro d u k cy jn y m . N iech M = { ) , . . . , m } będzie zb io rem w szystkich indyw idualnych o p eracji zad ań p ro d u k cy jn y ch (o p era cji technologicznych, m ag azy n o w a n ia i tra n sp o rto w y c h ), n ato m iast M . = { m , . i -f l , . . . , m j ) , M j C M , zbiorem o p eracji z a d a n ia j € J . Z ad an ie zw iązan e z o p e ra c ją m oznaczym y przez j m. T am , gdzie nie prow adzi to do n iep o ro zu m ień , będziem y opuszczać in d ek s m aszyny l.
P rz y jm u jem y , że o p e ra c je z a d a n ia j są realizow ane zgodnie z liniow ym u p o rząd k o w an iem ( m y ., -f 1 , . . . , my). D la o p eracji n 6 M w prow adzam y zm ien n ą d e c y z y jn ą t* o k re śla ją c ą chwilę z d a rz e n ia polega
ją c e g o n a opuszczeniu m aszy n y po zakończeniu w ykonyw ania o p eracji n . P o d o b n ie zm ien n a t~ określa chwilę z d a rz e n ia p o leg ająceg o n a w prow adzeniu z a d a n ia do m aszy n y i rozpoczęciu w ykonyw ania operacji n. Z m ien n e i J , n € M , u m o żliw iają jed n o zn acz n e określenie h arm o n o g ram u realizacji w szystkich operacji.
R elacje liniow ego p o rz ą d k u p o p rz e d z a n ia o p eracji należąc y ch do ty c h sam ych za d a ń s ą reprezentow ane przez zb ió r V. C M u p o rząd k o w an y ch p a r o p eracji. Z achodzi (m , n ) 6 7Z, jeżeli w z a d a n iu j = j m = j r.
o p e ra c ja m b e z p o ś r e d n i o p o p rz e d z a o p erację n, a w ięc 71 re p re z e n tu je w aru n k i czasowe
£ = *¿1 ( m , n ) € f t (1)
W o d ró żn ien iu o d klasycznego m o d elu szeregow ania o p eracji technologicznych, w rozw ażanym m odelu nie d opuszcza się wcześniejszego ukończenia operacji b ezpośrednio po p rz e d z a ją c e j p rzed o p e ra c ją n a stę p u ją c a (o peracje czekania w b uforach są tra k to w a n e identycznie ja k o p eracje technologiczne).
O m ó w im y te ra z relacje czasow e m iędzy o p eracjam i w y n ik a ją c e z ograniczeń zasobow ych od n aw ial
nych i zużyw alnych. M odele podstaw ow ych zasobów odnaw ialnych w ykorzystyw anych w spółbieżnie (tzn.
rów noległych g ru p m aszy n technologicznych, buforów i system ów tra n s p o rtu ) zapiszem y w p o sta c i z u n i
fikowanego m o d elu ogólnego zasobu - ta k zw anego p r o c e s o r a o g ó l n e g o [7], P ro c e so r l 6 L m a o gra
niczoną p o je m n o ś ć bi, czyli m a k sy m a ln ą liczbę o p e ra c ji,ja k ie m ogą być w każdej chwili w ykonyw ane w spółbieżnie za jego p o m o cą. P rz y jm u jem y , że w sta n ie p o czątk o w y m n a p e łn ie n ie p ro c e so ra wynosi ?/i z ad ań . O p e ra c ja n € M w y k onyw ana n a p ro ceso rze 1 je s t c h a ra k te ry z o w a n a przez trz y n ie u je m n e czasy p „ ,p " ,p + , p rzy c z y m p „ je s t m in im aln y m czasem realizacji o p eracji z a d a n ia j„ (C zas w y k o n an ia operacji n n a m aszy n ie 1 je s t rów ny p„i, lecz d la u p ro szcz en ia n o tacji in d ek s 1 p o m ijam y .) oraz j>~, p j są m in im a l
nym i o d stę p am i czasu ,p o k tó ry ch m o ż n a w p ro w ad zić/w y p ro w ad zić in n e z a d a n ie (w szczególności czasy te m ogą być zerow e lu b b lisk ie ze ru ). D la w ielu o p eracji czas p„ m oże być sta ły m p a ra m e tre m , n a to m ia st w ogólności d la pew nych o p eracji technologicznych z p o d zb io ru M r C M czas te n m oże być zm ienny, b ędąc funkcją przydzielonej ilości zasobów zuŻ3'w alnych. N iech R będzie zb io rem zasobów zu ży w a ln y c h rozdzie
lanych m iędzy o p e ra c je technologiczne. P rz y jm u jem y , że w rozw ażanym okresie d o stę p n o ść zasobu r 6 R wynosi Q , je d n o ste k zasobu. D la o p eracji n € M p o zm ien n y m czasie trw a n ia p rz y jm u je m y n a stę p u ją c y m o d e l:
P n = V n ~ 9nr*nr 0 < 2nr < ¿n r, T € R , (2) r£R
przy czym p“ je s t n o m in aln y m czasem w ykonyw ania o p eracji n , n a to m ia s t qnT je s t w spółczynnikiem skrócenia czasu je j w ykonyw ania w w yn ik u p rzy d zielen ia je d n o s tk i zaso b u r d o stę p n eg o w p rzedziale [O,*»,).
D la pro ceso ra l 6 L niech E f będzie zb io rem n ieu p o rząd k o w an y ch p a r zd arzeń ( m . n ) p o leg ający ch n a wprowadzeniu p a r zad ań j m , j n do teg o p rocesora. A nalogicznie, niech E f będzie zb io rem n ie
uporządkow anych p a r zdarzeń ( m , n ) p o leg ający ch n a w yprow adzeniu odp o w ied n ich z a d a ń z procesora /. Relację p o rz ą d k u o raz niejednoczesności w p ro w ad zan ia i w yp ro w ad zan ia dw óch za d a ń z procesora m o żn a w yrazić przez w arunki d y zju n k ty w n e. P rz y p u śćm y , że m am y u sta lo n e selekcje zu p e łn e S f . S f luków dy zju n k ty w n y cb n ależący ch do zbiorów E f , E f , ta k ż e je s t określone jed n o z n a c z n e uszeregow anie w prow adzania z a d a ń do i w yp ro w ad zan ia zad ań z p ro ceso ra /. M uszą być sp e łn io n e w arunki:
• n a stę p stw a w p ro w ad zan ia zad ań do pro ceso ra
Q + P m < t „ (m , n) € S f (3)
• n a stę p stw a w y p ro w ad zan ia zadań z pro ceso ra
C + r t < * i ( r n , n ) e S ? (4)
R ozw ażym y te ra z w aru n k i g w a ra n tu ją c e realizow alność o p eracji w ykonyw anych za p o m o c ą p rocesora, a w szczególności - n ie-p rze p eln ia n ie p rocesora. W y k o rzy stam y p o d sta w o w ą obserw ację, że w prow adzenie kolejnego z a d a n ia do p ro ceso ra 1 o pojem ności 4/ je s t m ożliw e d o p iero w ów czas, g d y z p ro ceso ra zo stan ie w yprow adzone za d a n ie z n a jd u ją c e się o 4/ pozycji wcześniej w u szeregow aniu w yjściow ym S f teg o p ro c e sora. D la p ro ceso ra l oraz d la ustalo n y ch uszeregow ań S f , S f niech s ~ , s f o z n a c z a ją p o zy cje (kolejność) w prow adzania i w y p ro w ad zan ia z a d a n ia j n określone w ciąg ach S f i S f . D alej, o zn acz m y przez B f S i ) zbiór p a r operacji { ( m ,n ) : m € S f . n 6 S f } zw iąza n y ch przez o g ran iczo n ą p o jem n o ść p ro ceso ra, czyli p ar. k tó re sp e łn ia ją w arunek
4 + 4) - >71 = s f (5)
O znacza to , że jeśli ro zp o czy n a się pew na o p e ra c ja n , z n a jd u ją c a się n a pozycji s f = s f + 4) — rp i d o ty c z ą c a z a d a n ia j„ w chodzącej do p ro c e so ra i. to z a d a n ie ,jm, k tó re j o d p o w ia d a o p e ra c ja m , m usi u stą p ić m iejsca za d a n iu j n w ty m p rocesorze, czyli m usi zachodzić w aru n ek
(6)
Minimalnokosztowc harmonogramowanie produkcji 3 0 3
D odatkow o m usi być sp ełn io n y w arunek m in im aln y ch czasów realizacji operacji
< ; + P n < C n € A/ \ M * (7)
(7 + P°n ~ ] £ I « ' * " ' ^ C n € A P (8) ren
Zauw ażm y, iż w szczególnym p rz y p a d k u m o d elu elem en tarn eg o pro ceso ra, gdy 6/ = 1 ,77/ = 0, zachodzi zależność S i ( S i ) = 5 /, p rzy czym Si — S f = S * . S tą d m o d el pojed y n czej m aszyny technologicznej może być szczególnym p rzy p a d k ie m m odelu pro ceso ra ogólnego.
3. H arm onogram ow an ie szczegółow e
R ozw ażam y dw upoziom ow y a lg o ry tm harm o n o g ram o w a n ia , w k tó ry m zm ien n e d ecy zy jn e dzielim y na dw ie grupy. W pierw szej g ru p ie z n a jd u ją się w szystkie ‘tr u d n e 1 zm ien n e decy zy jn e, zw iąza n e z alokacją operacji do procesorów oraz uszeregow aniem w szystkich zd arzeń , n a to m ia s t w g ru p ie drugiej z n a jd u ją się zm ienne o k re śla ją c e chwile zd arzeń oraz rozdział zasobów zużyw alnych p o m ięd zy o p eracje, których w artości m o żn a w yznaczyć w w yniku ro zw iązy w an ia odpow iedniego z a d a n ia liniowego. D la ustalonych w artości zm iennych decyzyjnych z pierw szej g ru p y o k reślający c h d o p u sz czaln ą alokację A i uszeregow a
nie zd arzeń S , w celu w y zn aczen ia h a rm o n o g ram u szczegółowego n ależy określić p rzy d ział (znr) zasobów zużyw alnych do o p eracji oraz chw ile i “ , t* ro zpoczęcia i u k o ń czen ia w szystkich o p eracji n 6 M, ta k aby były sp e łn io n e w szy stk ie relacje p o p rzed zan ia, o g ran iczen ia zasobów o d n aw ialn y ch ,a za ra z e m aby su m a ryczne koszty zw iązane z re a liz a c ją h a rm o n o g ra m u były m in im aln e. W p rz y p a d k u g d y z a d a n a alokacja A i uszeregow anie zd arzeń 5 są n ied o p u szczaln e, h a rm o n o g ra m szczegółowy n ie m oże b y ć zrealizowany.
W arunkiem koniecznym dopuszczalności zm iennych alokacyjnych oraz selekcji S C E je s t oczyw iście acy- kliczność g rafu G's = ( M , TC U S ). O gólne k ry te riu m kosztow e jakości h a rm o n o g ra m u m o ż n a przedstaw ić w p o sta ci pew nej funkcji F ( i ~ , t +, z ) chwil realizacji w szystkich zd a rz e ń o raz ro zd ziału zu żytych zasobów . Bez dużej u tr a ty ogólności m o żn a p rz y ją ć , że fu n k cja F je s t liniow a, ja k o że ko szty w ykonyw ania o p era
cji, zu ży cia zasobów' zużyw alnych o raz koszty m ag azy n o w a n ia i e w e n tu a ln e koszty zaległości są zazw yczaj przyjm ow ane ja k o fu n k cje liniow e (p o r. [6], s . 153). S tą d za d a n ie w y zn aczen ia h a rm o n o g ra m u realizacji operacji m o żn a sform ułow ać w p o sta ci z a d a n ia p ro g ram o w a n ia liniow ego, w k tó ry m rozw aża się chwile zdarzeń ro zpoczęcia i u k o ń czen ia w szystkich o p eracji technologicznych, m agazynow ych i tran sp o rto w y ch oraz relacje czasowe, ja k ie m u szą być sp e łn io n e w odpow iedniej sieci w szystkich zd arzeń .
Z a d a n ie T S :
m in F ( t +, r , z ) (9)
przy sp e łn ie n iu w a ru n k u nieujem ności zm iennych oraz n a s tę p u ją c y c h w arunków :
• n a stę p stw a o p eracji przyległych n ależący ch do ty c h sam ych zadań
( m , n ) e T l (
10
)• ograniczeń w y n ik ający ch z ograniczonych m ożliwości procesorów
( m ,n ) € B i ( S i ) , l G L (11)
¡ m+ P ™ < 1,7 ( m , n ) € S r , l e L (12)
C + < C ( m , n ) € S,+ . l € i (13)
! 7 + P n < C n £ M \ M T 114)
C + P* - Z < C n € M ” (15)
rtR
r t R (16) ngMr
0 < z „ r < z „ r n e M , r e R
I lo ra z o w a s ie ć z d a r z e ń . Z ad an ie T S zaw iera d la każdej o p eracji n dw ie zm ien n e czasow e t ~ . t + , a za tem w po ró w n an iu do klasycznych m odeli zad ań szeregow ania liczb a w szystkich zm iennych je s t d w u k ro t
nie wyższa. Z drugiej stro n y je d n a k je s t dość łatw o p rzek sz ta łc ić to z a d a n ie do pro b lem u rów now ażnego, w którym z rów nań ( 10) elim inujem y połow ę zm iennych.
'D la u sta lo n y c h alokacji i uszeregow ania o p eracji (zł, 5 ) n a stę p stw o zd arzeń ro z p o c z y n a n ia i kończenia operacji m o żn a p rzed staw ić w p o sta ci odpow iedniej sieci zd arzeń . O znaczm y przez £ ~ z d arzen ie pole
g a ją c e n a rozpoczęciu o p eracji m w chwili oraz przez £+ z d arzen ie p o le g a ją c e na ukończeniu operacji m w chw ili i+ . W sieci zd arzeń z d a rz e n ia te b ę d ą re p re zen to w an e przez w ierzchołki. N iek tó re z d a rz e n ia m u szą przebiegać rów nocześnie, ze w zględu n a w arunek n a stę p stw a o p eracji przyległych ( 10), przy czym w arunek te n je s t spełniony zaw sze, a w ięc m am y do c z y n ien ia z jed n o czesn o śc ią n iep rzy p ad k o w ą a s tru k tu ra ln ą . Łatw o spraw dzić, że re la c ja rów noczesności je s t re la c ją rów now ażności. S tą d w prow adzam y klasy rów now ażności u,- 6 V, v, = [£„) zd arzeń ze w zględu n a ich rów noczesność:
C C e t ą O i + = t ; ( l d)
P rz estrzeń ilorazow a V = {u,} je s t z b io rem w szystkich klas zd arzeń jed n o czesn y ch . K ażdej klasie v, odp o w iad a p o je d y n c z a z m ie n n a i,-, o k re śla ją c a chw ilę z a istn ie n ia zd arzeń -jednoczesnych. P ro b le m zre
dukow any o trzy m u je m y z z a d a n ia T S w w yn ik u elim inacji ró w n ań ( 10) oraz z a s tą p ie n ia w pozostałych o graniczeniach z a d a n ia T S »m iennvch t ~ . t * przez zm ien n e i, o d p o w ia d a ją c e k laso m zd arzeń jed n o cze
snych.
4 . P rzy k ła d ilu stra cy jn y
Sposób w y k o rz y sta n ia inform acji w rażliw ościow ych do p o p ra w ia n ia u sz ere g o w an ia zd arzeń zap re z e n tu jem y n a p rzy k ład zie elasty czn eg o g n ia z d a w ytw órczego z rys. 1. G n iazd o to sk ła d a się z:
• trzech cen tró w obróbkow ych M t , ił/z , A/3, p rzy czym k ażd e z cen tró w m a dw a stan o w isk a robocze,
• sy stem u tran sp o rto w eg o M U S w p o sta ci je d n eg o w ózka A G V ,
• m ag azy n u c e n traln eg o S , w k tó ry m są przechow yw ane zarów no w yroby d o p iero w chodzące do p ro d u k cji, ja k rów nież w yroby ukończone, a ta k ż e w yroby o czek u jąc e m iędzy o p e ra c ja m i n a d alszą obróbkę. P rz y cen trach obróbkow ych n ie m a m agazynów buforow ych - fu n k cję tę p ełn i m agazyn centralny.
Do realizacji są cz te ry z a d a n ia A , B , C i D , p rz y czym z a d a n ia A i B w y m a g a ją w y k o n an ia operacji kolejno n a procesorach:
S - M U S - .W, - M U S - * S — M H S M2 M H S - * S , a z a d an ia C i i ) na procesorach:
S - M H S - M7 - » M H S - * S -♦ M H S - % M H S -» 5 - * M H S -> M3 -*■ M H S — S . N om inalne czasy w ykonyw ania p j poszczególnych o p eracji n p o d a n o w ta b e li l*3*. C zasy te m o g ą ulec sk ró c e n iu je ż e li zo sta n ie p rzy d zielo n a p ew n a ilość zasobu zużyw alnego. W y s tę p u je je d e n zasób zużyw alny w ilości 10 je d n o ste k ( Q r = 10). W spółczynniki sk ró cen ia czasu w y k o n y w an ia o p eracji ęnr p rz y w yko
rzy stan iu tego zasobu m a ją w artości ta k ie ja k w ta b e li 1*N. K ażdej z o p eracji n m o ż n a przydzielić co najw yżej 5 je d n o ste k zasobu zużyw alnego, tj. r„ = 5. P o szu k u je się u sz ere g o w an ia o m in im aln ej długości.
Minimalnokosztowe harmonogramowanie produkcji . 3 0 5
a) _________________________________________ b) P ro c eso r
Z adanie
A/i M i a / 3 M H S
A 40 60 - 5
B 50 40 - 5
C 30 20 40 5
D 20 25 25 5
P rocesor Z adanie
A/i M i m3 M H S
A , B 2 1 - 0
C , D 3 2 1 0
T a b e l a 1 . a) N o m in aln e czasy w ykonyw ania o p eracji - p°; b) W spółczynniki skrócenia czasu w ykonyw ania o p eracji - qnr p rzy u ży ciu zasobu zużyw alnego
T a b l e 1 . a) N om inał proccessing tim es p°; b ) C oefficients qnT o f th e pro cessin g tim e re d u c tio n p e r o n e u n it o f th e u su a b le reso u rce
P rz y zad an y c h uszeregow aniach w ejściow ych S f i w yjściow ych S,+ n a poszczególnych procesorach l 6 {A /i, A /j, A/3, M H S , 5 } p ełn y m o d el T S w p o sta c i ograniczeń (10)-(17) zaw iera 44 zm ien n e t~ (bo je st 10 o p eracji obróbkow ych, 20 o p eracji tra n sp o rto w y c h i 14 o p eracji m ag azy n o w y ch ), 44 zm ien n e t* i 10 zm iennych zasobow ych xn (je st 10 o p eracji, k tó ry ch czas w ykonyw ania zależy od zaso b u zużyw alnego, p a trz ta b e la 1,Ł1). W m o d e lu w y stę p u je 40 ograniczeń ty p u (10) (ty le je s t o p e ra c ji p rzyległych w obrębie zadań A , B , C , D ) , 23 og ran iczen ia (11), po 39 ograniczeń ty p u (12) i (13), 34 og ran iczen ia (14), 10 ograniczeń (15) i je d n o o g ran iczen ie (16).
Pow yższy m o d el m o żn a je d n a k zn acz n ie u p ro ścić,jeże li: (i) o graniczym y się do p rz e strz e n i ilorazo
wej - z n ik n ie w te d y połow a zm iennych i~, o raz o g ran iczen ia ( 10); (ii) zauw ażym y, że uszeregow a
nia n a pro ceso rach M \ , M7, M 3, S są jed n o zn acz n ie określone przez uszeregow anie n a procesorze M H S . M ożna więc w yelim inow ać o g ran iczen ia (12) i (13) d la procesorów M t , M i , M 3, S oraz og ran iczen ia (14) dla początkowych i końcow ych o p eracji m agazynow ania; (iii) uw zględnim y fa k t, że p o jem n o ść procesora M H S je s t ró w n a je d e n , a z a te m S 3IHS = S ^ h s - P o zw ala to w yelim inow ać o g ran iczen ia (12) i (13) d la procesora A /H S . W re z u lta c ie m o d el h arm o n o g ram o w a n ia szczegółowego T S d la rozw ażanego p rzy k ła
dowego p ro b lem u m o ż n a zap isać w p o sta ci 23 ograniczeń (11), 26 ograniczeń (14), 10 ograniczeń (15) i jednego o g ran iczen ia (16) u ż y w a ją c 20 zm iennych 1 = 1>--i20 o k re śla ją c y c h chw ile rozpoczęcia poszczególnych o p e ra c ji n a procesorze M H S , 20 zm iennych ! = 1>--i20 o k reślający c h chwile zakończenia oraz 10 zm iennych zasobow ych.
Załóżm y te ra z , że w tra k c ie p o sz u k iw an ia ja k n ajlep szeg o h a rm o n o g ram u o trz y m a liśm y pew ne do
puszczalne uszeregow anie n a p ro ceso rach A#i, M 3, A/3, M H S , S , k tó re chcielibyśm y popraw ić. J a k w spo
m niano, uszeregow ania n a p ro ceso rach A /i, M i , A/3, 5 są jed n o zn acz n ie określone przez uszeregow anie na procesorze M H S , a z a te m w y sta rcz y sk u p ić się n a an alizie sp o so b u m odyfikacji tylko tego uszeregow ania.
W celu jego p o p ra w y sp ró b u jem y w y k o rzy stać in fo rm acje w rażliw ościow e z z a d a n ia T S .
O kreślm y d la każdej p a ry a, b przyległych o p eracji n a procesorze M H S n a s tę p u ją c y w spółczynnik Oa.6-
oą.s ~ ż a, Aa3 —- Aj,, -{- Af, (19)
gdzie:
a , , . U2 - o p e ra c je n ale ż ą c e do tego sam ego z a d a n ia co o p e ra c ja a , p rzy czym a i b ezpośrednio po
p rz e d z a a, n a to m ia st o p e ra c ja C; w y stę p u je b ezp o śre d n io za o p e ra c ją a , czyli ( o i , a ) 6 H i ( a , a 2) € 7c,
b 1, 63 - o p e ra c je sp e łn ia ją c e analogiczny w arunek ja k w yżej, tz n . (61, 6) € 7Ć i (b, b?) S 7?,
A„,, Aa j,Ai,,As.j - m no żn ik i L ag ran g e‘a d la ograniczeń ty p u (14) i (15) o d p o w ia d a ją c y c h poszczególnym o p eracjo m a-i, a 3, b,, b7.
W ielkość a„,(, będziem y tra k to w a ć ja k o m ia rę p o p ra w y uszeregow ania p o za m ia n ie kolejności w ykony
w ania o p eracji a i 6 n a procesorze M H S . W o p arciu o m ia rę a m o żn a zaproponow ać d la rozw ażanego przykładow ego pro b lem u n a s tę p u ją c y p ro sty a lg o ry tm p o p ra w ia n ia uszeregow ania zdarzeń.
A l g o r y t m A
1. D la każdej p a ry o p eracji przyległych a i b n a procesorze A l H S w yliczam y w artości w spółczynników Qa,b*
2. S p o ś ró d p a r o p e ra c ji a, b, d la k tó r y c h z a m ia n a j e s t d o p u s z c z a ln a |W v b ie ra m y p a r ę a ' , b' z n a j m n i e j s z y m w s p ó łc z y n n ik ie m a .
3. Jeżeli w arto ść w spółczynnika je s t n ie u je m n a , to K O N IE C ; a k tu a ln e uszeregow anie tra k tu je m y jak o n ajlep sze. Je żeli <!„•,!.• < 0, to zam ien iam y kolejność w y k o n y w an ia op eracji a* i b~ na procesorze M H S .
4. R ozw iązujem y z ad an ie T S d la nowego uszeregow ania. Jeżeli uzyskaliśm y p o p raw ę (ew en tu aln ie ta k ą sa m ą długość uszeregow ania ja k p o p rzed n io ), to przech o d zim y do n a stę p n e j ite ra c ji re alizu jąc kroki 1-4. Jeżeli now e uszeregow anie je s t gorsze, to w racam y do p o p rzed n ieg o uszeregow ania, u zn ajem y z am ian ę p a ry a*, 6' za n ied o p u szczaln ą i cofam y się do k ro k u 2 .
W k roku 2 niedopuszczalność zam ian y o p e ra c ji m oże w ynikać n p . z p rz e k ro c z e n ia po jem n o ści procesorów , n ieatrakcyjności zam ian y (p a trz krok 4) lu b z a b ra n ia n ia w y k o n y w an ia z am ian ty ch p a r o p e ra c ji, k tó re były w y bierane w kilku p o p rzed n ich ite ra c ja c h (n p . s to s u ją c m e to d ę ’’ta b u se a rc h ” ).
D ziałanie a lg o ry tm u zilu stru je m y d la p rz y p a d k u , gdy p o czątk o w e uszeregowanie n a p ro ceso rze M H S w rozw ażanym przy k ład o w y m p ro b lem ie je s t p o sta ci: A . B , C, D , C , D , A , B , A , B , C. D , C , D. C , D, C. D . A, B . R o z w iązu jąc z a d an ie T S d la tego uszeregow ania o trz y m u je m y h arm o n o g ra m p rzed staw io n y n a rys.
2*“1 o m in im aln y m czasie 164.17 . M nożniki L ag ran g e‘a A d l a ograniczeń ty p u (15) o d p o w iad ający c h o peracjom z z a d a ń j = A , B , C , D w ykonyw anych n a pro ceso rach I — M i , A/2. Al3 są n a stę p u ją c e : Az,Mi = 0, Az.m, = 0, Ab m i = —0.5, \b,m% = 0, Ac.m, = —0.67, Xc.m, = 0 , Ac„m3 = - 1, Ac.m, = - 0 .3 3 , — —0-5, Xd.m, — 0. D la o p eracji m agazynow ych n a p ro ceso rze 5 p rzy jm u je m y , że m nożniki te są rów ne zeru . W sp ó łczy n n ik a a.h o sią g a n a jm n ie jsz ą w arto ść ró w n ą —1.33 d la p a ry o p eracji 14 i 15.
Z am ieniam y więc kolejność w ykonyw ania ty c h o p eracji n a p ro ceso rze M H S i o trz y m u je m y w drugiej iteracji h a rm o n o g ra m o długości uszeregow ania 157.5 p rzed staw io n y n a ry s. 2<6*. W trz e c ie j, czw artej i p ią te j iteracji n a p o d o b n ej zasad zie dokonujem y z am ian o p eracji 17 i 18, p o te m 18 i 19. a n a s tę p n ie 17 i 18 u zy sk u jąc u szeregow ania o długościach odpow iednio 152.5, 152.5 o ra z 147.5. H a rm o n o g ra m uzyskany w p ią te j ite ra c ji je s t p rzed staw io n y n a rys. 2*ck M nożniki L a g ran g e‘a o d p o w ia d a ją c e poszczególnym ograniczeniom z a d a n ia T S s ą n a s tę p u ją c e : XaMi = 0, A^.m- = 0, Xb,Mi — —0.5, Ab,m2 = 0, Ac .m , = - 0 .6 7 , Ac.Afj = 0, A c.m, = 0 , A0 ,m, = —0.33, A D.Ml = - 0 . 5 , Ad„w, = - 1 . W sp ó łczy n n ik i a a,b p rz y jm u ją najm n iejsze w artości d la p a r 18 i 19 o raz 10 i 11, p rzy czym Q i5,19 = —1, Q10.11 = —0.67. P o dokonaniu zam iany p ary 18,19 i rozw iązan iu z a d a n ia T S stw ie rd zam y w szóstej ite ra c ji, że now e uszeregow anie je st dłuższe, b o rów ne 152.5 . W racam y więc do p o p rzedniego u szeregow ania i zam ien iam y o p e ra c je 10 i 1!, co d a je w siódm ej iteracji uszeregow anie o długości 144.17 . N a stę p n ie w ósm ej iteracji zam ieniam y kolejność w ykonyw ania o p eracji 8 i 9 i o trzy m u je m y h a rm o n o g ra m p rzed staw io n y n a rys. 2 |J* z czasem 141.67 . W sp ó łczy n n ik o„,i osiąg a n a jm n ie jsz ą w arto ść ró w n ą - 1 znow u d la p a ry o p eracji 18 i 19, przy czym z a m ia n a tych o p eracji p o d o b n ie ja k w ite ra c ji szóstej n ie p row adzi do p o p ra w y uszeregow ania.
W ym ieniane są więc o p e ra c je 11 i 12 z n a stę p n y m co do wielkości w sp ó łczy n n ik iem ctn.ia = —0.5, co prow adzi do h a rm o n o g ra m u z czasem końcow ym 140. W je d e n a ste j ite ra c ji z am ien iam y op e ra c je 9 i 10, dla których <19,10 = —0.78 i u zyskujem y h a rm o n o g ra m p rzed staw io n y n a ry s. 3. D ługość u szeregow ania wynosi 134.5S . W artości m nożników L ag ran g e‘a d la tego p rz y p a d k u są n a s tę p u ją c e : A^ m. = —0.25, A^.m, = - 0 . 5 , Ab.m. = —0.25, Ab.m, = 0 , Ac.m, = —0.17, Ac,m7 - —0.25, Ac,a/, = 0 , \ d . m , —0.17,
Minimalnokosztowe harmonogramowanie produkcji 3 0 7
(»)
M , M 2 m3
M H S
(b)
M i M2
M3
M H S
(c)
Ai,
M2
M3
M H S
(d) M , M i M3
M H S
D ługość u szeregow ania 164.17
[ X
A 1131CIDI
[Ć] iDlAlDlAlnlClDl IclDlclDl
5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 14 1 5 16
IciDlAlBl
1 7 18 19 2 0 :
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 <
D ługość uszeregow ania 157.5
1 c 1 1 A 1
i D 1 i i B I
i . , ę 1 .
D
a
I
bI
cI
d! fćIlDlAliilAliTIcTńl I
cI
cI
dI
dI I
cI
dI
aI
bi1 2 3 4 5 0 7 8 9 10 11 12_______ 13 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 19 20*.
Ó 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1Ó0 110 120 130 140 150 160 1
D ługość u szeregow ania 147.5 1 ... A ... "■ 1 1 C 1
1 B 1 i . 0 . !
1 c " I 1 A 1
1 D | 1 B
[ C 1
1 D I
A lB lC lD l [ Ć I I P IaIB IA IbTcTdI . |C |C |D |D | 0 |D [C |B |
5 6 7 8 9 1 0 11 IZ 1 3 14 15 16 I T 1 8 1 9 5 0 .
0 10 20 30 40 50 60 70 80 PO 100 110 120 130 140 150 160 <
D ługość uszeregow ania 141.67
B
J LX
T T 1
i , i; l
1 p
I D
A lB lc lD l [cI IdIaI.aIbIcTbTdI IcIC IdIdI 0 |d(c|b|
^ • o in t i m in ii ii. ir 17 in iq Ofi.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1) 17 13 14 13 16___________17 18 19 2 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 <
R y s . 2 . H arm o n o g ra m y uzyskiw ane w kolejnych ite ra c ja c h a lg o ry tm u .4:
a ) 1 ite ra c ja ; b) 2 ite ra c ja : c) 5 ite ra c ja ; d ) 8 ite ra c ja F i g . 2 . S chedules re su lte d from successive ite ra tio n s of th e a lg o rith m A:
a) ite ra tio n 1: b) ite ra tio n 2; c) ite ra tio n 5: d ) ite ra tio n 8
Au M i = —0.25, A r > , = —0.5. W spółczynniki a c t p rz y jm u ją u jem n e w artości tylko dla dw óch p ar o peracji, tzn. an>,n = —0.42 i Ois.is — —0.5. Z am ia n a o p eracji 10 i 11 je s t je d n a k niem ożliw a, gdyż n aru sza pojem ność p ro ceso ra M i (ch y b a że jed n o cześn ie p rzestaw im y te ż o p e ra c je n r 2 i 16). Z am ia n a operacji 18 i 19 prow adzi zas' do po g o rszen ia uszeregow ania, bo d a je koszt 137.5 . U szeregow anie z rys. 3 trak u jem y więc ja k o końcowe.
M i M j M3
M U S
r ~ ę ~
Dlugoś
AlnlclDl I
cI
dI
aI
aI
c ibI
uI
bI
cI
cI
dI
dI |
a|
d|
c|
b|
uszeregowania 134.58
1 2 3 4 S 6 ? S 9 10 11 13 13 14 15 16 17 18 19 20;
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 <
R y s . 3 . H arm o n o g ra m końcow y d la przykładow ego p ro b lem u F ig . 3: T h e final schedule for th e e x a m p le problem
Ja k m o żn a się p rzek o n ać n a p ow yższym p rzy k ład zie, a lg o ry tm A p o p ra w ia uszeregow anie ty lk o lo
kalnie. P rz e sta w ia ją c n p . o p e ra c ję 20 n a m iejsce 18 w końcow ym uszeregow aniu z ry s. 3 uzyskujem y lepszy h a rm o n o g ra m o koszcie ró w n y m 132.5 . A lg o ry tm A nie doprow adzi! do tak ieg o uszeregow ania, chociaż m o żn a b yło zauw ażyć te n d e n c je do przestaw ień w> ty m k ie ru n k u w ite ra c ja c h 6 . 9 i 12. W idać więc, że alg o ry tm A pow inien b y ć w zbogacony o p ew n e do d atk o w e m ech an izm y p o z w a la ją c e dokonyw ać bardziej globalnych p rzestaw ie ń niż ty lk o z a m ia n a dw óch p rzyległych o p e ra c ji. R uchy ta k ie pow inny być uw zględniane zw łaszcza w tedy, gdy z a m ia n a p ew nych dw óch o p eracji n a pro ceso rze M U S je s t blokow ana przez og ran iczo n ą pojem nos'ć procesorów . In fo rm acje w rażliw ościow e m o g ą być w b ard ziej skuteczny sposób w y k o rzy stan e w schem acie sym ulow anego w yżarzan ia, gdzie m ia ra a m o że służyć ja k o in stru m e n t o graniczania o to c z e n ia b ieżące g o ro z w ią z a n ia do n a jb a rd z ie j o b iecu jący ch p u n k tó w są sied ztw a. W y b ó r nowego p u n k tu je s t w te d y o kreślany losowo z uw zględnieniem oceny ich jakości [3j.
5 . A lg o ry tm p oszuk iw ań alokacji i uszeregow an ia zdarzeń
M e to d a poszukiw ań ja k najlep szeg o , lecz niekoniecznie o p ty m a ln e g o h a rm o n o g ra m u m o że być z re alizow ana w o p arciu o n a s tę p u ją c y ogólny sc h e m a t (p o r. [3j) b ę d ą c y k o m b in a c ją m e to d y sym ulow anego w yżarzania z m e to d ą wrażliwościow ej an alizy p e rtu rb a c y jn e j oraz h e u ry sty k a m i p rio ry te to w y m i.
P rz y jm ijm y , że p u n k te m sta rto w y m do iteracy jn eg o a lg o ry tm u p oszukiw ań .jest ja k n a jle p sz y h a rm o nogram p o czątk o w y , uzyskany n p . p o w y b o rze ja k n ajlep szeg o h a rm o n o g ram u ze z b io ru h arm o n o g ram ó w uzyskiw anych w ariantow o z sy m u la to ra E S P w y k o rzy stu jące g o ró ż n o ro d n e reg u ły h e u ry sty c z n e , n p. p rio ry teto w e, szeregow ania o p eracji w sy stem ie [1, 2J. Z każdego o trz y m a n e g o z s y m u la to ra h arm o n o g ram u w y b ieram y je d y n ie alokację i uszeregow anie zd arzeń , n a to m ia s t p o z o sta łe zm ien n e o k re śla ją c e najlepszy, szczegółowy h a rm o n o g ra m w y k o n an ia w szystkich o p eracji w yznaczam y ro z w ią z u ją c liniow e za d a n ie har- m onogram ow ania T S m in im alizu jąc kosztow e k ry te riu m jakości. (W re z u lta c ie o trz y m u je m y p o czątk o w ą alokację A ° o p eracji do procesorów o raz p o czątk o w e uszeregow anie zd arzeń S ° .)
Na p o c z ą tk u t - te j ite ra c ji a lg o ry tm u p o sz u k iw an ia alokacji i u szeregow ania je s t zn an y p rzydział operacji do m aszy n A*, uszeregow anie o p eracji S * , h a rm o n o g ra m zd a rz e ń T k o raz ro zd ział zasobów zużvw a!nvch Z k .
Minimalnokosztowc harmonogramowanie produkcji 3 0 9
A o to skrócony zapis i - te j iteracji alg o ry tm u :
1. generow anie i p rzy b liżo n a o cen a n a jb a rd z ie j obiecujących p u n k tó w są sie d z tw a ak tu aln eg o p u n k tu ( A k , S k ) d okonyw ana z w y k o rzy stan iem analizy 'w rażliw ościow ej' bieżącego ro zw iązan ia,
2. w ylosow anie z są sie d z tw a nowej alokacji i uszeregow ania o p eracji (A*41, S k+I), p rzy czym praw do
p o d obieństw o w y b o ru p u n k tu zależy od oceny jakości nowego p u n k tu uzyskanej w w yniku wrażliwo- ściowej an alizy a k tu a ln e g o ro zw iązan ia z a d a n ia pro g ram o w a n ia liniow ego T S k,
3. obliczenie szczegółowego h a rm o n o g ra m u p o p rzez rozw iązan ie z a d a n ia T S k+1, w k tó ry m d la u sta lo nej alokacji i uszeregow ania (A t+ 1, 5 t+1) w y zn ac za się o p ty m a ln e chwile zd arzeń T k+i o raz rozdział Z 141 zasobów zużyw alnych.
4. a k c e p ta c ja lu b o d rz u c e n ia ob ran eg o ro zw iązan ia za p o m o cą reg u ł m e to d y sym ulow anego w yżarzania.
Bardzo w ażnym elem en tem a lg o ry tm u , m a ją c y m isto tn y w pływ n a efektyw ność a lg o ry tm u poszu- kiw ań.jesl za p ro je k to w a n ie sp o so b u g en ero w an ia ograniczonego zb io ru n a jb a rd z ie j o b iecu jący ch p unktów sąsiedztw a a k tu a ln e g o p u n k tu ( A k, S k ). P u n k ty są sie d z tw a m o ż n a uzyskać przez w yznaczenie zbioru w ariantow ych realokacji o p eracji p o p rzez przem ieszczenie n iek tó ry ch k ry ty czn y ch o p e ra c ji n a m niej k ry tyczne m aszyny o raz zm ian y uszeregow ania zdarzeń.
Z ro zw iązan ia z a d a n ia liniowego T S m o żn a uzyskać in fo rm acje wrażliwościow e (m nożniki L ag ran g c‘a ograniczeń o raz w artości zm iennych d o p e łn ia ją c y c h ty c h ograniczeń) p o z w a la ją c e n a m niej lu b bardzej dokładne oszacow anie kosztu lu b zysku z p rzesu n ięc ia każdego ze zd arzeń . P rz y k ład o w o , rozw ażm y oszaco
wanie ko sztu p rzesu n ięc ia chw ili t~ d la z d a rz e n ia p o leg ająceg o n a rozpoczęciu o p eracji n. Jeżeli o p eracja m je st o p e ra c ją teg o sam ego z a d a n ia p rzy leg łą do n , tj. (rn ,n ) € R, to m n o żn ik L a g ra n g e 'a og ran i
czenia (14) l ub (15) d la operacji m o k reśla jedn o stk o w y zysk ze sk ró cen ia czasu u k o ń czen ia tej o p e
racji o je d n o stk ę czasu. Je d n o cześn ie w arto ść zm iennej d o p e łn ia ją c e j teg o o g ran iczen ia o k reśla d opusz
czalny p rzed ział tego p rzesu n ięc ia b ez konieczności przesu n ięc ia zd a rz e ń p o p rz e d z a ją c y c h . Z właściwości rozw iązania o p ty m a ln e g o w ynika, że tylko je d n a ze zm iennych sprzężonych (t j . m n o żn ik a L ag ran g e‘a i zmiennej d o p e łn ia ją c e j) m oże być d o d a tn ia .
M a ią c obliczone fu n k cje sz a c u ją c e koszty p rzesu n ięc ia w lewo chw il t~ oraz w praw o chwil i 4 , istnieje możliwość w yselekcjonow ania tych p o te n c ja ln ie k o rzy stn y ch p u n k tó w są sie d z tw a a k tu a ln e g o ro zw iązan ia, otrzym anych w w yniku zm iany u szeregow ania zd arzeń , d la k tó ry c h ta k a z a m ia n a prow adzi do ja k n a jk o rzystniejszej oceny p o p raw y (w y k o rzy stu jącej obliczone fu n k cje kosztów przesu n ięc ia ). T ak więc opisana m etoda je st sp o so b em n a św iadom e o g ran iczen ie w ariantów poszukiw ań do rozw iązań ocenianych jak o stosunkowo n a jk o rzy stn iejsze.
P odczas generow ania ograniczonego są sie d z tw a a k tu a ln e g o p u n k tu (A *, 5*). należy z ad b ać , aby ge
nerowane p a ry [ A , S ) były d o p u sz czaln e (tj. um ożliw iały rozw iązan ie z a d a n ia T S ) . N ależy p rz y ty m uwzględnić fa k t, iż uszeregow ania wejściowe oraz wyjściowe 5 f , 5 4 u sta lo n e j m aszy n y s ą częściowo pow iązane z in n y m i z m ien n y m i o k re śla ją c y m i uszeregow anie o p eracji technologicznych n a in n y ch , od p o wiednio p o w iązan y c h m aszy n ach . T ak więc z a m ia n a dw óch zd arzeń , n p . ro zp o czy n an ia p ew nych operacji na ty m sa m y m p ro ceso rze, m oże im plikow ać p o trz e b ę zam ian y zd arzeń in nych, n p. zam ian ę kolejności kończenia tych o p eracji. W szczególnych p rzy p ad k ach p ew n e uszeregow ania n a je d n y m procesorze m ogą nawet w ynikać całkow icie z innych uszeregow ań n a in n y m p ro ceso rze d o m in u ją c y m . P rz ykładow o, jeżeli rozw ażam y bufor /, k tó ry je s t b uforem w ejściow ym tylko je d n e j m aszyny, to selekcja N4 je s t określona jednoznacznie przez uszeregow anie wejściowe o p eracji n a te j m aszynie. A nalogicznie, selekcja je st określana je d n o z n a c z n ie d la b u fo ra wyjściowego je d n e j m aszyny. Z drugiej stro n y , jeżeli pew na ilość m aszyn zasila ty lk o je d e n m ag azy n buforow y, to uszeregow anie S f o kreśla je d n o z n a c z n ie uszeregow a
nie w yjściowe o p eracji n a ty c h m aszy n ach . P o d o b n ie S f określa jed n o zn acz n ie uszeregow anie wejściowe operacji n a w szy stk ich m aszy n ach o d b ie ra ją c y c h z ad an ia w yłącznie z b u fo ra l.
U w a g i k o ń c o w e . R ozw ażane w p ra c y podejście do h arm o n o g ram o w a n ia procesów p ro d u k cji w E SP w op arciu o zunifikow any m o d el zasobów m aszynow ych, buforow ych i tra n sp o rto w y c h z jednoczesnym uw zględnieniem alokacji zasobów zużyw alnych prow adzi do dw upoziom ow ego a lg o ry tm u h a rm o n o g ra m o w ania,w k tó ry m n a p o ziom ie n a d rz ę d n y m m o ż n a stosow ać złożone a lg o ry tm y p oszukiw ań ja k najlepszego uszeregow ania zdarzeń^ n a to m ia s t n a poziom ie niższym je s t rozw iązyw ane za d a n ie liniow e o sp ecjalnej stru k tu rz e d o sta rc z a ją c e isto tn y c h in form acji w rażliw ościow ych d la alg o ry tm u n ad rzęd n eg o . Podkreślić tu ta j trz e b a , że sp raw ą o tw a rtą je s t d alsze rozw ijanie efektyw nych m e to d alokacji p rocesorów i szere gow ania o p eracji w E S P w p rz y p a d k u ro zd ziału zasobów zużyw alnych - p ro b le m te n w y m a g a dalszych żm udnych b a d a ń , ze w zględu n a specyfikę zagadnień szeregow ania z alokacją zasobów' zużyw alnych ¡4], p o w odującą pow staw anie w ielu ścieżek k ry ty czn y ch , co o sła b ia m oc wielu reg u ł szeregow ania.
R ozw ażane w tej p ra c y po d ejście alg o ry tm icz n e m o żn a rów nież tra k to w a ć ja k o p o te n c ja ln ą a lte rn a tyw ę w sto su n k u do klasycznych m e to d sy m u lac ji procesów p ro d u k cji w E S P , u m o ż liw ia ją c ą realizację
‘efektyw nej1 sy m u lacji p o łączo n ej ze stosunkow o efektyw nym i m e to d a m i sz eregow ania zd arzeń . W s to sun k u do m e to d sy m ulacyjnych a p a r a t te n um ożliw ia o p ty m a liz a c ję w artości w ażnych zm ien n y ch de
cyzyjnych (chw ile zd arzeń i alokację zasobów zużyw alnych) o raz d o s ta rc z a in fo rm acji w rażliw ościow ych w ykorzystyw anych w n ad rz ę d n y m a lg o ry tm ie poszukiw ań.
L iteratura
[1] F rench S.: Seq uencing a n d Scheduling: ,4n In troduct ion to the M a th e m a tic s o f the Job-Shop. H orw ood, C h ich e ster, 1982.
[2] G ere W .S.: H e u ristic s in Jo b S hop S cheduling. M a n a g e m e n t Sc ie nc e 13, 164-180, 1966.
[3] Jag iełło S., T oczylow ski E.: Szczegółow e m inim alnokosztow e h a rm o n o g ra m o w a n ie p ro d u k cji w gnieżdzie p ro d u k cy jn y m z m a sz y n a m i rów noległym i. Zesz. Nauk . Pol. SI., ser. A u to m a ty k a , z.102.
61-71, 1990.
[4] J a n ia k A .: D o k ład n e i p rzy b liżo n e alg o ry tm y szeregow ania zad ań i ro zd ziału zasobów w d y sk retn y ch p rocesach przem ysłow ych. Prace Na uk . In st . Cyb. Techn. Pol. Wroc., N r. 87, 1991.
[5] Toczylowski E.: D w upoziom ow e h a rm o n o g ram o w a n ie p ro d u k cji śred n io sery jn ej w elasty czn ej lilii' potokow ej. Prace Nauk . Inst. Cyb. Techn. Pol. Wroc., N r. 78, 149-155, 1988.
[6] Toczylow ski E .: Niektóre m e to d y strukt uraln e optym alizacji do sterow ani a w dys kretnyc h sy st em ac h wytwarzania. W N T , W arszaw a, 1989.
[7] Toczylowski E.: Szczegółowe m odele zasobów buforow ych i tra n sp o rto w y c h zau to m aty zo w an y c h gniazd w y tw arzan ia. Prace Na uk . In st . Cyb. Techn. Pol. Wroc.,N r. 82. 267-272. 1990.
R e c e n z e n t : P r o f . d r h . i n z . K o n r a d K a l a W p ł y n ę ł o d o R e d a k c j i d o 3 0 . 0 4 . 1 9 9 2 r.
A b s t r a c t :
An a lg o rith m is p re se n te d for th e d e ta ile d p ro d u c tio n sc h ed u lin g pro b lem in a FM S cell, w here p ro cessing ra te s of som e o p e ra tio n s m ay b e red u ced by a llo catio n s of som e c o n su m a b le resources, an d th e renew able resources (w ork-centers, buffers an d m a te ria l h a n d lin g sy stem s) a re m o d elled in a unified way as general processors. T h is allow s us to rep re sen t th e lim ita tio n s of th e ren ew ab le reso u rces a n d p re ce dence relatio n s on a n etw o rk of ev en ts. T h is n etw o rk can be easily tra n sfo rm e d in to a s tru c tu re d linear p ro g ram m in g p ro b lem , w hich is a su b p ro b ie m of a g eneral sc heduling p ro b le m in F M Ss.
T h e alg o rith m h as a tw o-level s tru c tu re . A t th e h ig h er level a c o m p o site search schem e is considered, which uses th e sim u la te d a n n ealin g alg o rith m w ith som e a d d itio n a l ru les in c o rp o ra te d for th e re d u c tio n of th e search space. T h e se ru les ta k e in to account se n sitiv ity analysis o f th e L P so lu tio n o f th e low>er-ievel problem .
