A EGZAMIN ZALGEBRYLINIOWEJ,SEMESTR LETNI2003
CZ ˛E ´S ´CI. ZADANIA
1. Niech f : C3 7→ C3b˛edzie homomorfizmem o macierzy A =
−1 −2 −3
0 2 3
0 −3 −4
w bazie standardowej.
(a) Znale´z´c macierz Jordana AJ przekształcenia f oraz baz˛e w której macierz f ma posta´c Jordana (b) Czy istnieje baza w C3w której f ma macierz
−1 1 1
0 −1 0
0 0 −1
2. Niech E = E(R3) b˛edzie afiniczn ˛a przestrzeni ˛a euklidesow ˛a ze standardowym iloczynem skalarnym i K = af{[1, 1, −1], [3, 2, −3]} ⊆ E.
(a) Znale´z´c układ równa´n opisuj ˛acy K.
(b) Znale´z´c równanie płaszczyzny P prostopadłej do K i przechodz ˛acej przez punkt [2, 2, 2].
(c) Znale´z´c rzut prostopadły prostej L = [1, 1, −1] + lin{(1, 0, 1)} na płaszczyzn˛e P .
3. Dana jest przestrze´n ortogonalna (R3, ξ) z form ˛a 2-liniow ˛a ξ maj ˛ac ˛a w bazie standardowej macierz
1 1 1 1 1 2 1 2 3
(a) Sprawdzi´c czy przestrze´n ta jest przestrzeni ˛a euklidesow ˛a.
(b) Znale´z´c baz˛e prostopadł ˛a na wpół unormowan ˛a.
(c) Sprawdzi´c czy lin{(1, 1, 1)}⊥M , gdzie M jest podprzestrzeni ˛a opisan ˛a równaniem x1+ x2+ x3= 0.
(d) Poda´c przykład wektora izotropowego.
4. Niech E = E(R3) b˛edzie afiniczn ˛a przestrzeni ˛a euklidesow ˛a ze standardowym iloczynem skalarnym. Poda´c przykład izometrii (=przekształcenia ortogonalnego) T : E → E takiej, ˙ze T (M1) = M2, gdzie M1, M2 s ˛a płaszczyznami opisanymi równaniami x1+ x3 = 1 i x1+ x2 = 1, odpowiednio.
5. Dla ka˙zdego t ∈ R niech At ⊆ R3 oznacza zbiór algebraiczny opisany równaniem x21+ 2x1x2+ 4x1x3+ 8x2x3+ tx3+ 4 = 0. Sprawdzi´c czy A1i A−4maj ˛a ten sam typ afiniczny. Naszkicowa´c te zbiory.
CZ ˛E ´S ´CII. TEORIA
1. Podaj przykłady trzech punktów w R3 które s ˛a w poło˙zeniu ogólnym oraz trzech ró˙znych punktów w poło-
˙zeniu szczególnym. Odpowied´z uzasadnij.
2. Podaj definicj˛e przekształcenia samosprze˙zonego i jego macierzow ˛a charakteryzacj˛e.
3. Niech f : E → E b˛edzie automorfizmem afinicznym n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej i A n- wymiarowym równoległo´scianem w E o obj˛eto´sci o(A). Jaka jest obj˛eto´s´c równoległo´scianu f (A)?
4. Korzystaj ˛ac z wyznacznika Gramma, podaj wzór na odległo´s´c punktu od podprzestrzeni afinicznej w prze- strzeni euklidesowej.
Ka˙zde zadanie nale˙zy pisa´c na oddzielnej kartce.
Cz˛e´s´c II nale˙zy traktowa´c jako jedno zadanie.
Punktacja:
zadania z cz˛e´sci I po 10 punktów zadania z cz˛e´sci II po 5 p.
Razem 70 p.
