f :   , gdzie I – przedział (zbiór spójny)

CAŁKA NIEOZNACZONA

R I R

f :   , gdzie I – przedział (zbiór spójny)

Def. Funkcją pierwotną funkcji f nazywamy funkcję F taką, że 

_xI

F  ( x )  f ( x ) .

Warunkiem koniecznym istnienia dla funkcji f funkcji pierwotnej jest posiadanie przez f własności Darboux (więc f nie może mieć nieciągłości I-go rodzaju).

(zobacz Dodatek -na końcu tego wykładu)

Warunkiem wystarczającym istnienia dla funkcji f funkcji pierwotnej jest ciągłość funkcji f.

Łatwo pokazać, że

 jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to F+c również jest funkcją pierwotną funkcji f

 dwie funkcje pierwotne F

1

i F

2

funkcji f mogą się różnić jedynie o stałą c.

Def. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f na przedziale I nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f na tym przedziale i oznaczamy  f ⁽ x ⁾ dx ^.

Uwaga: funkcje e

^x2

, x

x sin ,

x e

^x

nie posiadają funkcji pierwotnych w klasie funkcji elementarnych.

Wzory postawowe : (w przedziałach, w których f i F są określone) const

c dx  

 ⁰  ^x

^

^{dx } _ ¹ _{ } ^x

^

^{ c   }

c x x dx  

 ^{1 ln}  ^e

^x

^{dx  e}

^x

^{ c}

a c dx a a

x

x

 

 _ln  ^{sin x dx   cos x  c}

c x dx

x  

 ^{cos sin}  _cos ¹

²

_x ^{dx  tg x  c}

c x x dx   

 _sin ¹

²

^ctg  _{1 } ¹ _x

²

^{dx  arctg x  c}

c x dx

x



 

 ^arcsin

1 1

2

dx f x c

x f

x

f   

 ₍ ⁽ ₎ ^{) ln ( )}

Prawdziwe są także następujące wzory

 

   















 

 

dx x g dx

x f dx x g x f

c x f dx x f

x f dx x f

) ( )

( )

( ) (

) ( )

(

) ( )

(









Uwaga. Pochodna całki (czyli zbioru funkcji pierwotnych), to zbiór pochodnych poszczególnych funkcji pierwotnych- wszystkie te pochodne są równe f wiec dla prostoty piszemy f

Suma całek jest rozumiana jako algebraiczna suma zbiorów.

Metody całkowania

I. Przez części: (bezpośrednio z wzoru na różniczkowanie iloczynu)

Tw. Jeżeli funkcje f i g mają ciągłe pochodne w I, to  ^{f ( x ) g  ( x ) dx  f ( x ) g ( x ) }  ^{f  ( x ) g ( x ) dx}

Przykład xe e c

e x g e x g

x f x x dx f

xe

^x _{x x}



^x



^x





 

 

 

 ₍ ⁽ ₎ ⁾ ₍ ⁽ ₎ ^{) 1}

Wzory rekurencyjne (wyprowadzane z całkowania przez części):

(R)  _{( 1 } ^dx _x

²

₎

ⁿ

^ _{2 n} ¹ _{ 2 ( 1  x} ^x

²

₎

^n1

^ ₂ ² _n ⁿ _ ^ ₂ ³  _{( 1 } ^dx _x

²

₎

^n1

^{n  2}

(S) xdx

n x n n x

xdx

^{n n}

n



 ^{sin   1 cos sin}

^1

^{  1 sin}

^2

(C) xdx

n x n n x

xdx

^{n n}

n



 ^{cos  1 sin cos}

^1

^{  1 cos}

^2

Dow. (R) 

 

 





 

   

 _{( 1} ^dx _x

²

₎

ⁿ

¹ _{( 1} ^x

²

_x

²

₎ ^x

ⁿ²

^dx _{( 1} ^dx _x

²

₎

^n1

^x _{2 ( 1} ² _x ^x

²

₎

ⁿ

^dx

 

 

 

 

 

 



 





_{ }



 1



^{2 1 2 1}

2

2

( 1 )

1 1 1 ) 2

1 ) (

1 1 ( ) 1

) ( 1 ( ) 2 (

2 ) 1 2 (

) (

n n n

n

n x

x x

dx n x

x x g

x x g

x x f

x f



 _

^

^ _{ }

^

^{ } _ ^{ } _ ^ _ ^ _

^

 

_{2 1 2 1 2 1}

) 1 2 ( 2 1 1 ) 1 2 ( 2

1 )

1 1 (

1 2 1

n n

n

x

dx x n

x x n

dx n

II. Przez podstawienie (ze wzoru na różniczkowanie funkcji złożonej)

 t  t dt f

dx x

f ( )    ( )   ( )



Tw: (o całkowaniu przez postawienie x   (t ) ) Jeżeli:

1º  : T  X jest różniczkowalnym i wzajemnie jednoznacznym (bijektywnym) przekształceniem przedziału T na przedział X,

2º funkcja f : X  R ma funkcję pierwotną na przedziale X, to:  f ( x ) dx   f   ( t )    ( t ) dt ^{, gdzie t  }

^1

^{( x )}

Dowód. Funkcja F(  (t)) będąca złożeniem funkcji różniczkowalnych jest różniczkowalna na T i prawdziwy jest wzór [ F (  ( t ))]

^'

 F

^'

(  ( t )) 

^'

( t )  f (  ( t )) 

^'

( t ) , skąd mamy

c t F dt t t

f  

 ^{(  ( )) }

^'

^{( ) (  ( ))} na przedziale T. Z założenia 2 mamy  f ⁽ x ⁾ dx  F ⁽ x ⁾  c ^na przedziale X. Z założonej wzajemnej jednoznaczności  , istnieje funkcja odwrotna 

^-1

: XT . Po podstawieniu t  

^1

( x ) do F (  ( t )) otrzymujemy F (  ( 

^1

( x )))  F ( x ) , więc

dt t t f dx x

f ( ) (  ( )) 

^'

( )

 ^  , przy czym t= 

^-1

(x).

Tw. (o całkowaniu prze podstawienie y  h (x ) ) Jeżeli:

1º h : X  Y jest różniczkowalnym odwzorowaniem przedziału X na Y,

2º funkcja g : Y  R ma funkcję pierwotną G na Y,

to:  ^g  ^{h ( x )}  ^{h  ( x ) dx }  ^{g ( y ) dy , gdzie y  h (x )}

Dowód. Podobnie jak poprzednio wystarczy zauważyć, że funkcja G(h(x)) jest funkcją pierwotną

funkcji g(h(x))h

^’

(x) na przedziale X , więc  ^{g ( h ( x )) h}

^'

^{( x ) dx} = G(h(x))+c =  ^{g ( y ) dy ,}

gdzie y=h(x).

Oba wyprowadzone wzory na całkowanie przez podstawienie, z pozoru identyczne, są jednak istotnie różne. Jeśli weźmiemy pod uwagę, że rozważanym zagadnieniem jest wyznaczenie całki funkcji określonej na przedziale X, to w pierwszym przypadku wymagana jest odwracalność funkcji definiującej podstawienie (zwane wstecznym) a w drugim nie. Drugie podstawienie (w przód) wymaga natomiast specjalnej postaci funkcji podcałkowej.

Przykład    



 







 













 

 

 t ^{t tdt}

x tdt

dx

x t

t dx x

x 1 sin cos

; ) 1

; 1 ( cos

arcsin

1

²

sin  

²

c x x

x c

t t t

tdt

x arc t



















 ²

sin )

2 (

2 1 arcsin 2 cos 1

2 sin 1 cos 2

C wzór

Całkowanie funkcji wymiernych

Funkcja wymierna to funkcja

) (

) ) (

( M x

x x L

f  , gdzie licznik i mianownik to wielomiany względnie pierwsze. Jeżeli stopień wielomianu L jest mniejszy od stopnia wielomianu M ( st(L)<st(M) ), to funkcję wymierną

) (

) (

x M

x

L nazywamy funkcją wymierną właściwą.

Jeżeli st(L)st(M), to wykonując dzielenie wielomianów otrzymujemy następujące przedstawienie

) (

) ) (

) ( (

) (

x M

x x R x W M

x

L   i st(R)<st(M). Aby scałkować dowolną funkcję wymierną wystarczy pokazać jak całkować funkcję wymierną właściwą

Wiadomo z algebry, że funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.



_k

a x

A )

(  - ułamek prosty I-go rodzaju



_n

q px x

C Bx

) (

²

 

 ,   p

²

 4 q  0 - ułamek prosty II-go rodzaju

n n n k

k n

k

x px q

C x B q

px x

C x B a

x A a

x A a x

A q

px x a x

x L

) (

) ( )

( ...

) (

) (

) (

2 2

2 1 2

2 1

2

 

 

 



 

 



 

 

 



   

Przykład Rozłożyć na ułamki proste funkcję

) 2 ( ) 1 (

11 5

2 2 2





 x x

x

x

.

Z uwagi na postać mianownika rozkład jest następujący

2 )

1 1 (

) 2 ( ) 1 (

11 5

2 2 2

2 2



 

 

 







x D Cx x

B x

A x

x

x

x

,

skąd po przemnożeniu obu stron przez (x-1)²(x²+2) otrzymujemy tożsamość (równość dla każdego x) 5x²-11x = A(x-1)(x²+2)+ B(x²+2)+(Cx+D)(x-1)² ,

stąd po uporządkowaniu otrzymujemy równoważną tożsamość

5x²-11x = (A+C)x³+(-A+B-2C+D)x²+(2A+C-2D)x +(-2A+2B+D).

Porównanie odpowiednich współczynników prowadzi do układu

 



 



































0 2

2

11 2

2

5 2

0

D B A

D C A

D C B A

C A

, którego rozwiązaniem jest A=1, B=-2, C=-1, D=6.

Stałe A,B,C i D można szybciej wyznaczyć wstawiając do tożsamości 5x²-11x=A(x-1)(x²+2)+ B(x²+2)+(Cx+D)(x-1)²

miejsce zerowe dwumianu x-1 tzn. x=1 uzyskując proste równanie -6=3B, skąd natychmiast dostajemy B = -2. Wstawiając do powyższej równości B = -2 i grupując po lewej stronie wyrazy nie zawierające nieznanych stałych otrzymujemy

7x²-11x+4=A(x-1)(x²+2)+(Cx+D)(x-1)².

Widać, że wielomian po prawej stronie jest podzielny przez dwumian (x-1). Wobec tego wielomian po lewej stronie również musi być podzielny przez ten dwumian, co oznacza że x=1 musi być pierwiastkiem tego wielomianu. Jest to pewna forma kontroli poprawności dotychczasowych obliczeń. Po wykonaniu dzielenia obu stron przez (x-1) otrzymujemy równość

7x-4=A(x²+2)+(Cx+D)(x-1),

z której po podstawieniu x=1 otrzymujemy 3=3A ,więc A=1. Wstawiając uzyskaną stałą do powyższej równości, po zgrupowaniu wyrazów nie zawierających nieznanych stałych po lewej stronie otrzymujemy

-x²+7x-6= (Cx+D)(x-1).

Znowu widać, że skoro wielomian po prawej stronie jest podzielny przez (x-1), to wielomian po lewej stronie również musi być podzielny przez (x-1) (łatwo sprawdzić, że x=1 jest pierwiastkiem wielomianu po lewej stronie). Wykonując dzielenie obu stron przez (x-1) otrzymujemy

-x+6=Cx+D , skąd C=-1 i D=6.

Widać, że wykonując opisane operacje można wyznaczyć stałe A₁,...,A_k związane z czynnikiem (x-a)^k.

Stałe B1,...,Bn,C1,...,Cn związane z czynnikiem (x²+px+q)ⁿ mogą być wyznaczone w ten sam sposób poprzez podstawienie do równości wielomianowej zespolonego pierwiastka równania x²+px+q=0 i zastąpienie dzielenia wielomianów przez dwumian x-a dzieleniem przez trójmian x²+px+q.

Innym sposobem wyznaczania nieznanych współczynników jest wykorzystanie faktu, że równość wielomianów pociąga za sobą równość ich pochodnych (które są wielomianami stopnia o 1 niższego niż wyjściowe wielomiany. Wracając do rozważanego wcześniej przykładu

5x²-11x=A(x-1)(x²+2)+ B(x²+2)+(Cx+D)(x-1)²

wstawiając x=1 otrzymujemy B = -2. Różniczkując obustronnie powyższą tożsamość otrzymujemy 10x-11=A(x²+2)+2 Ax(x-1)+ 2Bx +C(x-1)² + 2Cx(x-1).

Obliczając wartości lewej i prawej strony dla x=1 otrzymujemy -1=3A-4 więc, tak jak poprzednio, A=1.

Biorąc pod uwagę możliwość przedstawienia funkcji wymiernej właściwej w postaci sumy ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju możemy sprowadzić całkowanie funkcji wymiernej do całkowania wielomianu i całkowania ułamków prostych.

Całkowanie ułamków prostych

I-rodzaju



 







 





 



 



 



^







 _{( ) dla 1}

1

1 dla ln

)

( x a

¹

c k

k A

k c

a x A dt t A t dt

A dx

dt a x dx t a x

A

k k

k k

II-rodzaju dx

q px x

C Bx

 ₍

²

_ ^ _{ )}

n

^

^B2

 _{( x}

²

_ ^{2 x} _px ^ _ ^p _{q )}

ⁿ

^{dx  ( C }

^Bp2

⁾  _{( x}

²

_ ^dx _{px  q )}

ⁿ

2 2 2

I

1

( C

^Bp

) I

B

 

 ,

q dx px x

p

I

¹

^  ₍

²

_ ² x ^ _{ )}

_n

^ _ ^{ } _dt ^{t } _ ^x ₍

²

₂ ^ _{x } ^px _p ^ _{) dx} ^q _ ^{   } _ ^{  } _ ^ _ ^

^

^ _ ^ _





^ln( ₍

²

₎ ⁾

¹

^{, dla} _{, dla} ¹ ₁

1

1 2

n c q px x

n c q px x t

dt

n n

n

,

 



    



 

_n

p n p

q x

dx q

px x I dx

) ( ) ) (

(

4 2

2

2 2 ₂

 

 



 

 







 

^



dt q dx

t

p q x

p p

4

2 4

2 2

 

 _

 

 



 

^

 n

n

p

q

t

dt

2

1

1 2

4 2

2

.

Do ostatniej całki stosujemy wzór rekurencyjny (R)

Całkowanie funkcji wymiernych względem sinusa i cosinusa

 ^{R (sin x , cos x ) dx} , gdzie R(u,v) jest funkcją wymierną zmiennych u i v

Całkę powyższej postaci można sprowadzić do całki funkcji wymiernej za pomocą tzw. podstawienia uniwersalnego

tg 2 x

t  ,     x    ,



 





 



 

 1

2

2 arctg 2

t dx dt

t x

tg 2 1

2 tg 2

sin

2_x

x

x 



,

tg 2 1

2 tg 1

2 2

cos

_x

x

x







Stąd  ^{R (sin x , cos x ) dx }  ^{R } _ ^ _{1 } ^{2 t} _t

²

^, ₁ ¹ _ ^ _t ^t

²²

^ _ ^ ₁ ² _ ^dt _t

²

^.

Ostatnia całka jest całką z funkcji wymiernej (

złożenie funkcji wymiernych jest funkcją wymierną

) Przykład. 

^{3sinxdx4cosx}

⁼

₂ ²

1 1 2 1 2

2 1

2 4 3

1 t dt

t t t

t 









=

^21



^t2dt₂^3t1

^

⁵¹

^

^tdt₂¹

^

⁵¹

^

^tdt2

^

⁵¹

^{ln |}

^tt221

^{|  c =}

} tg gdzie { t 

₂^x



x

c

x



 ln |

_^

|

2 tg tg 5 1

2 2 1

2

.

W pewnych szczególnych przypadkach obliczenia można uprościć stosując inne podstawienie:

1º R (  sin x , cos x )   R (sin x , cos x ) t  cos x 2º R (sin x ,  cos x )   R (sin x , cos x ) t  sin x 3º R (  sin x ,  cos x )  R (sin x , cos x ) t  tg x

Przykład.  



 





 











   



^{1sincos3xdx2x (1cos12cosx)2sinxxdx}

_{t cos x} ^{( u} _, ^, _dt ^{v )}

^1u

_sin

^v32

_{x dx}

^tt2211

^dt  ^{dt  2} 

^t2dt1

^{ =}





 t c

t 2 arctg {gdzie t  cos x }= cos x - 2arctg cos x + c.

Obliczając tą całkę podstawieniem uniwersalnym otrzymujemy po nieco dłuższych rachunkach otrzymujemy

 ^  ^{ }  ^  ^{   }

   



^{1sincos3xdx2x}

^{t tg}

^{2x (t218)2t(3t41)}

^{dt u t}

^{2 (u1)42u(u21)}

^dt

^{(u12)2 (u221)}

^dt

x

c

x

 



_

2 arctg(tg

² ₂

)

tg 1

2

2

2

.

Wynik ten pozornie różni się od poprzedniego. Poprzez różniczkowanie można wykazać, że na dowolnym przedziale określoności obu funkcji, ich pochodne są identyczne. Ponadto, punkty osobliwe (punkty w których

tg

2^x jest nieokreślony) pojawiające się w ostatniej całce, są osobliwościami usuwalnymi, tzn. istnieją granice funkcji w tych punktach , więc można funkcję w naturalny sposób przedłużyć przyjmując wartości równe odpowiednim granicom.

Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych

Całki postaci  ^ ( x ,

ⁿ _cx^ax_d^b

) dx ^{, gdzie} (u,v) jest funkcję wymierną argumentów u , v i ad-bc0 sprowadzamy do całki funkcji wymiernej przez podstawienie

n d cx

b

t 

ax_^

, z którego wyznaczamy

a c t

b d t

n

x 

_n ^_

, dx dt

a c t

bc ad nt

n n

2 1

) (

) (





 

 .

Wobec tego  ^ ( x ,

ⁿ _cx^ax_d^b

) dx ⁼

^{ (ttnndcba,t)nt(nt1n(cada)bc2)dt}

. Ostatnia całka jest całką funkcji wymiernej.

Przykład .



 





 









 



_{   }











^{x dx x x dx x}

_x

^t

^t _dx ^x _t

¹¹

_dt

2 1

12

) 1 2 ( ) 1 2 1 ( 2 1

2

, 6

1 2

12 3

12 4 12 4

3 =



_t^61t8

dt

⁼

=

6  ( t

⁷

 t

⁶

 t

⁵

 t

⁴

 t

³

 t

²

 t  1 

_t¹_1

) dt

^{=6(t88+t77 ...t22} +t +ln|t-1|)+c , gdzie t=¹²

2 x  1

.

Całki postaci  ^ ( x , ax

²

^ bx ^ c ) dx ^{, gdzie} (u,v) jest funkcję wymierną argumentów u i v, sprowadzamy do całki funkcji wymiernej przez jedno z niewykluczających się wzajemnie podstawień Eulera:

1.

ax²bxct ax

, gdy a>0, 2. ax

²

 bx  c  tx  c , gdy c>0,

3. ax

²

 bx  c  a ( x  x

₁

)( x  x

₂

)  t ( x  x

₁

) , gdy >0.

Przykład .

dt

t x x dt dx

x x t x dx x

t t t

t t t t t t

t t

t t

x x

x

t t t

t t

2 2

) 1 ( 2

4 2 2

) 1 ( 2

2 4

2 2 2

2

2

2 2( 1)

4 2 2

) 1 ( 2

4 2 ) 1 ( 2 2 4

) 1 ( 2

4 2

) 1 ( 2 2 4

4 2

2

4 2 ,

, 4

2





 



 



















 ^

^_^



 





 























 

=





























²¹



^(tt2_^14)2t

^dt

¹²

 ^dt 

^tdt_^{1 23}



^(t_^{dt1)2 21}

^{t ln | t 1 |}

^{23 t}_¹¹

^{c {gdzie t x x}

²

^{2 x 4 }}























 x x x x x x

  

c

x x

x1 2 4

1 2 2 3

2 2

1

|

2

4 2 1

| ln ) 4 2 (

c x

x x

x

x        



²

2 4 ln | 1

²

2 4 |

Ten sam przykład















 

 





 



















 

 



 





































dt dt

x x dt dx

x xt x

dx x

t t t t

t t t

t t t t

t t

t t

x x

x

) (

4

4 2 ,

, 2 4

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

2

) 1 (

1 1 1 ) 1 (

3 1 1 )

1 (

2

1 ) 1 ( 2 2

) 1 (

) 1 ( 4

1 2 2 4

4 2

2

} {gdzie

ln

^t_t^₁¹



_t³_1



_t¹_1

 c t 

^x22_x^x42



Całka dwumienna _ ^x

^r

 ^{a  bx}

^s



^p

^{dx r , , s p -wymierne}

Całkę dwumienną potrafimy sprowadzić przez podane obok podstawienia do całki funkcji wymiernej tylko w trzech przypadkach

1. p całkowite,

xu^k

, gdzie k - wspólny mianownik ułamków r i s.

2. s r  1

całkowite,

abx^s uⁿ

, gdzie n - mianownik ułamka p.

3. p

s r  1 

całkowite,

_s ^s

u

ⁿ

x

bx

a  

, gdzie n - mianownik ułamka p.

Przykład . _

_{(1 )}³

^ _

²¹

^{( 1  )}

^23

^ 

^1x

^

²

^{, }

_u²¹_1

^{, }

_(u^22_^udu₁₎²

 ^{  2} _

_u²_(u^du2_1)

^

x x

x

dx x x dx u x dx

c u

c

u

_x^{x x}_{x x}^x

u u du u

du

       



 ² 

²

² 

²_^{1 2}

^{2 arctg { gdzie}

^1

^{} 2}

¹_

^{2 arctg}

^1

^.

Dodatek

Przykład funkcji różniczkowalnej o nieciągłej pochodnej.

Niech

 





 

; 0

; 0

0

; ) sin

(

2 1

x x x x

f

^x

. Widać że ' ( 0 ) lim lim lim sin

¹

0

0 sin 0 ) 0 ( ) ( 0

2 1









 



 h h h

h h h

f h f

h

h

f

^h

.

Wobec tego

 







 

; 0

; 0

0

; cos sin ) 2

( '

1 1

x x x x

f

^{x x}

. Funkcja f jest wszędzie różniczkowalna natomiast jej

pochodna f nie jest ciągła w punkcie 0, gdyż granica ' lim ' ( )

0

f x

x

nie istnieje.

Twierdzenie. Pochodna funkcji różniczkowalnej na przedziale [ b a , ] ma własność Darboux tzn.

. ) ( ' ) , ( )

( ' )

(

' a    f b   c  a b f c   f

Dowód. Rozważmy funkcję g ( x )  f ( x )   x określoną na [ b a , ] . Widać, że

 g ' ( a )  f ' ( a )    0 , więc funkcja g jest malejąca w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu a.

 g ' ( b )  f ' ( b )    0 , więc funkcja g jest rosnąca w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu b.

Wynika stąd że ciągła (bo różniczkowalna) funkcja g osiąga w pewnym punkcie c  ( b a , ) kres dolny

(minimum globalne więc i lokalne) zbioru swoich wartości. Stąd z tw. Frermata  c  ( a , b ) g ' ( c )  0 ,

co implikuje  c  ( a , b ) f ' ( c )   .