- Metody dokładne LINIOWYCH UKŁADY RÓWNAŃ

(1)

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

- Metody dokładne

(2)

2 Układy równań liniowych

Rozpatruje się układ

n

równań liniowych zawierających

n

niewiadomych:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

n n n n

n n nn n n

a x a x a x b

   

     

 

     



który można zapisać w postaci macierzowej:

 =

A X B

(3)

Układy równań liniowych

gdzie:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

n n

n n nn

a a a

 

 

  

 

 

A

1 2

n

x x

x

   

  

   

  X

1 2

n

b b

b

   

  

   

  B

A

– macierz główna układu

X

– wektor niewiadomych

B

– wektor wyrazów wolnych

(4)

4 Układy równań liniowych

Założenie:

Układ równań jest oznaczony, (tzn. posiada jedno rozwiązanie)

Macierz główna układu równań

A

nie jest osobliwa (wyznacznik tej macierzy jest różny od zera)

(5)

Zastosowanie macierzy

odwrotnej

(6)

6 Zastosowanie macierzy odwrotnej

Układ równań:

  A X B

Można rozwiązać obliczając macierz odwrotną do macierzy głównej układu:

1

 

X A B

(7)

Układ równań, w którym tylko główna przekątna macierzy A

ma elementy niezerowe

(8)

8 Układ równań z niezerową główną przekątną macierzy A

11 1 1

22 2 2

nn n n

a x b

 

 

 

  



Algorytm:

, 0, 1, 2,...,

i

i ii

ii

x b a i n

 a  

(9)

Trójkątny układ równań

(10)

10 Trójkątny układ równań

11 1 12 2 1 1

22 2 2 2

...

n n n n

nn n n

a x a x a x b

a x a x b

a x b

   

    

 

  



(11)

Trójkątny układ równań

Algorytm:

n n

nn

x b

 a

1

, 1, 2,...,1

n

i is s

s i i

ii

b a x

x i n n

a

 



    

Przy spełnionym warunku:

0, 1, 2,...,

a

ii

 i  n

(12)

12 Trójkątny układ równań

Przykład

Rozwiązać trójkątny układ równań:

1 2 3

4 1 3 2

15 1 1

0 4 4 2

1 8

0 0

3 3

x x x

   

   

     

         

   

       

   

   

(13)

Trójkątny układ równań

3 3

33

x b

 a

8 3 1 3

  8

2 23 3

2

22

b a x

x a

 

1 1

2 4 8 15

4    2

  5

1 12 2 13 3

1

b a x a x

x a

 



2 1 2 3 8

5 4

 

      

 

 27

  5

(14)

Wzory Cramera

(metoda wyznacznikowa)

(15)

Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)

Układ równań liniowych zapisujemy w postaci macierzowej.

Przez

W

oznaczamy macierz główną układu równań, czyli:

11 12 1

21 22 2

1 2

...

n n

n n nn

a a a

 

 

  

 

 

W

Obliczamy wyznacznik tej macierzy:

W

(16)

16 Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)

Jeżeli

|W|  0

to obliczamy wyznaczniki macierzy pomocniczych:

1 12 1

2 22 2

2

...

n n

n n nn

b a a

 W1

11 1 1

21 2 2

1

...

n n

n n nn

a b a



W2

_itd..

(17)

Następnie obliczamy elementy wektora niewiadomych

X

:

itd..

x

1

 W1

W x

²

 W2

W x

³

 W3

W

(18)

Przykład

Rozwiązać układ równań metodą wyznacznikową:

1 2 3

2 3 2 22

4 8 4 48

5 1 3 32

x x x

     

       

     

     

  8

W

(19)

22 3 2

48 8 4

32 1 3

 

 

  

 

 

W1

2 22 2

4 48 4

5 32 3

 

 

  

 

 

W2

2 3 22

4 8 48

 

 

  

W3

  24 W1

  16 W2

  40

W3

(20)

x

1

 W1 W

24 8

 

  3

x

2

 W2 W

16 8

 

  2

x

3

 W3 W

40 8

 

  5

(21)

Metoda Thomasa dla

układów trójprzekątniowych

(22)

22 Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych

Trójprzekątniowy układ równań:

1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 2 3 3

1 1 1 1 1

. . .

n n n n n

n n n n

b c x d

a b c x d

a b x d

    

     

     

 

     

     

1

0 a 

n

0 c 

(23)

Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych

Układ można zapisać w następujący sposób:

1 1

1

, 1, 2, ... ,

0, 0

i i i i i i i

n

a x b x c x d i n

a c



 



 

⁽¹⁾

Rozwiązania tego układu równań poszukuje się w postaci:

1

i i i i

x   x

_

 

₍₂₎

lub inaczej zapisując:

1 1 1

i i i i

x

_

 

_

x  

_ ₍₃₎

(24)

Po podstawieniu (3) do (1) i obliczeniu

x

_i:

1 1

i i i i

i i

i i i i i i

c d a

x x

a b a b

 

 

    

   

⁽⁴⁾

Z porównania prawych stron (2) i (4):

1 i i

i i i

c

a

_

b

  

 

1 1

i i i

i

i i i

d a

a b



   

 

⁽⁵⁾

(25)

Na podstawie równania (1) można wyznaczyć wartości początkowe (dla

i = 1

):

1 1 1 2 1

b x  c x  d

₁ ¹ ₂ ¹

1 1

c d

x x

b b

  

(6)

Ponieważ z (2) dla

i = 1

wynika, że:

1 1 2 1

x   x  

⁽⁷⁾

więc:

1

,

1

c d

    

(8)

(26)

Do ostatniego równania układu (1), czyli:

1

n n n n n

a x

_

 b x  d

₍₉₎

wstawiamy zależność (3) (dla

i = n

):



1 1



n n n n n n n

a 

_

x  

_

 b x  d

₍₁₀₎

skąd otrzymujemy:

1 1

n n n

n n

n n n

d a

x a b



    

 

⁽¹¹⁾

(27)

Po wyznaczeniu wartości

x

_n kolejne niewiadome obliczamy z równania (3) dla

i = n1, n2, ...,1

(28)

Algorytm:

1 1

1

c

   b

₁ ¹

1

d

  b

1 i i

i i i

c

a

_

b

  

 

1 1

i i i

i

i i i

d a

a b



   

  i  2,3,..., n

n n

x  

1

i i i i

x   x

_

  i   n 1, n  2,...,1

(29)

Przykład

Rozwiązać układ równań metodą Thomasa:

1 2 3 4 5

2 2 0 0 0 2

3 1 1 0 0 6

0 1 2 4 0 4

0 0 1 1 1 1

0 0 0 2 2 4

x x x x x

     

     

 

   

   

   

 

   

     

 

   

     

(30)

1 1

1

c

   b 2

2 1

   

2 2

2 1 2

c

a b

  

 

1 1

3 ( 1) 1 2

  

  

3 3

3 2 3

c

a b

  

 

4 8

1 (1/ 2) 2 5

   

 

4 4

4 3 4

c

a b

  

 

1 5

1 ( 8 / 5) 1 3

  

  

5 5

5 4 5

c

a b

  

 

0 0

2 (5 / 3) 2

  

 

(31)

1 1

1

d

  b 2

2 1

 

2 2 1

2

2 1 2

d a

a b

   

 

6 3 1 3

3 ( 1) 1 2

    

  

3 3 2

3

3 2 3

d a

a b

   

 

4 1 ( 3/ 2) 11 1 (1/ 2) 2 5

  

 

 

4 4 3

4

4 3 4

d a

a b

   

 

1 1 (11/ 5) 1 ( 8 / 5) 1 2

   

  

5 5 4

5

d   a

   

4 2 2 2 (5 / 3) 2 0

   

 

(32)

5 5

x    0

4 4 5 4

x   x   5

0 2 2

    3

3 3 4 3

x   x   8 11

2 1

5 5

     

2 2 3

x   x   ¹   ¹ ³ ²

2 2

 

        

 

1 1 2 1

x   x         1 ( 2) 1 3

(33)

Metoda eliminacji Gaussa

(34)

34 Metoda eliminacji Gaussa

11 12 1

21 22 2

1 2

...

n n

n n nn

a a a

 

 

  

 

 

A

1 2

n

b b

b

   

  

   

  B

Macierz główną układu równań i wektor wyrazów wolnych:

Zapisujemy w postaci macierzy

C

:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

... ... ... ... ...

...

n n

n n nn n

a a a b

 

 

  

 

 

C

11 12 1 1, 1

21 22 2 2, 1

1 2 , 1

...

... ... ... ... ...

...

n n

n n nn n n

c c c c



 

 

  

 

 

(35)

Metoda eliminacji Gaussa

Podstawowy wariant metody:

1. etap:

Przekształcenie macierzy

C

w taki sposób, aby

n

pierwszych kolumn tworzyło macierz trójkątną.

2. etap:

Rozwiązanie trójkątnego układu równań.

(36)

Jeżeli

c

₁₁

 0

Pierwsze równanie mnożymy przez: ¹

11

c

i

c

Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego,

i

– tego równania (

i = 2, 3, ..., n

)

Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.

(37)

Otrzymujemy następujący układ równań:

11 1 12 2 13 3 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 2 2, 1

(1) (1) (1) (1)

32 2 33 3 3 3, 1

(1) (1) (1) (1)

2 2 3 3 , 1

...

n n n

n n nn n n n

c x c x c x c x c

c x c x c x c



    

     

    

 

    



(38)

Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy

C

do

C

₁:

11 12 13 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 23 2 2, 1

(1) (1) (1) (1)

32 33 3 3, 1

(1) (1) (1) (1)

2 3 , 1

...

0 ...

... ... ... ... ... ...

0 ...

n n

n n nn n n

c c c c c

c c c c



 

 

  

 

 

C

1

za pomocą wzorów określających nowe współczynniki:

(1) 1

11

, 2,3,..., 2,3,..., 1

i

ij ij ij

c c c c i n j n

  c   

(39)

Jeżeli

Drugie równanie mnożymy przez: ⁽¹⁾²

(1) 22

c

i

c

Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego,

i

– tego równania (

i = 3, 4, ..., n

)

Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.

(1)

22

0 c 

(40)

Otrzymujemy następujący układ równań:

11 1 12 2 13 3 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 2 2, 1

(2) (2) (2)

33 3 3 3, 1

(2) (2) (2)

3 3 , 1

...

n n n

n nn n n n

c x c x c x c x c

c x c x c x c

c x c x c



    

     

   

 

   



(41)

Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy

C

₁ do

C

₂:

11 12 13 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 23 2 2, 1

(2) (2) (2)

33 3 3, 1

(2) (2) (2)

3 , 1

...

0 ...

0 0 ...

... ... ... ... ... ...

0 0 ...

n n

n nn n n

c c c c c

c c c c

c c c



 

 

  

 

 

C

2

za pomocą wzorów określających nowe współczynniki:

(1)

(2) (1) 2 (1)

, 3, 4,..., 3, 4,..., 1 c

i

c  c  c i  n j  n 

(42)

Po wykonaniu

n

kroków otrzymujemy trójkątny układ równań:

11 1 12 2 13 3 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 2 2, 1

(2) (2) (2)

33 3 3 3, 1

( 1) ( 1)

, 1

...

n n n

n n

nn n n n

c x c x c x c x c

c x c x c x c

c x c x c

c x c



 



    

     

   

 

 



(43)

Dla tego układu macierz

C

_n1 ma postać:

11 12 13 1 1, 1

(1) (1) (1) (1)

22 23 2 2, 1

(2) (2) (2)

33 3 3, 1

( 1) ( 1)

, 1

...

0 ...

0 0 ...

... ... ... ... ... ...

0 0 0 ...

n n

nn n n

c c c c c

c c c c

c c c

c c



 

 



 

 

  

 

 

C

n 1

(44)

Algorytm:

( 1)

( ) ( 1) ( 1)

( 1)

1, 2,..., 1 1, 2,...,

, 1, 2,..., 1

s

s s is s

ij ij s sj

ss

s n

i s s n

c c c c j s s n

c

  



 

     

 

        

 

(45)

Przykład

Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:

1 2 3

4 1 3 2

1 4 1 1

2 3 2 4

x x x

     

      

     

     

4 1 3 2

1 4 1 1

2 3 2 4

 

 

  

 

 

C

(46)

1 s 

2 i 

(1) 21

22 22 12

11

c c c c

  c 1

4 1

   4 15

 4

(1) 21

23 23 13

11

c c c c

  c 1

1 3

   4 1

 4

(1) 21

24 24 14

11

c c c c

  c 1

1 2

   4 1

 2

(47)

3 i 

(1) 31

32 32 12

11

c c c c

  c 2

3 1

   4 5

 2

(1) 31

33 33 13

11

c c c c

  c 2

2 3

   4 1

 2

(1) 31

34 34 14

11

c c c c

  c 2

4 2

   4  3

(48)

4 1 3 2

15 1 1

0 4 4 2

5 1

0 3

2 2

 

 

  

 

 

C

1

(49)

2 s 

3 i 

(1)

(2) (1) 32 (1)

33 33 (1) 23

22

c c c c

  c 1 5 4 1

2 2 15 4

    1

 3

(1)

(2) (1) 32 (1)

34 34 (1) 24

22

c c c c

  c 5 4 1

3 2 15 2

    8

 3

(50)

4 1 3 2

15 1 1

0 4 4 2

1 8

0 0

3 3

 

 

  

 

 

C

2

Macierz odpowiada trójkątnemu układowi równań.

Rozwiązanie takiego układu równań:

patrz wcześniejszy przykład