ANALIZA FUNKCJONALNA I TOPOLOGIA Lista 2 - Funkcjonały i Twierdzenie Hahna-Banacha
1. Pokazać, że jeżeli X jest unormowaną przestrzenią liniową, a Y jej podprzestrzenią, to Int(Y ) = ∅, tzn. wnętrze Y jest zbiorem pustym.
2. Pokazać, że funkcjonał liniowy ϕ na unormowanej przestrzeni liniowej X jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy Y = Kerϕ jest domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni X.
3. Pokazać, że funkcjonał niezerowy ϕ na unormowanej przestrzeni liniowej jest ciągły wtedy i tylko wtedy gdy Y = Kerϕ jest zbiorem nigdziegęstym w X, tzn. Int(Y ) = ∅.
4. Niech (xn) będzie ciągiem elementów unormowanej przestrzeni liniowej X. Pokazać, że x jest granicą ciągu kombinacji liniowych tych elementów wtedy i tylko wtedy gdy ϕ(x) = 0 dla dowolnego ϕ ∈ X∗, takiego że ϕ(xk) = 0 dla każdego k ∈ N.
5. Pokazać, że jeżeli wektory x1, x2, . . . , xn są liniowo niezależne w unormowanej przestrzeni liniowej X nad ciałem C oraz c1, c2, . . . , cn ∈ C, to istnieje ϕ ∈ X∗, taki że ϕ(xn) = cn.
6. Niech K będzie otwartym zbiorem wypukłym zawierającym wektor zerowy w unormowanej przestrzeni liniowej X i niech p będzie odpowiadającym mu funk- cjonałem Minkowskiego, tzn. p(x) = inf{a > 0 : x/a ∈ K}. Pokazać, że p spełnia następujące warunki:
(a) p(ax) = ap(x) dla każdego a ∈ R oraz każdego x ∈ X, (b) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) dla x, y ∈ X,
(c) istnieje M ≥ 0, takie, że 0 ≤ p(x) ≤ M k x k dla każdego x ∈ X, (d) K = {x : p(x) < 1}.
7. Wyznaczyć funkcjonał Minkowskiego dla otwartego koła o promieniu 1 i środku w zerze oraz otwartego kwadratu o boku 2 i środku w zerze na płaszczyźnie R2. 8. Udowodnić, że jeżeli A, B są wypukłymi zbiorami rozłącznymi w unormowanej
przestrzeni liniowej X, przy czym A jest domknięty, a B jest zwarty, to istnieje hiperpłaszczyzna H, która ściśle rozdziela A oraz B. Jest to tzw Drugie Geome- tryczne Twierdzenie Hahna-Banacha. Wskazówka: Zdefiniować zbiory
A = A + B(0, ) oraz B = B + B(0, )
i skorzystać z Pierwszego Geometrycznego Twierdzenia Hahna-Banacha z wykładu, które mówi, że można rodzielić dwa rozłączne zbiory wypukłe, z których jeden jest otwarty.
R. Lenczewski
1
