Wykładyzmatematykidyskretnejdlainformatykówiteleinformatyków Relacje,podziały,segmenty

Relacje, podziały, segmenty

Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków

UTP Bydgoszcz

07

Jądro funkcji

Definicja. Dana jest funkcja f : X → Y . Jądrem funkcji f nazywamy relację ker(f ) = {(a, b) ∈ X × X | f (a) = f (b)}.

Przykład. Niech X = {a, b, c, d , k, m}, Y = {1, 2, 3} oraz niech funkcja f : X → Y będzie określona następująco:

f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 1, f (d ) = 2, f (k) = 3, f (m) = 1.

X k d c

m b a

Y 3 2 1

TWIERDZENIE. Relacja ker(f ) jest relacją równoważności.

Definicja. Dana jest funkcja f : X → Y . Jądrem funkcji f nazywamy relację ker(f ) = {(a, b) ∈ X × X | f (a) = f (b)}.

Przykład. Niech X = {a, b, c, d , k, m}, Y = {1, 2, 3} oraz niech funkcja f : X → Y będzie określona nastepująco:

f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 1, f (d ) = 2, f (k) = 3, f (m) = 1.

Jądro tej funkcji przedstawia tabela

ker(f ) ⊆ X × X a b c d k m

a (a,a) (a,c) (a,m)

b (b,b) (b,d)

c (c,a) (c,c) (c,m)

d (d,b) (d,d)

k (k,k)

m (m,a) (m,c) (m,m)

Graficzna reprezentacja relacji ker(f )

ker(f )⊆ X × X a b c d k m

a (a,a) (a,c) (a,m)

b (b,b) (b,d)

c (c,a) (c,c) (c,m)

d (d,b) (d,d)

k (k,k)

m (m,a) (m,c) (m,m)

a

c

b d

k m

Relacja ker(f ) dzieli X na podzbiory.

ker(f )⊆ X × X a b c d k m

a + + +

b + +

c + + +

d + +

k +

m + + +

a

c

b d

k m

Relacja ker(f ) dzieli X na podzbiory.

ker(f ) ⊆ X × X a b c d k m

a + + +

b + +

c + + +

d + +

k +

m + + +

X k d c

m b a

Y 3 2 1

Podział

Definicja.

Dany jest niepusty zbiór X . Rodzinę podzbiorów Π = {Xt| t ∈ T } ⊆ 2^X nazywamy podziałem (rozbiciem, partycją) zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy:

1 ∀_t∈T Xt 6= ∅ (są niepuste);

2 S

t∈TX_t= X (pokrywają zbiór X );

3 ∀_{i ,j ∈T} X_i 6= X_j ⇒ X_i ∩ X_j = ∅ (są parami rozłączne).

Zbiór wszystkich podziałów zbioru X oznaczamy Part[X ].

Podział

Przykład.

Zbiór trójelementowy {0,1,2} możemy podzielić na pięć sposobów (jak wiemy, liczba Bella B3= 5):

{0,1,2} {0}, {1,2}

{0,1}, {2} {0,2}, {1}

{0}, {1}, {2}

Klasa abstrakcji

Definicja.

Dany jest niepusty zbiór X oraz relacja równoważności % ⊆ X × X . Klasą abstrakcji elementu a ∈ X względem relacji % nazywamy zbiór [a]_%= {x ∈ X | (a, x ) ∈ %};

Zbiorem ilorazowym nazywamy zbiór X /% = {[a]_%∈ 2^X| a ∈ X }.

Przykład.

a

c

b d

k m

Klasami abstrakcji tej relacji są: [a]_%= [c]_%= [m]_%= {a, c, m}, [b]_%= [d ]_%= {b, d }, [k]_%= {k}; zbiorem ilorazowym jest X /% = {{a, c, m},{b, d },{k}};

Klasa abstrakcji

Definicja.

Dany jest niepusty zbiór X oraz relacja równoważności % ⊆ X × X . Klasą abstrakcji elementu a ∈ X względem relacji % nazywamy zbiór [a]_%= {x ∈ X | (a, x ) ∈ %};

Zbiorem ilorazowym nazywamy zbiór X /% = {[a]_%∈ 2^X| a ∈ X }.

Przykład.

a

c

b d

k m

Klasami abstrakcji tej relacji są: [a]_%= [c]_%= [m]_%= {a, c, m}, [b]_%= [d ]_%= {b, d }, [k]_%= {k}; zbiorem ilorazowym jest X /% = {{a, c, m},{b, d },{k}};

Klasa abstrakcji

Klasą abstrakcji elementu a ∈ X względem relacji % nazywamy zbiór [a]%= {x ∈ X | (a, x ) ∈ %};

Zbiorem ilorazowym nazywamy zbiór X /% = {[a]%∈ 2^X| a ∈ X }.

Przykład. Określamy w zbiorze X = {1,2,3,4,5} relację % w

następujący sposób: (x , y ) ∈ % wtedy i tylko wtedy, gdy x i y dają taką samą resztę z dzielenia przez 2.

Jej klasami abstrakcji są:

[1]_%= [3]_%= [5]_%= {1, 3, 5}, [2]%= [4]%= {2, 4},

zbiorem ilorazowym (przestrzenią ilorazową) jest zbiór X /% = {{1, 3, 5}, {2, 4}}.

Klasa abstrakcji

Twierdzenie. Dany jest niepusty zbiór X oraz relacja równoważności

% ⊆ X × X . Niech a, b będą dowolnymi elementami X . (a, b) ∈ % ⇔ [a]_%= [b]_%;

(a, b) /∈ % ⇔ [a]_%∩ [b]_%= ∅.

Każdy podział zbioru generuje relację równoważności.

Każda relacja równoważności generuje podział zbioru.

Twierdzenie (Zasada abstrakcji).

Każda relacja równoważności w (niepustym) zbiorze ustala podział tego zbioru na klasy abstrakcji tej relacji.

Bardziej formalny zapis:

Dany jest niepusty zbiór X oraz relacja równoważności % ⊆ X × X . Rodzina podzbiorów Π = {Xa| a ∈ X } zdefiniowana następująco Xa= {x ∈ X | (a, x ) ∈ %} jest podziałem zbioru X .

Ponadto, jeśli X jest niepustym zbiorem oraz Π jest podziałem zbioru X , to relacja % określona w zbiorze X następująco:

(a, b) ∈ % wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje Z ∈ Π taki, że a ∈ Z i b ∈ Z , jest relacją równoważności.

Każdy podział zbioru generuje relację równoważności.

Każda relacja równoważności generuje podział zbioru.

Uwaga.

Możemy więc jądro funkcji

ker(f ) = {(a, b) ∈ X × X | f (a) = f (b)}

przedstawiać jako podział

ker(f ) = {f^←(y ) ∈ 2^X| y ∈ Y }

zapis: f^←(y ) oznacza f^←[{y }] = {x ∈ X | f (x ) = y }.

DODATEK: zastosowanie zasady abstrakcji do konstrukcji liczb wymiernych.

Niech A = Z × (Z \ {0}). Elementami zbioru A są uporządkowane pary (m, n) liczb całkowitych, w których następnik jest różny od 0.

Relację w zbiorze A definujemy tak:

(m₁, n₁), (m₂, n₂)
∈ % ⇔ m₁n₂ = m₂n₁.

Na przykład, (1, 2), (3, 6)
∈ %, (1, 2), (4, 8)
∈ %, (2, 3), (4, 6)
∈ %.

Łatwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności. Relacja ta dzieli A na rozłączne niepuste klasy abstrakcji tej relacji zwane liczbami wymiernymi.

Zamiast pisać (m, n), piszemy ^m_n.

Jeśli (m₁, n₁) i (m₂, n₂) wyznaczają tę samą klasę (tę samą liczbę wymierną), to m₁n₂= m₂n₁, czyli liczby wymierne ^m_n¹

1 oraz ^m_n²

2 są równe.

Reszta z dzielenia.

Dla dowolnego ustalonego d ∈ Z⁺ niech rem_d : Z → N będzie funkcją określoną następująco:

rem_d(a) = a − d · b_d^ac.

Funkcja ta wyznacza resztę z dzielenia liczby a przez d . Przykład.

rem₃(5) = 5 − 3 · b⁵₃c = 5 − 3 · 1 = 2

rem10(55) = 55 − 10 · b⁵⁵₁₀c = 55 − 10 · 5 = 5 rem5(12) = 12 − 5 · b¹²₅c = 12 − 5 · 2 = 2 rem₃(−8) = −8 − 3 · b⁻⁸₃ c = −8 − 3 · (−3) = 1 rem3(−4) = −4 − 3 · b⁻⁴₃ c = −4 − 3 · (−2) = 2.

rem4(8) = 8 − 4 · b⁸₄c = 8 − 4 · 2 = 0

Reszta z dzielenia; wersja dla d = 3.

Resztą z dzielenia przez 3 może być jedna z liczb: 0, 1, 2.

Zatem rem₃ : Z → {0, 1, 2}.

Relacja ker(rem₃) „wiąże” (porównaj graf na slajdzie 9, gdzie były

„powiązane” b z d oraz a z c i m) liczby mające tę samą resztę z dzielenia przez 3. W tym przypadku „powiązane” liczby dzielą się na trzy zbiory:

{. . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, . . . } (liczby te dają resztę 0), {. . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, . . . } (liczby te dają resztę 1), {. . . , −7, −4, −1, 2, 5, 8, . . . } (dają resztę 2).

Jest to podział na następujące zbiory:

rem^←₃ (0) = {. . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, . . . } rem^←₃ (1) = {. . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, . . . } rem^←₃ (2) = {. . . , −7, −4, −1, 2, 5, 8, . . . }, czyli na trzy zbiory z ker(rem3) = Z/ker(rem3).

Relacja porządkująca.

PRZYPOMNIENIE.

Relacja % w zbiorze X jest częściowo porządkującą wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie: zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.

PRZYPOMNIENIE. Relacja % w zbiorze X jest spójna, gdy

∀_{x ,y ∈X} (x , y ) ∈ %) ∨ (y , x ) ∈ %
.

Przykład. Relacja ¬ w zbiorze R (czy w zbiorze N, czy Z) jest spójna.

Przykład. Relacja < w zbiorze R nie jest spójna.

Przykład. Relacja ⊆ nie jest spójna.

Przykład.

Relacja pełna (uniwersalna) w zbiorze X , czyli % = X × X jest spójna.

Porządek liniowy

Definicja.

Spójna i częściowo porządkującą relacja 4 w zbiorze X to porządek liniowy.

Uporządkowana para (X , 4) to zbiór liniowo uporządkowany.

Elementy zbioru X możemy wtedy ustawić w linii - tworzą one łańcuch.

Przykład.

(N, ­) to zbiór liniowo uporządkowany.

0 1 2 3 4

Częściowy porządek

Definicja.

Jeśli p jest relacją częściowo porządkującą w X , to uporządkowaną parę (X , p) nazywamy częściowym porządkiem.

Przykład.

Zapis a|b oznacza, że a dzieli się (bez reszty) przez b, czyli istnieje taka liczba całkowita c, że a = bc. Niech

A = {2, 3, 4, 6, 16, 24}, d_A = {(a, b) ∈ A × A : a|b}.

Wtedy (A, d_A) jest częściowym porządkiem.

dA⊆ A × A 2 3 4 6 16 24

2 (2,2) (2,4) (2,6) (2,16) (2,24)

3 (3,3) (3,6) (3,24)

4 (4,4) (4,16) (4,24)

6 (6,6) (6,24)

16 (16,16)

24 (24,24)

d

=

{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 16), (2, 24), (3, 3), (3, 6), (3, 24), (4, 4), (4, 16), (4, 24), (6, 6), (6, 24), (16, 16), (24, 24)}.

Graf tej relacji:

2 3

4 6

16 24

Segment

Definicja. Niech P = (X , p) będzie częściowym porządkiem oraz niech x , y ∈ X . Zbiór

[x , y ]p= {z ∈ X | (x , z) ∈ p ∧ (z, y ) ∈ p}

nazywamy segmentem (przedziałem) w P.

Przykład (poprzedni).

d_A = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 16), (2, 24), (3, 3), (3, 6), (3, 24), (4, 4), (4, 16), (4, 24), (6, 6), (6, 24), (16, 16), (24, 24)}.

Segmenty o początku 2:

[2, 2]_p = {2}, [2, 3]_p= ∅, [2, 4]_p = {2, 4}, [2, 6]_p= {2, 6}, [2, 16]_p= {2, 4, 16}, [2, 24]_p= {2, 4, 6, 24}.

Segment

Segmenty o początku 2:

[2, 2]p = {2}, [2, 3]p= ∅, [2, 4]p = {2, 4}, [2, 6]p= {2, 6}, [2, 16]_p= {2, 4, 16}, [2, 24]_p= {2, 4, 6, 24}.

2 3

4 6

16 24

Segment

Segmenty o początku 2:

[2, 2]p = {2}, [2, 3]p= ∅, [2, 4]p = {2, 4}, [2, 6]p= {2, 6}, [2, 16]_p= {2, 4, 16}, [2, 24]_p= {2, 4, 6, 24}.

2 3

4 6

16 24

Segment

Segmenty o początku 2:

[2, 2]p = {2}, [2, 3]p= ∅, [2, 4]p = {2, 4}, [2, 6]p= {2, 6}, [2, 16]_p= {2, 4, 16}, [2, 24]_p= {2, 4, 6, 24}.

2 3

4 6

16 24

Segment

Segmenty o początku 2:

[2, 2]p = {2}, [2, 3]p= ∅, [2, 4]p = {2, 4}, [2, 6]p= {2, 6}, [2, 16]_p= {2, 4, 16}, [2, 24]_p= {2, 4, 6, 24}.

2 3

4 6

16 24

Segment

Segmenty o początku 2:

[2, 2]p = {2}, [2, 3]p= ∅, [2, 4]p = {2, 4}, [2, 6]p= {2, 6}, [2, 16]_p= {2, 4, 16}, [2, 24]_p= {2, 4, 6, 24}.

2 3

4 6

16 24

d

=

{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 16), (2, 24), (3, 3), (3, 6), (3, 24), (4, 4), (4, 16), (4, 24), (6, 6), (6, 24), (16, 16), (24, 24)}.

Pozostałe segmenty:

[3, 2]p = ∅, [3, 3]p= {3}, [3, 4]p = ∅, [3, 6]p= {3, 6}, [3, 16]p= ∅, [3, 24]_p= {3, 6, 24},

[4, 2]_p = ∅, [4, 4]_p= {4}, [4, 6]_p = ∅, [4, 16]_p= {4, 16}, [4, 24]p= {4, 24},

[6, 2]_p = ∅, [6, 3]_p= ∅, [6, 4]_p= ∅, [6, 6] = {6}, [6, 16]_p= ∅, [6, 24]_p= {6, 24},

[16, 2]p= ∅, [16, 3]p= ∅, [16, 4]p= ∅, [16, 6] = ∅, [16, 16]p= {16}, [6, 24]p= {6, 24}, [16, 24]p = ∅,

[24, 2]_p= ∅, [24, 3]_p= ∅, [24, 4]_p= ∅, [24, 6] = ∅, [24, 16] = ∅, [24, 24]p= {24}.

Diagram Hassego

Diagram Hassego to rysunek.

Dany jest częściowy porządek (X , p).

Dla każdej pary (x , y ) ∈ p, węzeł (wierzchołek) o etykiecie y jest położony powyżej węzła o etykiecie x .

Jeśli

(x , y ) ∈ p,

nie istnieje u ∈ X , taki że są spełnione (jednocześnie) następujące cztery warunki:

u 6= x , u 6= y , (x , u) ∈ p oraz (u, y ) ∈ p,

to węzły (wierzchołki) x oraz y są połączone linią (krawędzią), a (domyślny) zwrot linii łączącej te węzły jest z dołu do góry (nie rysujemy strzałki).

Diagram Hassego dla relacji d

=

{(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 16), (2, 24), (3, 3), (3, 6), (3, 24), (4, 4), (4, 16), (4, 24), (6, 6), (6, 24), (16, 16), (24, 24)}.

2 3

4 6

16 24

Diagram Hassego PS

oraz PS

Na zbiorze potęgowym 2^X określamy relację częściowo porządkującą:

JP = {(x , y ) ∈ 2^X × 2^X| x ⊆ y }. Częściowy porządek PS_n= (2^X, JP) możemy zilustrować diagramem Hassego.

PS₀

∅

PS₁

∅ 1

Diagram Hassego PS

∅

{1} {2}

{1, 2}

Diagram Hassego PS

∅

{1} {3}

{1, 3}

{2}

{1, 2} {2, 3}

{1, 2, 3}

Diagram Hassego PS

∅

{1} {2} {3} {4}

{1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 4} {2, 4} {3, 4}

{1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 3, 4} {2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4}

Niech B = {0, 1}, X = {1, 2, . . . , n}, B^X to zbiór wszystkich funkcji f : X → B natomiast 2^X to zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X .

Na zbiorze potęgowym 2^X określiliśmy relację (inkluzji) częściowo porządkującą i, w konsekwencji, uzyskaliśmy częściowy porządek

PS_n= (2^X, ⊆).

Definicja. Indykator zbioru S ∈ 2^X to funkcja s : X → B^X określona następująco

s(x ) =

(1 dla x ∈ S 0 dla x /∈ S . Rozważmy bijekcję f : 2^X → B^X określoną następująco:

f (S ) = s(1), s(2), . . . , s(n)
.

Bijekcja f : 2

→ B

s(x ) =

(1 dla x ∈ S 0 dla x /∈ S f (S ) = s(1), s(2), . . . , s(n)
Przykłady.

Jeśli X = {1, 2, 3} oraz S = {2, 3}, to f (S ) = (0, 1, 1).

Jeśli X = {1, 2, 3, 4} oraz S = {2, 3}, to f (S ) = (0, 1, 1, 0).

Jeśli X = {1, 2, 3, 4, 5} oraz S = {1, 5}, to f (S ) = (1, 0, 0, 0, 1).

Na zbiorze B^X określamy relację v częściowo porządkujacą:

∀_a,b∈BX

a v b ⇔ f^←(a) ⊆ f^←(b)^

Relacja częściowo porządkująca a v b ⇔ f

(a) ⊆ f

(b)

Przykład.

Jeśli X = {1, 2, 3}, to (0, 0, 1) v (0, 1, 1),

gdyż f^←((0, 0, 1)) = {3} ⊆ {2, 3} = f^←((0, 1, 1)).

Przykład.

Jeśli X = {1, 2, 3, 4, 5}, to:

(1, 0, 0, 0, 1) v (1, 0, 1, 0, 1),

gdyż f^←((1, 0, 0, 0, 1)) = {1, 5} ⊆ {1, 3, 5} = f^←((1, 0, 1, 0, 1)).

Także

(1, 0, 0, 0, 0) v (1, 0, 1, 0, 1),

gdyż f^←((1, 0, 0, 0, 0)) = {1} ⊆ {1, 3, 5} = f^←((1, 0, 1, 0, 1)).

Relacja częściowo porządkująca a v b ⇔ f

(a) ⊆ f

(b)

Niech p = (p₁, . . . , p_n) i q = (q₁, . . . , q_n), gdzie p_i, q_i ∈ {0, 1} dla i = 1, 2, . . . , n.

Fakt.

Zwróćmy uwagę na następującą własność:

(p1, . . . , pn) v (q1, . . . , qn) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀i ∈{1,...,n} p_i ¬ q_i

Kostka binarna

PRZYPOMNIENIE. n-wymiarową kostkę binarną zdefiniowalismy jako zbiór n-elementowych ciągów binarnych wraz z relacją częściowo

porządkującą v określoną następująco. Dla dowolnych ciągów binarnych p = p1. . . pn oraz q = q1. . . qn ( p_i, q_i ∈ {0, 1} dla i = 1, 2, . . . , n):

p v q wtedy i tylko wtedy, gdy ∀i ∈{1,...,n} p_i ¬ q_i. Obserwacja.

Funkcja określona nastepująco g ((b1, . . . , bn)) = b1. . . bn jest bijekcją między B^{1,2,...,bn} a zbiorem n-elementowych ciągów binarnych (tu albo bi = 0, albo bi = 1 dla i = 1, 2 . . . , n).

Wniosek. n-wymiarową kostką binarną Qn możemy utożsamiać ze zbiorem B{1,2,...,n} wraz z relacją częściowo porządkującą v.

Przykład, Q

(0,0,0,0)

(1,0,0,0) (0,0,0,1)

(1,0,0,1) (1,1,0,0)

(0,1,0,0)

(0,1,0,1) (1,1,0,1)

(1,1,1,1)

(1,1,1,0) (0,1,1,1)

(0,1,1,0)

(0,0,1,1)

(0,0,1,0) (1,0,1,0)

(1,0,1,1)

Przykład: Q

i jej jednowymiarowy segment

{(0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0)}