Wykłady z matematyki inżynierskiej
CAŁKOWANIE PODSTAWOWYCH TYPÓW FUNKCJI
IMiF UTP
10
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów.
Ułamek prosty to funkcja wymierna postaci m (kx + l )n
lub rx + s
(ax2+ bx + c)n,
gdzie a, b, c, m, k, l , r , s ∈ R, n ∈ N, k 6= 0, ∆ = b2− 4ac < 0.
Metoda całkowania ułamków prostych
Ułamek prosty (kx +l )m n całkujemy podstawiaja¸c za kx + l nowa¸ zmienna¸.
PRZYKŁAD 1.
R 1
2x +7dx =2x +7=t2dx =dt dx =1 2dt
=R 1t ·12dt = 12ln |t| + C = 12ln |2x + 7| + C PRZYKŁAD 2.
R 1
(2x +7)3dx=
2x +7=t
2dx =dt dx =12dt
= 12R t13dt
= 12R t−3dt = 12 ·−21 t−2+ C = 4(2x +7)−1 2 + C
Metoda całkowania ułamków prostych
Trójmian kwadratowy można zapisać w postaci kanonicznej:
ax2+ bx + c = a(x − p)2+ q, gdzie p = −b2a, q = −∆4a .
Ułamek prosty (ax2rx +s+bx +c)n całkujemy podstawiaja¸c x − p =qqat.
Uzyskane po podstawieniu całki obliczamy naste¸puja¸co: w całce R t
(t2+1)ndt podstawiamy za t2+ 1 nowa¸ zmienna¸, całka
In=R (t2+1)1 ndt dla n = 1 jest równa arctg x , natomiast dla n > 1 obliczamy ja¸ stosuja¸c wzór rekurencyjny.
Metoda całkowania ułamków prostych
PRZYKŁAD.
R 1
x2+40x +500dx =R (x +20)12+100dx =
x + 20 =q1001 t x + 20 = 10t
dx = 10dt
=R 100t21+100· 10dt = 10010arctgt + C = 101arctgx +2010 + C
lub, znając wzór Rx2+a1 2dx = 1aarctgxa + C ,
R 1
x2+40x +500dx =R (x +20)12+100dx =
x + 20 = u dx = du
=R u2+101 2du =101arctg10u + C = 101arctgx +2010 + C
Metoda całkowania ułamków prostych
PRZYKŁAD.
R x
4x2+8x +13dx =R 4(x +1)x 2+9dx =
x +1=p9
4t t=23(x +1) x +1=32t dx =32dt
=R
3 2t−1 9t2+9dt
= 23 ·19R t2+1t dt −19R t21+1dt = 23·19 ·12R t22t+1dt −19R t21+1dt
= 121 ln |t2+ 1| −19arctg t + C = 121 ln49(x + 1)2+ 1−19arctg 23(x + 1) + C Oczywiście całkuja¸c t2t+1 zamiast przekształcać by licznik był pochodna¸
mianownika można podstawić za t2+ 1 nowa¸ zmienna¸.
METODA CAŁKOWANIA FUNKCJI WYMIERNYCH
Funkcje¸ wymierna¸ M(x )L(x ) rozkładamy na sume¸ wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych (i stosujemy wzór: całka sumy jest równa sumie całek):
1 Jeżeli stopień L(x ) nie jest mniejszy od stopnia M(x ), to dzielimy licznik przez mianownik M(x )L(x ) = W (x ) +LM(x )1(x ), uzyskuja¸c wielomian W (x ) i nowa¸ funkcje¸ wymierna¸, w której stopień wielomianu L1(x ) jest mniejszy od stopnia mianownika.
2 Jeżeli stopień L(x ) jest mniejszy od stopnia M(x ), to zapisujemy mianownik jako iloczyn czynników postaci kx + l lub ax2+ bx + c (tu: ∆ = b2− 4ac < 0). Naste¸pnie rozkładamy M(x )L(x ) na sume¸ ułamków prostych. Każdemu czynnikowi (kx + l )n odpowiada suma
D1
(kx +l )1 + · · · +(kx +l )Dn n. Każdemu czynnikowi (ax2+ bx + c)m odpowiada suma (axR21+bx +c)x +S1 1 + · · · +(axR2m+bx +c)x +Sm m.
Całkowanie funkcji wymiernych
PRZYKŁAD 1.
R x2−x−1
x2−3x+2dx =R 1 +x22x −3−3x+2
dx =R 1 +x −11 +x −21 dx
= x + ln |x − 1| + ln |x − 2| + C Szczegóły:
najpierw podzieliliśmy licznik przez mianownik, potem rozłożyliśmy
mianownik na iloczyn: x2− 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Następnie szukaliśmy odpowiednich stałych A i B (szukaliśmy rozbicia na ułamki proste), by:
2x − 3
x2− 3x + 2 = A
x − 1 + B x − 2. Właściwe stałe to A = 1, B = 1.
Całkowanie funkcji wymiernych
PRZYKŁAD 2.
R x2+x +2
x3+3x2+3x +1dx =R x +11 − (x +1)1 2 +(x +1)2 3
dx
= ln |x + 1| + (x + 1)−1− (x + 1)−2+ S Szczegóły:
tym razem nie dzieliliśmy. Rozłożyliśmy mianownik na iloczyn:
x3+ 3x2+ 3x + 1 = (x + 1)3. Następnie szukaliśmy odpowiednich stałych A, B i C (szukaliśmy rozbicia na ułamki proste), by:
x2+ x + 2 (x + 1)3 = A
x + 1 + B
(x + 1)2 + C (x + 1)3. Właściwe stałe to A = 1, B = −1, C = 2.
Całkowanie funkcji wymiernych
PRZYKŁAD 3.
R −2x7+3x5−3x2−x−1
x6−x2 dx =R−2x +3x5−2xx36−3x−x22−x−1dx
=R−2x +x1 +x12 −x −11 + x +11 +x22x+1+ x21+1
dx
= −x2+ ln |x | − 1x − ln |x − 1| + ln |x + 1| + ln(x2+ 1) + arctgx + S Szczegóły:
najpierw podzieliliśmy licznik przez mianownik uzyskując wielomian −2x i „resztę” 3x5− 2x3− 3x2− x − 1, potem rozłożyliśmy mianownik na iloczyn:
x6− x2 = x2(x4− 1) = x2(x2− 1)(x2+ 1) = x2(x − 1)(x + 1)(x2+ 1).
Przykład 3
Następnie szukaliśmy odpowiednich stałych A, B, C , D, E , F (szukaliśmy rozbicia na ułamki proste; stałych jest tyle ile wynosi stopień mianownika), by:
3x5− 2x3− 3x2− x − 1 x2(x − 1)(x + 1)(x2+ 1) = A
x + B x2 + C
x − 1 + D
x + 1 +Ex + F x2+ 1. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest pomnożenie obu stron tego równania przez mianownik ułamka z lewej strony (wtedy
„znikną” ułamki).
3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax(x2− 1)(x2+ 1) +B(x2− 1)(x2+ 1) + Cx2(x + 1)(x2+ 1) +Dx2(x − 1)(x2+ 1) + (Ex + F )x2(x2− 1).
Po wymnożeniu:
3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach:
3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F
− 2 = C + D − E
− 3 = C − D − F
− 1 = − A
− 1 = − B
Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.
Po wymnożeniu:
3x5− 2x3− 3x2− x − 1 =Ax5− Ax + Bx4− B +Cx5+ C x4 +C x3+ C x2+Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+Ex5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przy x5
3 = A + C + D + E
0 = B + C − D + F
− 2 = C + D − E
− 3 = C − D − F
− 1 = − A
− 1 = − B
Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.
Po wymnożeniu:
3x5+0x4− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax +Bx4− B + C x5+Cx4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+Fx4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przyx4
3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F
− 2 = C + D − E
− 3 = C − D − F
− 1 = − A
− 1 = − B
Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.
Po wymnożeniu:
3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +Cx3+ C x2+ Dx5− Dx4+Dx3− Dx2+ E x5− Ex3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przy x3
3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F
− 2 = C + D − E
− 3 = C − D − F
− 1 = − A
− 1 = − B
Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.
Po wymnożeniu:
3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+Cx2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− Fx2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przyx2
3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F
− 2 = C + D − E
− 3 = C − D − F
− 1 = − A
− 1 = − B
Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.
Po wymnożeniu:
3x5− 2x3− 3x2−1x− 1 = Ax5− Ax+ Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przy x
3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F
− 2 = C + D − E
− 3 = C − D − F
− 1 = − A
− 1 = − B
Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.
Po wymnożeniu:
3x5− 2x3− 3x2− x− 1= Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: (stałe)
3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F
− 2 = C + D − E
− 3 = C − D − F
− 1 = − A
− 1 = − B
Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.
Po wymnożeniu:
3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach:
3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F
− 2 = C + D − E
− 3 = C − D − F
− 1 = − A
− 1 = − B
Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe:
A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
TYP: R √ dx
ax2+bx +c
METODA: Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej:
ax2+ bx + c = a(x − p)2+ q i podstawiamy
x − p = t p|a|
otrzymuja¸c, zależnie od znaku a, całke¸ postaci
Z dt
p−t2+ q = arc sin t
√q + C
albo Z dt q
R
√
dtt2+q
= ln |t +
qt
2+ q| + C , q ∈ R
PRZYKŁAD 1.
R √ 1
x2−10xdx
=R √ 1
(x −5)2−25dx =
x − 5 = t dx = dt
=R √ 1
t2−25dt
= ln |t +√
t2− 25| + C
= ln |x − 5 +q(x − 5)2− 25| + C
= ln |x − 5 +√
x2− 10x| + C
R
√
dt−t2+q
= arc sin
√tq+ C , q > 0
PRZYKŁAD 2.
R √ 1
−4x2−40x+300dx
=R √ 1
−4(x+5)2+400dx =
x + 5 =√t
|−4|
x + 5 =12t dx = 12dt 4(x + 5)2= t2
=R √−t21
+400·12dt
= 12arc sin√t
400 + C
= 12arc sin2(x +5)20 + C
= 1arc sinx +5 + C
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
TYP: R √ Wn(x )
ax2+bx +cdx , gdzie Wn(x ) to wielomian stopnia n.
METODA: Całka ta da sie¸ zapisać:
Z Wn(x )
√
ax2+ bx + cdx = Qn−1(x )pax2+ bx + c + K
Z dx
√
ax2+ bx + c, gdzie Qn−1(x ) to pewien wielomian stopnia nie wie¸kszego od n − 1. Aby znaleźć ten wielomian i stała¸ K wystarczy zróżniczkować powyższe
równanie, a naste¸pnie pomnożyć przez √
ax2+ bx + c.
R √ Wn(x )
ax2+bx +c
dx = Q
n−1(x ) √
ax
2+ bx + c + K
R √ax2dx+bx +cPRZYKŁAD.
Oblicz
Z 3x3− 25x2+ x − 3
√x2− 10x dx .
Przewidujemy rozwiązanie postaci:
Z 3x3− 25x2+ x − 3
√
x2− 10x dx = (Ax2+Bx +C )px2− 10x +K
Z dx
√
x2− 10x.
R 3x3√−25x2+x −3 x2−10x
dx = (Ax
2+ Bx + C ) √
x
2− 10x + K
R √ dxx2−10x
.
Aby znaleźć stałe A, B, C (wielomian) i stała¸ K różniczkujemy powyższe równanie:
3x3√−25x2+x −3 x2−10x
= (2Ax + B)√
x2− 10x + (Ax2+ Bx + C ) · 2x −10
2√
x2−10x + K ·√ 1
x2−10x, a naste¸pnie mnożymy przez √
x2− 10x otrzymując:
3x3− 25x2+ x − 3 = (2Ax + B) · (x2− 10x) + (Ax2+ Bx + C ) · (x − 5) + K .
3x
3− 25x
2+ x − 3 =
(2Ax + B) · (x
2− 10x) + (Ax
2+ Bx + C ) · (x − 5) + K
Po wymnożeniu:
3x3− 25x2+ x − 3
= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx − 5C + K .
Rozwiązaniami układu
3 = 3A
− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C
− 3 = − 5C + K
są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.
3x
3− 25x
2+ x − 3 =
(2Ax + B) · (x
2− 10x) + (Ax
2+ Bx + C ) · (x − 5) + K
Po wymnożeniu:
3x3− 25x2+ x − 3
=2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx − 5C + K . Rozwiązaniami układu
3 = 3A
− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C
− 3 = − 5C + K
są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.
3x
3− 25x
2+ x − 3 =
(2Ax + B) · (x
2− 10x) + (Ax
2+ Bx + C ) · (x − 5) + K
Po wymnożeniu:
3x3− 25x2+ x − 3
= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx − 5C + K . Rozwiązaniami układu
3 = 3A
− 25 = − 25A + 2B
1 = − 15B + C
− 3 = − 5C + K
są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.
3x
3− 25x
2+ x − 3 =
(2Ax + B) · (x
2− 10x) + (Ax
2+ Bx + C ) · (x − 5) + K
Po wymnożeniu:
3x3− 25x2+x− 3
= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx+Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx+Cx− 5C + K . Rozwiązaniami układu
3 = 3A
− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C
− 3 = − 5C + K
są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.
3x
3− 25x
2+ x − 3 =
(2Ax + B) · (x
2− 10x) + (Ax
2+ Bx + C ) · (x − 5) + K
Po wymnożeniu:
3x3− 25x2+ x− 3
= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx− 5C + K. Rozwiązaniami układu
3 = 3A
− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C
− 3 = − 5C + K
są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.
3x
3− 25x
2+ x − 3 =
(2Ax + B) · (x
2− 10x) + (Ax
2+ Bx + C ) · (x − 5) + K
Po wymnożeniu:
3x3− 25x2+ x − 3
= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx − 5C + K . Rozwiązaniami układu
3 = 3A
− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C
− 3 = − 5C + K
są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.
R 3x3√−25x2+x −3
x2−10x
dx = (Ax
2+B x +C ) √
x
2− 10x +K
R √ dxx2−10x
Podstawiając A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2 do przewidywanego rozwiązania i uwzględniając przykład 1 uzyskamy:
R 3x3√−25x2+x −3 x2−10x dx
= (x2+ 1)√
x2− 10x + 2R √ dx
x2−10x
= (x2+ 1)√
x2− 10x + 2 ln |x − 5 +√
x2− 10x| + S.
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
Przez W (x1, . . . , xn) oznaczmy wyrażenie powstałe z x1, . . . , xn oraz stałych za pomoca¸ skończonej liczby operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.
TYP: R W s1qax +bcx +d, . . . , snqax +bcx +ddx
METODA: Podstawiamy ax +bcx +d = ts, gdzie s to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb s1, . . . , sn.
METODA: Podstawiamy
cx +dax +b= t
s, gdzie s to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb s
1, . . . , s
n.
PRZYKŁAD.
R
√x +3+√3 x +3
√6
x +3+1 dx =
x + 3 = t6 dx = 6t5dt t =√6
x + 3
=R tt+13+t2 · 6t5dt
=R t2(t+1)t+1 · 6t5dt
= 6Rt7dt
= 6 ·18t8+ C
= 34 √6
x + 38+ C
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
TYP: R W (sin x , cos x )dx
METODA: Podstawiamy: t = tg x2 (tak zwane ”podstawienie uniwersalne”). Wtedy dx = 1+t22dt, sin x =
2t
1+t2, cos x = 1−t1+t22. PRZYKŁAD.
R 1
sin xdx =
t = tg x2 o sin x = 1+t2t2
dx = 1+t22dt
=R 2t1 1+t2
·1+t2 2dt
=R 1tdt = ln |t| + C = ln |tg x2| + C
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
TYP: R W (sin x , cos x )dx
METODA: Podstawiamy: t = tg x2 (tak zwane ”podstawienie uniwersalne”). Wtedy dx = 1+t22dt, sin x = 1+t2t2, cos x = 1−t1+t22. PRZYKŁAD.
R 1
sin xdx =
t = tg x2 o sin x = 1+t2t2
dx = 1+t22dt
=R 2t1 1+t2
·1+t2 2dt
=R 1tdt = ln |t| + C = ln |tg x2| + C
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
TYP: R W (sin x , cos x )dx , gdy W (− sin x , cos x ) = −W (sin x , cos x ) METODA: Podstawiamy: cos x = t.
PRZYKŁAD.
R sin x·cos xdx=
cos x = t
− sin xdx = dt sin xdx = −dt
=Rt(−dt) = −12t2+ C =
−12(cos x)2+ C
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
TYP: R W (sin x , cos x )dx , gdy W (sin x , − cos x ) = −W (sin x , cos x ) METODA: Podstawiamy: sin x = t.
PRZYKŁAD.
R sin x·cos x dx =
sin x = t cos xdx = dt
=R tdt = 12t2+ C = −12(sin x)2+ C
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
TYP: R W (sin x , cos x )dx , gdy W (− sin x , − cos x ) = W (sin x , cos x ) METODA: Podstawiamy: t = tg x .
Wtedy dx = 1+t12dt, sin2x = 1+tt22, cos2x = 1+t1 2. PRZYKŁAD.
Oblicz R dx
sin2x +16 sin x cos x +65 cos2x. Zakładamy, że x ∈ (−π/2, π/2).
Podstawiamy: t = tg x
R 1
sin2x +16 sin x cos x +65 cos2xdx =
t = tg x sin x = √t
1+t2
cos x = √1
1+t2
dx = 1+t12dt
=R t2 1
1+t2+16 t
1+t2+ 65
1+t2
·1+t1 2dt
=R t2+16t+651 dt
=R (t+8)12+1dt
= arctg(t + 8) + C
= arctg(8 + tg x ) + C
CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
TYP: Całki iloczynów postaci: sin kx sin lx , cos kx cos lx , sin kx cos lx . METODA: Stosujemy wzory zamieniaja¸ce iloczyn na sume¸:
sin α sin β = 12cos(α − β) − cos(α + β) cos α cos β = 12cos(α − β) + cos(α + β) sin α cos β = 12sin(α − β) + sin(α + β). PRZYKŁAD.
R sin 8x · cos 6x dx = 12R(sin 2x + sin 14x )dx
= 12 ·−12cos 2x −141 cos 14x+ C = −14cos 2x −281 cos 14x + C