CAŁKOWANIE PODSTAWOWYCH TYPÓW FUNKCJI

41  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Wykłady z matematyki inżynierskiej

CAŁKOWANIE PODSTAWOWYCH TYPÓW FUNKCJI

IMiF UTP

10

(2)

CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

Funkcja wymierna to iloraz dwóch wielomianów.

Ułamek prosty to funkcja wymierna postaci m (kx + l )n

lub rx + s

(ax2+ bx + c)n,

gdzie a, b, c, m, k, l , r , s ∈ R, n ∈ N, k 6= 0, ∆ = b2− 4ac < 0.

(3)

Metoda całkowania ułamków prostych

Ułamek prosty (kx +l )m n całkujemy podstawiaja¸c za kx + l nowa¸ zmienna¸.

PRZYKŁAD 1.

R 1

2x +7dx = 2x +7=t2dx =dt dx =1 2dt

=R 1t ·12dt = 12ln |t| + C = 12ln |2x + 7| + C PRZYKŁAD 2.

R 1

(2x +7)3dx=

2x +7=t

2dx =dt dx =12dt

= 12R t13dt

= 12R t−3dt = 12 ·−21 t−2+ C = 4(2x +7)−1 2 + C

(4)

Metoda całkowania ułamków prostych

Trójmian kwadratowy można zapisać w postaci kanonicznej:

ax2+ bx + c = a(x − p)2+ q, gdzie p = −b2a, q = −∆4a .

Ułamek prosty (ax2rx +s+bx +c)n całkujemy podstawiaja¸c x − p =qqat.

Uzyskane po podstawieniu całki obliczamy naste¸puja¸co: w całce R t

(t2+1)ndt podstawiamy za t2+ 1 nowa¸ zmienna¸, całka

In=R (t2+1)1 ndt dla n = 1 jest równa arctg x , natomiast dla n > 1 obliczamy ja¸ stosuja¸c wzór rekurencyjny.

(5)

Metoda całkowania ułamków prostych

PRZYKŁAD.

R 1

x2+40x +500dx =R (x +20)12+100dx =

x + 20 =q1001 t x + 20 = 10t

dx = 10dt

=R 100t21+100· 10dt = 10010arctgt + C = 101arctgx +2010 + C

lub, znając wzór Rx2+a1 2dx = 1aarctgxa + C ,

R 1

x2+40x +500dx =R (x +20)12+100dx =

x + 20 = u dx = du

=R u2+101 2du =101arctg10u + C = 101arctgx +2010 + C

(6)

Metoda całkowania ułamków prostych

PRZYKŁAD.

R x

4x2+8x +13dx =R 4(x +1)x 2+9dx =

x +1=p9

4t t=23(x +1) x +1=32t dx =32dt

=R

3 2t−1 9t2+9dt

= 23 ·19R t2+1t dt −19R t21+1dt = 23·19 ·12R t22t+1dt −19R t21+1dt

= 121 ln |t2+ 1| −19arctg t + C = 121 ln49(x + 1)2+ 119arctg 23(x + 1) + C Oczywiście całkuja¸c t2t+1 zamiast przekształcać by licznik był pochodna¸

mianownika można podstawić za t2+ 1 nowa¸ zmienna¸.

(7)

METODA CAŁKOWANIA FUNKCJI WYMIERNYCH

Funkcje¸ wymierna¸ M(x )L(x ) rozkładamy na sume¸ wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych (i stosujemy wzór: całka sumy jest równa sumie całek):

1 Jeżeli stopień L(x ) nie jest mniejszy od stopnia M(x ), to dzielimy licznik przez mianownik M(x )L(x ) = W (x ) +LM(x )1(x ), uzyskuja¸c wielomian W (x ) i nowa¸ funkcje¸ wymierna¸, w której stopień wielomianu L1(x ) jest mniejszy od stopnia mianownika.

2 Jeżeli stopień L(x ) jest mniejszy od stopnia M(x ), to zapisujemy mianownik jako iloczyn czynników postaci kx + l lub ax2+ bx + c (tu: ∆ = b2− 4ac < 0). Naste¸pnie rozkładamy M(x )L(x ) na sume¸ ułamków prostych. Każdemu czynnikowi (kx + l )n odpowiada suma

D1

(kx +l )1 + · · · +(kx +l )Dn n. Każdemu czynnikowi (ax2+ bx + c)m odpowiada suma (axR21+bx +c)x +S1 1 + · · · +(axR2m+bx +c)x +Sm m.

(8)

Całkowanie funkcji wymiernych

PRZYKŁAD 1.

R x2−x−1

x2−3x+2dx =R 1 +x22x −3−3x+2

dx =R 1 +x −11 +x −21 dx

= x + ln |x − 1| + ln |x − 2| + C Szczegóły:

najpierw podzieliliśmy licznik przez mianownik, potem rozłożyliśmy

mianownik na iloczyn: x2− 3x + 2 = (x − 1)(x − 2). Następnie szukaliśmy odpowiednich stałych A i B (szukaliśmy rozbicia na ułamki proste), by:

2x − 3

x2− 3x + 2 = A

x − 1 + B x − 2. Właściwe stałe to A = 1, B = 1.

(9)

Całkowanie funkcji wymiernych

PRZYKŁAD 2.

R x2+x +2

x3+3x2+3x +1dx =R x +11 (x +1)1 2 +(x +1)2 3

dx

= ln |x + 1| + (x + 1)−1− (x + 1)−2+ S Szczegóły:

tym razem nie dzieliliśmy. Rozłożyliśmy mianownik na iloczyn:

x3+ 3x2+ 3x + 1 = (x + 1)3. Następnie szukaliśmy odpowiednich stałych A, B i C (szukaliśmy rozbicia na ułamki proste), by:

x2+ x + 2 (x + 1)3 = A

x + 1 + B

(x + 1)2 + C (x + 1)3. Właściwe stałe to A = 1, B = −1, C = 2.

(10)

Całkowanie funkcji wymiernych

PRZYKŁAD 3.

R −2x7+3x5−3x2−x−1

x6−x2 dx =R−2x +3x5−2xx36−3x−x22−x−1dx

=R−2x +x1 +x12 x −11 + x +11 +x22x+1+ x21+1

 dx

= −x2+ ln |x | − 1x − ln |x − 1| + ln |x + 1| + ln(x2+ 1) + arctgx + S Szczegóły:

najpierw podzieliliśmy licznik przez mianownik uzyskując wielomian −2x i „resztę” 3x5− 2x3− 3x2− x − 1, potem rozłożyliśmy mianownik na iloczyn:

x6− x2 = x2(x4− 1) = x2(x2− 1)(x2+ 1) = x2(x − 1)(x + 1)(x2+ 1).

(11)

Przykład 3

Następnie szukaliśmy odpowiednich stałych A, B, C , D, E , F (szukaliśmy rozbicia na ułamki proste; stałych jest tyle ile wynosi stopień mianownika), by:

3x5− 2x3− 3x2− x − 1 x2(x − 1)(x + 1)(x2+ 1) = A

x + B x2 + C

x − 1 + D

x + 1 +Ex + F x2+ 1. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest pomnożenie obu stron tego równania przez mianownik ułamka z lewej strony (wtedy

„znikną” ułamki).

3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax(x2− 1)(x2+ 1) +B(x2− 1)(x2+ 1) + Cx2(x + 1)(x2+ 1) +Dx2(x − 1)(x2+ 1) + (Ex + F )x2(x2− 1).

(12)

Po wymnożeniu:

3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach:

3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F

− 2 = C + D − E

− 3 = C − D − F

− 1 = − A

− 1 = − B

Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.

(13)

Po wymnożeniu:

3x5− 2x3− 3x2− x − 1 =Ax5− Ax + Bx4− B +Cx5+ C x4 +C x3+ C x2+Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+Ex5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przy x5

3 = A + C + D + E

0 = B + C − D + F

− 2 = C + D − E

− 3 = C − D − F

− 1 = − A

− 1 = − B

Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.

(14)

Po wymnożeniu:

3x5+0x4− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax +Bx4− B + C x5+Cx4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+Fx4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przyx4

3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F

− 2 = C + D − E

− 3 = C − D − F

− 1 = − A

− 1 = − B

Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.

(15)

Po wymnożeniu:

3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +Cx3+ C x2+ Dx5− Dx4+Dx3− Dx2+ E x5− Ex3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przy x3

3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F

− 2 = C + D − E

− 3 = C − D − F

− 1 = − A

− 1 = − B

Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.

(16)

Po wymnożeniu:

3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+Cx2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− Fx2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przyx2

3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F

− 2 = C + D − E

− 3 = C − D − F

− 1 = − A

− 1 = − B

Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.

(17)

Po wymnożeniu:

3x5− 2x3− 3x2−1x− 1 = Ax5− Ax+ Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: przy x

3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F

− 2 = C + D − E

− 3 = C − D − F

− 1 = − A

− 1 = − B

Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.

(18)

Po wymnożeniu:

3x5− 2x3− 3x2− x− 1= Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach: (stałe)

3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F

− 2 = C + D − E

− 3 = C − D − F

− 1 = − A

− 1 = − B

Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe: A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.

(19)

Po wymnożeniu:

3x5− 2x3− 3x2− x − 1 = Ax5− Ax + Bx4− B + C x5+ C x4 +C x3+ C x2+ Dx5− Dx4+ Dx3− Dx2+ E x5− E x3+ F x4− F x2. Jednym ze sposobów na znalezienie właściwych stałych jest przyrównanie współczynników przy odpowiednich potęgach:

3 = A + C + D + E 0 = B + C − D + F

− 2 = C + D − E

− 3 = C − D − F

− 1 = − A

− 1 = − B

Rozwiązując ten układ (dowolną metodą) otrzymamy właściwe stałe:

A = 1, B = 1, C = −1, D = 1, E = 2, F = 1.

(20)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI NIEWYMIERNYCH

TYP: R dx

ax2+bx +c

METODA: Zapisujemy trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej:

ax2+ bx + c = a(x − p)2+ q i podstawiamy

x − p = t p|a|

otrzymuja¸c, zależnie od znaku a, całke¸ postaci

Z dt

p−t2+ q = arc sin t

q + C

albo Z dt q

(21)

R

dt

t2+q

= ln |t +

q

t

2

+ q| + C , q ∈ R

PRZYKŁAD 1.

R 1

x2−10xdx

=R 1

(x −5)2−25dx =

x − 5 = t dx = dt

=R 1

t2−25dt

= ln |t +√

t2− 25| + C

= ln |x − 5 +q(x − 5)2− 25| + C

= ln |x − 5 +√

x2− 10x| + C

(22)

R

dt

−t2+q

= arc sin

tq

+ C , q > 0

PRZYKŁAD 2.

R 1

−4x2−40x+300dx

=R 1

−4(x+5)2+400dx =

x + 5 =t

|−4|

x + 5 =12t dx = 12dt 4(x + 5)2= t2

=R −t21

+400·12dt

= 12arc sint

400 + C

= 12arc sin2(x +5)20 + C

= 1arc sinx +5 + C

(23)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI NIEWYMIERNYCH

TYP: R Wn(x )

ax2+bx +cdx , gdzie Wn(x ) to wielomian stopnia n.

METODA: Całka ta da sie¸ zapisać:

Z Wn(x )

ax2+ bx + cdx = Qn−1(x )pax2+ bx + c + K

Z dx

ax2+ bx + c, gdzie Qn−1(x ) to pewien wielomian stopnia nie wie¸kszego od n − 1. Aby znaleźć ten wielomian i stała¸ K wystarczy zróżniczkować powyższe

równanie, a naste¸pnie pomnożyć przez

ax2+ bx + c.

(24)

R Wn(x )

ax2+bx +c

dx = Q

n−1

(x )

ax

2

+ bx + c + K

R ax2dx+bx +c

PRZYKŁAD.

Oblicz

Z 3x3− 25x2+ x − 3

x2− 10x dx .

Przewidujemy rozwiązanie postaci:

Z 3x3− 25x2+ x − 3

x2− 10x dx = (Ax2+Bx +C )px2− 10x +K

Z dx

x2− 10x.

(25)

R 3x3−25x2+x −3 x2−10x

dx = (Ax

2

+ Bx + C )

x

2

− 10x + K

R dx

x2−10x

.

Aby znaleźć stałe A, B, C (wielomian) i stała¸ K różniczkujemy powyższe równanie:

3x3−25x2+x −3 x2−10x

= (2Ax + B)

x2− 10x + (Ax2+ Bx + C ) · 2x −10

2

x2−10x + K · 1

x2−10x, a naste¸pnie mnożymy przez

x2− 10x otrzymując:

3x3− 25x2+ x − 3 = (2Ax + B) · (x2− 10x) + (Ax2+ Bx + C ) · (x − 5) + K .

(26)

3x

3

− 25x

2

+ x − 3 =

(2Ax + B) · (x

2

− 10x) + (Ax

2

+ Bx + C ) · (x − 5) + K

Po wymnożeniu:

3x3− 25x2+ x − 3

= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx − 5C + K .

Rozwiązaniami układu

3 = 3A

− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C

− 3 = − 5C + K

są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.

(27)

3x

3

− 25x

2

+ x − 3 =

(2Ax + B) · (x

2

− 10x) + (Ax

2

+ Bx + C ) · (x − 5) + K

Po wymnożeniu:

3x3− 25x2+ x − 3

=2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx − 5C + K . Rozwiązaniami układu

3 = 3A

− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C

− 3 = − 5C + K

są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.

(28)

3x

3

− 25x

2

+ x − 3 =

(2Ax + B) · (x

2

− 10x) + (Ax

2

+ Bx + C ) · (x − 5) + K

Po wymnożeniu:

3x3− 25x2+ x − 3

= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx − 5C + K . Rozwiązaniami układu

3 = 3A

− 25 = − 25A + 2B

1 = − 15B + C

− 3 = − 5C + K

są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.

(29)

3x

3

− 25x

2

+ x − 3 =

(2Ax + B) · (x

2

− 10x) + (Ax

2

+ Bx + C ) · (x − 5) + K

Po wymnożeniu:

3x3− 25x2+x− 3

= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx+Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx+Cx− 5C + K . Rozwiązaniami układu

3 = 3A

− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C

− 3 = − 5C + K

są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.

(30)

3x

3

− 25x

2

+ x − 3 =

(2Ax + B) · (x

2

− 10x) + (Ax

2

+ Bx + C ) · (x − 5) + K

Po wymnożeniu:

3x3− 25x2+ x− 3

= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx− 5C + K. Rozwiązaniami układu

3 = 3A

− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C

− 3 = − 5C + K

są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.

(31)

3x

3

− 25x

2

+ x − 3 =

(2Ax + B) · (x

2

− 10x) + (Ax

2

+ Bx + C ) · (x − 5) + K

Po wymnożeniu:

3x3− 25x2+ x − 3

= 2Ax3− 20Ax2+Bx2− 10Bx +Ax3− 5Ax2+Bx2− 5Bx +Cx − 5C + K . Rozwiązaniami układu

3 = 3A

− 25 = − 25A + 2B 1 = − 15B + C

− 3 = − 5C + K

są A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2.

(32)

R 3x3−25x2+x −3

x2−10x

dx = (Ax

2

+B x +C )

x

2

− 10x +K

R dx

x2−10x

Podstawiając A = 1, B = 0, C = 1 oraz K = 2 do przewidywanego rozwiązania i uwzględniając przykład 1 uzyskamy:

R 3x3−25x2+x −3 x2−10x dx

= (x2+ 1)

x2− 10x + 2R dx

x2−10x

= (x2+ 1)

x2− 10x + 2 ln |x − 5 +√

x2− 10x| + S.

(33)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI NIEWYMIERNYCH

Przez W (x1, . . . , xn) oznaczmy wyrażenie powstałe z x1, . . . , xn oraz stałych za pomoca¸ skończonej liczby operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.

TYP: R W s1qax +bcx +d, . . . , snqax +bcx +ddx

METODA: Podstawiamy ax +bcx +d = ts, gdzie s to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb s1, . . . , sn.

(34)

METODA: Podstawiamy

cx +dax +b

= t

s

, gdzie s to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb s

1

, . . . , s

n

.

PRZYKŁAD.

R

x +3+3 x +3

6

x +3+1 dx =

x + 3 = t6 dx = 6t5dt t =6

x + 3

=R tt+13+t2 · 6t5dt

=R t2(t+1)t+1 · 6t5dt

= 6Rt7dt

= 6 ·18t8+ C

= 34 6

x + 38+ C

(35)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

TYP: R W (sin x , cos x )dx

METODA: Podstawiamy: t = tg x2 (tak zwane ”podstawienie uniwersalne”). Wtedy dx = 1+t22dt, sin x =

2t

1+t2, cos x = 1−t1+t22. PRZYKŁAD.

R 1

sin xdx =

t = tg x2 o sin x = 1+t2t2

dx = 1+t22dt

=R 2t1 1+t2

·1+t2 2dt

=R 1tdt = ln |t| + C = ln |tg x2| + C

(36)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

TYP: R W (sin x , cos x )dx

METODA: Podstawiamy: t = tg x2 (tak zwane ”podstawienie uniwersalne”). Wtedy dx = 1+t22dt, sin x = 1+t2t2, cos x = 1−t1+t22. PRZYKŁAD.

R 1

sin xdx =

t = tg x2 o sin x = 1+t2t2

dx = 1+t22dt

=R 2t1 1+t2

·1+t2 2dt

=R 1tdt = ln |t| + C = ln |tg x2| + C

(37)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

TYP: R W (sin x , cos x )dx , gdy W (− sin x , cos x ) = −W (sin x , cos x ) METODA: Podstawiamy: cos x = t.

PRZYKŁAD.

R sin x·cos xdx=

cos x = t

− sin xdx = dt sin xdx = −dt

=Rt(−dt) = −12t2+ C =

12(cos x)2+ C

(38)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

TYP: R W (sin x , cos x )dx , gdy W (sin x , − cos x ) = −W (sin x , cos x ) METODA: Podstawiamy: sin x = t.

PRZYKŁAD.

R sin x·cos x dx =

sin x = t cos xdx = dt

=R tdt = 12t2+ C = −12(sin x)2+ C

(39)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

TYP: R W (sin x , cos x )dx , gdy W (− sin x , − cos x ) = W (sin x , cos x ) METODA: Podstawiamy: t = tg x .

Wtedy dx = 1+t12dt, sin2x = 1+tt22, cos2x = 1+t1 2. PRZYKŁAD.

Oblicz R dx

sin2x +16 sin x cos x +65 cos2x. Zakładamy, że x ∈ (−π/2, π/2).

(40)

Podstawiamy: t = tg x

R 1

sin2x +16 sin x cos x +65 cos2xdx =

t = tg x sin x = t

1+t2

cos x = 1

1+t2

dx = 1+t12dt

=R t2 1

1+t2+16 t

1+t2+ 65

1+t2

·1+t1 2dt

=R t2+16t+651 dt

=R (t+8)12+1dt

= arctg(t + 8) + C

= arctg(8 + tg x ) + C

(41)

CAŁKOWANIE PEWNYCH FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH

TYP: Całki iloczynów postaci: sin kx sin lx , cos kx cos lx , sin kx cos lx . METODA: Stosujemy wzory zamieniaja¸ce iloczyn na sume¸:

sin α sin β = 12cos(α − β) − cos(α + β) cos α cos β = 12cos(α − β) + cos(α + β) sin α cos β = 12sin(α − β) + sin(α + β). PRZYKŁAD.

R sin 8x · cos 6x dx = 12R(sin 2x + sin 14x )dx

= 12 ·12cos 2x −141 cos 14x+ C = −14cos 2x −281 cos 14x + C

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :