Drgania – powtarzające się ruchy

Drgania

Drgania – powtarzające się ruchy

Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywamy ruchem

okresowym

x(t)=x

cos( w t+ f )

x

Ruch okresowy opisywany sinusoidalną funkcją czasu

nazywamy ruchem harmonicznym

Przemieszczenie, prędkość i

przyspieszenie w ruchu harmonicznym x(t)=x

cos( w t+ f )

amplituda drgań - dodatnia stała

- zależy od tego, jak silnie wywołano drgania

- wartość bezwzględna maksymalnego przemieszczenia ciała w obu kierunkach

faza ruchu

faza początkowa

- zależy od położenia i prędkości ciała w

chwili t=0

w=2pn , n=1/T

x

u (t)= - w x

sin( w t+ f )

a(t)= - w

x

cos( w t+ f )

(przyspieszenie)

w – częstość kątowa (kołowa) T – okres ruchu; czas po jakim wykonywane jest jedno pełne drganie

n – częstotliwość; liczba pełnych drgań wykonywanych

w ciągu każdej sekundy

Prędkość osiąga maksymalną wartość, gdy przemieszczenie jest najmniejsze (=0)

Przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia, ale ma przeciwny znak.

Przemieszczenie, prędkość i

przyspieszenie w ruchu harmonicznym

a(t)= - w

x(t)

Przemieszczenie, prędkość i

przyspieszenie w ruchu harmonicznym

Układ klocek-sprężyna tworzy liniowy oscylator harmoniczny

x = 0 x_m

- x_m

v

u = 0 u = 0 -a

a

F

F

F

F

Siła w ruchu harmonicznym

a(t)= - w

x(t) F=am

F=-kx k=m w

w =(k/m)

T=2p(m/k)

(okres drgań oscylatora liniowego) II zasada

dynamiki Newtona

Prawo Hooke'a Przyspieszenie w

ruchu

harmonicznym:

F=-m w

x

Odkształcenie jest wprost proporcjonalne do

wywołującej je siły

Jaka siła działa na ciało, aby nadać mu takie

przyspieszenie?

Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o masie m, na które działa siła proporcjonalna do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.

Energia w ruchu harmonicznym

Ek Ep

E

=kx

/2

Związana ze sprężyną. Jej wartość zależy od stopnia rozciągnięcia lub ściśnięcia

sprężyny – czyli od x(t)

E

=m u

/2

Związana z klockiem.

Jej wartość zależy od tego, jak szybko porusza

się klocek – czyli od u(t)

E=E

+E

=…= kx

/2 Energia mechaniczna

oscylatora liniowego jest stała i

nie zależy od czasu

Wahadło torsyjne (skrętne)

Każdy układ drgający ma pewną „sprężystość” i „bezwładność”

Wahadło torsyjne to oscylator harmoniczny, w którym sprężystość jest związana ze skręcaniem zamocowanego na jednym końcu cienkiego pręta.

M=- kq

M – moment siły przywracający stan równowagi

k – moment kierujący; zależy od długości, średnicy i materiału z

jakiego wykonano drut Oscylator liniowy T=2p(m/k)^1/2

Wahadło torsyjne T=2p(I/k)^1/2

Wahadło matematyczne

Położenie równowagi

Zawsze działa przeciwnie do wychylenia ciężarka i wymusza jego powrót do położenia równowagi.

Powoduje powstanie momentu siły względem punktu zawieszenia wahadła.

M=-LF_gsinQ M=Ie Dla małych Q

e = -(mgL/I)Q kątowy odpowiednik a =-w ²x w=(mgL/I)^1/2 T=2p(I/mgL)^1/2 I=mL²

T=2p(L/g)^1/2 Okres drgań wahadła

matematycznego

Oscylatory harmoniczne, w których „sprężystość”

związana jest z siłą grawitacyjną

Wahadło fizyczne

h – odległość od punktu zawieszenia do środka masy

T=2p(I/mgh)^1/2

względem punktu zawieszenia, zależy od

kształtu wahadła

Wahadło fizyczne nie będzie drgać, gdy jego punkt zawieszenia będzie się znajdował w środku masy (h=0).

Ruch harmoniczny tłumiony

Jeżeli ruch oscylatora słabnie na skutek działania sił zewnętrznych, to taki oscylator nazywamy oscylatorem tłumionym, a jego drgania tłumionymi.

Ciecz wywiera na łopatkę siłę oporu F₀=-bu

Stała tłumienia [kg/s], zależy od właściwości łopatki i cieczy Sprężyna działa na klocek siłą

F=-kx

F_g zakładamy, że jest znikomo mała

-bu-kx=ma … x(t)=x_me^-bt/2mcos(w 't+f)

- amplituda stopniowo maleje z czasem - energia mechaniczna nie jest stała w '=((k/m)-(b²/4m²))1/2

Drgania wymuszone i rezonans

Częstość kołowa własna w układu – częstość kołowa z jaką układ wykonywałby drgania swobodne, gdyby został w nie wprawiony w wyniku nagłego zdarzenia

Częstość kołowa w_wym zewnętrznej siły powodującej drgania wymuszone Gdy w = w_wym mamy rezonans !!!

Wtedy amplituda drgań i zmian prędkości jest największa

Jeżeli na konstrukcję działa duża siła zewnętrzna zmieniająca się z częstością pasującą do jednej z jej częstości własnych, powstające drgania mogą zniszczyć konstrukcję.