• Nie Znaleziono Wyników

O pewnych ograniczeniach stosowaniu całkowych postaci funkcji Lapunowa

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "O pewnych ograniczeniach stosowaniu całkowych postaci funkcji Lapunowa"

Copied!
9
0
0

Pełen tekst

(1)

. ADAM BUKOWY

K a ted ra T e o r i i R e g u la c ji

O PEWNYCH OGRANICZENIACH W STOSOWANIU CAŁKOWYCH POSTACI FUNKCJI. LAPUNOWA

S t r e s z c z e n i e , S t a b il n o ś ć układów e le k try c z n y c h i obwodów autom atyki w przypadku, gdy o p i s u j ą j e rów­

n a n ia różniczkowe n ie lin io w e I lub I I rzędu n a j ł a t ­ w iej badać k o r z y s t a j ą c z tw ierd z eń Lapunowa.

P r z y j ę c ie całkowej p o s t a c i f u n k c j i Lapunowa po­

zwala na uzyskanie dobrych r e z u l ta t ó w - gdy współ­

c z y n n ik i funkcyjne w równaniu są funkcjam i jed n o ­ znacznymi, bezpętlowymi. Wskazanie na możliwość za­

sto so w an ia form całkowych jako f u n k c j i Lapunowa w przypadkach współczynników funkcyjnych o c h a r a k te ­ r z e pętlowym stanow i t r e ś ć n i n i e j s z e j p rac y .

Badanie s t a b i l n o ś c i rozw iązań równania różniczkowego n ie lin io w e g o o p o s t a c i

x ' n ) + a ^ x ( n“ 1 )+ ... .+ + a , x + . a Q x = 0 (1) i punkcie równowagi x s x = x = . . . x^n‘“^ « 0

. . (n—1)

g d zie a ^ , a 2 ,a ^ . . . . a ^ - f u n k c j e x , x , x . . . . x '

można przeprow adzić k o r z y s t a j ą c z tw ie rd z e ń Lapunov/a [ ij.

J e ż e l i wiadomo, że badane równanie różniczkowe dopusz­

cza d l a danych warunków początkowych

x ( 0 ) , i ( 0 ) , * ( o ) ^

jedno jedyne r o z w ią z a n ie , to /g d y uda s i ę z n alez ć t a k ą fu n k cję V s V (x , x , . . . . x^n_1 ) , k t ó r a byłaby fu n k c ją zn ak o -o k reślo n ą (na p rzy k ła d o k reślo n a dodatnio lub ujem n i e ) i k t ó r e j pochodna V = dV w yliczona z użyciem za­

(2)

2 2 Adam Bukowy

le ż n o ś c i wynikających z badanego równania różniczkowego byłaby zn ak o -o k reś lo n ą fu n k c ją znaku przeciwnego n i ż V, t o ro zw iązan ie t o j e s t asym ptotycznie s t a b i l n e ,

Badanie s t a b i l n o ś c i n i e k tó r y c h równań różniczkowych j e s t c z ę s to k ło p o tliw e ze względu na t r u d n o ś c i w z n a le ­ z i e n i u t a k i e j f u n k c j i V, k t ó r e j p o c h o d n a 's p e łn ia ła b y wa­

runek z n a k o - o k r e ś lo n o ś c i, wymagany p rze z tw ie r d z e n i e La- punowa.

Pewnym u łatw ieniem - pozwalającym na s tw i e r d z e n ie ,c z y badane równanie różniczkowe p o s ia d a ro zw ią za n ie s t a b i l n e a sy m p to ty cz n ie, może być w y k orzystanie n a s t ę p u j ą c e j włas n o ś c i f u n k c j i V:

J e ż e l i

lim V (t) = 0 (2)

t — ^

g d z ie fu n k c ja V (t) p o w s ta ła p rze z wprowadzenie do znako- o k re ś lo n e j f u n k c j i

V ( x ,x ,x , . . . . x^n“^ )

rozwiązania danego równania różniczkowego x ( t ) , x ( t ) , x ( t ) . . x^n~ ( t ) t o ro zw ią za n ie t o j e s t s t a b i l n e i

Własność t a j e s t o c zy w ista , j e ż e l i wziąć pod uwagę p o j ę c i e z n a k o -o k re ś lo n o ś c i f u n k c j i V.

J e s t bowiem

V = 0 t y l k o i w yłącznie d l a x=x=x=.. .=x ” =0

\

a zatem

lim V (t) = 0 p o ciąg a za sobą

lim x ( t ) = lira x ( t ) ...= lim x^n”^ ( t ) = 0 (3)

t~— t-—«^ t ~ \

Dla wykazania, że własność (3) zachodzi d l a w szyst­

k ic h możliwych rozw iązań równania różniczkowego (1) wy­

s t a r c z y zatem wykazać, że d l a w s z y s tk ic h możliwych (czy rozpatrywanych) x ( o ) , x ( o ) , . . . . x (o) odpowiadające im fu n k c je V (t) s p e ł n i a j ą w ła sn o ść %( 2 ) , , J e s t t o możliwe d l a n i e k tó r y ę h typów równań różniczkowych drogą wykaza­

n i a , że w s z y s tk ie fu n k c je V (t) d l a dowolnych warunków początkowych p o s i a d a j ą m ajoranty zb ieżne do z e r a .

(3)

W n i n i e j s z e j pracy p r z y j ę to jako pewnego ro d z a ju " u n i w ersaln ą” n a j p r o s t s z ą m ajo ran tę, fu n k cję V' s p e ł n i a j ą c ą n a s tę p u ją c e warunki:

1) f u n k c ja V' - j è s t fu n k c ją s t a ł ą wewnątrz każdego pojedynczego p r z e d z i a łu czasu ( t n < t

2) wewnątrz każdego p r z e d z i a łu czasowego

przyjm uje ona w artość równą maksymalnej w a rto ś c i f u n k c j i V w tym p r z e d z i a l e .

Funkcja V j e s t więc pewnego ro d z a ju fu n k c ją schodkową, r

charakteryzow aną p rzez c ią g { v '( n ) J , k tó re g o wyrazy ma­

j ą w arto ść równą maksymalnej w a r to ś c i f u n k c j i V j a k i e przyjm uje ona w poszczególnych p r z e d z ia ła c h c z a s u . f G ra fic z n ą i l u s t r a c j ę sposobu tw o rze n ia f u n k c j i V ( t ) p rz e d s ta w ia r y s . 1 .

Z n a le z ie n ie m ajoranty schodkowej, f u n k c j i V ( t ) n ie na­

rz u c a żadnych warunków odnośnie p r z y j ę c i a p o d z ia łu c za­

sowego na poszczególne p r z e d z i a ły . P o d z ia ł t e n j e s t więc dowolny le c z t a k i aby wyczerpana z o s t a ł a c a ł a oś czasowa i aby p r z y j ę t e p r z e d z ia ły p o sia d a ły skończoną d łu g o ść .

(4)

24 Adam Bukowy

F unkcja ,V (fc) j e s t z. b ie ż n a do z e r a gdy o k r e ś l a j ą c y

j ą c ią g |V ( n ) } - j e s t zbieżny do zera« Warunkiem d o s t a - tecznym wykazania je g o z b ie ż n o ś c i j e s t n a p rzy k ła d s p e ł ­ n i e n i e przez w s zy stk ie poszczególne wyrazy c ią g u j v ’( n ) j warunku d ’Alembertaï

iX -n-t.lL < 1

|V nl n £

g d z ie 1 > ć > 0

Na podstaw ie przeprowadzonego rozumowania można więc sformułować n a s t ę p u j ą c e , zmodyfikowane t w ie r d z e n ie Lapu- nowaï

Badane równanie różniczkowe o p o s t a c i

x^n ^+aa _^x^n“ ^ ... , a£ x i + x: a C g d z ie an„ 2 a 2* a o s ą fu n k c 3ami x , x , x , . . . . . x^n“ ^ i p o s ia d a ją c e punkt równowagi x=x=5ćs...=x^n'~^'=: 0 ma ro z w ią z a n ie s t a b i l n e , j e ś l i uda s i ę z n a le ź ć t a k ą znako o k r e ś l o n ą .f u n k c j ę V i t a k i p o d z ia ł c zasü na skończoną p r z e d z i a ł y ( t ^ , t że po w y licz en iu V ( t ) z badanego rów nania różniczkowego d l a w szy stk ic h warunków początko­

wych i d l a czasów t > T (g d zie T j e s t dowolną l i c z ­ bą skończoną) zachodzi

W < 1 " f

g d z ie 1 < £ > 0 i V" (n ) a max V ( t )

t n < t < tn+1

Tak zmodyfikowane tw ie r d z e n i e może być zastosowane ty lk o d l a b a d a n ia równań różniczkow ych, k tó r y c h ro z w ią z a n ia ż góry n a r z u c a j ą pewien p o d z ia ł czasowy i g d zie s p e ł n i e n i e w ąrunku.(4 ) s t w i e r d z i ć można bez k o n k r e tn e j znajom ości x ( t ) , x ( t ) . . . x^n“ ^ ( t ) .

Takim typowym przypadkiem g d zie wyżej sformułowane t w ie r d z e n ie może być z powodzeniem stosowane j e s t b adanie s t a b i l n o ś c i periodycznych rozw iązań równań różniczkowych d ru g ieg o rzęd u o n a s t ę p u j ą c e j budowie

x + a x + b x s O

g d z ie a , b og ran iczo n e fü n k c je (x , x ) .

(5)

Po r o z d z ie le n ia zmiennych i scałkowaniu, równanie to przybiera postać

i | | + a x + b x = 0 (5)

/ .

x dx+ J b x dx s » x d x + C = - y a x ^dt+C^ (6 )

ó ' o

Lewa s t r o n a ró w n a n ia .(4) p o siad a w łasn o ści f u n k c j i Lapu- nowa w przypadku, gdy b j e s t jednoznaczą f u n k c ją ( x , x ) [Z] o W przeciwnym r a z i e j e j w artość z a le ż n a j e s j n i e t y i ko od g r a n i c a l e i od d ro g i całkow ania. Całka / b (y )d x , mogąc przyjmować d l a x = 0 w a rto ś c i r ó ż n e .o d °z era u n ie m ożliw ia s p e ł n ie n ie warunkui V = 0 d l a x , x = O. Pro­

blem t e n może z o s ta ć om inięty przez r o z k ła d f u n k c j i b na a) f u n k c ję jednoznaczną b ^ ( x , x ) ,

b ) fu n k c ję b2 ( x , x ) ró żn ą od z e r a t y l k o w obszarze p ę t l i ja k ą tworzy fu n k c ja b ( x , x ) .

Rozkład t a k i d l a przypadku n ieje d n o z n a c z n o ś c i typu p ę t l i h i s t e r e z y pokazany j e s t na r y s . 2,

1, m > bl(x) b2 (x)

/ 7 N .

x + V X

Rys. 2

(6)

2 6 Adam Bukowy

Równanie (6 ) może być więc z a p isa n e w p o s t a c i :

x *

J xdx ❖ M (x ,x )= - J ax 2 d t - f *b 2 (x)dx4C. (7 )

g d z ie lewa s t r o n a s p e ł n i a ju ż w szy stk ie warunki f u n k c j i Lapunowa, ,

O b lic z a n ie możliwe j e s t przy z a ło ż e n iu ty p u p r z e - b ieg u x ( t ) . Sposób o b l i c z a n i a z o s t a n i e z ilu s tro w a n y przy kładami«

Przykład 1

Układ fiz y c z n y o p isan y j e s t równaniem:

x + b x » O (6 )

g d z ie b ( x ) j e s t n iejed n o z n ac z n ą f u n k c ją x p r z e d s t a ­ wioną na r y s , 3 .

A

*2

fW

X, X2 X - - A

+

f2 (* )

F unkcja Lapunowa d l a te g o przypadku p o s ia d a n a s tę p u ją c ą p o s ta ć :

2 x x

V - +

J

x bj (x)dx= ~ y xb2 (x) dx + (7)

(7)

Przyjm ując p o d z ia ł czasu na p r z e d z i a ły odpowiadające półokresom drgań mogących w ystąpić w u k ł a d z ie , obliczamy

X1 X1

AVmax = J xb2 (x)dx = “ / Adx=-A(x1 - x2 ) ( 8 )

" X 1 x 2

Dla x c < x ^ , AV < 0 co oczyw iście pociąga za s o - bą s p e ł n i e n i e warunku (4) i s t a b i l n o ś ć układu.

Dla x > x . AV > 0 w układzie pojaw iają, s i ę d r g a -

2 1 max

n*a . Vn+1 gdyz > 1

Zachowanie s i ę rozw iązań teg o równania na p ła s z c z y ź n ie fazowej z ilu s tro w a n e j e s t na r y s . 4 i 5-

(8)

28 Adam Bukowy

Rys. 5

Na.zakończenie chciałbym gorąco podziękować P ro f. dr S . Węgrzynowi za słowa zachęty i owocne dyskusje w trak

c ie przygotowania n in ie j s z e j pracy.

LITERATURA

[1] Małkins T ie o r ia u s t o ic z iw o s t i d w iżen ija M attiech giz Moskwa_1957»

[2] S . Węgrzyn, I*C. G il l e : S t a b i l i t é des systèm es non lin é a ir e s du second ordre B u ll, de l ’Acc. P o l. des S c ie n c e s , S . Techn, V ol. X. No. 9 — 1962 r .

Rękopis złożono w Redakcji w dniu I6 .l2 » l9 6 3 r.

(9)

0 HEKOTOPHX OrPAffiREHHHT B IIPM EHSHM PIHTSTPAJîPIX $0PM

J H M O B A

P e 3 h m e

yCTOidqKBOCTB 3JieKTpM^eCKHX CXeM H CHCTeM SBTO MaTiraeoKoro ynpaBJieHHH, oimcHBaeMHX HejMHeiiHHMH ypaBHeHHHMH nepB oro bum BToporo n o p n ffca , Jierae B c e r o H ccjiesoB aT B , npmvieHfia TeopeMH JtanyHOBa od yCTOitaBOOTH HBHKeHHH*

UpHHHMafl HHTerpajiBHyio $opMy çôyHKmuî JfenyHOBar nprncojuiM k xopoiiMM pesyjTBTaTaM-^Korsa K03$g>imiieH t h ypaBHeHHH npeflCTaBJimoT c o d o t oæ ho3HaHHHe $yHK UHHo UeJIBIO 3T0H padOTH HBJIHeTCH yKa3affiie B03M0X- h o c t h npHMeHeroiH h h t erpajiBHHX c&opM $yHKumt J k n y - HOBa TaiŒe h b c jiy q a e , Kor.ua KoatemHeHTH n p e s - CTaBJunoT e o d o t Heo,n:H03Ha^HHe ^yHKumio

SOME LIMITS POR INTEGRAL FORMS OF LAPUNOFF>S FUNCTION

S u m m a r y

I n order t e s t i n the e a s ie s t p o ss ib le way the s t a b i l i t y of non l i n e a r f i r s t o r second order automatic c o n tro l sy­

stems the Lapunoff’ s theorem can f a i r l y be made use o f. Good r e s u l t s can be obtained by using the i n t e g r a l form o f the Lapunoff ’ s fu n c tio n , prowided the fu n c tio n c o e f f i c i e n t s o f th e equation a re non-loop fu n ctio n s. I t i s shown i n t h i s paper here t h a t t h e r e e x is ts a p o s s i b i l i t y o f applying the i n t e g r a l forms as a Lapunoff's fu n ctio n i n such a case a ls o - i n which the f u n c tio n c o e f f ic ie n ts have a loop c h a ra c te r.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Nie zachodzi więc w tym wypadku uzurpacja święceń, powodująca nieprawidłowość, diakon bowiem nie przywłaszcza sobie aktu władzy święceń wyższych, gdyby udzielił chrztu,

Stąd, na mocy lewostronnej skracalności działania w grupoidzie G, funkcja f spełnia równanie (4.2). Wtedy funkcja f jest różnowartościowa. Kończy to dowód. także [30])..

[r]

Można więc dla takiej funkcji napisać formalnie

Udowodnij, że funkcja kawałkami ciągła na odcinku [a, b] jest ograniczona (przy a i

Найдены достаточные условия для того, чтобы эта система имела во

W niniejszym rozdziale wyprowadzono równanie typu Lttwnera dla pewnych klas funkcji jednolistnych oraz podano jego zastosowania w oszacowaniu różnych funkcjonałów w

Wstępny do- bór centrów odbywa się najczęściej losowo przy wykorzystaniu rozkładu rów- nomiernego w procesie doboru odpowiednich wektorów ze zbioru danych uczą- cych.. W