Podstawowe dane

(1)

„Elementy”

Wrocław, 24 marca 2010

„Elementy”

(2)

Podstawowe dane

Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał

najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość.

Elementy to monografia i podręcznik.

Składają się z 13 ksiąg, z których

Księgi I – VI poświęcone są geometrii płaszczyzny

Księgi VII – X arytmetyce Księgi XI – XIII geometrii brył

Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25% (Księga X)

Każda z pozostałych to około 5 – 8% całości dzieła.

„Elementy”

(3)

Podstawowe dane

Księgi I – VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII – X arytmetyce

Księgi XI – XIII geometrii brył

„Elementy”

(4)

Podstawowe dane

„Elementy”

(5)

Podstawowe dane

Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25%

(Księga X)

„Elementy”

(6)

Podstawowe dane

Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25%

(Księga X)

„Elementy”

(7)

Księgi Elementów

Kolejne księgi poświęcone są

I: podstawy geometrii płaszczyzny

II: geometria prostokątów III: geometria okręgów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne

XI: podstawy geometrii brył

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos) XIII: bryły platońskie

„Elementy”

(8)

Księgi Elementów

I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów

III: geometria okręgów

„Elementy”

(9)

Księgi Elementów

„Elementy”

(10)

Księgi Elementów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu

V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie

„Elementy”

(11)

Księgi Elementów

IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)

VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe

„Elementy”

(12)

Księgi Elementów

„Elementy”

(13)

Księgi Elementów

VII: podstawy arytmetyki w tym NWD

VIII: proporcje liczbowe

„Elementy”

(14)

Księgi Elementów

„Elementy”

(15)

Księgi Elementów

IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe

X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył

„Elementy”

(16)

Księgi Elementów

„Elementy”

(17)

Księgi Elementów

„Elementy”

(18)

Księgi Elementów

XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)

XIII: bryły platońskie

„Elementy”

(19)

Księgi Elementów

„Elementy”

(20)

Źródła naszej wiedzy

O matematyce przed Euklidesem wiemy z książki Eudemosa z Rodos (ok. -350 do -300), ucznia Arystotelesa.

Napisał książkę o historii matematyki, książka zaginęła, ale pewne jej fragmenty przepisał w „Komentarzach do Euklidesa” Proklos, zyjący w latach 410 – 485 (czyli 700 lat po Euklidesie).

Najstarsze egzemplarze „Elementów” jakie znamy, pochodzą z około 880 roku, od czasów Euklidesa minęło do ich napisania więcej czasu, niż od ich napisania do chwili obecnej!

„Elementy”

(21)

Co napisał Eudemos

Poczatki wiedzy geometrycznej pochodza z Egiptu, bo tam wylewy Nilu zmusiły ludzi od mierzenia np. pól powierzchni (czyli

powierzchni pól).

Arytmetykę rozwinęli Fenicjanie, gdyż potrzebna była do handlu i obrotu pieniężnego.

Pitagoras przekształcił matematykę w jedną ze „sztuk

wyzwolonych”, badając jej twierdzenia w sposób intelektualny i niematerialny.

Hipokrates z Chios badał „księżyce” i napisał pierwsze „elementy”.

Platon wielce przyczynił się do rozwoju matematyki, bo uważał studiowanie jej za sprawę pierwszej wagi (napis na wejściu do akademii). Bardzo też dbał o ścisłość definicji, wprowadził pewne postulaty itp.

Teajtet, Eudoksos, ... (uczniowie Platona)

„Elementy”

(22)

Matematyka

Greckie słowo mathema µαθηµα oznaczało kiedyś „to, czego się uczymy, wiedza” i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków.

Greckie manthanein oznacza „uczyć się”.

Inne języki:

angielski mind

sanskryt man = myśleć

łacina mens = dusza (mens sana in corpore sano)

„Elementy”

(23)

Matematyka

Inne języki:

angielski mind

„Elementy”

(24)

Matematyka

Inne języki:

angielski mind

„Elementy”

(25)

Budowa Księgi I

Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny:

Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody.

Popatrzmy na tekst Księgi I:

23 definicje

5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii) 5 „common notions” - aksjomatów dotyczących nie tylko wielkości geometrycznych

48 twierdzeń

„Elementy”

(26)

Budowa Księgi I

23 definicje

5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii)

5 „common notions” - aksjomatów dotyczących nie tylko wielkości geometrycznych

48 twierdzeń

„Elementy”

(27)

Budowa Księgi I

23 definicje

48 twierdzeń

„Elementy”

(28)

Budowa Księgi I

23 definicje

48 twierdzeń

„Elementy”

(29)

Kilka twierdzeń

Przykładowe twierdzenia z Księgi I:

Tw. 4 to cecha przystawania BKB

Tw. 20 to nierówność trójkąta

Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach ... Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie. Tw. 47.

„Elementy”

(30)

Kilka twierdzeń

Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta

Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach ... Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie. Tw. 47.

„Elementy”

(31)

Kilka twierdzeń

Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach ...

Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie. Tw. 47.

„Elementy”

(32)

Kilka twierdzeń

Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.

Tw. 47.

„Elementy”

(33)

Kilka twierdzeń

Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.

Tw. 47.

„Elementy”

(34)

Księga II

Księga dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie:

Twierdzenie 4

(a + b)² = a²+ b²+ 2ab

Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklides w języku geometrii.

Twierdzenie 14 mówi, że dla każdego czworokąta da się skonstruować kwadrat o takim samym polu (a co z kołem!?).

„Elementy”

(35)

Księga II

Twierdzenie 4

(a + b)² = a²+ b²+ 2ab

„Elementy”

(36)

Księga II

Twierdzenie 4

(a + b)² = a²+ b²+ 2ab

„Elementy”

(37)

Księga II

Twierdzenie 4

(a + b)² = a²+ b²+ 2ab

„Elementy”

(38)

Księga III

Księgia III poświęcona jest okręgom:

kąty w okręgach, dwusieczne, cięciwy, styczne do okręgów itp.

„Elementy”

(39)

Księga IV

Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych.

Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych?

Dla n > 1 można skonstruować 2ⁿ-kąt foremny

Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r -kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r , s)=1, to umiemy skonstruować r · s-kąt

foremny.

Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, to umiemy skonstruować k-kąt foremny.

Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątów foremnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.

„Elementy”

(40)

Księga IV

Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.

Jeśli umiemy skonstruować r -kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r , s)=1, to umiemy skonstruować r · s-kąt

foremny.

„Elementy”

(41)

Księga IV

foremny.

„Elementy”

(42)

Księga IV

foremny.

„Elementy”

(43)

Księga IV

foremny.

„Elementy”

(44)

Gauss

Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:

wielokąty foremne o pⁿ bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2²^k + 1.

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537. Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisując konstrukcję 65 537-kąta foremnego...

„Elementy”

(45)

Gauss

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537. Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

„Elementy”

(46)

Gauss

Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną).

Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537. Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

„Elementy”

(47)

Gauss

Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537.

Podobno konstrucja 256-kąta to 194 strony druku.

„Elementy”

(48)

Gauss

„Elementy”

(49)

Gauss

„Elementy”

(50)

Kolejne księgi

W V mamy proporcje między wielkościami abstrakcyjnymi (porównaj: Arystoteles Etyka nikomachejska, str. 172). W tym figury podobne.

W VI proporcje i pola.

W VII użycie proporcji do „mierzenia” liczb. Algorytm Euklidesa (Twierdzenie VII.1), NWD i liczby pierwsze.

Twierdzenie VII.31 Dowód używa faktu: każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy.

„Elementy”

(51)

Dowód z „Księgi”

W księdze IX „Elementów” znajduje się poniższe twierdzenie:

Jest wiecej liczb pierwszych niż jakakolwiek ustalona ilość liczb pierwszych.

„Elementy”

(52)

Dowód z „Księgi”

Jest też dowód:

Niech a, b, c będą liczbami pierwszymi. Twierdzę, że istnieje więcej liczb pierwszych niż a, b, c. W tym celu rozważmy liczbę d = abc + 1. Albo jest ona pierwsza albo ma czynnik pierwszy (Tw. VII.32).

Jeśli jest pierwsza, to znaleźliśmy liczby pierwsze a, b, c, d , których jest więcej niż a, b, c.

Jeśli nie jest pierwsza, ale ma czynnik pierwszy g , to twierdzę, iż g nie jest równa żadnej spośród a, b, c.

Przypuśćmy, że jest przeciwnie (tzn. g jest jedną spośród a, b, c).

Wtedy g dzieli abc, ale g dzieli abc + 1. Stąd g powinna dzielić liczbę 1, co jest absurdem. Zatem g nie jest równa żadnej spośród a, b, c, więc a, b, c, g są pierwsze.

„Elementy”

(53)

Erd¨ os i „dowody z Księgi”

Węgierski, podróżujący całe życie matematyk Paul Erd¨os (1913 – 1996) twierdził, że Bóg ma Księgę, w której zapisane są idealne dowody wszystkich twierdzeń.

Przykładem takiego dowodu jest właśnie dowód Euklidesa o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych.

„Elementy”

(54)

Piąty aksjomat

Księga I Elementów jest wyjątkowa. Wszystkie pozostałe mają co najwyżej definicje, po których następują twierdzenia. Dlaczego?

Może pozostałe aksjomaty (dla liczb) uważano za oczywiste?

Można tylko spekulować.

„Elementy”

(55)

Geometria absolutna

Twierdzenia geometrii płaszczyzny, które nie można wyprowadzić bez piątego postulatu tworzą geometrię absolutną. Oto przykład takiego twierdzenia:

Twierdzenie I. 27 Jeśli prosta przecina dwie proste tak, że kąty odpowiadające są równe, to te dwie proste są równoległe.

Wariantem powyższego jest kolejne Twierdzenie I. 28

Jeśli kąty G i H są równe, to proste AB i CD są równoległe.

Jeśli suma kątów H oraz przyległego do G ma 180^◦, to AB i CD są równoległe.

„Elementy”

(56)

Odwracamy Twierdzenie I.27

Twierdzenie I.29. Jeśli proste AB i CD są równoległe, to kąty α i β są równe.

Wspaniałe twierdzenie: aby sprawdzić równoległość prostych, należałoby sprawdzić, czy się przecinają, więc trzeba przedłużyć je w nieskończoność! Twierdzenie mówi, że wystarczy sprawdzić lokalnie: zmierzyć kąty.

Do dowodu KONIECZNY jest Piąty Postulat (o równoległych).

„Elementy”

(57)

Inne konsekwencje Piątego Postulatu

Suma wewnetrznych kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym. (Twierdzenie I.32).

Ta własność charakteryzuje trójkąt w klasie wielokątów. Immanuel Kant podał ją w Krytyce czystego rozumu jako przykład

„syntetycznego sądu apriori” to znaczy absolutnie pewnej wiedzy, niewynikającej z naszego doświadczenia.

Z tego twierdzenia wynika, że suma kątów w n-kącie jest równa (n − 2)π. Jakob Steiner wyprowadził z tego ostatniego faktu wzór Eulera dla wielościanów wypukłych: W + S − K = 2.

„Elementy”

(58)

Próby poprawienia Piątego Postulatu

Starożytni próbowali zastąpić go prostszym - próby nie powiodły się.

W roku 1663 John Wallis wykazał, że zdanie istnieją trójkąty podobne o różnych polach implikuje Piąty Postulat.

G. Saccheri opublikował w 1733 roku ksiażkę Euklides od wszelkich defektów uwolniony. Badał tam czworokąt o trzech kątach

prostych. Wówczas czwarty kąt może być ostry albo prosty albo rozwarty.

Kąt prosty równoważny jest Piątemu Postulatowi.

Kąt rozwarty przeczy istnieniu linii o nieskończonej długości.

Z założenia, że kąt jest ostry wyprowadził wiele wniosków, o których wierzył, że przeczą innym (absolutnym) twierdzeniom Euklidesa. Ale się mylił.

„Elementy”

(59)

Geometria na sferze

Do zrozumienia innych rodzajów geometrii potrzebne jest pojecie linii geodezyjnej: to najkrótsza linia łącząca dwa punkty.

Na przykład na sferze jest to łuk koła wielkiego, wyznaczonego przez te punkty. W takiej geometrii, gdy za proste przyjmiemy koła wielkie, to dostajemy inną geometrię: w niej nie ma w ogóle prostych równoległych, bo każde dwie proste przecinają się.

„Elementy”

(60)

Geometria na sferze

Trójkąt w tej geometrii to figura wyznaczona przez trzy punkty i łuki kół wielkich, wyznaczonych przez pary punktów.

Zauważmy, że suma kątów każdego trójkąta ma ponad 180^◦. Jak wykazał J. H. Lambert, pole takiego trójkąta (na sferze o promieniu 1) jest równe nadmiarowi tego trójkąta tzn. sumie kątów minus π.

„Elementy”

(61)

Bolyai, Łobaczewski i Gauss

Około roku 1830 J. Bolyai, N. Łobaczewski i K. Gauss niezależnie zbudowali geometrie oparte na zaprzeczeniu Piątego Postulatu.

Założyli, że przez dany punkt można poprowadzić więcej niż jedną prostą równoległą do zadanej.

I otrzymali inną geometrię. W niej pewne twierdzenia, ale nie było zgody co do tego, czy ta teoria nie jest wewnętrznie sprzeczna.

Gauss wyników nie opublikował (nie chciał „krzyku Beotów”).

„Elementy”

(62)

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego:

otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej:

zespolonej),

prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x²+ y²= 1);

izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względem średnic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu dysku;

inwersje zadane są wzorem: dla |a| < 1 określamy

Ia(z) = _1−¯^a−z_az. Zauważmy, że Ia(a) = 0 oraz I_a(I_a(z)) = z.

„Elementy”

(63)

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego:

zespolonej),

„Elementy”

(64)

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego:

zespolonej),

„Elementy”

(65)

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego:

zespolonej),

„Elementy”

(66)

Geometria hiperboliczna

Model Poincarego jest konforemny, to znaczy hiperboliczne kąty między prostymi są takie same jak kąty euklidesowe (liczone dla stycznych w punkcie przecięcia łuków).

Łatwo obliczać odległość od (0,0): punkt leżący w euklidesowej odległości r ∈ [0, 1) od (0, 0) znajduje się w hiperbolicznej odległości ¹₂ln^1+r_1−r od (0,0).

Odległości innych par punktów łatwo obliczyć, przesuwając jeden z nich do (0, 0) za pomocą izometrii.

Dwie proste są równoległe, jeśli ich jedynym punktem wspólnym jest punkt graniczny (na okręgu).

Dwie proste, które w ogóle nie mają punktów wspólnych (nawet granicznego) to nadrównoległe.

Zadanie. Dane są: prosta L i punkt A. Poprowadzić przez A więcej niż jedną prostą równoległą do L. Ile jest prostych, które nie mają

punktów wspólnych z L?