f ^ /
R e p o r t Ko. 75-17
A VELOCITY PREDICTION PROGRMi
FOR OCEAN RACING YACHTS
by
J u s t i n E, R'ervjix^
December 1975
n
\ 'AMmn Mm nmm&niAm
Projsct
, ;3- ,R e p o r t No. 75-17
A VELOCITY PREDICTION PROGRAM
FOR OCEAN RACING Y/vCHTS
by
J u s t i n E. K e r w i n
December 1975
Advance D r a f t
T h i s r e s e a r c h was c a r r i e d o u t under t h e N o r t h
A m e r i c a n Yacht R a c i n g U n i o n Ocean Race H a n d i c a p p i n g
P r o j e c t f M.I.T. OSP P r o j e c t No, 81535. The generous
s u p p o r t o f t h e i n d i v i d u a l d o n o r s t o t h i s program i s
g r a t e f u l l y acknov/ledged.
Paper t o be p r e s e n t e d a t t h e New E n g l a n d S a i l i n g Symposium
Nev.' London, Connecticut,- J a n u a r y 197 6.
A B S Ï W ^ C T A p r c c e d u r e i s d e v e l o p e d t o p r e - • d i e t t h e s a i l i n g s p e e d o f a y a c h t w i t h s p e c i f i e d c h a r a c t e r i s t i c s f o r a n y c o m -b i n a t i o n o f t r u e w i n d v e l o c i t y a n d a n g l e . T h e m e t h o d r e q u i r e s a s i n p u t h y d r o d y n a m i c h u l l c h a r a c t e r i s t i c s d e -r i v e d p -r i n c i p a l l y f -r o m t o w i n g t a n k t e s t s a n d s a i l f o r c e c o e f f i c i e n t s d e r i v e d f r o m f u l l s c a l e t e s t s . T h e p r o -c e d u r e p e r m i t s t h e m a x i m u m p o s s i b l e g e n e r a l i z a t i o n o f t h e s e d a t a t o y a c h t s o f v a r y i n g s i z e , s t a b i l i t y a n d s a i l a r e a . R e s u l t s a r e g i v e n t o r a g e o m e t r i c a l l y s i m i l a r f a m i l y o f y a c h t s d e -v e l o p e d f r o m a s i n g l e p a r e n t h u l l . NOMENCLATURE a , b , c , d C o e f f i . c i e n t s o f s p l i n e c u b i c a p p i r o x i m a t i o n t o u p -r i g h t -r e s i s t a n c e I T T C C o r r e l a t i o n C o e f f i c i e n t C C o e f f i c i e n t o f r e s i s t a n c e i n -^ ' c r e a s e d u e t o h e e l H e e l i n g f o r c e d e v e l o p e d b y s a i l s "HO 'RO S a i l s i d e f o r c e c o e f f i c i e n t a t z e r o h e e l C o e f f i c i e n t o f l i n e a r h e e l c o r r e c t : . o n t e r m t o s a i l s i d e f o r c e c o e f f i c i e n t C o e f f i c i e n t o f r e s i s t a n c e i n -c r e a s e d u e t o s i d e f o r -c e R e s i d u a r y R e s i s t a n c e C o e f f i -c i e n t S a i l d r i v i n g f o r c e c o e f f i c i -e n t C o e f f i c i e n t o f l i n e a r h e e l c o r r e c t i o n t e r r a t o s a i l d r i v i n g . f o r c e c o e f f i c i e n t C o e f f i c i e n t s i n e x p a n s i o n o f i n p o v ; e r s o f <|)2 C o e f f i c i e n t s i n a p p r o x i m a t i o n t o ) - i u l l s t a b i l i t y f u n c t i o n g I J K L ^E P r • s V ^^aw mg V CE F r o u d e N u m b e i B a s e m a i n s a i l A e r o d y n a m i c d r i v i n g f o r c e o f s a i l s A c c e l e r a t i o n o f g r a v i t y -H e i g h t ' o f f o r e - t r i a n g l e B a s e o f f o r e - t r i a n g l e H e e l i n g m o m e n t W a t e r l i n e l e n g t h ö f h u l l E f f e c t i v e l e n g t h f o r c o r a p u t a -t i o n o f R e y n o l d s N u m b e r H e i g h t o f m a i n s a i l R e s i s t a n c e i n c r e a s e o f h u l l d u e t o h e e l a t z e r o s i d e f o r c e R e s i s t a n c e i n c r e a s e o f h u l l d u e t o s i d e f o r c e R e y n o l d s N u m b e r — — • T o t a l h u l l r e s i s t a n c e u n d e r s a i l , i n c l u d i n g i n f l u e n c e o f h e e l , l e e w a y a n d s i d e f o r c e T o t a l u p r i g h t r e s i s t a n c e o f h u l l R e e f i n g f u n c t i o n W e t t e d s u r f a c e a r e a o f h u l l S a i l a r e a B o a t s p e e d A p p a r e n t w i n d v e l o c i t y S p e e d miade g o o d t o \ v i n d w a r d T r u e wj.nd ^ ' e l o c i t y i i e i g h t o f c e n t e r o f e f f o r t o f s a i l s a b o v e v / a t e r l i n e , meas u r e d in v e r t i c a l c e n t e r -p l a n e o f y a c h t
aw D i s t a n c e o f y a c h t c e n t e r o f g r a v i t y b e l o w w a t e r l i n e L e e w a y a n g l e A p p a r e n t w i n d a n g l e T r u e w i n d a n g l e D i s p l a c e m e n t o f h u l l M a s s d e n s i t y o f v j a t e r M a s s d e n s i t y o f a i r H e e l a n g l e M a x i m u m a l l o w a b l e h e e l a n g l e , I N T R O D U C T I O N T h e u l t i m a t e p u r p o s e o f t h e V e l o -c i t v P r e d i -c t i o n P r o g r a m (VPP) i s t o p r o v i d e a m e a n s o f p r e d i c t i n g t h e ^ s p e e d o f ciny y a c h t a t a n y p o i n t o f s a i l i n g i n a n y w i n d v e l o c i t y . T h e a v e r a g e s p e e d s o f a h y p o t h e t i c a l o r r e a l f l e e t o v e r a p r e s c r i b e d c o u r s e o b t a i n e d b y t l i e VPP c a n p r o v i d e o n e b a s i s f o r t h e e v a l u a t i o n o f e x i s t i n g o r p r o p o s e d t i m e a l l o w a n c e a n d r a t i n g f o r m u l a e . Xn t h i s w a y , t l i e i n f l u e n c e o f t h e b a s i c s p e e d - p r o d u c i n g f a c t o r s o f a y a c h t c a n b e f j t u d i e d w i t h o u t t h e d i s t u r b i n g i n f l u e n c e s o f w e a t h e r , c h a n c e a n d s a i l -i n g s k -i l l v.'h-ich a r e -i n e v -i t a b l y p r e s e n t i n r e a l r a c e d a t a . M o r e o v e r , t h e VPP c a n b e u s e d d i r e c t l y t o d e v e l o p a h a n d i -c a p p i n g s y s t e m . A n e x a m p l e o f s u -c h ' a n a p p l i c a t i o n miay b e f o u n d i n [ 1 ] . • • I n i t s p r e s e n t f o r m , t h e VPP r e -q u . i r e s a s i n p u t t h e n o n d i m e n s i o n a l . r e s L s - t a n c o c h a r a c t e r d . s t i e s o f t h e h u l l a n d t h e n o n d i m e n s i o n a l d r i v i n g a n d s i d e f o r c e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s a i l s . W h i l e a l a r g e ' q u a n t i c y o f t o w -i n g t a n k d a t a e x -i s t s , d -i f f e r e n c e s d u e t o " ' s c a l e e f f e c t s a n d d u e t o v a r i a t i o n s i n s p e c i f i c t e s t i n g p r o c e d u r e s a t d i f -r f e -r e n t f a c i l i t i e s m a k e s u c h d a t a o f q u e s t i o n a b l e v a l u e i n t h e h a n d i c a p p i n g p r o b l e m . Hov.'ever, t h e r e a r e t v j o t y p e s o f t a n k t e s t s w h i c h a r e u s e f u l . T h e f i r s t i s s i m p l y t h e u s e o f t h e t e s t s o f a s i n g l e m o d e l t o o b t a i n t h e p e r -f o r m a n c e ' o -f a g e o s i m -f a m i l y o -f y a c h t s o f d i f f e r e n t s i z e s . I n t h i s c a s e , t h a r e l a t i v e p e r f o r m a n c e o f f u l l - s i z e y a c h t s o f v a r y i n g s i z e c a n b e p r e -d i c t e -d w i t h f a r g r e a t e r c o n f i -d e n c e t l i a n t h e a b s o l u t e p e r f o r m a n c e o f a s i n g l e p r o t o t y p e . I f t h e m.odel t e s t c o v e r s a s u f f i c i e n t l y w i d e r a n g e o f c o n d i t i o n s , t h e p e r f o r m a n c e o f a f l e e t o f n o t - o n l y v c i r y . i n g s i z e , b u t v a r y i n g s a i l a r e a a n d s t a b i l i t y c a n l^e e a t a b -.l.ished., T h e s e c o n d t y p e o f t e s t i s a s y s -t e m a -t i c s e . r i e s o f m o d e l -t e s -t s , a l l d o ) i e i n a s i n y d . e f a c i l . i t y o n s i m i l a r s i z e m o d e l s u s i n g s t r i c t l y c o n t r o l l e d t e s t p r o c e d u r e s . I n t h i s c a s e , t h e i n f l u e n c e o f t h o s e b a s i c s p e e d p r o -d u c i n g h u l l p a r a m e t e r s w h i c h a r e l e a s t s u b j e c t t o u n c e r t a i n s c a l e e f f e c t s c a n b e i n c o r p o r a t e d i n f u l l s c a l e p e r f o r -m a n c e p r e d i c t i o n s . S u c h p a r a -m e t e r s i n c l u d e , f o r e x a m p l e , d i s p l a c e m e n t / l e n g t h r a t i o , l e n g t h / b e a m r a t i o , a n d p r i s m a t i c c o e f f i c i e n t . s e r i e s__i.s j?.xe.£eatlSl4ind^^^^ e r a t i v e p r o o i i a m ^ b j a j ^ i ^ o n ^ ^ ^ " ï K ê " S h i p b u i l d i n o Lab£rator\;_j3f__the^^ '^&T{r^mT^?^si:!^:;^^c^ï^j^ T h e s e € e s t s * ^ 1 c e " ' b e i n g made w i t h r e l a t i v e l y l a r g e m.odels w i t h a l e n g t h o v e r a l l o f 7 f e e t a n d a n a v e r a g e d i s p l a c e m e n t o f 9 0 p o u n d s . I n a d d i t i o n . P a n e l H13 o f t h e S o c i e t y o f N a v a l A r c h i t e c t s , w i t h t h e c o o p e r a t i o n o f H i d r o -n a u t i c s , I -n c o r p o r a t e d , a -n d t h e D a v i d s o -n L a b o r a t o r y , i s s p o n s o r i n g t h e t e s t i n g o f a 2 2 - f o o t a n d 4 . 8 - f o o t m o d e l o f t h e p a r e n t h u l l o f t h e s y s t e m a t i c s e r i e s . When c o m . p l e t e d , t h r a e p r o g r a m s a r e e x p e c t e d ' t o p r o v i d e a n e x -t e n s . i v e a n d r e l i a b l e d a -t a b a s e f o r . -t h e V P P . T h e p r e d i c t i o n o f y a c h t s a i l i n g p e r f o r m a n c e f r o m , t a n k t e s t s r e q u i r e s k n o v j l e d g e o f t h e d r i v i n g a n d s i d e f o r c e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e s a i l s . F o r t h e p a s t 4 0 y e a r s , p r a c t i c a l l y a l l s u c h p r e d i c t i o n s h a v e b e e n b a s e d o n t h e c l a s s i c a l G I M C K A C K s a i l c o e f f i c i e n t s d e v e l o p e d b y D a v i d s o n [ 2 ] . T h e s e c o e f f i c i e n t s a r e l i m i t e d t o o p t i m u m c l o s e -h a u l e d a p p a r e n t v / i n d a n g l e s , s o t -h a t n o i n f o r m . a t i o n i s p r o v i d e d f o r r e a c h i n g . a n d r u n n i n g c o n d i t i o n s . I n a d d i t i o n , t l i e g e o m e t r y o f GINCPACK's r i g d i f f e r s c o n s i d e r a b l y f r o m t h a t o f a c u r r e n t o c e a n r a c i n g y a c h t a n d , o f c o u r s e , s a i l m a k i n g t e c h n o l o g y h a s a d v a n c e d s i g n i f i c a n t l y s i n c e 1 9 3 6 . T h e r e a r e t h r e e p o s s i b l e a p p r o a c h e s t o d e t e r m i n i n g s a i l f o r c e c o e f f i c i e n t s f o r o c e a n r a c i n g y a c h t s : 1 . . A a r o d y n a m i c T h e o r y [ 3 ] , [ 4 ] .; 2 . W i n d T u n n e l T e s t s o f a M o d e l R i g [ 5 ] , [ 6 ] , [ 7 ] ; 3 . F u l l - s c a l e S a i l i n g T r i a l s c o m b i n e d w i t h t o w i n g t a n k t e s t s o f t h e h u l l [ 2 ] , [ 8 ] , [ 9 ] . A e r o d y n a m i c t h e o r y p r o v i d e s a r a t i o n a l m e a n s o f e s t i m a t i n g t h e e f f e c t o f r i g p r o p o r t i o n s o n w i n d w a r d s a i l i n g p e r -f o r m a n c e . H o w e v e r , pre.<::ent a n a l y t i c a l m e t h o d s c a n n o t b c e x p e c t e d t o p r o v i d e c o r r e c t r e s u l t s f o r o f f - w i n d s a i l i n g c o n d i t i o n s v i n d t u . n n e l v ; c u i d a p p e a r t o b e t h o l o g i c a l t e s t s o f a h u l l . c o u n t e r p a r t t o t a n i H o w e v e r , t h e r e a r e
i m p o r t a n t d i f f e r e n c e s w h i c h s e v e r e l y l i m i t t h e u s e f u l n e s s n f w i n d t u n n e ] . t e s t s , p a r t i c u l a r l y f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f ' o b t a i n i n g r e p r e s e n t a t i v e s a i l f o r c e c o e f f i c i e n t s f c r o c e a n r a c e h a n d i c a p p i n g , W h i l e a y a c h t h a s one h u l l o f ' f i x e d a n d p r e c i s e l y k n o w n g e o -m e t r y , i t i s l i k e l y t o h a v e t w e j i t y o r m o r e s a i l s s e t i n v a r i o u s c o m b i . n a -t i o n s , e a c h w i -t h i n f i n i -t e l y v a r y i n g a n d g o n e r a l D . y u n k n o w n s h a p e . T h e s e s a i l s c a n n o t b e r e p r o d u c e d b y d e f o r m a b l e f a b r i c m . o d e l s , n o r i s i t p r a c t i -c a l t o m e a s u r e a n d r e p r o d u -c e as a r i g i d m o d e l t h e l a r g e n u m b e r o f g e o -m e t r i e s n e c e s s a r y t o c h a r a c t e r i z e a n o c e a n r a c i n g y a c h t . E v e n i f t h i s w e r e p o s s i b l e , v j i n d t u n n e l v . ' a l l e f f e c t s i n t r o d u c e l a r g e e r r o r s i n t h e m e a s u r e -m e n t o f o f f - w i n d s a i l i n g c o n d i t i o n s . T h i s t h e r e f o r e l e a v e s t h e f u l l -s c a l e -s a i l i n g t r i a l , p r e f e r a b l y underr a c i n g c o n d i t i o n s , a s t l i e o n l y p underr a c t i -c a l m e a n s o f o b t a i n i n g t h e -c o m p l e t e c h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e r i g o f a n o c e a n r a c i n g y a c l i t f o r a l l p o i n t s o f s a i l i n g a n d f o r a l l v.'ind v e l o c i t i e s . V J h i l e i n d i v i d u a l m e a s u r e m e n t s o b t a i n e d i n t h i s way c a n c o n t a i n l a r g e r a n d o m e r r o r s a s s o c i a t e d v.'ith n o n l a b o r a t o r y c o n t r o l l e d c o n d i t i o n s , s u i t a b l y a v e r -a g e d d -a t -a c -a n b e c o n s i d e r e d t o b e r e l i a b l e .
T h i a g o r p a c h w a_s j o j j d j y i ,,^a n a ly^z e d a t a rSc'ard.edAorili
BTrsORC„i7J.i^_and_.^^^^^^
"'Qie'l'STT
r a c i n g s e a s o n in_^Eu£ope^[ 8 ] . THE VP? M7iTHEMATICAL MODELH u l l R e s i s t a n c e E o r a h u l l o g e o m . e t r y t h e t o t a s a i l Ro a n d s i d e f u n c t i o n s o f s p e e a n d h e e l a n g l e , (fi R 3 i s d e f i n e d as r e c t i o n o f t h e v e w h i l e F ] j c o s (j) i s p o n e n t o f t h e f o r t o t h e v e l o c i t y . Rg a n d Fn c o s i? V7 b y p o l y n o m . i a l s i n d e n t v a r i a b l e s , u d e v e l o p e d a t M . I , e v e r , s i n c e v.'e a r c e r n e d v . ' i t h e q u i l a n d h u l l f o r c e s , t o e l i m i n a t e lee%-j t o c o n s i d e r t h a t s p e c i f i e d s i z e a n d 1 r e s i s t a n c e u n d e r f o r c e F j T c o s (•> a r e d ^ V, l e e w a y a n g l e , B, .-L T h e r e s i s t a n c e t h e f o r c e i n th.e d i -l o c i t y o f t h e y a c h t , t h e h o r i z o n t a l com-c e , a t r i g h t a n g l e s I n [ 7 ] t h e f u n c t i o n s e r e a p p r o x i m a t e d t h e s e t h r e e i n d e p e n -s i n g t h e x ^ r o c e d u r e T. i n 19 6 4 [ 9 ] . How¬ e p r i n c i p a l l y c o n -i b r -i u m b e t w e e n s a -i l i t i s m o r e e f f i c i e n t ay a s a p a r a m e t e r a n d t h e r e s i s t a n c e i s a T h e n o t a t i o n F i j c o s i s g e n e r a l l y -u s e d t o d e n o t e t h e a e r o d y n a m i c s i d e f o r c e d e v e l o p e d b y t h e s a i l s . To s i m -p l i f y n o t a t i o n , t h o same s y m b o l i s u s e d h e r e t o d e n o t e t h e e q u i l i l s r a t i n g h y d r o d v n a m . i c s i d e foxce a c t i n g o n t h e h u l l . f u n c t i o n o f s p e e d , s i d e f o r c e a n d h e e l - a n g l e . T h e r e i n n i n i n g e q u a t i o n r e l a t i n c t s i d e f o r c e t o l e e w a y a n g l e i's t h e r e -f o r e u n n e c e s s a r y i n e s t a b l i s h i n g t h e e q u i l i b r i u m s p e e d o f " t h e y a c h t , VJc c a n t h e n c o n s i d e r t h e t o t a l r e s i s t a n c e P-s t o c o n s i s t o f t h r e e a d d i -t i v e -t e r m s : a ) U p r i g h t r e s i s t a n c e w i t h z e r o s i d e f o r c e ; R^,, b ) R e s i s t a n c e i n c r e a s e d u e t o h e e l a t z e r o s i d e f o r c e ; R^^, c ) R e s i s t a n c e i n c r e a s e d u e t o s i d e f o r c e ; ' R^, U p r i g h t R e s i s t a n c e . U p r i g h t r e s i s t a n c e , Tc.F~a f i x e d s i z e , i s a f u n c -t i o n o f s p e e d a l o n e . T h e e f f e c -t o f s i z e f o r g e o m e t r i c a l l y s i m . i l a r h u l l s may b e o b t a i n e d i n t h e u s u a l way i n a c c o r d a n c e w i t h F r o u d e ' s l i y p o t h e s i s : w h e r e 0.075 ( 1 ) ( 2 ) n i s t h e I T T C c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t e x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f t h e R e y n o l d s N u m b e r R = n VL^ ( 3 ) a n d C R i s t h e r e s i d u a r y r e s i s t a n c e c o e f f i c i e n t w h i c h i s a. f u n c t i o n o f F r o u d e N u m b e r ( 4 ) I f vje t a k e t h e e f f e c t i v e l e n g t h f o r f r i c t i o n a l r e s i s t a n c e as 7 0 % o f t h e w a t e i - I i n e l e n g t h L „ = a . 7 L ( 5 ) we c a n r e v ; r i t e ( 2 ) i n t e r m s o f dim.ens i o n a l q u a n t i t i e dim.ens i m m e d i a t e l y a v a i l -a b l e f o r c o m p u t -a t i o n r l l 8 2 2 3 L V - , 2 2 , 3 0 2 5 8 ; ( 6 ) I n t h i s c a s e , t h e w a t e r l i n e l e n g t h L i s i n f e e t , t h e s p e e d V i s i n k n o t s a n d t h e q u a n t i t y v i s 1 0 ^ t i i T i e s t h e k i n e m a t i c v i s c o s i t y o f s e a w a t e r i n v m i t s o f f t 2 / s e c . c i e n c , v-R, 11 h e r e s i d u a r y r e s i s t a n c e c o e f f i -i s a 3 s u me d t o b e k n ov;n a t s p e e d - l e n g t J i , r a t i o e i g h r v a l u e s o r — = 0.4 ( 0 , 2 ) 1 . R ( 7 :
w h e r e V i s a g a i n i n k n o t s a n d L i s i n f e e t . A p r o g r a m h a s b e e n d e v e l o p e d t o o b t a i n t h i s i n f o r m a t i o n f r o m a t o v / i n g t a n k t e s t b y a l e a s t - s q u a r e s s p l i n e c u b i c c u r v e f i t t i n g t e c h n i q u e , a n d a t y p i c a l r e s u l t i s g i v e n i n [ 8 ] . How-e v How-e r , t h How-e c h o i c How-e o f t h i s f o r m o f i n p u t m a k e s i t p o s s i b l e t o u s e d a t a f r o m p r a c t i c a l l y a n y s o u r c e . F o r a n y d e s i r e d s i z e h u l l , v/e c a n u s e ( 1 ) t o c o m i p u t e e i g h t v a l u e s o f R^p a t s p e e d s g i v e n b y ( 7 ) C o n s i d e r i n g t h e p o i n t a t t h e o r i g i n ' , w h i c h i s , o f c o u r s e , z e r o , v/e h a v e a t o t a l o f n i n e p o i n t s . T h e r e s i s t a n c e c u r v e i s a s -B u r r i e d t o b e a s p l i n e f u n c t i o n p a s s i n g t J i r o u g h t h e s e n i n e p o i n t s , w i t h a f u r -t h e r c o n s -t r a i n -t o f z e r o s l o p e a -t -t h e o r i g i n . L e t V j b e t l i e " b a s e " s p e e d s c o r r e s p o n d i n g t o s p e e d l e n g t h r a t i o s • o f 0, '.4, . 6 , ... 1 . 8 . A p a r t i c u l a r s p e e d V f a l l s i n t h e j t h i n t e r v a l v/here V. < V (8) v / h i l e t h e l a s t i m t e r v a l c o r r e s p o n d i n g t o j = 8 e x t e n d s f r o m Vy t o a r b i t r a r i -l y -l a r g e s p e e d s . T h e r e s i s t a n c e c u r v e i n t h e j t h i n t e r v a l i s t h e r e f o r e a c u -b i c o f t h e f o r m a . (V -V.) C j (V-V..) + • b . (V-V ,) + d (9) a j , b j . .di a r e o b -T h e c o e f f i c i e n t s t a i n e d b y r e q u i r i n g t h a t t h e a p p r o x i -m a t i n g c u b i c s p a s s t h r o u g h t h e t a b u l a r p o i n t s a n d t h a t t h e s l o p e s a n d c u r v a -• t u r e s a r e c o n t i n u o u s a t e a c h o f t h e i r j u n c t u r e s . An- u p r i g h t r e s i s t a n c e c u r v e , d e f i n e d i n t h i s w a y i s i l l u s -t r a -t e d i n F i g . 1 . T h i s p r o c e d u r e h a s a n u m b e r o f a d v a n t a g e s over t h e p o l y n o m i a l a p p r o x i -m a t i o n s u s e d p r e v i o u s l y [ 7 ] . A b e t t e r f i t i s o b t a i n e d , p a r t i c u l a r l y f o r r e ¬ .. s i s t a n c e c u r v e s w i t l i t h e t y p i c a l s u d -d e n t u r n i n g u p v / a r -d a t " h u l l s p e e -d , " a n d t h e p r o p e r b e h a v i o r b o t h a t l o v / a n d a t h i g h s p e e d s c a n b e o b t a i n e d . I n a d d i t i o n , t h e e v a l u a t i o n o f ( 9 ) i s v e r y r a p i d o n c e t h e c o e f f i c i e n t s h a v e beer, o b t a i n e d . H e n c e , t h i s p r o c e d u r e i s p a r t i c u l a r l y e f f i c i e n t i f a l a r g e n u m l i e r o f r e s i s t a n c e c o m . p u t a t i o n s a r j s t o b e made f r o m a s i n g l e c u r v e . S P E E D / L E H G T H R/iPIO \'\/U F i g u r e 1 . U p r i g h t r e s i s t a n c e c u r v e . w o u l d b e e x p e c t e d t o s h o w a s i g n i f i -c a n t r e s i s t a n -c e i n -c r e a s e a t h i g h s p e e d s d u e t o r e d u c e d s e c t i o n a r e a a t t h e e n d s . I n a n y e v e n t , we m u s t r e s o r t t o a c u r v e f i t t i n g p r o c e d u r e o f m o d e l r e s i s t a r i c e d a t a , u s i n g a s u i t a b l e f u n c -t i o n o f h e e l a n d s p e e d . T h e s i m p l e s -t p o s s i b l e f u n c t i o n i s ( 1 0 ) v / h e r e t h e h e e l e d . r e s i s t a n c e c o e f f i c i -e n t i s i n d -e p -e n d -e n t o f F r o u d -e N u m b -e r , a n d i n c r e a s e s q u a d r a t i c a l l y w i t h h e e l a n g l e . A l t e r n a t i v e l y , t h e f u n c t i o n C H c o u l d b e c o n s i d e r e d t o b e a l i n e a r o r p a r a b o l i c f u n c t i o n o f F r o u d e N u m b e r , w i t h t h e p o s s i b l e a d d i t i o n o f h i g h e r p o v / e r , o f h e e l a n g l e . T h e c o e f f i c i e n t s o f a n y s u c h a p p r o x i m a t i o n , a s v/e s h a l l s e e l a t e r , c a n b e o b t a i n e d f r o m a l e a s t -s q u a r e -s f i t t o m o d e l t e -s t d a t a . T h e r e s i s t a n c e i n c r e a s e d u e t o s i d e f o r c e c a n b e r e a d i l y i d e n t i f i e d a s i n d u c e d d r a g , w h i c h i s p r i n c i p a l l y a f u n c t i o n o f t h e e f f e c t i v e a s p e c t r a t i o o f t h e h u l l - k e e l c o m b i n a t i o n a n d o f t h e s q u a r e o f t h e h e e l i n g f o r c e c o e f f i c i e n t , R e s i s t a n c e Due t o H e e l a n d S i d e F o r c e T h e r e s i s t a n c e i n c r e a s e d u e t o h e e l a t z e r o s i d e f o r c e i s g o v e r n e d p r i n c i p a l l y b y t h e a l t e r n a t i o n o f h u l l s h a p e , w h i c h may o r may n o t b e l a r g e . P r e s u m a b l y a n a r r o v / y a c h t v / i t h r e l a t i v e l y c i r c u l a r s e c t i o n s w o u l d e x p e r i e n c e p r a c t i c a l l y n o c h a n g e i n r e s i s -t a n c e " w i -t h h e e l ' , v / h i l e a y a c h -t w i -t h l a r g e b e a m a m i d s h i p s a n d f i n e e n d s ^ I = 2 P5V'-C^(^.,F^) ( 1 1 ) v / h e r e t l i e c o e f f i c i e n t C j d e p e n d s o n s h a p e , h e e l a n d F r o u d e N u m b e r . F o r lov/ v a l u e s o f t h e F r o u d e N u n i b e r t h e f r e e s u r f a c e b e c o m e s e f f e c t i v e l y a r i g i d p l a n e s o t h a t t h e c o e f f i c i e n t C T c a n b e r e g a r d e d a s a f u n c t i o n o f h e e l o n l y . H e n c e t h e s i m p l e s t p o s s i b l e
a p p r o x i m a t i o n t o h u l l i n d u c e d d r a g i n -v o l -v i n g t h e e f f e c t o f h e e l i s 1 T ~ — ( 1 2 ) 2" v ? h e r e t h e c o e f f i c i e n t s C i a n d C2 m u s t b e o b t a i n e d b y a f i t t o e x p e r i m e n t a l d a t a . A f u r t h e r r e f i n e m e n t , a s v.'ith t l i e e x p r e s s i o n f o r t h e h e e l e d r e s i s -t a n c e , w o u l d c o n s i s -t o f r e p l a c i n g C i a n d C2 b y s u i t a b l e f u n c t i o n s o f F r o u d e N u m b e r , a n d h e e l a n g l e . I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h e p r e s -e n c -e o f V i n t h -e d -e n o m i n a t o r o f ( 1 2 ) . F o r a f i x e d s i d e f o r c e a n d h e e l a n g l e , t h e i n d u c e d d r a g i n c r e a s e s w i t h d e c r e a s ¬ i n g y a c h t s p e e d , a n d , i n f a c t , b e c o m e s I n f i n i t e a t z e r o s p e e d . T h i s c h a r a c -t e r i s -t i c i s w e l l c o n f i r m e d b y m o d e l t e s t s [ 8 ] . T h e c o e f f i c i e n t s C H, C i a n d Co c a n b e o b t a i n e d b y a l e a s t - s q u a r e s f i t t o m o d e l d a t a . A t t h e t i m e o f w r i t i n g , ' t h i s h a s b e e n d o n e f o r t h e B A Y B E A h u l l t e s t e d a t ^ 5 . I . T . , f o r t h e S T A N D F A S T 40 t e s t e d ' a t D e l f t , a n d f o r t h e f i r s t f i v e m o d e l s o f t h e s y s t e m a t i c s e r i e s undejn-.'ay a t D e l f t . I n a l l c a s e s , t h e r o o t - m e a n - s q u a r e d e v i a t i o n b e t w e e n t h e p r e d i c t e d a n d m e a s u r e d m o d e l r e s i s t a n c e i s b e t v / e e n 3 a n d 5 p e r c e n t . I t h a s b e e n f o u n d t h a t t h e a d d i t i o n o f t e r m s i n v o l v i n g F r o u d e N u j i i b e r a n d / o r h i g h e r p o v / e r s o f h e e l a n g l e d o n o t r e s u l t i n a s i g n i f i c a n t r e d u c t i o n i n t h e r m s e r r o r . V?e c o n c l u d e , t h e r e f o r e , t h a t a s i g n i f i c a n t p a r t o f t h e rms d e v i a -t i o n ' i s d u e -t o i n h e r e n -t -t e s -t i n g e r r o r r a t h e r t h a n a . l i m i t a t i o n o f t h e m a t h e -m a t i c a l -m o d e l . T h i s q u e s t i o n i s s t u d i e d i n s6miev;hat m o r e d e t a i l i n [ B ] , H u l l S t a b i - l i t ^ i T h e h y d r o d y n a m i c r i g h t i n g mioment o f t h e h u l l t a k e n a b o u t a s p e c i f i e d r e f e r e n c e p o i n t i s a f u n c t i o n o f h e e l a n g l e , s p e e d a n d s i d e f o r c e . T h e p r i -m a r y t e r -m i s , o f c o u r s e , t h e l i n e a r h y d r o s t a t i c r i g h t i n g m o m e n t . T h i s i s e i t l i e r m e a s u r e d d i r e c t l y b y m.eans o f a n i n c l i n i n g e x p e r i m e n t , o r c o m p u t e d f r o m k n o v m g e o m e t r i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e h u l l a n d t h e v e r t i c a l p o s i t i o n • " o f t h e y a c h t ' s c e n t e r o f g r a v i t y . H o w e v e r , a y a c h t h u l l f o r m , g e n e r a l l y d i s p l a y s a n o t i c e a b l e r e d u c t i o n i n s t a b i l i t y a t h i g h s p e e d d u e t o a d e -c r e a s e i n b e a m s u n i d s h i p s -c a u s e d b y i t s o\m v/ave p r o f i l e . I n a d d i t i o n , a n o n -l i n e a r d e p e n d e n c e o f r i g h t i n g miomsnt w i t h h e e l i s s i y n i f j . c a n t a t l a r g e a n g l e s . h s a t i s f a c t o r y a p p r o x i m a t i o n t o t l i e r i g h t i n g m.omcnt f u n c t i o n v / i t h r e s p e c t t o " a n o r i g i n a t t h e w a t e r l i n e i s K((|.) = A L i ^ l d ^ + d ^ F ^ + d ^ ' t i l + d ^ L F j j + A Z g s i n (f) ( 1 3 ) w h e r e dT^d^ a r e n o n d i m e n s i o n a l c o n -s t a n t -s d e p e n d e n t o n l y o n h u l l -s h a p e . T h e q u a n t i t y /iLi+>dT^ i s t h e l i n e a r l i y d r o -s t a t i c r i g h t i n g mom.ent, w h i l e d ^ L i -s t h e m e t a c e n t r i c h e i g h t f o r t h e y a c h t v / i t h t h e c e n t e r o f g r a v i t y a t t h e w a t e r l i n e . T h e c o n s t a n t s d 2 a n d d 3 , v / h i c h a r e g e n e r a l l y n e g a t i v e , p r o v i d e t h e s p e e d a n d n o n l i n e a r h e e l e f f e c t s j u s t d i s c u s s e d . T h e q u a n t i t y d 4 L r e p r e s e n t s t h e d i s t a n c e o f t h e c e n t e r o f e f f e c t o f t h e h e e l i n g f o r c e belo'.'/' t h e w a t e r l i n e . T h e l a s t t e r m , AZ Q s i n , i s t h e mom.cnt o f t h e y a c h t ' s w e i g h t a b o u t a n a x i s a t t h e w a t e r l i n e , w h e n ZG i s t h e d i s t a n c e o f t h e c e n t e r o f g r a v i t y b-elov/ t h e v . ' a t e r l i n e . T h e unknov.'n c o e f f i c i e n t s i n ( 1 3 ) may b e f o u n d b y l e a s t - s q u a r e s f r o m t o w i n g t a n k t e s t s , p r o v i d e d t h a t t h e m o d e l c e n t e r o f g r a v i t y a n d t h e a p -p l i e d h e e l i n g m o m e n t f o r e a c h r u n i s r e c o r d e d . I f t h e s e d a t a a r e n o t a v a i l a b l e , i t i s r e a s o n a b l y a c c u r a t e t o d e t e r m i n e d j f r o m t h e l O R i n c l i n i n g t e s t a n d t o s e t d2' a n d d3 e q u a l t o z e r o . S i n c e t h e i n i t i a l ' s t a t i c s t a b i -l i t y i n r a c i n g t r i m e x c e e d s t h e -l O R v a l u e d u e t o t h e a d d e d w e i g h t o f c r e v / , s t o r e s a n d l i q u i d s , t h i s t e n d s t o com-p e n s a t e f o r t h e e r r o r i n t r o d u c e d b y n e g l e c t i n g &2 ^'^'•^ ^2' S a i l F o r c e s T h e r e s u l t a n t s a i l f o r c e i s a s -sumed t o c o n s i s t o f a d r i v i n g f o r c e F R a c t i n g i n t h e d i r e c t i o n o f t h e v e l o -c i t y o f t h e y a -c h t , a n d a h e e l i n g f o r -c e Fjx a c t i n g a t r i g h t a n g l e s t o t h e p l a n e f o r m e d b y Fp^ a n d t h e v e r t i c a l a x i s o f t J i e y a c h t , ' i h e s i d e f o r c e i s t h e r e f o r e F j j c o s i J , a c t J . n g a t a d i s t a n c e z o E a b o v e t h e w a t e r l i n e , m e a s u r e d a l o n g t h e v e r t i c a l a x i s o f t h e y a c h t . T h e s e f o r c e s c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f n o n d i m e n s i o n a l s a i l f o r c e c o e f f i c i e n t s F ^ . p A ^ A ^ a w S ^H '^^^ ^' ^ 1 ^ A ^ A ^ a w S i ( 1 4 ) w h e r e Pj^ i s t h e d e n s i t y o f a i r , S^^ i s a s u i t a b l y d e f i j i e d s a i ' l . a r e a a n d Vg-^ i s t h e a p p a r e n t v.'ind v e l o c i t y . A s i n d i c a t e d i n t h e i n t r o d u c t i o n , v a l u e s o f Cj5 a n d Cp; v.'ere f i r s t g i v e n b y D a v i d s o n [2] b a s e d o n t e s t s v / i t h t h e yaclrt~"GIMCRACK. T h e r e s u l t s p l o t t e d i n Figs'~.~'2 and^ 3 w e r e obta.i'ned f r o m a n a n a l y s i s o f d a t a r e c o r d e d o n BAYBEA d u r i n g t h e 1 9 7 4 SOUC [ 7 ] a n d m,ayR?e c o n s i d e r e d r e p r e s e n t a t i v e o f a c u r r e n t s l o o p r i g . D a t a s u b s e q u e n t l y a n a l y z e d f r o m ' t h e " y a c l i t STAMDFAST o i f a i n e d w i t l i
Hz
,7 <jA^yi£'-/^^y-<.^
TO
m o r e e l a b o r a t e r e c o r d i n g i n s t r u m e n t a -t i o n c o m b i n e d w i -t h c x L -t - n s i v e -t a n k -t e s -t s [ B ] y i e l d e d r e s u l t s v e r y s i m i l a r t o t h e BAYDl'JA s a i l c o e f f i c i e n t s . S i n c e s a i l f o r c e s a r e p r o p o r t i o n a l t o t h e p r o d u c t o f t l i e s a i l c o e f f i c i e n t a n d t h o s a i l a r e a , i t o b v i o u s l y d o e s n o t m a t t e r w h e t h e r o n o c o n s i d e r s t h a t D r i v i n g f o r c e c o e f f i c i e ) i t s f o r 5 d e g r e e i n c r e m e n t s o f h e e l a n g l e . T h e s e c o e f f i c i e n t s a r e a s s u m e d t o b e t h e p r o d u c t o f a l i n e a r f u n c t i o n o f h e e l a n g l e a n d a s p l i n e - c u b i c f u n c t i o n o f a p p a r e n t w i n d a n g l e , B C R = ( 1 5 ) The c h a r a c t e r i s t i c a r e a i n ( 1 4 ) i s t a k e n , f o r s i m p l i c i t y , t o b e t b e a r e a o f t h e f o r e a n d m a i n t r i a n g l e s = - [ I x J V J h i c h i s gi P x E ] n e r a l l v ( 1 6 ) t h a n t h e a c t u a l a r e a o f t h e s a i l s s e t . e f f e c t o f a c t u a l sail The -1 a r e a a n d "tEé , " n a t u r e o f ~ ~ t h e p a r t i c u l a r s a i J L s s e t a t N ^ i r i o u w i n d a n g l e s i s i n c o r p o r a t e d "Xn sa-i r~coe t r f c i e n t s . • T h e c o e f f i c i e n t s i n F i g s . 2 a n d 3 v/ere d e v e l o p e d f r o m d a t a t a k e n p r i n -c i p a l l y i n l i g l i t a n d m o d e r a t e v ; i n d s •V7ith t h e m a x i m u m s a i l a r e a " s e t a n d tr'iiTaned o p t i m a l l y f o r t h e s e c o n d i t i o j i s , I n a c t u a l p r a c t i c e , o n c e t h e v.'ind v e l o -c i t y i n -c r e a s e s a b o v e some m i n i m u m v a l u e , s a i l f o r c e c o e f f i c i e n t s a r e c o n -t i n u a l l y r e d u c e d w i -t h i n c r e a s i n g w i n d s t r e n g t h t h r o u g h s a i l s h a p e c o n t r o l , r e e f i n g a n d s a i l cha..rige3. I n Üie p r e s e n t p r o g r a m , t l i i s p h e n o i n e n o n i s i d e a l i z e d b y d e f i n i n g a r e e f i n g f u n c t i o n , ' r , s u c h t h a t S i d e f o r c e c o e f f i c i e n t s f o r 5 d e g r e e i n c r e m e n t s o f h e e l a n g l e , t h e s a i l c o e f f i c i e n t i s r e d u c e d b y s a i l s h a p e c o n t r o l o r t h a t a r e a i.'j a c -t u a l l y r e d u c e d b y r e e f i n g . We a r e m a k i n g t h e a s s u m i p t i o n , h o v ; e v e r , t h a t t l i e d r i v i n g a n d s i d e f o r c e s a r e b e i n g a f f e c t e d i n t h e same v;ay. I f t h e s a i l s a r e u n i f o r m i l y f l a t t e n e d t o r e d u c e t h e i r l i f t c o e f f i c i e n t , t h e i r i n d u c e d d r a g w i l l d e c r e a s e , t h u s i n c r e a s i n g t h e r a t i o o f d r i v i n g t o s i d e f o r c e . H o w e v e r , i f t h e u p p e r p a r t o f t h e s a i l s a r e u n l o a d e d t o r e d u c e h e e l i n g m o m e n t , o r i f t h e s p a n o f t h e s a i l s i s r e d u c e d b y r e e f i n g , i n d u c e d d r a g w i l l i n c r e a s e a n d t h e r a t i o o f d r i v i n g t o s i d e f o r c e v ? i l l d e c r e a s e . I t t h e r e f o r e d o e s no-t s e e m u n r e a s o n a b l e t o c o n s i d e r t h a t , o n a n a v e r a g e , t h e tv.'o e f f e c t s v . ' i l l c a n c e l . The h e i g h t o f t h e c e n t e r o f e f f o r t a l s o d e p e n d s o n t h e p a r t i c u l a r d e t a i l s o f t h e m e t h o d o f r e d u c i r i O s a i l ' f o r c e s . S i n c e t h e d i s t a n c e f r o m , t h e c e n t e r o f e f f o r t o f t h e k e e l t o t h e l o v ; c s t p a r t o f t h e s a i l s ' c e r t a i n l y d o e s n o t d e -c r e a s e v ; i t h r e e f i n g , t h e q u a n t i t y ZQ J J + d 4 l . p r o b a b l y d e c r e a s e s a t . a s l o w e r r a t e t h a n r . I t i s p l a n n e d , t h e r e f o r e , t o m o d i f y ( 1 8 ) i n t h e f u t u r e , p o s s i b l y r e p l a c i n g r b y r l / 2 . T h e d e g r e e o f r e e f i n g i s d e t e r -m i n e d i n s u c h a w a y a.s t o -m a x i -m i z e s p e e d , w i t h t h e c o n s t r a i n t t h a t t h e h e e l a n g l e d o e s n o t e x c e e d 30 d e g r e e s . T h e d e t a i l s o f t l i i s o p t i m . i z a t i o n p r c c e d u r e a r e g i v e n s u b s e q u e n t l y . e f f e c t i v e (z„„H-d.L) , , CF '1 e f f e c t i v e r ( z ^ j ^ + d ^ ^ h ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 1 6 0
I T E R A T I V E PROCEDURE TO OBTAIN E Q U I L I B R I U M S A I L I N G CONDITION
To o b t a i n t h e e q u i l i b r i u m c o n d i -t i o n f o r a g i v e n v a l u e o f -t r u e w i n d s p e e d v t w < a n d t r u e w i n d d i r e c t i o n ,
e^^,, v/e m.ust s o l v e a c o u p l e d s e t o f
f o u r n o n l i n e a r a l g e b r a i c e q u a t i o n s . The f i r s t Ü i r e e , a) H u l l r e s i s t a n c e b ) H u l l s t a b i l i t y c ) S a i l f o r c e s , h a v e b e e n d e v e l o p e d i n t h e p r e c e d i n g s e c t i o n s . T h e f o u r t h e q u a t i o n i s s i m p l y t h e v / i n d t r i a n g l e , r e l a t i n g a p p a r e n t a n d t r u e v.'ind v e l o c i t i e s a n d d i r e c t i o n s , I t i s e s s e n t i a l f o r t h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e f o r t h e s o l u t i o n o f t h e s e e q u a t i o n s t o b e as e f f i c i e n t a s p o s -s i b l e -s i n c e i t i -s a n t i c i p a t e d t h a t e n o r m o u s n u m b e r s o f s u c h c a l c u l a t i o n s v ? i l l ' b e n e c e s s a r y d u r i n g t h e c o u r s e o f a n a l y s i s o f h a n d i c a p p i n g s y s t e m s . I t i s a l s o i m p o r t a n t f o r t h e y a c h t s p e e d t o c o n v e r g e t o a f i n e t o l e r a n c e . S p e e d d i f f e r e n c e s r e s u l t i n g f r o m s m a l l c h a n g e s " i n y a c h t c h a r a c t e r i s t i c s m u s t be p r e d i c t e d w i t h s u f f i c i e n t p r e c i s i o n t o e n a b l e c o m p a r i s o n w i t h h a n d i c a p p i n g s y s t e m e x p e c t a t i o n s . A s i m p l i f i e d f l o v ; d i a g r a m f o r t h o i t e r a t i v e s o l u t i o n i s g i v e n i n F i g . 4. The o u t e r m . o s t l o o p c o n s i s t s o f c o m p u t a t i o n o f p e r f o r m a n c e f o r t r u e v.'ind v e l o -c i t i e s o f 5, 1 0 , 1 2 , 1 5 , 20 a n d 3Ö k n o t s . F o r e a c h t r u e v,'ind v e l o c i t y , / c o m p u t a t i o n s a r e made f o r 17 t r u e w i n d a n g l e s s t a r t i n g w i t h a d e a d r u n a n d e n d i n g w i t h t h e a n g l e f o r . m a x i m u m B p e e d made g o o d t o v / i n d v / a r d . F o r e a c h t r u e w i n d a n g l e , t h e q u a n t i t i e s V t w s i n Stv,' ' i " ^ V t v ; c o s g^w ^'^'^ com-p u t e d f o r u s e - l a t e r i n t h e v / i n d t r i ¬ a n g l e e x p r e s s i o n . Si.nce t h e s e a r e u n c h a n g e d i n t h e i t e r a t i v e s t e p s t o f o l -l o w , t h i s s a v e s som.e c o m p u t e r t i m e . T h e i t e r a t i o n b e g i n s v / i t ' i a n i n i -t i a l g u e s s f o r b o a -t s p e e d . F o r -t h e d e a d r u n , t l i i s i s t a k e n t o b e e i t h e r h a l f t h e t r u e v ; i n d v e l o c i t y o r a s p e e d / l e n g t h r a t i o o f 1 . 5 , w h i c l i e v e r . i s l e s s . F o r a l l s u b s e q u e n t v.'ind a n g l e s a t t h e samie v / i n d s p e e d , t h e i n i t i a l g u e s s f o r b o a t s p e e d i s t h e f i n a l e q u i l i b r i u m s p e e d o l i t n i . n e d f o r t h e p r e -c e d i n g w i n d a n g l e , . I n t h i s w a y , u s e i s made o f p r e c o d i n c i i n f o r m a t i o n t o ^aw = (^Vw ^ w ^ ' + ( \ w ^ w + ^ ^ '
rainimiae •ctu ;he numb.or o f i t e r a t i o n s .
Vi'ith a n a s s u m e d b o a t s p e e d , v/e c a n s o l v e t h e v / i n d t r i a n g l e aw = t a n -fw' , V^ s i n 3, , -1 t w t w ( 1 9 ) F i g u r e 4. VPP s i m p l i f i e d f l o w d i a g r a m . The i n e - v i t a b l e a m b i g u i t y o f q u a d r a n t s i n t h e i n v e r s e t a n g e n t f u n c t i o n e n t e r s i n h e r e , s o t h a t we m u s t i n c r e a s e b y 1 8 0 ° i f (V-„ c o s Ptv; + < 0. F i n a l l y , t o a v o i d a n o v e r f l o w i f t h e l a t t e r f u n c t i o n i s e q u a l t o z e r o , t h e a r c t a n g e n t c o m p u t a t i o n i s . s k i p p e d a n d Pkw ^-^ s o t e q u a l t o 90° i f | V^ c o s 0,..,. + V ] < 0 . 0 0 1 . W i t h Pav/ k n o w n , we c a n now o J i t a i n t h e u p r i g h t s a i l c o e f f i c i e n t s Cpo <> C no- To s a v e t i m e , t h e s e a r e o r / L . u i i b y " l i n e a r i n t c r p o l n {".ion f r o m ;in i n i J U t a r r a y t a b u l a t e d a t o n o d e g r e e i n t f. T -v a l s o f a p p a r e n t w i n d a n g l e u t a r t i n g V 7 i t h t w e n t y d e g r e e s . T h e t a b u l a r
I v a l u e s b r a c k e t i n g a n y c j i v o n [5j^„ may b e f o u n d d i r e c t l y b y an i n d e x d e f i n e d a s t h e l a r g e s t i n t e g e r < ( r J a w " ^ ^ ) . ïliis a v o i d s a t a b l e s e a r c l T w h i c h i s a l w a y s c o m p u t a t i o n a l l y i n e f f i c i e n t . The n e x t s t o p i s t o s o l v e f o r t h e h e e l a n g l e , ij), s u b j e c t t o t h e c o n -s t r a i n t t h a t i t n o t e x c e e d a -s p e c i f i e d m a x i m u m , v ; h i c h i s i n i t i a l l y t a k e n t o b e 2 2 d e g r e e s . Two p o s s i b i l i t i e s e x i s t : a ) T h e l i e e l a n g l e w i t h f u l l s a i l , r = 1 , i s l e s s t h a n t h e a s s u m e d o p t i -mum h e e l a n g l e . I n t h i s c a s e , t h e h e e l a n g l e i s o b t a i n e d b y a r e c u r s i v e s o l u t i o n o f t h e m o m e n t e q u i l i b r i u m e q u a -t i o n . ^ = . A L ( d ^ + d 2 F ^ + d 2 r f > + d j . - ~ ^ ) c o s ()> ( 2 0 ) s t a r t i n g v ; i t h n n i n i t i a l v a l u e o f (j) = 0. S i n c e t h e i n f l u e n c e o f (|i o n t h e r i g l i t h a n d s i d e o f ( 2 0 ) i s v e r y w e a k , c o n v e r -g e n c e t o a s p e c i f i e d t o l e r a n c e o f 0 . 1 d e g r e e s i s v e r y r a p i d . T h e r e e f i n g r a t i o , r , a p p e a r i n g i n ( 2 0 ) i s , b y d e f i n i t i o n , u n i t y i n t h i s c a s e . b ) T h e h e e l a n g l e w i t h f u l l s a i l w o u l d e x c e e d t h e a s s u m e d o p t i m u m h e e l a n g l e . I n t h i s c a s e , t h e h e e l a n g l e i s s e t e q u a l t o t h e r e e f i n g a n g l e , a n d ( 2 0 ) i s s o l v e d d i r e c t l y f o r t h e r e e f i n g r a t i o r = 1 /.
[AL(|>j^(d^+d2F^+d3(|>j^)+A2g s i n <i'^]cos (Ji^^
( 2 1 ) We nov? h a v e v a l u e s f o r t h e r e l a -t i v e w i n d s -t r e n g -t h , V^,,,, r e l . a -t i v e v / i n d a n g l e , 6^^.,, a n d h e e l a n g l e , <[> . T h e s a i l d r i v i n g a n d s i d e f o r c e s a r e t h e r e -f o r e k n o w n
F^ c o s ^ = r 2 K < A S ^ o [ ^ + S l ^ * 5
^ R = |pA^aw^ASlof^--^S,.'^l ( 2 2 ) T l i e s e e x p r e s s i o n s a r e v a l i d w h e t h e r o r n o t r e e f i n g i s p r e s e n t a s a c o n s e q u e n c e o f t h e d e f i n i t i o n o f t h e r e e f -i n g r a t -i o r . V/e a r e now r e a d y t o e n t e r t h e forco.'~d f r o m ( 2 2 ) a n d t l i o h e e l ang].e i n t o t h e h u l l d r a g f u n c t i o n i n o r d e r t o o l s t a i . n - t h e e q u i l i b r i u m s p e e d . T ) i i s i s s t i l l n o t t l i e f i n a l s o l u t i o n s i n c e t h e q u a n t i t i e s o b t a j . n e d a t t h i s s t a g e a r e d e p e n d e n t o n t h e i n i t i a l g u e s s o f b o a t s p e e d , w l l i c h v / i l l n o t g e n e r a l l y b e t h e sam.e a s t h e s p e e d f o u n d f o r h u l l d r a g e q u i l i l ^ r i u m . H e n c e , o n c e v/e c o m -p l e t e t h e n e x t i t e r a t i o n , i t v / i l l s t i l l b e n e c e s s a r y t o r e p e a t t h e e n t i r e p r o c e s s a n u m b e r o f tim.es u n t i l t l i o a s -s u m e d b o a t -s p e e d u -s e d i n o b t a i n i n g t l i e a p p a r e n t w i n d a g r e e s w i t h t h e b o a t s p e e d o b t a i n e d f r o m e q u i l i b r i u m o f s a i l a n d h u l l f o r c e s . T h e s o l u t i o n f o r b o a t s p e e d f o r a g i v e n d r a g c a n b e s e e n i n g r a p h i c a l f o r m i n F i g . ( 5 ) . I t i s i m p o r t a n t t o L J Uf U J X S T A R T i N G POINT V = i.e./T 5 f= E E D F i g u r e 5, S c h e m a t i c o f i t e r a t i v e s o l u -t i o n f o r b o a d s p e e d . n o t e t h a t i n g e n e r a l t h e r e a r e t w o s o l u t i o n s , o n e c o r r e s p o n d i n g t o a n e f f i c i e n t s a i l i n g c o n d i t i o n a n d onec h a r a onec t e r i z e d b y a l o v / s p e e d a onec onec o m -p a n i e d b y e x c e s s i v e i n d u c e d d r a g . B o t h a r e p h y s i c a l l y v a l i d s o l u t i o n s , a n d e v e n a g^ood h e l m s m a n m i g h t f i n d h i m s e l f t e i r . p o r a r i l y i n t h e l o w s p e e d c o n d i t i o n . T h e r e m e d y , o f c o u r s e , i s f i r s t t o b e a r o f f , e a s e s h e e t s a n d g e t m o v i n g , a n d t h e n t o " c o n v e r g e " t o t h e h i g h s p e e d s o l u t i o n . T h e c o m , p u t e r p r o -g r a m m u s t h a- x r e t h e same c h a r a c t e r i s t i c s , a n d t h i . s r e q u i r e s a b u i l t - i n m e t h o d o f a v o i d i n g t h e v/rong s o l u t i o n . S i n c e t h e h u l l d r a g f u n c t i o n i s a p p r o x i m a t e d i n e a c h s p e e d i n t e r v a l b y a f u n c t i o n whi.ch c a n b e r e a d i l y d i f f e r e n t i a t e d , t h e v e r y e f f i c i e n t Nev/ton-P.aph.son i t e r a t i v e r n e t h o d i s e m p l o y e d :^ i + 1 1 dR, ( 2 3 ) w h e r e F R - R C^ i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e k n o v n i s a i l d r i v i n g f o r c e , F j ^ , a n d t h e c o m p u t e d h u l l r e s i s t a n c e c o r r e s p o n -d i n g t o t h e i - t h t r i a l v a l u e o f b o a t s p e e d , V.. T h e d e r i v a t i v e i n ( 2 2 ) i s t h e sum èf t h e s l o p e o f t h e u p r i g h t r e s i s t a n c e c u r v e 2h. ( V , - V . ) d v 7 = 3 a j ( V , - V j ) a n d t h e s l o p e s o f t h e h e e l e d a n d i n -d u c e -d r e s i s t a n c e c o m p o n e n t s ( 2 4 ) ( 3 R d v : H d R j d V , 1 2 ( R ^ j - l V V. ( 2 5 ) V?e b e g i n t h e h u l l r e s i s t a n c e i t e r a -t i o n , n o -t a -t -t h e c u r r e n -t b o a -t s p e e d , b u t a t a n a r t i f i c i a l l y h i g h s p e e d / l e n g - t l i r a t i o o f 1 . 8 . I n t h i s w a y we a r e s u r e t o b e o n t h e r i g h t s i d e o f t h e r e s i s t a n c e c u r - v e . We t h e n o b t a i n t h e f i r s t c o r r e c t i o n t o s p e e d f r o m ( 2 3 ) . R e p e a t e d a p p l i c a t i o n o f ( 2 3 ) v / i l l g e n -e r a l l y l -e a d t o r a p i d c o n v -e r g -e n c -e t o t h -e s p e c i f i e d t o l e r a n c e o f 0 . 0 0 1 k n o t s . I f , f o r som.e r e a s o n , t h e i t e r a t i o n h a s n o t c o n v e r g e d i n 25 t r i e s , a n e r r o r f l a g i s g e n e r a t e d a n d t h e c o m . p u t a t i o n p r o c e e d s a s t h o u g h i t h a d c o n v e r g e d . I t i s p o s s i b l e t h a t t h e a v a i l a b l e d r i v i n g f o r c e may b e l e s s t h a n t h e m i n i -mum d r a g f o r t h e h e e l a n g l e s p e c i f i e d , a s i l l u s t r a t e d i n F i g . ( 5 ) . I n t h i s c a s e , t h e i t e r a t i o n w i l l move r a p i d l y t o w a r d z e r o v e l o c i t y , a n d v / o u l d c o n ¬ . t i n u e t o n e g a t i v e v e l o c i . t i . c s , i f u n c o n -s t r a i n e d . 2 A t e -s t i -s t h e r e f o r e made w h i c h c o m p l e t e s t h e i t e r a t i o n i f e i t h e r a n e g a t i v e v e l o c i t y o r a n e g a t i v e v a l u e o f d R s / d V i s e n c o u n t e r e d , No a d d i t i o n -a l m e s s -a g e i s p r i n t e d s i n c e i t v / i l l b e o b v i o u s f r o m t h e p r i n t o u t t h a t t h e i m -p o s e d c o n d i t i o n s a r e u n r e a l i s t i c . T h i s c o n d i t i o n i s g e n e r a l l y e n c o u n t e r e d o n l y f o r r e l a t i v e v / i n d a n g l e s s u l D s t a n t i a l l y l e s s t h a n t h e o p t i m u m v a l u e f o r s p e e d m.ade g o o d t o v / i n d v / a r d . O n c e t h e s p e e d h a s c o n v e r g e d f o r t h e p r e s c r i b e d d r i v i n g f o r c e , we m u s t r e p e a t the e n t i r e p r o c e s s v / i t h a c o r -r e c t e d i n i t i a l a s s u m e d v a l u e o f b o a t s p e e d . I f t h e a p p a r e n t w i n d i s f o r v / a r d o f a)5eam,, i t h a s b e e n f o u n d t h a t t h e i t e r a t i o n c o n v e r g e s r a p i d l y i f t h e a s -s u j u o d -s p e e d i n t h e n e x t t r i a l i -s t h e s p e e d v / h i c h r e s u l t e d f r o m t h o d r i v i n g f o r c e i t e r a t i o n . On t h e o t h e r h a n d , i f t h e a p p a r e n t w i ) i d i s a f t o f a b e a m , t l i . i . s p r o c e d u r e d i v e r g e s . T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t b o a t s p e e d i s m o r e 2 T h e r e a l w o r l d c o u n t e r p a r t i : " g e t t i n g i n i r o n s . " c r i t i c a l , o f c o u r s e , w h e n r u n n i n g i n l i g h t a i r . T h i s c o n v e r g e n c e p r o b l e m i s s o l v e d b y a d d i n g some d a m p i n g t o t h e i t e r a t i o n . I f Baw ^ 9 ° ° ' ^ h e n e x t assujTied s p e e d i s t h e a v e r a g e o f t h e i n -p u t a n d o u t -p u t s -p e e d s o f t h e -p r e c e d i n g i t e r a t i o n . I f Bav/ < 9 0 ° , d a m p i n g w o v i l d u n n e c e s s a r i l y s l o v / dov/n t h e c o n -v e r g e n c e , a n d i s t h e r e f o r e o m i t t e d . I n e i t h e r c a s e , t h e c o m p l e t e i t e r a t i o n i s t e r m i n a t e d w h e n t h e i n p u t a n d o u t p u t s p e e d s d i f f e r b y l e s s t h a n 0 . 0 0 1 k n o t s . T h i s i t e r a t i o n i s a l s o l i m i t e d t o 25 t r i a l s t o p r e v e n t a c o s t l y c o m p u t e r r u n i n t h e e v e n t o f a d i v e r g i n g c o n d i t i o n . A g a i n , a n e r r o r f l a g i s g e n e -r a t e d a n d t h e c o m p u t a t i o n c o n t i n u e s . I f t h e h e e l a n g l e o b t a i n e d a t t h i s s t a g e i s l e s s t h a n t h e s p e c i f i e d r e e r -i n g a n g l e , t h e c o m -i p u t a t -i o n o f t h -i s s a i l i n g c o n d i t i o n i s nov/ c o m p l e t e . Howe v Howe r , i f t h Howe c o n v Howe r s Howe i s t r u Howe , t h Howe Howe n -t i r e c o m p u -t a -t i o n i s r e p e a -t e d w i -t h -t h e r e e f i n g a n g l e i n c r e a s e d i n o n e - d e g r e e i n c r e m e n t s u n t i l e i t h e r a ) t h e r e e f i n g r a t i o b e c o m e s u n i t y b ) t h e b o a t s p e e d b e g i n s t o d e c r e a s e . i n t h e l a t t e r c a s e , t h e o p t i m u m r e e f i n g a n g l e i s o b t a i n e d f r o m a p a r a b o l i c f i t t o t h e t h r e e p r e c e d i n g c o i n -p u t a t i o n s V . ( V o p t ( V j - 1 2- V —2 -V. j _ 2 - - 2 V ? ^ 3 ( 2 6 ) w h e n V . _ „ , V._, a n d V. a r e t h e e q u i l i -b r i u m sjieéds S -b t a i n e d i n t h e l a s t t h r e e c o m p u t a t i o n s w i t h o n e - d e g r e e i n c r e m e n t s i n r e e f i n g a n g l e . One f i n a l c o m p u t a -t i o n i s -t h e n m a d e v / i -t h -t h i s v a l u e o f t h e r e e f i n g a n g l e . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t f o r a p p a r e n t w i n d a n g l e s < 48 d e g r e e s , t h e s p e e d u s e d i n t h e o p t i m i z a -t i o n i n (2 6) i s -t h e s p e e d made g o o d -t o v / i n d w a r d . T h e a c t u a l b o a t s p e e d i s o p t i m i z e d f o r a l l a p p a r e n t v / i n d a n g l e s g r e a t e r t h a n 48 d e g r e e s . T h i s p r o c e s s i s r e p e a t e d f o r 16 v a l u e s o f t r u e w i n d a n g l e , e n d i n g w i t h 34 d e g r e e s . T h e 1 7 t h c o m . p u t a t i o n i s f o r t h e v a l u e o f B t w y i e l d i n g t h e o p t i -mum s p e e d made g o o d t o v / i n d v / a r d . T h i s a n g l e i s a l s o o b t a i n e d b y a p a r a b o l i c f i t t o t h e t h r e e a p p a r e n t w i n d a n g l e s b r a c k e t i n g t h e o p t i m u m , w i t h a n e q u a t i o n v e r y s i f f i i l a r t o ( 2 6 ) . I t i s f o r t u n a t e t h a t t h i s i t e r a t i v e p r o c e s s t a k e s f a r l o n g e r t o d o -s c r i b e t h a n t o c o m p u t e . T h e a v e r a g e c o m p u t i n g time t o o b t a i n t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n ^ / i t h o p t i m u m r e e f i n g f o r a^ g i . v e n t r u e w i n d v e l o c i t y a n d a n g l e i s a p p r o x i m a t e l y a e v e n - t h o u s a n d t h s ^ o f a s e c o n d o n t h e I B M 3 7 0/16 0 a t H . I . T .
i Th.i.s c o m p u t i n g t i m e v / o u l a e n s i l y b o i n c r e a s e d b y a f a c t o r o f a h u n d r e d w i t h o u t t h o t i m e s a v i n g a l g o r i t l i m s t : o n -t a i n c d i n -t h e VPP, RATING DIFFERENCES I n t h e e v a l u a t i o n o f h a n d i c a p p i n g s y s t e m s , i t i s f r e q u e n t l y h e l p f u l t o c o n v e r t s p e e d d i f f e r e n c e s t o r a t i n g d i f f e r e n c e s . F o r e x a m p l e , i t i s a s i m p l e m a t t e r t o o b t a i n f r o m t h e VPP t h e d i f f e r e n c e i n s p e e d r e s u l t i n g f r o m a s m a l l c h a n g e ^ i n s t a b i l i t y . Howe^rer , t h i s s p e e d d i f f e r e n c e c a n n o t b c com-p a r e d d i r e c t l y w i t h t h e c o r r e s com-p o n d i n g r a t i n g d i f f e r e n c e v / h i c h a g i v e n r u l e w o u l d a s s i g n t o t h i s c h a n g e i n s t a b i -l i t y . We c a n d e f i n e a " p e r f o r m a n c e r a t i n g d i f f e r e n c e " a s t h e r a t i n g d i f -f e r e n c e r e l a t i v e t o a s e l e c t e d s c r a t c h b o a t v - h i c l i r e s u l t s i n e q u a l c o r r e c t e d t i m e a c c o r d i n g t o a s p e c i f i e d t i m e a l l o w a n c e s y s t e m . T h i s p e r f o r m a n c e r a t i n g d i f f e r e n c e w i l l , i n g e n e r a l , d e -p e n d o n v.'ind v e l o c i t y a n d d i r e c t i o n , a s v / e l l a s o n t h e t i m e a l l o v / a n c e s y s t e m a n d t h e c h o i c e o f t h e b a s e r a t i n g . -F o r t h e NAYRU t i m , e - o n - d i s t a n c e f o r m u l a , u s e d a l m o s t e x c l u s i v e l y f o r o c e a n r a c e h a n d i c a p p i n g i n t h e U n i t e d S t a t e s , t h e c o r r e c t e d t i m e , C, i s o b -' t a i n e d f r o m t h e e l a p s e d t i m e , E, a n d t b e r a c e d i s t a n c e , D, f r o m t h e e q u a t i o n [ 1 0 ] t u a l s p e e d s f o r C W E + O.G (R - 1 / : - R - l / 2 j d
(27)
w h e r e R s e i s t h e s c r a t c h l i o a t r a t i n g a n d R i s t h e r a t i n g o f t h e b o a t i n q u e s t i o n . I f we s e t th.e c o r r e c t e d t i m e e q u a l t o t h a t o f t h e s c r a t c h b o a t , a n d r e p l a c e e l a p s e d t i m e b y DA' we o b t a i n t h e r e s u l t 0.6 R - R S CV
6 R S C R SC ( 2 8 ) I f a t i m . e - o n - ' t i m e s y s t e m i s u s e d , t h e r e s u l t v / i l l b e d i f f e r e n t . F o r e x -s j n p l e , t h e NAYRU t i m e - o n - t i m e f o r m i u l a u s e d i n E n g l a n d f o r t h o 1975 A d m i r a l ' s Cup [ 1 0 ] y i e l d s t h e r e s u l t " 2 R-R SC 1 .0 R S C(29)
B o t h (28) a n d (29) h a v e b e e n i n c o r -p o r a t e d i n t d i e VPP. T h e f i r s t b o a t c o m i p u t e d i n a n y r u n i s , b y d e f i n i t i o n , t h e s c r a t c h b o a t w l i o s e r a t i n g Rg m u s t b e s p e c i f i e d . T h e v e l o c i t i e s f o r a l l p o i n t s o f s a i l i n g f o r t h i s b o a t a r c s a v e d a n d a r c s u b s e q u e n t l y e n t e r e d a s Vsc v'hcn ( 2 C ) a n d (29) a r e e v a l u a t c i l f o r a l l l a c c r b o a t s . As i n t h e d e t ( ! r -m i n a t i o n c f o p t i -m u -m r e e f i n g , speed.":, a r e i n t e r i - x r o t o d a s s p e e d s made g o o d t o v / i n d v / a r d f o r B t w 1 ''^ d e g r e e s , a n d a c -4 0 , T h i s c a u s e s a notictï.iiiJ o d i s c o i i t . i n u . i t y i n r ; i t i i u i d i f f e r c i i ( - e a t 40 deovoe;.-., w h i c l i i s i n t e n t i o n a l . T l i i s d o c s p o i } i t o u t , h o v / e v e r , t h o n e e d t o b e c a r e f u l i n d i s t i n g u i s h i n g b e t w e e n a d e a d h e a t a n d a c l o s e - h a u l e d c o u r s e f o r h a n d i c a p p i n g p u r p o s e s . I L L U S T R / i T I V E EXAMPLES C a l c u l a t i o n s a r e g i v e n f o r s e v e r a l . h y p o t h e t i c a l y a c h t s d e r i v e d f r o m t h e o r i g i n a l l i n e s 4 9 - f o o t l e n g t h o v e r a l l s l o o p B/V/BEA. T h e h u l l d a t a a r e b a s e d o n t a n k t e s t s o f a 4 . 7 - f o o t m o d e l r u n a t M . I . T . i n 1 9 6 7 , R i g a n d i n c l i n i n g ' e x p e r i m e n t d a t a h a v e b e e n e x t r a c t e d . f r o m s u b s e q u e n t l O R c e r t i f i c a t e s . T h e p r i n c i p a l c h a r a c t e r i s t i c s a r e g i v e n i n T a b l e 1 . T a b l e 1 . P r i n c i p a l C h a r a c t e r i s t i c s o f S a m p l e Y a c h t B a s e d o n BAYBEA L e n g t h o v e r a l l 4 9 . 09 f t T e s t w a t e r l i n e l e n g t h , L 35 . 92 W e t t e d s u r f a c e , S 4 2 7 . 6 f t T e s t d i s p l a c e m e n t , A 3 1 . 3 8 1 l b s l O R R i g h t i n g M o m e n t 2 1 2 9 . r. f t - l b s / d e g r e e F o r e t r i a n g l e h e i g h t , I 6 1 . 42 f t " F o r e t r i a n g l e b a s e , J I - l a i n t r i a n g l e baae-> P.. 2 0 . 5 0 /r 4 -J_ u F o r e t r i a n g l e b a s e , J I - l a i n t r i a n g l e baae-> P.. 5 5 . C4 f t M a i n t r i a n g l e b a s e , E 14 . 50 f t A s s u m e d c e n t e r o f e f f o r t 4 2 % h e i o f g h t m.ast T h e r e s i s t a n c e f u n c t i o n a s r e p r e -s e n t e d b y e q u a t i o n -s ( 9 ) ( 1 0 ) a n d ( 1 2 ) i s p l o t t e d i n F i g , 6 f o r t h e BAYBEA h u l l s c a l e d dov.'n , f o r ' c o n v e n i e n c e , t o an e v e n 3 5 - f o o t w a t e r l i n e l e n g t h . The s i m . p l i f i e d f o r m o f ( 1 3 ) u s i n g t h e l O R i n c l i n i n g r e -s u l t i -s u -s e d f o r -s t a b i l i t y -s i n c e t e -s t d a t a v/ere n o t a v a i l a b l e t o c o m p u t e d ^ a n d d . T h e p o s i t i o n o f t h e c e n t e r o f e f f o r t o f t h e s i d e f o r c e , d ^ L , w a s t a k e n t o b e 3 5 % o f t h e d r a f t bélov/ t h e v / a t e r l i n e .in a c c o r d a n c e w i t h r e s u l t s o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y f o r o t h e r j v a l l s [ 8 ] , [ 1 1 ] . T h i s p l o t shovvs t h e r e s i s t a n c e a s a f u n c t i o n o f s p e e d f o r o n e d e g r e e i n c r e m e n t s o f h e e l a n g l e c o r r e -s p o n d i n g t o ' v a l u e -s o f -s t a b i l i t y a n d s a i l a r e a s c a l e d g e o m e t r i c a l l y f;I••lc•.•^ t l i e d a t a o f T a b l e 1 . T h e same h u l l i s s h o w n i n F i g . 7 v / i t h t h e s t a b i l i t y r e d u c e d t o 6 0 % o f t h e b a s e v a l u e , V.'hile t h e u p r i g h t r e s i s t a n c e i s o b v i o u s l y u n c h a n g e d , t h e h e e l e d r e s i s t a n c e i s m u c h l e s s , a n d t a k e s o n a c o m p l e t e l y d i f f e r e n t c h a r a c -t e r . I n p a r -t i c u l a r , -t h e m i n i m i u m d r a g s p e e d a t e a c h h e e l a n g l e i s c o n s i d e r a b l y l o v / e r . One v / o u l d e x p e c t , t h e r e f o r e , t h a t t h e h e l m s m a n o f t h o l e s s s t a b l e b o a t w o u l d b e n o t a s l i k e l y t o b e t r a p p e d o n t h o v / r o n g s i d e o f t h e r e s i s t a n c e c u r v e . C o n v e r s e l y , a n i n c r e a s e o fq f - a b i l i t y i n c r e a s e s t h e minimum, d r a g s - e e d / ' a n d t e n d s t o n a r r o w t h e s p e e d d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o s o l u t i o n s f o r c o n s t a n t r e s i s t a n c e , h e n c e , a " l e a d m i n e " i s m u c h m o r e d e m a n d i n g o n t h e h e l m s m a n t h a n t h e l e s s s t a b l e b o a t i n t h i s p a r t i c u l a r r e s p e c t . F-i g u r e 8 s h o w s t h e same h u l l a g a i n , b u t s c a l e d d o w n t o a w a t e r l i n e l e n g t h o f 20 f e e t . T h e p l o t i s made t o t h e same s c a l e i n o r d e r t o i l l u s t r a t e t h e e f f e c t o f s i z e o n r e s i s t a n c e a t e q u a l s p e e d s . S a m p l e o u t p u t f r o m t h e VPP i s s h o w n i n T a b l e 2 f o r t h e 3 5 - f o o t y a c h t w i t l i b a s e s t a b i l i t y f o r t r u e w i n d v e l o c i t i e s o f 5 , 10 a n d 20 k n o t s . T h i s o u t o u t g i v e s i n g r e a t d e t a i l t h e j - i n a l e q u i l i b r i u m v a l u e s f o r e a c h c o m b i n a -t i o n o f w i n d s p e e d a n d a n g l e . T h e p r i n t e d v a l u e s o f h u l l r e s i s t a n c e c a n b e c o m p a r e d w i t h t h e d a t a p l o t t e d m F i g . 6 f o r a l l s a i l i n g c o n d i t i o n s w h e r e n o r e e d i n g i s p r e s e n t . I f t h e r e e f i n g r a t i o , r , i s l e s s t h a n o n e , t h e h e i g h t o f t h e c e n t e r o f e f f o r t o f t h e r i g i s r e d u c e d s o t h a t F i g . 6 i s n o l o n g e r a p p l i c a b l e . F i g s . 9 a n d 1 0 a r c e x a m p l e s o f t h e t y p o o f a n a l y s i s v ; h i c h c a n b e p e r -f o r m e d w i t h t h e VPP, u s i n g t h e r a t i n g d i f f e r e n c e o u t p u t . I n F i g . 9, we h a v e p l o t t e d t h e p e r f o r m a n c e r a t i n g d i f f e r -e n c -e o f t h -e 3 5 - f o o t y a c h t r -e s u l t i n g f r o m a 20% c h a n g e i n s a i l a r e a a s a f u n c t i o n o f w i n d s p e e d . T h e t h r e e s o l i d c u r v e s r e p r e s e n t t h e r e s u l t s f o r a b o a t , f o r a 100° t r u e w i n d a n g l e r e a c h , a n d f o r a 170° t r u e w i n d a n g l e r u n . T h e h o r i z o n t a l d a s h e d l i n e r e p r e -s e n t -s t h e 2 . 7 - f o o t r a t i n g i n c r e a -s e i n ^ l O R r a t i n g v ; h i c h w o u l d r e s u l t f r o m t h i s c h a n g e i n s a i l a r e a . One c a n s e e f r o m F i g . 9, f o r e x a m p l e , t h a t i n a 1 5 - k n o t w i n d t h e y a c h t w i t h m o r e s a i l a r e a c a n TABLE 2 Sam.ple VPP o u t p u t f o r 35 f t . b a s e y a c h t b a s e d - o n BAYBEA. vr V t'KV VP ; •1 ; I' ^ O . CO 2. 1. 07.1 0 1, ;• 1 . '1. I 1"
!["Jazyk i kultura mikenskoj Grecji", S. J. Lurie, Moskwa-Leningrad 1957 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)