ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seriai ELEKTRYKA z. 27
1970 Nr kol. 274
MAREK SROCZKI
Katedra Elektrotechniki Teoretycznej 1 Ogólnej
O NIESTABILNOŚCI UKŁADU n, (n > 1), PUNKTOWYCH ŁADUNKÓW ELEKTRYCZNYCH BEZ WIĘZÓW
Streszczenie. W artykule niniejszym przeprowadzony jest częściowo dowód niestabilności układu swobod
nych ładunków punktowych (co najmniej dwóch) w oparciu o pierwszą zasadę Lapunowa i badanie po
chodnych cząstkowych energii potencjalnej układu do drugiego rzędu włącznieo W równaniach ruchu czą
stek zostały odrzucone wyrazy rzędów wyższych lub 2
równych Trudności związane z opisem swobodnego c
układu cząstki - pole zostały jedynie zaznaczone fragmentarycznie. Od strony matematycznej stosowa
ne są pewne twierdzenia dotyczące przekształceń or
togonalnych układów współrzędnych,teorii form kwa
dratowych, ekstremów funkcji wielu zmiennych oraz funkcji harmonicznych.
Twierdzenie o niestabilności punktowych ładunków elektrycznych bez więzów, a zatem bez sił o charakterze nieelektrostatycznym, występujących w stanie równowagi, jest od dawna znane, mimo to pełny jego dowód nastręcza trudności. I.E. Tamm w podręczniku "Pod
stawy teorii elektryczności" str. 74 nazywa go twierdzeniem E a m - shawa.
Punktem wyjścia jego dowodu powinny być oczywiście równania ru
chu układu ładunków i pola elektromagnetycznego związanego z nimi.
Równania te mogą odnosić się bądś do płaskiej 3-wymiarov,e prze
strzeni opisywanej przy pomocy prostokątnych współrzędny 'h kartę-
4 u. Brodzi
zjańskich, bądź do 3 n-wymiarowej, płaskiej przestrzeni tzw. *°n figuracyjnej (gdzie zmienna n określa ilość ładunków) opisy®1®119^
także przy pomocy kartezjańskich współrzędnych [4j* R. Ii)» ***
demu punktowi takiej przestrzeni o współrzędnych ke(l»*»*»^n ^ odpowiada wzajemnie jednoznacznie n punktów przestrzeni 3-wymia rowej o współrzędnych ^i-2* *31*
(Uwagai nie został tu wymieniony wymiar czasowy. Czas jest opisy many tą samą zmienną t w obu przypadkach).
Wspomniane równania opisują nich ładunków w zadanym polu oraz ruch pola przy zadanych położeniach ładunków.
Zajmiemy się teraz tymi pierwszymi w postaci Lagracge»owskieji
k€(1 3n)> (1)
gdziet
L £ - mc2 Ul Ą - £ \ • f * t i * i • 7 <2) i-1 (i) V ? 1=1 2 łtl 2 (i) (i) (1)
Do wzoru (2) należy podstawić teraz funkcje A t ^ obliczane z
równań pola. ^ ^
Ponieważ rozpatrujemy ruch ładunków w pobliżu położenia równowa
gi* a więc skorzystamy z "elektrostatycznego" przybliżenia funkcji v2
- , (i) Lagrange*a odrzucając wyrazy rzędów wyższych lub równych oraz
c wyrazy stałe - m c .2
(i)
Mamy wówczas:
L =■ T - W, (3)
O niestabilności układu.•• 5
gdziet
n m v2
(4) i-1
n e e
n
f5)
We wzorze (5) sumowanie nie obejmuje wskaźników i » j , ponieważ doprowadziłoby to do nieskończenie wielkiej energii własnej cząst
ki pochodzenia elektromagnetycznego.
Uwzględnienie wyrazów odrzuconych w elektrostatycznym przybli
żeniu funkcji Lagrange'a doprowadza również do równań ruchu czą
stek osobliwych, którym obok nieskończenie wielkiej masy pochodze
nia poiowego przypisujemy taką nieskończoną masę ujemną *n±©poło
wą", że wypadkowa jest zgodna z obserwowaną eksperymentalnie. Pro
ces ten nazywa się renonmalizacją masy. Następnie w wymienionych równaniach występują człony proporcjonalne do trzeciej pochodnej położenia cząstki względem czasu, reprezentujące tzw. siłę samo- oddziaływania.
W przypadku pojedynczego ładunku siła ta powoduje nieograniczo
ne przyspieszenie cząstki we własnym polu, co jest oczywiście sprzeczne z zasadą zachowania energii. Pojedynczy ładunek punkto
wy nie może być więc opisywany równaniami elektrodynamiki. V przy
padku większej ilości ładunków warunkiem poprawnego ioh opisu jest wartość siły samooddziaływania danego ładunku w porównaniu z siłą pochodzącą od pola zewnętrznego, tzn. w tym przypadku od ła
dunków pozostałych.
6 M. Brodź id.
To z kolei doprowadza do żądania, by długość fali K padającej na dowolny z ładunków była znacznie większa od "promienia" ładun
ku obliczonego przez porównenie jego energii spoczynkowej i polo*
wej*
2
, ^ r -____ ¿ 2 _____. (s)
( i) 4JT£0 (J,c2
oraz by gęstość energii pola . pochodzącego od pozostałych ła
dunków, w miejscu, w którym znajduje się rozpatrywany ładunek, by
ła mała w porównaniu z jego gęstością energii spoczynkowej*
(i) 2 0 a ) 2 r ° u ł Ł)
• <o " - oznacza tu gęstość masy spoczynkowej ładunku.
(i)
Z warunków (6) i (7) można wyprowadzić zależność ograniczającą od
ległości r pomiędzy ładunkami do znacznie większych od ich (ij)
■promieni" r : (ii)
( u) * ¿ ) * (8)
Dokładniejszą analizę powyższego zagadnienia można znaleźć w książ
kach: M. Suffczyński "Elektrodynamika", R. XVI lub Ł. Landau i E.
Lifszic "Teoria pola", R. IX.
Warunki (6) i (8) są więc zasadniczym ograniczeniem stosowalno
ści naszych dalszych rozważań.
Ponadto trzeba pamiętać, że będziemy wykazywać niestabilność ukła
du jedynie w przybliżeniu elektrostatycznym. Wobec tego nie anali
zując bliżej wpływu dokładniejszego przybliżenia, trzeba posiadać
O niestabilności układu. • • 7
pewną "rezerwą" tej niestabilności, by można stąd wnioskować o nie
stabilności układu "dokładnego”.
Ha podstawie wzorów (i), (3), U), (5) otrzymujeayt
d2
^ “ "$T"» ke(l,...,3n). C9) (k) dt
m ■ m ■ m i€(1,.*.»ni• (10) (3i-2) (3i-1) (3i)*
Ula każdego punktu równowagi układu (np. o współrzędnych z w (*r przestrzeni konfiguracyjnej) obowiązuje zależność:
* 0, k,le(l,...,3n). (1 1)
Załóżmy dla uproszczenia rozważań formalnych (nie będzie to posia
dało decydującego dla dalszego dowodu znaczenia fizycznego), że za
chodzi:
m ■ W m *v m, k,le(l,...,3n). Cl2) (k) (i)
Wówczas mamy z dokładnością do wyrazów 1 rzędu rozwinięcia na sze
reg Taylora funkcji w otoczeniu punktu równowagi x^x
** M
5 ^ <^) (r)
8 M. BrodzJd.
gdzie:
+ 6., kfl€(l i»«• *3n) • il4) + t k
(r)
Uwaga: obowiązuje tu umowa auiracyjna dla wskaźników powtarzających się w iloczynie.
Przyjmijmy:
1 0 2W /’1c)
*f - = 0 6 ^ -GT-
Stąd:
d 6 . .
k £ (1 6 )
2 akl (' V
Out
Przewidując rozwiązanie:
-»oc. ert, il7)
Sx ^
Bcamys
iaki “ v "ki,0i " °*
(
1 8)
gdzie:
O niestabilności układu*•• 9
Równania (18) posiadają rozwiązania nie trywialne dla zmiennych oc-^
jeśli zachodzi)
Badanie stabilności układu przeprowadzamy teraz przy pomocy pierwszego liniowego przybliżenia równań ruchu ładunków w* otocze-
Jeali pierwsze przybliżenie (liniowe) dla danego punktu równowagi jest asymptotycznie stabilne (niestabilne), to równania dokładne po
siadają rozwiązanie stabilne (niestabilne) w pewnym otoczeniu tego punktu, (03» R » XI» gdzie można też znaleźć definicję stabilności lokalnej),
0 stabilności układu znajdującego się pod wpływem sił zachowaw
czych decyduje również jego energia potencjalna w otoczeniu punk
tu równowagi, (jeśli w punkcie tym osiąga ona minimum właściwe, układ jest stabilny - (4], R» Ii).
Wobec warunków (1 1) należy więc zająć się formą kwadratową:
w(k) « detja^ - h S « 0.
(
20)
Wielomian charakterystyczny w(X) posiada pierwiastki rzeczywiste ponieważ wyrazy a ^ są rzeczywiste oraz zachodzi (na mocy wzoru
(15)):
a.ki * ^ k *
(
2 1)
([3], R. XII).
niu punktu równowagi (1 3) * stosując pierwszą zasadę Lapunowa:
(
22)
10 M. Brodzki
Jeśli forma ta byłaby określana ujemnie - funkcja energii poten
cjalnej osiągałaby minimum) jeśli dodatnio — maksimum, jeśli była
by nieokreślona - nie posiadałaby ekstremum, jeśli zaś byłaby na pół określona - trzeba wówczas badać formy wyższego rzędu.
Sprowadzimy teraz formę A do postaci kanonicznej za pomocą przekształcenia ortogonalnego współrzędnych £ k * przestrzeni kon
figuracyjnej, ([3], R. U l ) .
ponieważ forma A jest skal arem i to nie tylko względem przekształ
ceń ortogonalnych, lecz względem przekształceń klasy C • Zachodzit
W
(23)
gdziet
Akm Alm " ^kl* (24)
Mi my terazt
2
(25)
gdzie:
(26)
\ k " (27)
ponieważ przekształcenie ortogonalne nie zmienia pierwiastków wie
lomianu charakterystycznego taraj A ([3]* Ul).
O niestabilności układa« » 11
Do tej pory analizowaliśmy równania ruchu ładunków, zaj Bij aąy się teraz równaniami ruchu pola, aby osiągnąć przy ich pomocy pewne związki decydujące o znakach współczynników X.^ i o formie A * Ponieważ:
n e
f « V -— iii— , (28)
Tl Zj 4JT* r •
(i)
d-1 ifj gdziet“^ * 3 1 - 2 " X3j»2i + ix3i-1 “ X3j-1J + ^ 3 i -X3j^ • i,j 6 0,...,n)|
więc na mocy przybliżenia elektrostatycznego równań pola (takiego samego jak i równań ładunków) many:
9 2 A '¡>2 A O 2 ,?,
i + 2 + 2 ■ 0 t (3°)
^ £ 3h-2 ^ f 3h-1 S h i ,h6 (l,*«*,n)«
Ponieważ:
W * y i e , Z-i 2 fii m
(31) , , (i) (i)
i*i
więc na mocy wzoru (30) mamy:
12 M. Brodzi!
Laplasjan (tu względem 3n współrzędnych] jest nlezrroennikiem względem przekształceń ortogonalnych (również względem 3n współ“
rzędnych), więc
Następnie korzystając ze związku (26) mamy dla układu współrzęd
nych, dla którego forma A przyjmuje postać kanoniczną:
Na podstawie wzorów (34), (35) można wnioskować, że forma A jest albo nieokreślona (różne znaki "A.^"), albo na pół określona (X^ ■
* 0, ke(l, ,3n)).
W pierwszym przypadku funkcja energii potencjalnej W układu ła
dunków nie osiąga minimum, więc układ opisywany je9t równaniami o rozwiązaniach niestabilnych. Widać to również analizując bezpośred
nio rozwiązania równań ruchu ładunków (17) i (19)* bowiem wówczas przynajmniej dla jednego z pierwiastków A.. zachodzi (K. > 0)
K1 1
i wobec tego (r. > 0).
Z twierdzenia Łapanowa wynika wówczas niestabilność układu opisy
wanego równaniami (3 ), (9)*
(33)
3n
(34)
Stąd na mocy wzoru (27):
(35) k*1
O niestabilności układu.« 13
W przypadku drugim nie wiadomo czy funkcja energii potencjalnej W osiąga minimum| nie można również wnioskować o niestabilności układu na mocy twierdzenia Lapunowa, bowiem pierwiastki pierwszego liniowego przybliżenia równań układu posiadają część rzeczywistą równą zeru. W tym przypadku należałoby badać formy wyższego rzędu funkcji W.
Przypuszczenie, że w pewnych przypadkach mogłaby wówczas wystą
pić stabilność układu jest mało prawdopodobne, bowiem w najlep
szym razie oznaczałoby to przyrównanie do zera w punkcie równowagi pochodnych pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu oraz żądanie, by forma czwartego rzędu funkcji W była dodatnio określona. Narzu
całoby to na 3n zmiennych określających położenie układu w prze
strzeni konfiguracyjnej znacznie większą od 3n liczbę warunków (ilość związków (11), dotyczących tylko pochodnych rzędu pierwsze
go, wynosi właśnie In).
Tak więc widać, że układ ładunków swobodnych, nie może być ukła
dem stabilnym w stanie równowagi statycznej. Poza tym stosowalność naszych rozważań jest ograniczona warunkami (6) i (8), ustalający
mi w ogóle zakres stosowalności elektrodynamiki klasycznej• Twier
dzenie powyższe możra by z pewnością uogólnić na przypadek nałado
wanych ciał o rozmiarach skończonych. Wobec tego jedyną alternaty
wą równowagi statycznej układu ładunków jest zastosowanie odpo
wiednich więzów tzn. sił o charakterze nieelektrostatycznym, jakie stwarza np.s powierzchnia przewodnika czy siły mechaniczne unieru
chamiające te przewodniki. Na zakończenie trzeba zaznaczyć, że po
dany dowód niestabilności opisywanego układu nie jest pełny.
Należałoby wykazać, że faktycznie badanie pochodnych oraz form wyższego rzędu funkcji W zaprzecza stabilności. Dla dowolnych n funkcji k zmiennych, gdzie: (n> k), może się przecież zdarzyć, że równania powstające z przyrównania ich (funkcji) do zera mogą być spełnione dla jakichś wartości tych zmiennych. Np.: w inter
Mm Brodzkl
pretacji geometrycznej gdy wykresy 3 funkcji 2 zmiennych przecina- Ją sie * Jednym punkcie.
Istnieje inna metoda wykazania niestabilności naszego układ««
pozbawiona w/w mankamentów* Polega ca» na stwierdzeniu, te funkcja W energii potencjalnej spełnia względem 3n współrzędnych prze
strzeni konfiguracyjnej równanie Lapla.ce*a - (32), czyli Jest har
moniczna (nie dopuszczamy pokrywania się ładunków)* Jako taka, nie może posiadać minimum, bowiem byłoby cno Jednocześnie jej kresem dolnym wewnątrz Jakiegoś dostatecznie małego obszaru zmiennych £j—
co dla funkcji harmonicznej różnej od stałej nie Jest możliwe [73»
JL H I .
Następnie trzeba przypomnieć, że nasze rozważania dotyczyły tyl
ko elektrostatycznego przybliżenia równań ruchu układu.
0 niestabilności układu opisywanego równaniami dokładnymi moż
na by wnioskować dopiero na mocy twierdzenia w pewnym sensie ana
logicznego do twierdzenia Lapunowa, które należałoby wykazać* Bóż
nica polega tu na tym, że twierdzenie Lapunowa pozwala na przej
ście (z własnością stabilności lub niestabilności) do przybliżenia liniowego - do równań dokładnych, rozwikłanych ze względu na po
chodne najwyższego rzęduj a w naszym przypadku trzeba by "przejść"
- od Jednych równań nieliniowych do drugich dokładniej szych, nie
rozwikłanych w sposób opisany poprzednio (po ich prawej stronie wy
stępuje człon opisujący siłę samooddziaływania, proporcjonalną do trzeciej pochodnej położenia cząstki względem czasu)*
O niestabilności układu«.. 15
LITSSATURA
[1] Feldbaum A.A.ł Elektriczeskije sistiemy avtomaticzeskovo regu- lirovanja. Moskva 1957.
[2] Landau L., Lifszic E.; Teoria pola. Warszawa 1958.
[33 Mostowski A., Stark M.: Elementy algebry wyższej.Warszawa 1958.
(43 Rubinowicz W., Królikowski W.: Mechanika teoretyczna. Warszawa 1955.
[53 Suffczyński M.: Elektrodynamika. Warszawa 1965.
[63 Tamm I.E.: Podstawy teorii elektryczności. Warszawa 1967.
[73 Pietrov/sk± I.i Równania różniczkowe cząstkowe, Warszawa 1955«
H E C T A E W I b H O C T b Cli GTE Md n , ( n > l ) T C H K 4 H d X 3JIEKTPWHECKMX S A F j t U O B 5 E 3 C 3 d 3 E i l
P e 3 c u e
3 H a c T o a ą e ł i C T a T t e n p O B e ^ e H o h s c t m m h o f l O K a 3 a T O J i b C T B O H e c T a ó H J i b -
hocth C H C T e u b i C B o 6 o a H b i x To»i eHf ci x 3 a p a f l O B (>He M e a e e A B y x ) n o n e p - BOMy n p H H u i i n y J l a n y H O B a u H C C j i e f l O B a H u n n a p u w a j i b H b U C n p o K 3 B O f l H H X n o T e H u w a j i b H o i i 3 H e p r h n CKCTe wbi , ę o a T o p o r o n o p a f l i c a bk j i d u H T 6 4 b h o. 3 y p a a H e H H H X A B H x e H H H w c c t h u n p o n y 4 e H o HJi eHbi B h i c o e r o n o p s a i c a
2 u paBHbie "2^".
S a T p y f l K e H H H , C B H 3 a H H H e c o n u c a s H e M C B o f i o a H O i i c u c T e u h i q a c T n - c
UH - n o ^ e 6h j i h T o a b K o ę p a r u e H T a p H O o T u e n e H U . G n a T e u a T H H e c i c o i i TOHKH 3 p e HHH n p H U e HHe TCH He XOTOp h i e T e o p e u u OTHOCHTeJI bHO n p e - 0 Ó p a 3 0 B a H H H O p T O r O Ha J I b Kh I X C H C T e u K o o p j H H a T , T e o p H H K B a j p a T H b I X
$ 0 P M , 3 K C T p e M y U O B $ y H K U H H MHOFHX n e p e M e H H 4 X H r a p M O H M q e C K H X
$ y H K U H H .
16 M. Brodski
INSTABILITY QP THE n, (n > 1) SYSTEM, OP POINT ELECTRIC CHARGES WITHOUT CONSTRAINTS
S u m m a r y
In th±3 report the proof is partly made of the free point chartes (at least two) instability system on the base of the first Lapunow principle ana the test of the partial derivatives of potential energy of the system to the second order inclusively® In the equa-
Wy If tion of particles movement, the terms of higher or equal ''
¿
c orders were rejected* The difficulties connected with description of the free system of partid e-field where only fragmentarity nar
ked. Prom the mathematic side the certain theorems are used with regard of orthogonal transformations of coordinate system, square forms theory, extremum of the functions of many variables and har
mónica! functions.
