• Nie Znaleziono Wyników

Zastosowanie metody elementów brzegowych do analizy wpływu kształtu na częstości drgań własnych układu

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Zastosowanie metody elementów brzegowych do analizy wpływu kształtu na częstości drgań własnych układu"

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

ZESZYTY N A U K O W E P O L I T E C H N I K I S L A S K I E J 1989

Seria: M E C H A N I K A z. 91 Nr kol. 1026

XIII M I Ę D Z Y N A R O D O W E K O L O K W I U M

"MODELE W P R O J E K T O W A N I U I K O N S T R U O W A N I U MASZYN"

13th I N T E R N A T I O N A L C O N F E R E N C E ON

"MODELS IN D E S I G N I N G A N D C O N S T R U C T I O N S O F MACHINES"

25-28.04.1989 Z A K OPANE

Piotr FEDELINSKI Tadeusz BURCZYKISKI

Instytut Mechaniki i P o d s t a w Konst r u k c j i Masz y n Politechnika Śląska

ZASTOSOWANIE M E T O D Y E L E M E N T Ó W B R Z E 6 0 W Y C H

DO A N A L I Z Y W P Ł Y W U K S Z T A Ł T U N A CZĘ S T O Ś C I D R G A Ń W Ł A S N Y C H UKŁ A D U

S t r e s z c z e n i e . W p r a c y p r z e d s t a w i o n o z a s t o s o w a n i e r a c h u n k u w a r i a c y j n e g o do o k r e ś l e n i a zależności częstości d r g a ń w ł a s n y c h od -funkcji o p i s u j ą c y c h z m i a n ę k s z t a ł t u układu.

W r a ż l i w o ś ć c z ę stości z o s t a ł a w y r a ż o n a za p o m o c ą całki b r z egowej z funkcji zależnej od częstości i postaci drgań.

Do r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a w ł a s n e g o z a s t o s o w a n o m e t o d ę e l e m e n t ó w b r z egowych. Z b a d a n o własności pr e z e n t o w a n e j met o d y na p r z y k ł a d z i e c i a ł a dwuw y m i a r o w e g o .

1. W p r o w a d z e n i e

Jed n y m z w a ż n y c h z a d a ń w p r o c e s i e k o n s t r u o w a n i a jest dobór optymalnej postaci g e o m e t r y c z n e j konstrukcji. W p r z y p a d k u układu obciążonego d y n a m i c z n i e j e g o z a c h o w a n i e jest u z a l e ż n i o n e od częstości d r g a ń własnych. Przez m a k s y m a l i z a c j ę częstości przy przyjętych o g r a n i c z e n i a c h m o ż n a z m n i e j s z y ć p r z e m i e s z c z e n i a i związane z nimi o d k s z t a ł c e n i a i naprężenia.

W p r a c y p r z e d s t a w i o n o a n a l i z ę w p ł y w u k s z t a ł t u na częstości drgań własnych, która stanowi n i e o d ł ą c z n y e l e m e n t poszuk i w a n i a optymalnej postaci g e o m e t r y c z n e j metodami gradientowymi.

Do r o z w i ą z a n i a p o s t a w i o n e g o z a d a n i a z a s t o s o w a n o met o d ę e l e mentów b r z e g o w y c h (MEB).

2. A n a l i z a w r ażliwości częstości d r g a ń w ł a s n y c h na z m i a n ę kształtu ukł a d u

R o z p a t r z y m y c i a ł o s p r ę ż y s t e z a j m u j ą c e obszar O i o g r a n i c z o n e b r z e g i e m I~. Zakładamy, że c i a ł o jest zam o c o w a n e na

(2)

części b r z e g u r i s w o b o d n e na części ( P ^ c T ^ r i P ^ n T ^ ® ) - Zaga d n i e n i e d r g a ń swo b o d n y c h jest opisane równaniem:

a . +<o2pu = O. (2.1)

i J . ) >

gdzie: a - tensor naprężeń,

o- c z ę s t o ś ć d r g a ń własnych, p - g ę s t o ś ć materiału,

u - s k ł a d o w a a m p l i t u d y drgań.

Zakładamy, że r o z p a t r y w a n e c i a ł o zmienia swój kształt. Zmiana p o ł o ż e n i a p u n k t ó w o b s z a r u z a j m o w a n e g o przez ci a ł o o p i s a n a jest

■funkcją g. Przy in-finitezymalnej zmianie kształtu t r a n s f o r m a c j a w s p ó ł r z ę d n y c h w y r a ż o n a jest równaniem:

x * * x . +óg. , (2. 2)

t t i

g d z i e óg jest w a r i a c j ą funkcji g.

Przyjmujemy, że f u n k c j a o p i s u j ą c a z m i a n ę k s z t a ł t u m o ż e być wy r a ż o n a za p o m o c ą pewnej liczby p a r a m e t r ó w a^ (r=l, 2 , . . . , R) n a z y w a n y c h parametrami kształtu. Wówczas:

<5g « g . óa . (2.3)

v v,r r

Zmia n i e k s z t a ł t u o d p o w i a d a zmi a n a pola p r z e m i e s z c z e ń o k r e ś l o n a przez:

óu.“ óu.+u óg., (2.4)

i v t. j j

g d z i e óu. ozna c z a w a r i a c j ę p r z e m i e s z c z e ń dla s t a ł e g o k s z t a ł t u ciała.

R ó w n a n i e z a g a d n i e n i a w ł a s n e g o dla t r a n s f o r m o w a n e g o o b s z a r u m o ż e być z a p i s a n e w równo w a ż n e j postaci wariacyjnej. W t y m celu m n o ż y m y rów«, (2.1) przez d o w o l n e p r z e m i e s z c z e n i e w i r t u a l n e s p e ł n i a j ą c e warunki b r z e g o w e i p o s c a ł k o w a n i u przez części otrzymujemy:

f a . <u)£. (u)dfl* = u 2 f pu.u.dO*. (2.5)

J u M J v v

O O

Dla o k r e ś l e n i a zależności m i ę d z y c z ę s t o ś c i ą i p a r ametrami k s z t a ł t u o b l i c z a m y w a r i a c j ę obu stron r ó w « . (2.5):

2 f o.iułp. (óu)dO*-f o (u) c ,(u)n óg d T =

J i j vj J :J ŁJ m m

° P (2.6)

ó(fcj2 ) f pu . u.dO+b>* 12 f pu óu d O + [ p u u n óg dr I

J I J v v J l i m m

o o r

g d z i e n ^ jest w e r s o r e m n o r m a l n y m do brzegu.

Uw z g l ę d n i a j ą c w równ. (2.6), że:

f a (u) £ (óu)dO-o)2 f pu óu d(l = 0, (2.7)

J vj vj J v v

Cl Cl

oraz przy j m u j ą c waru n e k n o r m a l i z a c y j n y na f u n k c j e własne:

f pu u = 1, (2.8)

«• V t

o

o trzy m u j e m y r ó w n a n i e o k r e ś l a j ą c e w a r i a c j ę częstości d r g a ń w ł a s n y c h (por. Haug, C h o i , K o m k o y C63 i Szefer C83):

(3)

6< = t~ ~

fio' (u

) c . .

(u)—o 2p u . u .

|n g <5a dT. (2.9)

2u>

ij lj t i j m m , r r

r

W y z n a c z e n i e wariacji częstości d r g a ń w ł a s n y c h w y m a g a o b l i c z e n i a całki brz e g o w e j z funkcji zależnej od częstości i postaci dr g a ń własnych oraz o d k s z t a ł c e ń i n a p r ę ż e ń na brzegu.

Do r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a w ł a s n e g o i o k r e ś l e n i a wrażliwości układu o d o w o l n y m k s z t a ł c i e z a s t o s o w a n o M E B 13,43. M e t o d a p o z wala dokładniej o k r e ś l i ć p o t r z e b n e wielkości na b r z e g u 123 niż metoda elementów s k o ń c z o n y c h (MES).

Zastosowanie metody elementów... 59^

3. R o z w i ą z a n i e z a g a d n i e n i a w ł a s n e g o m e t o d a e l e m e n t ó w brze g o w y c h

Do r o z w i ą z a n i a z a g a d n i e n i a w ł a s n e g o z a s t o s o w a n o s y m e t r y c z n ą wersję M E B z a p r o p o n o w a n ą przez H a i s h e n g a 153.

W om a w i a n e j m e t o d z i e s t o s o w a n e jest r o z w i ą z a n i e p o d s t a w o w e elastostatyki 11,73. Rów»». (2. 1) jest m n o ż o n e przez r o z w i ą z a n i e podstawowe w y r a ż o n e w p r z e m i e s z c z e n i a c h i c a ł k o w a n e po obszarze z a j m o w a n y m przez ciało:

f o U dO+<o2p f u.U, d O = O, (3.1)

J i j , j ki J i k u

(3

O

Przyjmujemy, że p r z e m i e s z c z e n i a u^ m o ż n a w y r a z i ć w postaci sumy iloczynów funkcji f J(X> z a l e ż n y c h od p o ł o ż e n i a p u n k t u i nie z n a n y c h współczynników aj:

u.(X) = a j f j(X), j = 1 , 2 , ,n (3.2)

Po p o d s t a w i e n i u p o w y ż s z e g o w y r a ż e n i a d o równ. (3.1) otrzymujemy:

f o U dOł-to2p a j f f jU, dfi = O, (3.3)

J u j . j k v iJ k t

O O

W w y n i k u z a s t o s o w a n i a w z o r u S o m i g l i a n y p r z e k s z t a ł c a m y rówtl.

(3.3) do r ó w n o w a ż n e g o b r z e g o w e g o r ó w n a n i a całkowego:

c. u . - f U p . d r + f P u . d r + u 2i)[c » j . - f ki i J ki i J ku i ^ ki li J

r r r

gdzie: c fc. - ws p ó ł c z y n n i k i z a l e ż n e od p o ł o ż e n i a p u n k t u w z g l ę d e m b rz e g u i j e g o kształtu,

p - s i ł y na brzegu,

P - siły na b r z e g u o d p o w i a d a j ą c e p o l u p r z e m i e s z c z e ń U k i , y',J. — p o l e przemieszczeń w y w o ł a n e d z i a ł a n i e m s i ł y <5 f J

— de l t a K r o n e c k e r a ) ,

r)J - s i ł y na b r z e g u o d p o w i a d a j ą c e p o l u przemieszczeń! v*J Ł ■ U celu o b l i c z e n i a ca ł e k b r z e g o w y c h d z i e l i m y brzeg n a elementy.

Każdy z e l e m e n t ó w p o s i a d a p e w n ą l i c z b ę w ę z ł ó w z a l e ż n ą od typu elementu. P r z e m i e s z c z e n i a i s i ł y wewną t r z e l e m e n t u w y r a ż a m y przez wartości w węzłach. Równ. (3.4) u k ł a d a m y d l a k a ż d e g o węzła na brzegu. W e f e k c i e o t r z y m u j e m y uk ł a d równań, który m o ż e być zapisany w postaci macierzowej:

U k i W i d r + J P

r

. . .

dr ku l i J * ¡ -

= 0

(3.4)

(4)

[M3{u>-[G3fp>+<*> p([H3[v'3-CG3[7)3) [eO = O, (3.5) gdzie: [H3- macierz z a l e ż n a od całek b r z e g o w y c h z -funkcji P ki i

funkcji kształtu,

[53- macierz z a l eżna od całek brze g o w y c h z funkcji U ki i

■funkcji kształtu,

[y3- macierz wartości funkcji w węzłach,

[ 7 ) 3 - m acierz wartości funkcji 7 ) ^ w węzłach,

iui— wektor p r z e m i e s z c z e ń w ę z ł ó w brzegowych, [pj— wektor sił na brzegu.

N i e z n a n y wektor w s p ó ł c z y n n i k ó w <cx> w y z naczamy z równania:

iu> = [F3i<x>, (3.6)

Macierz [F3 z a w i e r a wartości funkcji f J w węzłach.

Po u w z g l ę d n i e n i u zależności (3.6) otrzymujemy:

[H3iu> — CG3fp3— w2[M3fu> = O. (3.7)

Przez CM3 o z n a c z o n o macierz b e z w ł a d n o ś c i :

CM3 = -pf[H3Cv3-[G3C7)3]cF3"ł. (3.B)

O t r z y m a n e m a c i e r z e [H3, [G3 i [Ml są pełne i niesymetryczne.

R ó w * . (3.7) można p r z e k s z t a ł c i ć do postaci (por. H a i s h e n g [53):

CKliuJ — -CRJ— to2[M3iu> = O. (3.9)

A A

W p o w yższym r ó w n a n i u m a c ierze

CK3

i [M3 symetryczne.

O b l i c z a m y je z n a s t ę p u j ą c y c h zależności:

,-r (3.10)

CM3 = [03+C03

M a c i e r z e [Q3 i [Q3 w y z n a c z a m y z równań:

(3.

11)

(3.12)

[Q3 = [C3CG3 [ M 3 ,

[03 = [C3 C G 3 _1[H3, (3.13)

I X

[C3 = > CS3 [53dT

(3.14)

gdzie przez E oznaczono liczbę elementów brzegowych.

Macierz [83 jest macierzą funkcji kształtu interpolujących przemieszczeni a i siły wewnątrz elementu.

Wektor {R3 jest wektorem obciążeń skupionych przyłożonych do węzłów:

{R} = [03 fp3. (3.15)

Po uwzględnieniu warunków brzegowych otrzymujemy równanie zagadnienia własnego w postaci:

[K 3 [u >-(/[M 3 iu J = O, (3.16)

2 2 2 2 2 2

Indeksem 2 oznaczono podmacierze związane z brzegiem swobodnym.

Wprowadzenie symetrycznych macierzy pozwala na zastosowania bardziej efektywnych metod rozwiązywania zagadnienia własnego.

J e d n o c z e ś n i e z m n i e j s z a się efekt n i edokładności c a ł k o w a n i a n u m e r y c z n e g o

i

tym s a m y m p o p r a w i a się d o k ł a d n o ś ć częstości dr g a ń własnych.

(5)

Zastosowanie metody elementów. 61

4. P r z y k ł a d n u m e r y c z n y

O p r a c o w a n o p r o g r a m komputerowy, kt ó r y o k r e ś l a wra ż l i w o ś ć częstości d r g a ń w ł a s n y c h d l a z a g a d n i e n i a d w u w y m i arowego.

D o d y s k r e t y z a c j i o ś r o d k a z a s t o s o w a n o l i n i o w e e l e m e n t y brzegowe.

P r o g r a m w y z n a c z a n a j n i ż s z e częstości i o d p o w i a d a j ą c e im p o s t a c i e za p o m o c ą iter a c y j n e j m e t o d y po t ę g o w e j z wyczerpywaniem.

W w y n i k u o b l i c z e ń O k r e ś l a n a jest w a r i a c j a częstości spow o d o w a n a p r z e s u n i ę c i e m k a ż d e g o z w ę z ł ó w o s o b n o w k i e r u n k u n o r m a l n y m do brz e g u w s t r o n ę w n ę t r z a obszaru.

Za p o m o c ą p r o g r a m u z b a d a n o własności d y n a m i c z n e prosto k ą t n e j tarczy o b u s t r o n n i e s z t y w n o u t w i e r d z o n e j {rys.4 . la).

Przyjęto, że t a r c z a z n a j d u j e s i ę w p ł a s k i m s t a n i e o d k s z t a ł c e n i a i w y k o n a n a j e s t z m a t e r i a ł u o n a s t ę p u j ą c y c h własnościach:

E = 2 x 1 0 “ CPal, p = 8 0 0 0 C k g / m 9 3, v = 0.3.

O k r e ś l o n o częstości i p o s t a c i e d r g a ń w ł a s n y c h s t o s u j ą c do dyskretyzacji M E B i M E S (rys.4.i>. W y k o n a n o o b l i c z e n i a dla p o d z i a ł u t a r c z y na 20, 3 0 i 40 e l e m e n t ó w brzegowych. N a rys. 4.2 p o k azano t r z y n a j n i ż s z e p o s t a c i e d r o a ń własnych, a w tab. 4.1 częstości d l a r ó ż n y c h s p o s o b ó w dysk r e t y z a c j i .

Tab. 4.1

D y s k r e t . L i c z b a elem.

C z ę s t o ś ć C r a d / s 1

<d

i u

z u

3

2 0 12960 30 4 4 0 32 1 8 0

MEB 30 12550 28 7 1 0 3 2 5 5 0

40 12400 28080 3 2 6 8 0

M E S 64 12420 2 7 0 7 0 3 2 8 2 0

Z p r z e p r o w a d z o n y c h o b l i c z e ń wynika, że r o z w i ą z a n i a o t r z y m a n e MEB n i e z n a c z n i e r ó ż n i ą s i ę od r o z w i ą z a n i a M E S naw e t p r z y n i e w i e l k i e j l i c z b i e elementów.

N a rys. 4 . 3 a p r z e d s t a w i o n o wyniki a n a l i z y wrażliwości p i e rwszej częstości dla r ó ż n e g o p o d z i a ł u b a d anej tarczy. W c e l u p o r ó w n a n i a w y n i k ó w dla różn e j licz b y e l e m e n t ó w w a r i a c j ę częstości

p o d z i e l o n o przez w a r i a c j ę p o l a powi e r z c h n i <50 .Wyniki d o t y c z ą modyfikacji b r z e g u prawej części t a r c z y poleg a j ą c e j na p r z e s u n i ę c i u k a ż d e g o w ę z ł a do w n ę t r z a o b s z a r u o S a ^ = 0.04 tmJ.

W y k r e s y d l a lewej części są s y m e t r y c z n e d o pokazanych.

Na rys. 4 . 3 b p r z e d s t a w i o n o w y k r e s y wrażliwości trzech n a j n i ż s z y c h częs t o ś c i . P r z e s u n i ę c i e w ę z ł ó w brz e g o w y c h do w n ę trza o bsz a r u w p o b l i ż u m i e j s c a u t w i e r d z e n i a p o w o d u j e zmniej s z e n i e każdej z t r z e c h b a d a n y c h częstości.

P o r ó w n a n i e cz ę s t o ś c i o t r z y m a n y c h M E B i MES, a t a k ż e z b a d a n i e wpł y w u d y s k r e t y z a c j i na wyniki a n a l i z y wrażl i w o ś c i wykazało, że metoda m a ż e być s t o s o w a n a p r z y n i e w i e l k i e j licz b i e el e m e n t ó w brzegowych. Z n a j o m o ś ć wraż l i w o ś c i u m o ż l i w i a e f e k t y w n e p o s z u k i w a n i e k s z tałtu u k ł a d u o m a k s y m a l n e j c z ę stości lub j e g o op t y m a l n e r o z s t r o j e n i e p r z y p r z y j ę t y c h ograniczeniach.

(6)

MEB (4 0 w ęzfów , 40 elementów)

b)

MES (8 5 w ę złó w ( 64 elem enty)

Rys.4.1. Dyskretyzacja tarczy prostokątnej: a) elementami

brzegowymi, b) elementami skończonymi Fig. 4.1. Discretization of the

rectangular plate using:

a) boundary elements, b) -finite elements

Rys.4.2. Postacie drgan własnych: a) pierwsza, b) druga, c) trzecia Rys.4.3. Mode shapes of free vibration: a) first, b) second, c) third

o)

0 200 400 600 0 200 400 600

x (mm) xlm m l

Rys.4.3. Analiza wrażliwości czystości drgan własnych:

a) wariacja pierwszej częstości dla różnej liczby elementów brzegowych, b) trzech najniższych częstości

Fig.4-3. Sensitivity analysis of natural circular frequencies:

a) variation of first frequency for the different

num b e r

of

elements, b) variation of the three lowest frequencies

(7)

. Zastosowanie metody elementów.

63

LITERATURA

[13 C.A. BREBBIA, D. NARDINI: Dynamie A n a lysis in Solid M e c hanics by A l t e r n a t i v e B o u n d a r y Element Procedure, Int. J. Soil Dyn.

E a r t h q u a k e Eng., 1983, V o l . 2, N o . 4, 2 2 8 — 233.

[23 C.A. BREBBIA, J.C.F. TELLES, L.C. WROBEL: Boundary Element Techniques, Springei— Verlag., B e r 1 in— H e i 1 d e l b e r g —New Y o r k — Tokyo

1984.

[33 P. F E D E L I N S K I , T. BURCZYŃSKI: Shape S e n s i t i v i t y A n a lysis of E i g e n v a l u e s Using B o u n d a r y Elements, in Proc. XIII Symp.

Vibrat. Phys. Systems, P o z n a ń - Błażejewko, 1988, 77-78.

[43 P. F E D E L I N S K I , T. BURCZYNSKI: The B o u n d a r y Element Method for

Shape

Design S e n s i t i v i t y A n a l y s i s of Natural Frequencies, in Proc. Int. Conf. M A S A D ’88, Wrocław, 1988, 138-141.

[53 R. HAISHENG: The Sy m m e t r i c D y n amic B o u n d a r y Element Method

(SDBEM) for

T r a nsient E l a s t o d y n a m i c Analysis, in Proc.

Boundary

Element

X,

Ed. C.A. Brebbia, Springer— Verlag, Berlin, 1988, V o l . 4, 375-386.

[63 E.J. HAUG, K.K. CHOI, V. KOMKOV: Design S e n s i t i v i t y Analysis of Structural Design, A c a d e m i c Press, New York, 1985.

[73 D. NARDINI, C.A. BREBBIA: A New A p p roach to Free Vibration A n a l y s i s Using B o u n d a r y Elements, in B o u n d a r y Element Methods in Engineering, Ed. C.A. Brebbia, Springer— Verlag, Berlin, 1982, 312-326.

[83 G. SZEFER: A n a l i z a w r a żliwości i o p t y m a l i z a c j a u k ł adów d y n a m i c z n y c h z r o złożonymi p a r a m e t r a m i , Zesz. Nauk. AGH, Kraków, 1982, nr 942j, 5-36.

HCn0JTb30BAHliE METO/IA T P A H M H H H X 3JIEMEHTOB

riPH AHAJI113E BJH1SHH3 i O P M H H A 4 A C T 0 T Y C O E C T B E H H H X KOJIEEAHHH C H C T E M H

P e 3 o m e

B paóoTe npencTaBJieHO n p H M e H e H H e B a p w a u H O H H o r o MCHHCJieHHn min oripenejieHHn s a B H C H M O C T H K a c T O T u c o ó c T B e H H H X KOJieóaHMH o t ((»yHKUHB, KOTopwe onwchiBaiOT M 3 M e H e H n e 4ropMN c m cTe m u. HyBCTBMTejisHocTS sacTOTbt onpenejieHa npw noMouor r p a H H H H o r o MHTerpajia, saBMcnuiero o t coócTBeHHoro 3 H a s e H M n h <ł>yHKUHH. ZLh h peuieHMn 3anaHH Ha c o ó cTBeHHwe 3HaneHHn nptiMeHeu M e T o n rpaHMHHbix 3/ieMeHTOB. HccjienoBaHM CBoMCTBa npejicTaBjieHoro u e i o n a Ha n p M M e p e n B y p a s M e p H o r o Tejia.

APPLICATION OF THE B O U N D A R Y E L E M E N T MET H O D

TO

THE A N A L Y S I S OF S H A P E IN F L U E N C E ON N A T U R A L FREQU E N C I E S

S u m m a r y

The variational method is used to e x p r e s s the r e lationship between f r e q u e n c y and the f u n c t i o n that d e f inies a modification of the shape. The f r e q u e n c y s e n s i t i v i t y is expressed in the boundary integral form which d e p e n d s on t h e natural f r e q u e n c y and mode. The Boundary E l e m e n t Method is a p p lied to solve the eig e n v a l u e problem. The p r o p e r t i e s of the p r e sented method are studied for a two-dimensional body.

Recenzerit: doc. d r inż. S. W o j c i e c h Wpłynęło do R e d a k c j i 30.X I I . 1988 r.

Cytaty

Powiązane dokumenty

W pracy zastosowano metodę funkcji wpływu do rozwiązania zagadnienia brzegowego drgań giętnych pionowego pręta obciążonego wzdłużnie ciężarem własnym.. Wyprowadzono

Dla każdego z punktów kolokacji określa się obszary bliskie, od których potencjały obliczane są w sposób bezpośredni, oraz obszary odległe, od których potencjały obliczane są

swobodna funkcja Greena: prosty wzór, zależny tylko od typu równania.. Równanie różniczkowe do całkowego W. n

Energia magnetyczna i elek- tryczna, zmagazynowana w obwodzie, przedstawionym na rysunku 33.1, zilu- strowana jako funkcja czasu.. Zauważ, że suma energii

W wyniku przeprow adzonych obliczeń num erycznych stw ierdzono, że różnice pom iędzy obliczonymi częstościam i giętnych drgań własnych belki dla dwóch modeli m acierzy

Metoda brzegowych równań całkowych, w tym również metoda z dyskretyzacją czasu, jest szczególnie dogodna do jej wykorzystania w modelowaniu procesu krystalizacji, ponieważ

Główną zaletą metody elementów brzegowych jest to, że liczba niewiadomych, a tym samym powstały w końcowym rezultacie układ równań algebraicznych, zależą tylko

nego układu równań całkowych pierwszego rodzaju opierając się na teorii potencjału logarytmicznego warstwy pojedynczej. Zgodnie z ideą metody elementów brzegowych