Sterowanie czasowo-optymalne obiektami o funkcjach przejścia zawierających zera

RYSZARD GESSiNG

P .2 > m l£ 9

STEROWANIE CZASOWO-OPTYMALNE OBIEKTAMI 0 FUNKCJACH PRZEJŚCIA

ZAWIERAJĄCYCH ZERA

25-ię

P O L I T E C H N I K I Ś L A S K I E J

P O L I T E C H N I K A Ś L Ą S K A ZESZYT NAUKOW Y Nr 254 - GLIWICE 1969

O

SPIS TREŚCI

W s t ę p ... ...

1. Podstawowe pojęcia i problem y . . . . 1 .1 . Równanie obiektu i dopuszczalne sterowanie . 1. 2. W łasności rozwiązania równania obiektu . 1. 3. Sform ułowanie problem ów . . . . 1. 4. Przestrzeń fazow a X ...

2. Rozwiązanie Problemu I ...

2 .1 . Punkt początkowy trajektorii w przestrzeni X 2. 2. Sterowanie w (t) dla t > tt

2. 3. Zbiór punktów końcowych w przestrzeni X 2. 4. Sterowanie optymalne w sensie Problemu I

2. 5. Przykład sterowania optymalnego w sensie Problem u I 3. Rozwiązanie Problemu I I ...

3 .1 . Zbiór punktów początkowych trajektorii w przestrzeni X 3. 2. Sterowanie optymalne w sensie Problemu I .

3. 3. Uwagi o sterowaniu optym alnym w sensie Problem u II 3 .4 . U wagi o stosowaniu warunków transwersalności

3. 5. Przykład sterowania optymalnego w sensie Problemu II 4. Sterowanie przy ograniczonych współrzędnych

4 .1 . 4. 2.

4. 3.

4. 4.

4. 5.

Ograniczenie ciągłych współrzędnych obiektu

Ograniczenie niektórych ciągłych współrzędnych obiektu Ograniczenie ciągłych i jednej nieciągłej współrzędne, obiektu ...

Uwagi o rozwiązaniu Problem ów I i II w przypadku ogra niczonych współrzędnych o b i e k t u ...

Przykład sterowania optymalnego przy ograniczonej współ rzędnej y ...

5. Inne ograniczenia sygnału s t e r u j ą c e g o ...

5 .1 . Ograniczenie k-tej pochodnej sygnału sterującego . 5. 2. Złożone ograniczenia sygnału sterującego

6. Synteza optymalnego sterowania . . . 6. 1. Ograniczenie sygnału sterującego typu (1. 4) . 6. 2. Ograniczenie k -tej pochodnej sygnału sterującego . 6. 3. Przygotowanie obiektu do optymalnego sterowania 6. 4. U wagi ogólne o przygotowaniu obiektu do optymalnego ste

r o w a n i a ...

W n i o s k i ...

L i t e r a t u r a ...

Str.

3

7 8 12 14 18 18 18 21 23 29 32 32 34 38 39 40 43 44 47 50 53 54 63 63 71 74 74 77 80 85 87 91

v

POLITECHNIKA ŚLĄSKA

ZESZYTY NAUKOWE Nr 254

RYSZARD GESS1NG

V * * STEROWANIE CZASOW O-OPTMALNE

OBIEKTAMI 0 FUNKCJACH PRZEJŚCIA Z A W IE R A JĄ ? » ZERA

PRACA HABILITACYJNA Nr 91

R E D A K T O R N A C Z E L N Y Z E S Z Y T Ó W N A U K O W Y C H P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J

Fryderyk Staub

R E D A K T O R D Z IA Ł U

Stanisław Malzacher

S E K R E T A R Z R E D A K C JI

Witold, Gużkowski

Dział W ydaw n ictw Politechniki Śląskiej Gliw ice, ul. M . Strzody 18

_

N akł. 100-f-175 A r k . w y d . 4,04 A r k . d ru k . 5,69 P a p ie r o ff s e t o w y ki. III, 70x100, 70 g O d d a n o d o d r « k u 29.7.1969 P o d p is, d o d ru k u 4.10.1969 D ruk u k o ń c z w p a id z ie r n . 1969

Zam 1021 17. 6. 196S 0-22 C ena z ł 5,—

Skład, fotokopie, druk i oprawę

wykonano w Zakładzie G raficznym Politechniki Śląskiej w Gliwicach

WSTĘP

W lit e r a t u r z e można zn a leźć n ie w ie le p o z y c ji dotyczących problemu sterowania, czasowo-optymalnego obiektam i, k tóry ch fu n k cje p r z e jś c ia p o sia d a ją z o r a , a w ty ch p ozycja ch k tó re są wydaje s i ę , że poruszany problem n ie z o s t a ł doprowadzony do końca. Ze względu na n ie c ią g ło ś ć t r a j e k t o r i i w p rz e strz e n i fazow ej Y - w przypadku ta k ich obiektów n ie w ystarczy zazna­

c z y ć , że zajmujemy s i ę problemem sterow ania czasowo-optym alne- g o , l e c z n a leży problem ten dokładn ie sformułować.

W pracy [2 ] au tor w ce lu o k re ś le n ia pow ierzchni p rzełą czeń (potrzebnych do syntezy układów czasowo-optymalnych) wprowadza nowe zmienne x rep rezen tu ją ce w p e łn i stan ob iek tu . W nowej p rz e strz e n i fa zow ej X t r a je k t o r i e są już c i ą g ł e . Autor p rz y j­

muje przy tym bez u za sad n ien ia, że sterow anie typu "Bang-Bang"

je s t sterowaniem optymalnym również w przypadku rozpatrywanych obiektów. W pracy [2 ] rozpatrywany problem n ie z o s t a ł b l i ż e j sprecyzowany i je s t traktowany r a c z e j wzmiankowo.

Również w pracy [3] n ie sprecyzowano b l i ż e j problemu. J e j autor w ykorzystując te same zmienne x sta ra s i ę u za sa d n ić, że sterow anie typu "Bang-Bang" je s t d la rozpatrywanego przy­

padku sterowaniem optymalnym.W pracach [2 , 3] punkt początkowy x p t r a j e k t o r i i w p r z e str z e n i X n ie z o s t a ł wcale ok reślon y, natomiast przyjm uje s i ę , że punkt końcowy = 0 , co n ie je s t niczym uzasadnione.

P recyzyjn ie natom iast - s z c z e g ó ln ie w f a z i e końcowej s te r o ­ wania - z o s ta ł sprecyzowany problem w pracy [1] . Zasadnicza ró ż n ica w stosunku do prac [2 , 3] je s t taka, że au torzy pracy [ i ] sta w iają dodatkowe wymagania sygnałowi wyjściowemu y

obiektu . Żądają oni m ianow icie, aby sygnał y po c h w ili t^ - o s ią g n ię c ia przez n ie g o pożądanej w a rto ści końcowej y^ = 0 - pozostawał w dalszym cią gu bez zmiany ( c z y l i aby y = 0 d la

Pokazują o n i, że przy takim sformułowaniu problemu punkt końcowy t r a j e k t o r i i w p r z e s tr z e n i X je s t punktem nale­

żącym do pewnego z b ioru Gx .

Autorzy pracy [1] rozw ią zu ją poprawnie k ilk a przykładów*3^ , prowadząc rozważania pod kątem syntezy układów. Jednak n ie je s t poprawne w tórne, ogólne sformułowanie problemu w p r z e str z e n i X

(pa trz "Remark 7 .3 " s t r . 6 5 5 ),k tó re zdaniem autorów ma odpowia­

dać pierwotnemu sformułowaniu problemu, odnoszącemu s i ę do sygnału y . Punkt b) te g o wtórnego sformułowania mówi ż e :

"Dowolny stan początkowy w z b io rz e G powinien być (przez p o ­ szukiwane sterow anie) utrzymywany w dalszym ciągu w z b io r z e G".

Ma t o być zdaniem autorów równoważne utrzymywaniu syngału y na w a rto ści z e r o . Łatwo wykazać, że t a równoważność n ie zacho­

d z i . Można t o z r o b ić na p rzyk ła d zie rozpatrywanym w podrozdzia­

l e 2 .5 n i n i e j s z e j p ra cy. W tym przyk ła d zie d la dowolnego stanu początkowego w z b io r z e G = Z* można zn a leźć n ieskoń czen ie w ie le różnych sterowań s p e łn ia ją cy ch wymagania punktu b ) , a t y lk o jedno z n ic h je s t sterowaniem utrzymującym sygnał y na poziom ie z e r o .

Autorzy pracy [ i ] za k ła d a ją , że punkt początkowy je s t zu p ełn ie dowolnym punktem p rz e strz e n i X i n ie zatrzymują s ię w swoich rozważaniach nad wyznaczeniem te g o punktu.

W przypadku rozważanych obiektów , do pełnego o k reślen ia ic h stanu w dowolnej c h w ili czasu potrzebna je s t znajomość n ie ty lk o sygnału w yjściow ego y i je g o (n -1 ) pochodnych ( c z y l i n-wymiarowego wektora % ), a le również - znajomość sygnału s te ru ją ce g o w i je g o (m-1) - pochodnych ( c z y l i m-wymiarowe- go wektora . W rozpatrywanych zagadnieniach stawiane wymaga­

n ia dotyczą zazwyczaj wektora a n ie wektora w. Na przykład chcemy, a.by po c h w ili t^ b y ło % = ^ = 0 , przy czym je s t nam

x ) Jeden z Lematów, a m ianowicie Lemat 7.3 d otyczą cy teg o z b io ­ ru G je s t b łęd n y, o czym wspomina s i ę w jednym z odnośni­

ków n i n i e js z e j pracy.

Przykład 7.9 je s t błędn y, gdyż k orz ysta s i ę w nim z błędne­

go lematu 7 .3 .

4

wszystko jedno przy jakim "ustawieniu s te r u " w wektor ^ obiektu o sią g n ie w artość ^ = 0. Ponieważ wektor w je s t m-wymiarowy w ięc w wyborze stanu końcowego w p rz e strz e n i X mamy m -stopni swobody. Stąd wynika t o , że punkt końcowy t r a j e k t o r i i w p r z e str z e n i X je s t punktem należącym do m-wy- miarowego zb ioru G.

J e ż e li na początku sterow ania wektor ^ obiektu ma p r z y j­

mować w artość t o można r o z r ó ż n ić t u t a j dwa przypadki:

przypadek I - gdy początkowe "u staw ien ie s te r u " wQ je s t za­

danej

przypadek I I - gdy początkowe "ustaw ienie s te r u " wQ można sob ie wybrać. W związku z tym w n i n i e j s z e j pracy sformułowano dwa problemy. Problem I odpowiadający przypadkowi I prowadzi do zagadnienia sterow ania optymalnego w p r z e str z e n i X z punk­

tu x „ (stanu początkowego określonego przez parę ^ Q, wQ) do m-wymiarowego zb ioru punktów końcowych. Problem I I odpowiadają­

cy przypadkowi I I - prowadzi do zagadnienia sterow ania optymal­

nego z m-wymiarowego zb ioru punktów początkowych do m-wymiaro­

wego z b ioru punktów końcowych.

Oba t e problemy z o s t a ły sformułowane w r o z d z ia le I n i n i e j­

s z e j p ra cy, przy uw zględnieniu w łasn ości rozwiązań równania obiektu i związanej z tym n i e c i ą g ł o ś c i t r e j e k t o r i i w p rz e strz e ­ n i Y.

W r o z d z ia ła c h I I i I I I z o s t a ły udowodnione dwa tw ierd zen ia dotyczące odpowiednio sterow ania optymalnego w se n sie Proble­

mu I (r o z d z ia ł I I ) i w se n sie Problemu II (r o z d z ia ł III).

W r o z d z ia le IV ro z p a tru je s i ę dodatkowo przypadek, gdy ogra­

n ic z e n ia są nałożone n ie ty lk o na sygnał s te r u ją c y a le również na n ie k tó re w spółrzędne y ^ ob iek tu . W ro z d z ia ła ch I - IV roz­

p a tru je s i ę sterow anie dopuszczalne be^ące przedziałam i c ią g łą fu n k cją czasu i ograniczone od dołu i od góry.

R ozdział V d otyczy innych ograniczeń sygnału s te r u ją c e g o . Rozpatruje s i ę tu przypadek, gdy ograniczona je s t k -t a pochod­

na sygnału s te r u ją c e g o oraz przypadek tzw . złożon ych ograniczeń sygnału s te r u ją c e g o . W tym ostatnim przypadku ogra n iczen ia na­

łożone są zarówno na sam sygnał s te r u ją c y , jak i na pochodne teg o sygnału.

Problem syntezy optymalnego sterow ania je s t rozważany w roz­

d z ia le VI i t o zarówno d la przypadku, gdy ogran iczen ia dotyczą samego sygnału ste r u ją c e g o , jak i jego pochodnych.

Ś c iś le związany z postawionym w n in i e js z e j pracy Problemem I I je s t Problem przygotowania obiektu do optymalnego sterowa­

n ia , o którym mówi s i ę w p od rozd zia le 6 .3 . Jak t o s ię tam pod­

k re ś la Problem przygotowania obiektu do optymalnego sterowania d otyczy n ie ty lk o rozpatrywanych obiektów, l e c z ma aspekt b a r d z ie j ogóln y.

Chciałbym w tym m iejscu z ło ż y ć serdeczne podziękowanie Panu P ro f. dr Stefanowi Węgrzynowi, k tó ry z a c h ę c ił mnie do z a ję c ia s i ę tymi problemami oraz k tóreg o cenne uwagi i wskazówki w znacz­

n e j m ierze p rz y cz y n iły s i ę do u ś c iś le n ia zamieszczonych tu ta j rozważań.

Również tą drogą bardzo serd eczn ie d zięk u ję Panu P r o f. dr Czesławowi Olechowi za Jego cenne uwagi dotyczące pracy oraz za ży cz liw ość okazaną mi w dyskusjach.

\

6

1 . PODSTAWCWE POJĘCIA I PROBLEMY 1 .1« Równanie obiektu 1 dopuszczalne sterow anie

Będziemy s i ę zajmować sterowaniem obiektów lin iow y ch o jed­

nym w e jściu w (sygn ale sterującym - wymuszeniu) i jednym w yjściu y , d ających s i ę opisać za pomocą równania różn iczk o­

wego o p o s ta c i s

y (n) + ai y (n“ 1 )+ . . . + any -

(1.1)

g d zie

ms=n, ai , b j ( i «* 1 ,2 , . . . , n , j = n-m, n - m + 1 - ..., n)

s t a łe w sp ółczyn n ik i, ^n_ m * 0 lub - co je s t równoznaczne - za pomocą fu n k c ji p r z e jś c ia o p o s t a c i:

Y/_x b sm + b -s “ " 1 + . . . + b

i t s ) _ n—m_______ n—m-t-i________________n ( 1. 2) TT(s) s Y(s| _ n—m + °n -mv l s + «»«

K( B)

....

0 sygnale sterującym w (t) zakładamy, że je s t fu n k cją okre­

ś lo n ą , przedziałam i c ią g łą mającą w dowolnym, skończonym prze­

d z ia le czasu co najw yżej slcorczoną i l o ś ć punktów n i e c i ą g ł o ś c i pierw szego ro d z a ju . Innymi słowy zakładamy, że w punkcie n ie ­ c i ą g ł o ś c i t * t i s t n i e j ą lewo i prawostronne g r a n ic e :

y ^ ^ i — odpowiednio i - t a i j—t a pochodna fu n k c ji y a y ( t ) i w® w (t) podług czasu t .

w(t - ) a lim w (t) i w(‘T4') = lim w (t) (1*3)

t —'- T t —►T

t < 1 t > T

a ca łk a Riemana w ($)d$ traktowana jako fu n k cja zmiennej o

t je s t w punkcie t a T c ią g ła .

Zakładamy rów n ież, że pochodne w ^ ( t ) , j = 1 , 2 , . . . ,m -1, fu n k c ji w (t) mają w interesującym nas r o z d z ia le czasu skoń­

czoną i l o ś ć punktów n i e c i ą g ł o ś c i i n ie o k r e ś lo n o ś c i, w k tórych p osia d a ją one lewo w ^ ( T " ) i prawo: w ^ ( T +) - stronne g ra n ice .

Zakładamy je s z c z e , że w a rto ści fu n k c ji w (t) mogą m ieścić s i ę w p rz e d z ia le

oC < w (t) *£ £> , (1 .4 ) gd zie cC i (Ł dowolne dane, s ta łe w a r to ś c i.

W artości fu n k c ji w (t) w punktach n i e c i ą g ł o ś c i t a T n ie ma­

ją is to tn e g o znaczenia w d a lszych rozw ażaniach, d la ok reślon o- ś c i fu n k c ji w (t) przyjmiemy jednak, że w a rtości w(T) są rów­

ne lew ostron n ej g ra n icy , c z y l i w(T) a w (T ~), Sygnał w (t) sp eł­

n ia ją c y poczynione za łożen ia będziemy w dalszym ciągu nazywać dopuszczalnym sygnałem sterującym .

1 .2 . W łasności rozw iązania równania obiektu

Przy takim sygnale sterującym w (t) w ystępujące po prawej s tr o n ie równania (1 .1 ) k o le jn e pochodne w ^ ( t ) fu n k c ji w (t ) , rozumiane w zwykłym sensie» te ż są funkcjam i, k tó re są prze­

działam i c i ą g ł e , przy czym w punktach n i e c ią g ło ś c i fu n k c ji w (t) pochodne w ^ ( t ) są n ie o k re ś lo n e . Rozwiązanie równania

(1 .1 ) w p rze d zia ła ch gdzie prawa strona równania (1 .1 ) je s t fu n k cją c ią g łą - łatwo je s t z n a le ź ć. Dla jednoznacznego okre­

ś le n ia rozw iązania y ( t ) w pewnym dowolnym p rz e d z ia le czasu : t ’0 < t < t^ (1 .5 )

8

potrzebna je s t znajomość warunków początkowych w punktach na­

leżących do każdego z przedziałów c i ą g ł o ś c i prawej stron y rów­

nania (traktow anej jako fu n k c ji czasu t ) , skład ających s i ę na p rze d zia ł ( 1 .5 ) .

W dalszym ciągu w ystępujące w równaniu (1 .1 ) w ie lk o ś c i w ^ ( t ) i y ^ ( t ) , j = n-m, . . . , n , i = 1 ,2 , . . . , n będziemy rozu m ieli jako pochodne fu n k c ji w (t) i y ( t ) w se n sie dy­

strybucyjnym3^ . W ielk ości w ^ ( t ) i y ( t ) będą w ięc wła­

ściw ie dystrybu cjam i. Wprowadzimy t e ż następu jącą d e f i n i c j ę rozwiązania równania ( 1 . 1 ) :

Rozwiązanie y ( t ) równania (1 .1 ) je s t fu n k cją d la k t ó r e j dystrybucja otrzymana z wyrażenia s to ją c e g o po lew ej s tr o n ie tego równania je s t równa d y s tr y b u c ji w ystęp u jącej po prawej s tr o n ie te g o równania.

Pokażemy t e r a z , że tak zdefiniow ane rozw iązanie y ( t ) rów­

nania (1 .1 ) je s t jednoznacznie określone przez warunki począt­

kowe podane w dowolnym punkcie t 0 c i ą g ł o ś c i fu n k c ji w ektoro­

wej w (t) = (w (t) , w^1' ( t ) , . . . , w ^ M t ) ) ^ . J e ż e li oznaczymy p rzez:

A y( i ) ( t ) = y ( i ^(T+) - y ( i ) (T")

(₁.₈) Aw( 3 ) (T) = w( ^CT+) - w( 3 ) 0 f )

t o jak pokazano np. w [ 4 ,5 ] zdefiniow ane powyżej rozw iązanie y ( t ) s p e łn ia n astęp u jące z a le ż n o ś c i:

A y ^ (T') = ^’0Aw^i ^ (TJ+^Aw^1 -1 ^ (t)+ ...+ r 5 ’i Aw(‘T ), i = 1 , 2 , . . . , n , (1 .9 ) Patrz [6]

^^Punkt t je s t punktem c i ą g ł o ś c i fu n k c ji wektorowej w (t) j e ż e l i je s t on punktem c i ą g ł o ś c i w szystkich pochodnych

( t ) ( j= 0 , 1 , . . . , m-1) - składowych wektora w ( t ) .

Funkcję wektorową w (t) możemy otrzymać j e ż e l i znamy funk­

c j ę w ( t ) .

gd zie s ta łe w ie lk o ś c i <|,i określone są wzorem rekurencyjnym:

t i “ ^i “ ai t i - 1 " a2 ti_ 2 “ *•* “ ai to» o» i=1»2»«»»»n ( 1 . 10)

przy czym w równaniu (1 .1 ) w spółczyn niki bi f i = 0 , 1 , . . . , n-m -1, są równe zeru , a w ięc mamy:

b. = 0 i '■y. = 0 d la i = 0 , 1 , . . . , n-m -1.

(1.1 1) Wzory (1 .9 ) i (1 .1 0 ) pozw alają nam wyznaczyć warunki począt­

kowe y v i^(T+) , i = 0 , 1 , . . . , n - 1 , w następnym p rz e d z ia le c ią ­ g ł o ś c i pochodnej y ^ ( t ) , j e ż e l i je s t znana w artość y ^ ( T ~ )

(z poprzedniego p rzed zia łu c i ą g ł o ś c i y ^ ( t ) ) i j e ż e l i znane są w a rtości A w ^ ( T ) , j a 0 , . . . , m - 1 , (t e o sta tn ie w a rtości są znane, j e ż e l i znana je s t fu n kcja w (t) w p rz e d z ia le ( 1 . 5 ) ) . A zatem warunki początkowe y ^ ( t Q) , i = 0 , 1 , . . . , n - 1 , podane w punkcie t należącym do któregokolw iek p rzed zia łu c ią g ło ­

ś c i fu n k c ji wektorowej w (t) w sposób jednoznaczny wyznaczają rozw iązanie y ( t ) równania (1 .1 ) w całym p rz e d z ia le (1 .5 )

( j e ż e l i znany je s t p rzeb ieg w (t) w ( 1 . 5 ) ) .

Z wzorów ( 1 .9 ) , (1 .1 0 ) i (1 .1 1 ) w idać, że w przypadku gdy m sS n t o pochodne y ^ ( t ) d la i = 0 , 1 , . . . , n-m -1, są c ią g łe 1 ^,

a d op iero pochodne wyższego rzędu ( i = n - m ,. .. ,n ) mają punkty n i e c i ą g ł o ś c i , w k tóry ch t e pochodne mają w a rto ści n ie o k re ślo n e .

W n-wymiarowej p r z e str z e n i fazow ej Y o współrzędnych y , y , . . . , y , punkt odpowiadający rozw iązaniu równania (1 .1 )

(przy danej przedziałam i c i ą g ł e j fu n k c ji w (t )) o p isu je t r a ­ je k t o r ię fazow ą, k tó ra je s t l i n i ą również przedziałam i c ią g łą (poprzerywaną). Dla punktów t = - n i e c i ą g ł o ś c i fu n k c ji w (t) punkty t r a j e k t o r i i fazow ej n ie są ok reślon e. T ra je k to rie

x ^Gdyż = y ^ ( T +) , i = 0 , 1 , . . . , n-m -1, a w punkcie X fu n k c ji w (t) możemy przyją ć y ^ (‘O =

10

fazowe w p r z e s tr z e n i Y ok reślon e są przez z e s p ó ł w ie lk o ś c i y ( t ) , y ^ ( t ) , . . . , y^n -1 ^ ( t ) , d la te g o t e ż wektor y ( t ) « ( y ( t ) , y ^ ( t ) , . . . , y^n" 1^ ( t ) ) będziemy t u t a j nazywać rozwiązaniem równania ( 1 . 1 ) » Rozwiązaniu ¿ ( t ) odpowiada w p r z e s tr z e n i Y t r a je k to r ia fazow a, k tó rą będziemy nazywać t r a je k t o r ią j r ( t ) .

Powstaje bardzo is t o t n e p y ta n ie , czy przy rozpatrywanym dopuszczalnym sterow aniu w (t) p rze b ie g sygnału w yjściow ego obiektu opisanego równaniem ( 1 .1 ) je s t w praktyce zgodne ze zdefiniowanym powyżej rozwiązaniem y ( t ) równania ( 1 .1 ) ? Pytanie t o d o ty cz y przede wszystkim punktów t - w k tóry ch fu n kcja wektorowa w (t) je s t n i e c i ą g ł a . W ty ch punktach zde­

finiowane wyżej rozw iązan ie y ( t ) i je g o pochodne y ^ ( t ) mogą posiadać "sk o k i" A y ^ (T) 4 0 , ok reślon e wzorami ( 1 . 9 ) . Czy ta k ie w łaśn ie "sk o k i" w ystępują w sygnale wyjściowym obiek­

tu?

P rzesłan k i te o re ty cz n e pozw alające na postawione pytan ie dać odpowiedź tw ierd zą cą są n a s tę p u ją ce :

Weźmy pod uwagę c ią g fu n k c ji c ią g ły c h w ^ (t )f k = 1 , 2 , . . . (sp e łn ia ją c y c h o g ra n icz en ie (1 .4 ) i p osia d a ją cych c i ą g ł e po­

chodne do m -te j w łą czn ie) zb ieżn y w in teresu jącym nas prze­

d z ia le do sterow ania w (t )x ^. Oznaczmy przez y^Ct) i 2jj.(t) rozw iązanie równania (1 .1 ) przy sterow aniu n ^ (t) (z odpowied­

nim warunkiem początkowym £ 0)» Bez w iększych tru d n o ści można udowodnić, że rozw iązan ia Ą . ( t ) są zbieżn e do zdefiniow anego

powyżej rozw iązan ia ¿r(t) równania (1 .1 ) przy sterowaniu w (t) (z tym samym warunkiem początkowym J ^ ) . A zatem "sk o k i"

rozw iązania jr (t) są granicam i przyrostów rozwiązań ^ ( t ) w pewnych dow olnie małych p rze d zia ła ch zaw ierających punkty n i e c ią g ło ś c i fu n k c ji w ( t ) .

Ponieważ w praktycznym o b ie k c ie przy sterowaniu wk ( t ) sygnał w yjściow y b ę d z ie zgodny z rozwiązaniem ^ ( t ) , przy Mówiąc p r e c y z y jn ie j i sto su ją c te rm in o lo g ię jak w [6 s t r . 13] zakładamy, że c i ą g i w ^ i t ) , i = 0 , 1 , . . . , m , k « 1 , 2 , . . . są podstawowe. Ciąg , k = 1 , 2 , . . . , o k re śla dystrybu­

c j ę w ^ ( t ) ( i - t ą pochodną d ystrybu cyjn ą sygnału w ( t ) ) .

dowolnym k , a c ią g w ^(t) je s t zbieżn y do w ( t ) , w ięc przy sterowaniu w (t) sygnał w yjściow y obiektu powinien być zgodny z rozwiązaniem ^ ( t ) . Należy dodać, że zazwyczaj w praktyce n i e c i ą g ł o ś ć , c z y l i "skok" sygnału w (t) je s t realizow any po­

przez bardzo szybką, a le c ią g łą zmianę w ie lk o ś c i w i j e j po­

chodnych.

1 . 3 . Sformułowanie problemów

Weźmy pod uwagę dwa punkty p r z e str z e n i Y : £ 0 _ i_ ^ . Będzie­

my mówić, źe dopuszczalny sygnał s te r u ją c y w (t) sprowadza punkt w p r z e str z e n i fazow ej z p o ło ż e n ia w p ołożen ie ^ w c z a s ie T = t ^ - t p, j e ż e l i odpowiadające temu sygnałowi w (t) rozw iązanie j[( t ) równania (1 .1 ) z warunkiem początkowym

£ (t ~ ) = s p e łn ia również z a le ż n o ś ć : £ ( t * ) = ^ , przy czym

Z wzorów (1 .9 ) wynika, że w przypadku gdy t Q je s t punktem n i e c i ą g ł o ś c i fu n k c ji wektorowej w it ) 30^ t o warunki początkowe jr(t^ ) w p rz e d z ia le czasu t Q < t < t^ (d la rozw iązania jr (t)

d la k tóreg o £ ( t ” ) = £ 0) z a l eżą również od w a rtości w (t ~ ), c z y l i od końcowej gra n icz n e j w a rto ści sygnału s te ru ją ce g o z p rze d zia łu czasu t < t Q, przy d z ia ła n iu k tórego t o sygnału w (t) punkt w p r z e str z e n i Y zdążał do p o ło że n ia (¿r(t“ ) =

= ¿r0) . J e ż e li zatem mamy dane: fu n k cję w (t) d la t > t i wa­

runek początkowy £ ( t ” ) = £ 0 , a n ie znamy w a rtości w (t” ) t o n ie możemy zn a leźć rozw iązania y ( t ) równania (1 .1 ) w p rz e d z ia ­ l e czasu t > t 0, s p e łn ia ją c e g o warunek £ (t~ ) =

Y \ ^ i

'Warunki y 0( t “ ) a Z0 * = yi ozn a cza ją , źe tu ż przed ch w ilą t Q r o z p o c z ę c ia sterow ania - punkt w p rz e strz e n i Y zdąża do p o ło że n ia £ 0» a bezpośredn io po ch w ili t^ punkt p rz e strz e n i Y "o sią g a " p o ło że n ie ^ •

x x ^Punkt f je s t punktem n ie c i ą g ł o ś c i fu n k c ji wektorowej w (t)

~ (wektora) j e ż e l i je g t on punktem n i e c i ą g ł o ś c i chociażby je d n e j fu n k c ji w ^ ( t ) , i = 0 , 1 , . . . ,m -1, - składowej wek­

t o r a w (t ) .

Biorąc pod uwagą t o co powiedziano powyżej, problemy k tó­

rymi będziemy s ią zajmować w n i n i e j s z e j pracy można sform uło­

wać n a stę p u ją co : Problem I

W p r z e str z e n i fa zow ej Y dane są dwa punkty:

x „ s (y n» y j 1 ) , . . . , yjj *) j £ 1 ■ (y>i> o> »»»> o )» sany jest również wektor w (t~) = wn. Wśród dopuszczalnych sygnałów steru jących w ( t ) , t > t „ n a leży zn a leźć t a k i, k tóryby w mi­

nimalnym c z a s ie T = t ^ - t sprow adził punkt w p r z e str z e n i Y z p ołożen ia y Q w p o ło ż e n ie y^ i t o tak aby w p rz e d z ia le czasu t > t ^, punkt p o z o s ta ł w p ołożen iu y^ ( c z y l i aby y ( t ) =

=_Zl d la t > t Problem I I

Różni s ię od Problemu I t y lk o tym, że wektor ff(t ~ ) n ie je s t dany, l e c z n a le ż y go również z n a le ź ć . Sterowanie w (t) powinno być przy tym dopuszczalne d la t > t - 8 (g d zie S pewna dowolnie mała l i c z b a d o d a tn ia ).

Z równania, (1 .1 ) wynika, że r e l a c j a ¿ ( t ) = ^ c z y l i y ( t ) =

= y^ d la t > t^ je s t spełn ion a wtedy i ty lk o wtedy,gdy prawa strona równania (1 .1 ) je s t równa any>| d la t > t ^ .

J e ż e li w ięc wprowadzimy nowe zmienne y* = y-y^ i w* = w-w^,

a \

gdzie w^ = y ^ *' t o równanie (1 .1 ) d la ncwych zmiennych n

y* i w* p ozosta n ie bez zmiany. W m ie js ce warunku (1 .4 ) otrzymu­

jemy te ra z warunek:

oc*=oC- w>| w* < (2>- w^ = (i>* , (1 .1 2 ) k tóry je s t an a logiczn y ja.k (1 .4 ) (z innymi w artościam i oc i (?>) . Punktowi j . = ( y , , 0 . . . 0) w p r z e str z e n i Y odpowiada w p rz e strz e n i Y* (o w spółrzędnych y * , y * ' > . . . » y* “ ) punkt 2;* = (0 , 0 , . . . , 0 ).

=n—1———■—

Zakładamy przy tym, że bn 4 0.

A zatem n ie o g ra n icz a ją c o g ó ln o ści rozważań możemy p r z y ją ć, że w postawionych powyżej«problemach punkt ^ ma współrzędne równe zeru, c z y l i ^ = 0 je s t początkiem układu współ­

rzędnych) .

Sygnał s te r u ją c y w ( t ) , k tó ry n a leży zgodnie z Problemem I (lu b Problemem I I ) zn a leźć będziemy nazywać sterowaniem opty­

malnym, (dodając w r a z ie p otrz eb y : w sen sie Problemu I lub w se n sie Problemu I I ) natomiast t r a je k t o r ię £ ( t ) określoną

p rzez rozw iązanie równania ( 1 .1 ) , w którym w (t) = w (t) taką, że

¿ ( t ~ ) = - nazwiemy t r a je k t o r ią optymalną w p rz e strz e n i Y.

1 .4 . P rzestrzeń fazowa X

1 2 ii

Wprowadzimy obecnie nowe zmienne x , x , . . . , x (nowy układ w spółrzędnych) związane ze zmiennymi y ^ ' , i = 0 , 1 , . . . , n -1 ,

oraz w , j = 0 , 1 , . . . , m-1, rela cja m i [ i , 2, 3 ] :

( 1 )

xn-m _ y (n-m-1) xn-m+1 (n-m)

(1 .1 3 )

W ykorzystując związki (1 .1 3 ) można równanie (1 .1 ) w nowym ukła>- d z ie współrzędnych zapisać w p o sta ci następującego układu rów-

¿n-m-1 _ xn-m

. n -o , s n-m+1 + , {1 -1 4 )

r : : 1. v r r :

xn = - a nx 1 - a n_ lX2 —♦ . a^xn + <yn w .

W otrzymanym u k ła d zie równań różniczkowych (1*14) n ie występu­

ją Już pochodne w ie lk o ś c i w ( t ) . Porównując z a le ż n o ś c i (1 .9 ) i (1 .1 3 ) można d o jś ć do wniosku, źe przy dopuszczalnych sygna­

łach ste ru ją cy ch w (t) - rozpatrywanym poprzednio rozwiązaniom

¿r(t) równania. (1 .1 ) zw iązki (1 .1 3 ) podporządkowują c ią g łe roz­

wiązania x1 ( t ) , i = 1 , 2 , . . . , n , układu równań ( 1 .1 4 ) . W d a l­

szym ciągu będziemy w ięc rozpatrywać c ią g łe rozw iązan ia układu równań (1 .1 4 ) i będziemy je zapisyw ali w p o s ta c i wektora

. . . , xn ( t ) ) . A zatem w p rz e strz e n i X o , . . . , xn t r a je k t o r ie fazowe odpowiadają­

ce rozwiązaniom x ( t ) równań (1 .1 4 ) przy dowolnym dopu szczal­

nym sterowaniu w (t) - są lin ia m i cią gły m i1 ^.

W p rz e strz e n i X weźmy te r a z pod uwagę dwa punkty x Q i x,j. Dla z n a le z ie n ia sterow ania optymalnego w ( t ) , t Q< t < t ^ , pozw alającego w minimalnym c z a s ie T = t^ - t sprcw adzić

Łatwo zauważyć że współrzędne x 1 , x2 , . . . xn w p e łn i określa­

ją stan o b iek tu , zatem p rzestrzeń X je s t p rz e strz e n ią sta­

nu ob iek tu . Również d la obiektu opisanego nieliniow ym równa­

niem różniczkowym o p o s ta c i

y (n) ♦ a, s > - r ' + . . . f am_ 1 y<I' - +1 > + i ( y (” - ° > , . ,y ) -

" bn-m + *** + bn-1 +

gd zie f i g dane c ią g łe ftm k cje - wzory (1 .1 3 ) na współ­

rzędne stanu x obiektu p o z o sta ją nadal ważne.

x ( t ) = (x 1 ( t ) , x 2 ( t ) . współrzędnych x 1 , x

punkt w p rz e strz e n i X z p o ło ż e n ia x Q w p ołożen ie

(w przypadku gdy ruch punktu opisany je s t układem równań (1 .1 4 )) można jak wiadomo stosować zasadą maksimum P on triagin a [7 s t r . 1 3 3 -1 3 6 ]. Z zastosow ania t e j zasady wynika m ianow icie, źe opty­

malne sterow anie ma w tym przypadku postać fu n k c ji p rzed zia ła ­ mi s t a ł e j , k tó ra w p rze d zia ła ch c ią g ło ś c i przyjm uje na prze­

mian s t a łe w a rtości oC i |?> . W interesu jącym nas odcinku czasu t Q < t < t^ fu n k cja w (t) posiada skończoną i l o ś ć punktów n i e c i ą g ł o ś c i pierwszego rodzaju (in a c z e j tzw . punktów p rze łą ­ czeń) .

Wprowadzając m-wymiarową p rzestrzeń W o współrzędnych w, w ^ , . . . , w^m""^ możemy r e l a c je (1 .1 3 ) interpretow ać jako re­

l a c j e , k tóre przyporządkowują dowolnej parze punktów ^ i w w ziątych z p rz e strz e n i Y i W - odpowiedni, jedyny punkt x

p r z e s tr z e n i X. Bądziemy w dalszym ciągu mówić, że punkt x odpowiada zgodnie z (1 .1 3 ) parze punktów ^ i w. Łatwo można zauważyć, że również parze punktów x i w w ziątych odpowied­

n io z p rz e strz e n i X i W odpowiada zgodnie z (1 .1 3 ) jedyny punkt ¿r w p rz e strz e n i Y*^.

J e ż e li w r e la c ja c h (1 .1 3 ) w ystępują określone fu n k cje cza­

su — odpowiednio rozw iązanie x ( t ) układu równań ( 1 .1 4 ), roz­

w iązanie ^ ( t ) równania (1 .1 ) i fu n k cja wektorowa w (t) odpo­

w iadająca sygnałowi sterującemu w (t) oraz j e ż e l i r e l a c je te są spełn ion e w pewnym p rz e d z ia le cza su , wtedy w tym przedzia­

l e czasu r e l a c je (1 .1 3 ) przyporządkowują np. określonemu roz­

wiązaniu £ ( t ) równania (1 .1 ) i ok re ślo n e j fu n k c ji wektorowej w (t) — odpowiednie jedyne rozw iązanie układu równań (1 .1 4 ).

W tym przypadku bądziemy w dalszym ciągu mówić, że w ok reślo­

nym p rz e d z ia le czasu rozw iązanie x ( t ) (lu b t r a je k t o r ia £ ( t ) ) odpowiada zgodnie z (1 .1 3 ) określonemu rozw iązaniu ( t ) (lub t r a j e k t o r i i ^ ( t ) ) i fu n k c ji w ( t ) . Na przykład t r a j e k t o r i i

F5 ' Również parze punktów x i !--- y w ziątych odpowiednio z prze­

s tr z e n i X i Y (a le tylE o ta k ich punktów, k tó re mają n-m - pierwszych w spółrzędnych odpowiednio sob ie równych) odpo­

wiada zgodnie z (1 .1 3 ) jedyny punkt p rz e strz e n i W. Wynika t o z r e l a c j i (1 .1 3 ) i z udowodnionej w dalszym ciągu r e l a c j i

(

.

).

16

optymalnej v ( t ) w p r z e s tr z e n i Y i sterowaniu optymalnemu w(t) odpowiada zgodnie z (1 .1 3 ) w p rz e strz e n i X t r a je k t o r ia x ( t ) , k tó rą będziemy nazywać t r a je k t o r ią optymalną w p rze strze ­ ni X. Bezpośrednio ze związków (1 .1 3 ) w idać, że przy danym sterowaniu w (t) a w ięc i w (t) zw iązki (1 .1 3 ) przyporządko­

wują w sposób wzajemnie jednoznaczny każdej t r a j e k t o r i i w p rz e strz e n i Y odpowiednią t r a je k t o r i ę x (t) w p r z e s t r z e - ni X.

2 . ROZWIĄZANIE PROBLEMU I

2 .1 . Punkt początkowy t r a j e k t o r i i w p rz e strz e n i X

Oznaczmy przez x punkt w p rz e strz e n i X odpowiadający zgodnie z (1 .1 3 ) danym w Problemie I punktom ¿r i wQ. J e ż e li przy dowolnym dopuszczalnym sterowaniu w ( t ) , d la k tóreg o w (t“ ) »

= w , weźmiemy pod uwagą rozw iązanie ^ ( t ) równania ( 1 .1 ) , d la k tóreg o ¡£(t“ ) = £ 0, wtedy rozw iązanie x ( t ) odpowiadające zgodnie z (1 .1 3 ) rozw iązaniu ¿ ( t ) i fu n k c ji w (t) s p e łn ia r e l a c ją x (t~ ) = x Q. Ze wzglądu na c ią g ło ś ć rozwiązań x ( t )

( t r a j e k t o r i i x ( t ) w p rz e strz e n i X) mamy: x ( t “ ) = x ( t * ) =

= x ( t 0) , a wiąc punkt x Q je s t punktem przez k tó ry przechodzi t r a je k t o r ia x ( t ) w c h w ili t ( c z y l i 2,( t 0) = £ 0) .

Udowodniliśmy wiąc n a stęp u ją cy:

lemat 2.1

N iechaj w (t) b ęd zie dowolnym dopuszczalnym sterowaniem, z zadanym wektorem w (t~) = we , a x (t) - t r a je k t o r ią w prze­

s tr z e n i X, k tó ra odpowiada zgodnie z (1 .1 3 ) rozwiązaniu y ( t ) równania ( 1 .1 ) , d la k tóreg o z ( t ~ ) = Z0 i fu n k c ji w_(t) okre­

ś lo n e j przez sterow anie w ( t ) .

T ra je k to ria x ( t ) przechodzi w c h w ili t przez punkt

= Ł0) odpowiadający zgodnie z (1 .1 3 ) parze punktów

£o 1 —o*

Należy p o d k r e ś lić , że punkt x 0 je s t jednoznacznie ok reślo­

ny t y lk o wtedy gdy dany wektor w (t“ ) = wQ.

2 .2 . Sterowanie w (t) d la t > t^

Weźmy te ra z pod uwagą t e spośród dopuszczalnych sygnałów ste ru ją cy ch w ( t ) , określonych w p rz e d z ia le czasu t > t ^ , d la k tórych i s t n i e j e rozw iązanie ^ ( t ) równania (1 .1 ) t a k ie , że 18

£ ( t ) ■ n O d la t > . (2.1) Bezpośrednio z -warunku (2 .1 ) i równania (1 .1 ) wynika, że s te ­ rowanie w (t) w p rz e d z ia le czasu t > t^ musi być wybrane wśród dopuszczalnych sterowań s p e łn ia ją c y c h równanie:

. V m w(S) + Vm +1 " (n" 1)+ ••• + bn w = °* (2a2) Oznaczmy przez 2^ z b ió r ta k ich punktów w^ w przestrzeni W, k tó r e w zię to jako warunki początkowe rozwiązań w (t) równa­

n ia (2 .2 ) w c h w ili t ^ (w (t^ ) g w (t| ) a w^) 3^ gwarantują nam~

t o , że t e rozw iązan ia s p e łn ia ją d la t > t ,, ogra n iczen ia na­

rzucone na sterow anie dopu szczaln e.

Problem wyznaczania zb ioru je s t osobnym zagadnieniem.

Dla każdego konkretnego przykładu można w za sa d zie wyznaczyć ta k i z b ió r , przy czym o cz y w iście ze wzrostem rządu równania

(2 .2 ) rosną znacznie tru d n o ści o b licz e n io w e . Przykład zbioru Z+ w przypadku gdy równanie (2 .2 ) je s t drugiego rzędu, a p ie r - w ia stk i odpowiadającego mu równania ch arakterystyczn ego są ze­W

spolone (o c z ę ś c ia c h rzeczyw isty ch ujemnych) je s t p rzed sta w io­

ny na r y s .1 .

Rys. 1

Rozwiązania równania (2 .2 ) są ciągłym i funkcjam i czasu .

Granica g zb ioru Z^ w tym przypadku składa s i ę z odcinków t r a j e k t o r i i fazowych 1 i 2 - stycznych do prostych w = cC i w » (i i odcinków 3 i b le żą cy ch na ty ch p rosty ch . Na rysunku

drugiego rzędu , a odpowiadające mu równanie charakterystyczne posiada p ie rw ia s tk i s^ i s2 - rz e c z y w is te , przy czym s^ > 0, Sg < 0 . Z b iór Z^ składa s i ę z punktów tworzących odcinek l e ­ żący na p r o s t e j w = SgW i w obszarze oC < w < {b .

Łatwo zauważyć, że w przypadku gdy w szystk ie p ie rw ia stk i równania charakterystycznego

t y lk o jeden punkt w^ = 0 .

Można również zauważyć, że j e ż e l i w szystk ie p ie rw ia stk i rów­

nania (2 .3 ) są różne od sera i w ie lk o ś c i oC i [J> są teg o same­

go znaku - wtedy z b ió r Z^ n ie i s t n i e j e ( j e s t p u s ty ). W tym przypadku rozpatrywany przez nas problem n ie ma rozw iązania, 2 pokazano z b ió r Z^ d la przypadku gdy równanie (2 .2 ) je s t

w=s2w ^{W = 5, W}

Rys. 2

b s,m-1

+ . . . + b^ = 0 (2 .3 ) mają c z ę ś c i rze czy w iste d od a tn ie, wtedy z b ió r Z* zawiera. ... ... ■ ■ . i —. i, ■■ i i yy. -— ..i. ..

20

gdyż wśród ste re ń dopuszczalnych w (t) n ie i s t n i e j e ta k ie przy którym ¿ ( t ) “ 0 d^a t > t^*

Hależy p o d k r e ś lić , że z b ió r je s t zawsze zbiorem dom­

kniętym (np. na r y s . 1a punkty le ż ą c e na gra n icy g zbioru Z^ n a leżą do t e g o z b io r u ).

Bezpośrednio z o k re śle n ia zb ioru Zj£ wynika, że punkt t r a ­ je k t o r i i fazow ej w p r z e s tr z e n i Y, przy dopuszczalnym s t e r o ­ waniu w (t) może pozostawać w p r z e d z ia le czasu t > t^ w p o ­

łożen iu ^ = 0 (t z n . ¿ ( t ) * C d la t > t ^ ) t y lk o w tedy, gdy to sterow anie w (t) d la t > je s t rozwiązaniem równania

(2 .2 ) z warunkami początkowymi w it^) € Z^.

2 .3 . Z b iór punktów końcowych t r a j e k t o r i i w p r z e s tr z e n i X Rozpatrzmy t e r a z z b ió r Z* ta k ich punktów w p rze strze ­ ni X, k tó r e odpowiadają zgodnie z (1 .1 3 ) wszystkim parom

punktów o p o s ta c i = 0 i w^ e Zj^» A zatem współrzędne punktów z b ioru z£ możemy wyznaczyć ze wzorów:

x*~m - 0

* r ,+1 - - f « . *1 ( 2 - 1»

*1 - - tn -1 W1 " 1n -2 " i 1’ ---t « . >

w k tóry ch w ie lk o ś c i w^, . . . » w j m“ "'^ są współrzędnymi k o le jn o w szystk ich punktów w,, zb io ru Z^ • nw ostatnich wzorów

(2 .4 ) o k re śla p rz e k s z ta łce n ie wzajemnie jednoznaczne prze­

s tr z e n i W na m-wymiarową podprzestrzeń X (p r z e s tr z e n i X) o w spółrzędnych xn~m+”' » , . . . , X11.

P rzek sz ta łcen ie t o można bowiem zapisać w p o s t a c i:

gd zie

m

£ 1 = ” E Si ,

2-1 (w ' 1* w ^1 ***** 1 J

® /n -m + 2 n-m+2 - j v

—1 = ' 1 * ^ > • • •» * i )

(2 .5 )

Tn-m » O . . . , 0

tn-m+1» 0

tn-1» tn-2» *•*» tn-m m

Przez oznaczono tu m-wymiarowy w ektor, którego składowe są odpowiednio równe m-ostatnim składowym wektora Ze związków (2 .4 ) wynika, że j e ż e l i punkt ^ e ^ t o (n-m) pierwszych składowych wektora je s t równe z e r o . A zatem

j e ż e l i e Z t o te składowe wektora , k tóre n ie wchodzą w zestaw składowych wektora są równe z e r o .

Podobnie jak Z^ również z b ió r Z* je s t zbiorem domknię­

tym (porównaj [1] Lemat 7 .2 ) . J e ż e li w szystkie p ierw ia stk i równania (2 .3 ) mają c z ę ś c i rzeczyw iste dodatnie wtedy z b ió r Z* zawiera ty lk o jeden punkt = 0X^.

Łatwo zauważyć, ż e ;

det r = f = bmn-m * 0 (₂.₆) gdyż zgodnie z założeniem bn-m * 0.

Lemat 7.3 pracy [1] mówiący ż e : " j e ż e l i jeden dowolny p ie r ­ w iastek je s t dodatni lub posiada cz ę ść rzeczyw istą doaatnią, wtedy z b ió r Z^T zawiera t y lk o jeden punkt

- 1 0" je s t o czyw iście nieprawdziwy, a jeg o dowód je s t błędny (patrz przykład z rysunku 2 b ).

22

A zatem każdemu punktowi zb ioru odpowiada jedyny punkt zb ioru i na odwrót.

Sformułujemy te r a z n a stęp u ją cy : Lemat 2.2

Dla dowolnego, dopuszczalnego sterow ania w ( t ) , przy którym i s t n i e j e rozw iązanie y ( t ) równania ( 1 .1 ) t s p e łn ia ją c e r e la ­ c j ę y ( t ) = = 0« d la t > t ^, t r a je k t o r ia fazowa x ( t ) w p r z e str z e n i X, odpowiadająca zgodnie z (1 .1 3 ) temu rozw ią­

zaniu ^ ( t ) i fu n k c ji w( t ) p rzech od zi w c h w ili t « t ^ przez jeden z punktów zbioru Z*, c z y l i ) € Z^.

Dla udowodnienia lematu 2 .2 przypomnijmy s o b ie , źe je ż e l i i s t n i e j e rozw iązanie £ ( t ) równania (1 .1 ) t a k ie , źe ¿ ( t ) = s ^ s 0 d la t > t ^ , t o sterow anie dopuszczalne w ( t ) , d la t > t ^ , musi być rozwiązaniem równania (2 .2 ) z warunkami po­

czątkowymi w (t*) = w^ € Z^. Współrzędne panktu t r a j e k t o r i i x ( t ) (o k t ó r e j mowa w Lemacie 2 .2 ) w " c h w ili" t * , c z y l i składowe wektora x ( t * ) można o b lic z y ć ze wzorów ( 1 .1 3 ) , z któ­

rych przy £ (t | ) = 0 i w(t|) = S-i 6 ^ otrzymujemy wzory ( 2 .4 ) . Mamy w ięc x ( t * ) e Z^ co wynika z o k re śle n ia zbioru z£. Ponieważ t r a je k t o r ie w p r z e str z e n i X są c i ą g ł e , więc mamy x ( t f i «= x ( t " ) = x ( t 1) i x (t ,j) e Z^.

Z Lematu 2 .2 wynika, źe d la poszukiwanego przez nas s te r o ­ wania w (t) punkt końcowy x * , przez k tó r y przech odzi tr a je k ­ t o r i a fazowa x ( t ) w p r z e str z e n i X w c h w ili t ^ (x (t ^ ) « x^)

je s t jednym z punktów zb ioru Z^, c z y l i x^ e Z*.

2 .4 . Sterowanie optymalne w se n sie Problemu I

Załóżmy t e r a z , że w c h w ili t^ t r a je k t o r ia w p rz e strz e n i X p rzech odzi przez punkt x^ = (0 , . . . , 0, x^‘*m+! . . . . . . . * ? > , przy czym x^ e z£. Punktowi x^ 6 7^ odpowiada w z b io rz e jedyny punkt , k tó r y możemy wyznaczyć k o ­ r z y s ta ją c z wzajemnej jedn ozn aczn ości p rz e k s z ta łce n ia ( 2 .5 ) . Mamy więo

W>j a — I ^ X<j 5 (2 .7 )

gd zie

“ _ f^n-m+1 n-m+2 n,

> 1 i • • • f ) .

Możemy te r a z sformułować n a stęp u ją cy:

Lemat 2,3

Załóżmy, źe t r a je k t o r ia fazowa x ( t ) w p rze strze n i X przech odzi w c h w ili t ^ przez punkt € Z^ (x ( t ^ ) g a sterow anie w (t) w p rz e d z ia le czasu t > t ^, je s t rozw iąza­

niem równania (2 ,2 ) z warunkami początkowymi w (t*) = w^, wy­

gnać z onymi z r e a l c j i ( 2 . 7 ) , Wtedy i t y lk o wtedy t r a je k t o r ia fazowa jr( t ) w p rz e strz e n i Y, odpowiadająca zgodnie z (1 .1 3 ) t r a j e k t o r i i x ( t ) i fu n k c ji w( t ) pokrywa s i ę w p rze d zia le czasu t > t ^ z punktem ■= 0 ( c z y l i ty ( t ) a y^ a 0 d la t > t ^ ), a s t e r cwanie w ( t ) , d la t > t ^, je s t sterowaniem dopuszczalnym.

Dowód Lematu 2.3

Z z a ło ż e n ia , źe sterow anie w ( t ) , d la t > t ^ , je s t rozw iąza­

niem równania (2 ,2 ) wynika, że w p rz e d z ia le czasu t > t^ n ich punktu w p rz e strz e n i Y opisany je s t za pomocą równania róż­

niczkowego o p o s t a c i:

y ^ + a1 y^n_1 ^ + . . . + a n y = 0. (2.8)

T ra je k to rie fazowe w p rze strze n i Y d la t > t^ są ok reślo­

ne przez rozw iązania równania różniczkowego ( 2 .8 ) , a ic h prze­

b ie g z a le ż y od warunków początkowych £ ( t | ) . Z z a ło ż e n ia mamy również x (t^ ) = e Z^, a ponieważ t r a je k t o r ie w p rze strze n i X są c ią g łe w ięc x (t| ) = x ( t ,,) = x^ =(0, . . . , 0, x“ ” m+1, x^-m+2, , , , , x ^ ), Zgodnie z założeniem je s t również w (t*) = w^,

przy czym w ie lk o ś c i i ^ = (x!jl" IIl+’' , x“ " m+2, , , , , x^) po­

wiązane są ze sobą r e l a c ją ( 2 .7 ) , A zatem składowe wektorów x^ i w* powiązane są pomiędzy sobą zależnościam i ( 2 ,4 ) , Punkt ¿ (t ^ ) t r a j e k t o r i i ¿ ( t ) , o k t ó r e j mowa w Lemacie 2,3 odpowiada zgodnie z (1 .1 3 ) parze punktów z (t ^ ) = x^ i 24

(

w (tj) = , u w zględniając w ięc (2 .4 ) otrzymujemy J^ t*) *> 0 . Rozwiązanie równania ( 2 . 8 ) , w p rz e d z ia le czasu t > t ^ z wa­

runkami początkowymi £(■£*) =» 0 , ma postać y ( t ) = 0 , a w ięc również ^ ( t ) = ^ = 0 , d la t > t ^ . Ponieważ € Z a

przek szta łcen ie (2 .7 ) je s t przekształcen iem wzajemnie jedno­

znacznym punktów zb ioru na punkty zbioru 2^, w ięc mamy w(t|) s ^ £ z£. Zgodnie z określeniem zb ioru rozwiąza*-

nie w (t) równania (2 .2 ) (d la t > t^ ) z warunkami początko­

wymi w (t*) = w., s p e łn ia warunek ( 1 . 4 ) , a w ięc sterow anie w (t) , d la t > t ^ , je s t sterowaniem dopuszczalnym.

Odwrotnie j e ż e l i ^ ( t ) = 0 , d la t > t ^ , a sterow anie w (t) je st d opu szczaln e, t o łatwo wykazać, że w (t) je s t rozw iąza­

nie® równania (2 .2 ) z warunkami początkowymi sp ełn ia ją cym i zależność ( 2 . 7 ) , w k t ó r e j je s t punktem przez k tó r y prze­

chodzi t r a je k t o r i a x ( t ) w c h w ili t<j.

Bezpośrednio z Lematów 2.1 i 2 .3 wynika n a stę p u ją cy : Wniosek I

Załóżmy, że punkt x p odpowiadający zgodnie z (1 .1 3 ) pa­

rze punktów y p i g(~fc~) g g.0 « n a le ż y do zb ioru Z^ (x Q e Z^ ) . Oznaczmy przez w (t) sterow an ie, k tó r e w p rz e d z ia le czasu t > t Q je s t rozwiązaniem równania (2 .2 ) z warunkami p o czą tk o - wymi w (-ftp) a = - T “ '1 x Q.

Przy sterow aniu w (t) rozw iązanie y ( t ) równania ( 1 .1 ) , dla k tóreg o £ (t* ) = £ 0, s p e łn ia r e l a c j ę £ ( t ) g ^ a 0 , d la t > t Q. Jfest w ięc t .^ = t p 1 punkt w p r z e s tr z e n i Y można za pomocą ta k ie g o sterow ania w (t) (k tóre je s t dopuszczalne d la t > t n) sprowadzić z p o ło ż e n ia w p o ło ż e n ie y^ = 0 w c z a s ie T = t ^ - t p = 0 .

Z biór Z^ moźeuy w ięc te r a z in terpretow ać jako z b ió r punk­

tów, w p r z e str z e n i X, k tó r e odpowiadają zgodnie z (1 .1 3 ) wszystkim parom punktów o p o s t a c i w (t~) = wQ i £ 0, przy czym punkt £ 0 je s t t u t a j dowolnym punktem p r z e s tr z e n i Y z p o ło że n ia k tóreg o można (za pomocą pewnego dopuszczalnego sterowania w ( t ) , z zadanym wektorem w (t” ) = w Q) , sprowadzić

punkt w p r z e str z e n i Y w p o ło ż e n ie = 0 , w c z a s ie T a a t^ - t fl » 0 i t o ta k , źe ¿ ( t ) = =0 d la t > t 0*

A zatem w przypadku gdy x Q e Z^, t o sterow anie w (t) o którym mowa we Wniosku I je s t poszukiwanym w Problemie I s te ­ rowaniem optymalnym»

J e ż e li punkt x Q n ie n a leży do zb ioru 2^ c z y l i x Q £ Z*

wtedy musi być t^ > t Q. R zeczyw iście rozw iązania x ( t ) układu równań (1 .1 4 ) są c ią g łe i jednoznaczne3^ . Ponieważ x Q 0 z£t wiąo x Q d la dowolnego x^ 6 z£.

Z Lematów 2 .1 i 2 .2 wynika, źe x ( t Q) = x Q i z ( t ^ ) = x^ , gd zie x^ e Z+, zatem x ( t Q) ł ^ ( t ^ ) , a w ięc t Q # t ^ .

B iorąc pod uwagę z a ło ż e n ie t^ 3* t Q otrzymujemy w ięc t^ > t Q.

Oznaczmy przez w (t) sterow anie optymalne, w p rz e d z ia le czasu t Q < t < t ^ , k tó re sprowadza nam punkt w p rz e strz e n i X z p o ło że n ia początkowego x Q do p o ło ż e n ia dowolnego punktu

—1 e ^x w m*nimalnym c z a s ie T = t^ - t 0.

T r a je k to r ia w p r z e str z e n i X przy sterowaniu optymalnym w ( t ) , t Q< t < t 1 , przechodząca przez punkt x Q w ch w ili t Q,

przech odzi również w c h w ili t^ przez punkt, k tó r y oznaczymy przez X1 oczy w iście x^ £ Z*. Innymi słowy w przypadku gdy w (t) = w ( t ) , t 0 < t < t , j , a x ( t ) je s t rozwiązaniem układu rów­

nań (1 .1 4 ) z warunkiem początkowym x ( t D) = x G, t o x(t^)*s x^.

Zatem je s t tym wybranym punktem zb ioru Zj£, do p oło że n ia k tó re g o można w najkrótszym c z a s ie sprowadzić punkt w prze­

s tr z e n i X z p o ło ż e n ia x Q (za pomocą dopuszczalnego s te r o ­ w a n ia ). Zarówno w (t) jek i można otrzymać z rozwiąza­

n ia problemu sterowania czasowo-optymalnego w p rz e strz e n i X z zadanego punktu początkowego x o do zb ioru Z* punktów koiicowych. Pewną pomoc przy wyborze wśród punktów zb ioru z£

punktu d a je odpowisdnie zastosow anie warunków transw er-

x ^C iągłe t z n . x ( t ” ) = x ( t +) = x ( t ) d la dowolnej ch w ili czasu t f jednoznaczne tz n * , źe x ( t ) ok re śla w p rz e strz e n i X jedyny punkt d la dowolnej c h w ili czasu t , c z y l i j e ż e l i x ( t ’) + x ( t ” ) t o t’ * t ” .

26

saln ości3^ . J e ż e li znamy współrzędne punktu ^ e na przy­

kład i 1 = ( 0 , . . . , 0 , x^” m+1, S“ " m+2, . . . , x ^ ), t o k o r z y s ta ją c z wzajemnej jedn ozn aczn ości p r z e k s z ta łc e n ia (2 .5 ) możemy wy­

znaczyć odpowiadający punktowi punkt w* e z£ , Tak w ięc mamy i -

w; = - r - 1 I , (2 .9 ) gdzie

2 /-n-m+1 -n-ra+2 -n-,

ZS f f • • • f / •

Oznaczamy te r a z p rzez w * (t) sterow anie w p rz e d z ia le czasu t > t 1t będące rozwiązaniem równania różniczkow ego (2 .2 ) z wa­

runkami początkowymi w *(t*) = w!J.

W dalszym cią gu udowodnimy następujące.:

T w i e r d z e n i e I

Oznaczmy przez w ( t ) , t > t Q, sterow anie optymalne w se n sie Problemu I , k tó r e w minimalnym c z a s ie T = t ^- t n sprowadza punkt w p r z e s tr z e n i Y z p o ło ż e n ia y 0 w p o ło ż e n ie ^ = 0, przy czym punkt d la t > t ^ p o z o s ta je w p ołożen iu (t z n .

%(t) a ^ = 0 d la t > t ^ ) .

Sterowanie w ( t ) , t > t 0, je s t fu n k cją k tó r a :

1) w p rz e d z ia le czasu t < t ^ t^ pokrywa s i ę z fu n k cją w(t) przedziałam i s t a ł ą , w ynikającą z rozw iązania zagadnienia sterowania czasowo-optym alnego z zadanego punktu x n flo z b io - ru Z+t

2) w p rz e d z ia le czasu t > t ^ * pokrywa s i ę z fu n k cją w ( t ) , będącą rozwiązaniem równania różniczkow ego (2 .2 ) z warunkami początkowymi w ( t p = w^ = - F " .

Punkt x Q je s t wyznaczony przez dane w Problem ie I : w^

i ___ y Q. Punkt e Z* i chw ila t^ wynikają również z r o z -

Patrz [7 ] s t r . 59 i p o d ro z d z ia ł 3 .3 n i n i e j s z e j pracy.

w iązania zagadnienia sterow ania czas owo-optymalnego z punktu

i q do zb ioru Z^ • Dowód Twierdzenia I

Z Lematów 2.1 i 2.2 wynika, że j e ż e l i sterow anie w ( t ) , t > t 0, 3est dopuszczalne i posiada zadany wektor w (t~ ), przy czym sprowadza punkt w p r z e s tr z e n i Y z p o ło ż e n ia w po­

ło ż e n ie ^ = 0 i t o ta k , że ¿ ( t ) = ^ = 0 d la t > t 1f t c t r a je k t o r ia x ( t ) w p r z e str z e n i X odpowiadająca zgodnie z (1 .1 3 ) rozw iązaniu y ( t ) (¿ (t ~ ) = £ ) i fu n k c ji w (t) prze­

ch odzi przez punkt x Q i ^ e Z^, c z y l i z ( t Q) = x Q i x (t ^ ) =

= e Z t . Zgodnie z określeniem sterow anie w ( t ) , t Q < t < t ^ , sprowadza punkt w p r z e str z e n i X z p o ło ż e n ia x Q w p o ło że n ie

e z£ w minimalnym c z a s ie T = t^ - t , a w ięc przy w (t) =

= w ( t ) , t 0 < t < t 1 je s t x ( t 0) = x Q, ^ (t ,,) = Xl e z£ i T “ Tmin* Jak już wspominaliśmy z zasady maksimum P on triagin a wynika, że sterow anie optymalne w ( t ) , t Q < t < t^ je s t funk­

c ją przedziałam i s t a ł ą , przyjm ującą w p oszczególn ych prze­

d z ia ła c h ty lk o w a rto ści cC i |Ł .

Z t e g o , że z ( t ^ ) = x ^ 6 z£ oraz z Lematu 2 .3 wynika, że d la sterow ania w * ( t ) , t > t^ (k tó re je s t dopuszczalne) punkt w p r z e str z e n i Y p o z o s ta je w p ołożen iu ^ = 0 , d la t > t , j , c z y l i ^ ( t ) =2-| a d la t > t ^ (g d z ie ¿ ( t ) je s t rozw ią­

zaniem, d la k tó re g o ¿ ( t ~ ) = ^ ) .

Sterowanie w (t) pokrywające s i ę z fu n k cją w ( t ) , d la t 0 < t < t ,| i z fu n k cją w * (t ) , d la t > t ^ , je s t sterowaniem dopuszczalnym d la t > t 0. R zeczyw iście w p rzed zia ła ch t Q< t < t ^ i t > t ^ odpowiednie sterow ania w (t) i w * (tj są dopuszczal­

n e, a w punkcie t ^ , k tó r y może byó punktem n ie c i ą g ł o ś c i funk­

c j i w (t) i s t n i e j ą w a rto ści w (t” ) = w(t1p i w (t^) = w * (t * ).

Zatem sterow anie w ( t ) , t > t Q je s t sterowaniem dopuszczalnym, k tó re (przy zadanym wektorze w (t ~ )) sprowadza punkt w prze­

s tr z e n i Y z p o ło ż e n ia ^ w p o ło ż e n ie £| = 0 , przy czym

£ ( t ) = = 0 , d la t > t ,| .

x 'Przypominamy, że ch w ila t je s t dana lub można ją s o b ie p r z y ją ć d ow oln ie.

28

Pokażemy t e r a z , że czas T = t 1- t Q = Tmin» w ystępujący przy sterowaniu w (t) je s t n a jm n iejszy, ja k i da s i ę osią gn ą ć, za pomocą dopuszczalnego sterow ania w ( t ) . W tym c e lu załóżmy, że is t n ie je różne od w (t) sterow anie dopuszczalne w’( t ) d la k tó­

rego czas T’ = tl, - t Q je s t m niejszy n iż Tmin (Tmin występu­

je przy sterowaniu w ( t ) ) . Z Lematów 2.1 i 2.2 wynika, że d la sterowania w’( t ) odpowiednie rozw iązanie x’( t ) układu równań (1.14) sp e łn ia r e l a c j e : £ ( t Q) = x Q i x’(t,|) = e Z^. A za­

tem w’( t ) , d la t 0 < t < t ^ , je s t sterowaniem, k tó r e w krótszym czasie T’ = t ’^ - t Q n iż sterow anie w (t) = w ( t ) , d la t 0< t < t , | , sprowadza punkt p r z e s tr z e n i X z p o ło że n ia x 0 w p o ło ż e n ie X1 e ° ° ^est sprzeczn e z określeniem sterow ania w ( t ) , t Q< t < t ^ , jako sterow an ia, k tó re w minimalnym c z a s ie sprowa-- dza punkt p r z e s tr z e n i X z p o ło ż e n ia x Q w p o ło ż e n ie x^ e z£.

A zatem z a ło ż e n ie , że i s t n i e j e sterow anie d la k tóreg o czas T je s t m niejszy od Tmin (k tó ry w ystępuje przy sterow aniu w (t )) czas T je s t n a jm n iejszy.

2 .5 . Przykład sterow ania optymalnego w se n sie Problemu I Dla i l u s t r a c j i przedstawimy wyniki rozw iązan ia Problemu I dla obiektu opisanego równaniem: y= w + w, w którym sterow a­

nie dopuszczalne w (t) je s t fu n k cją przedziałam i c ią g łą s p e ł­

n ia ją c ą o g r a n icz e n ie : -1 < w (t) *£ 1•

z punktów le żą cy ch wewnątrz i na gra n icy g okręgu o promie­

niu jeden . Na r y s . 3 pokazano n ie k tó re t r a je k t o r i e optymalne na p ła s z cz y ź n ie X. Przedstawiono tam również l i n i ę p rzełą czeń p” o równaniu:

prowadzi do s p r z e c z n o ś c i, co dow odzi, że przy sterow aniu w (t)

1 2

Wprowadzamy nowe zmienne x = y-w i x = y - w. Na pła—

1 2 +

szczyźn ie X o w spółrzędnych x i x z b ió r składa s i ę

x² 1 1

(2.1 0)

Pełne rozważania d otyczą ce te g o przykładu są zamieszczone w [ 5 ] .

Bys. 3

oraz l i n i ę p rzełą czeń p+ , k tó r e j równanie otrzymujemy z równa-

1 2

n ia (2*10) podstaw iając w tym ostatnim w m iejsce x i x od-

1 p

pow iedn io: ~x i - x .

L in ie p rzełą czeń p" i p+ i okrąg g wyznaczają nam sterow anie optymalne w jako fu n k cję współrzędnych punktów x p łaszczyzn y X, c z y l i fu n k cję w = v ( x ) . I tak na lewo od l i ­ n i i s k ła d a ją c e j s i ę z l i n i i p-“, c z ę ś c i okręgu g i l i n i i p+

oraz na l i n i i p+ je s t w = v (x ) = +1, a na p o z o s ta łe j c z ę ś c i płaszczyzn y X, z wyłączeniem zb ioru Z^ mamy w = v (£ ) = - 1 .

Znajomość fu n k c ji v (x ) może być pomocna przy budowie ukła­

du r e a liz u ją c e g o sterow anie optymalne w se n sie Problemu I . ITa r y s . 4 przedstaw iono wyniki rozw iązania Problemu I dla danych y Q = ( - 5 , 0 ) , wQ = (0,0) i y^ = ( 0 ,0 ) . Widać tam ko­

l e jn o t r a je k t o r i ę optymalną na p ła szczy źn ie X, na p ła szczyź­

n ie Y i ¡sterowanie optymalne w (t) w sen sie Problemu I (od­

powiednio na r y s . 4a, b , c ) .

30

3 . ROZWIĄZANIE PROBLEMU I I

3 .1 . Z b iór punktów -początkowych t r a j e k t o r i i w p rzestrzen i X HiechaJ w (t) b ęd zie sterowaniem dopuszczalnym d la t > t . Uzupełnijmy t o sterowanie w p rz e d z ia le czasu t < t g w ten spo­

sób aby w (t~) = wQ. Oznaczmy przez zę z b ió r w szystkich t a ­ k ic h punktów w0 w m-wymiarowej p rz e strz e n i W (o w spółrzęd- nych w, w ^ \ . . . , w^m*~^ d la k tórych otrzymane w ten sposób sterow anie je s t dopuszczalne w p rz e d z ia le czasu t > t - S .

(£ — dodowlnle mała l i c z b a d o d a tn ia ).

Można zauważyć, że z b ió r Z^ składa s i ę z punktów wQ p r z e s tr z e n i W d la k tó ry ch :

oC < wQ < |?> przy wQ

(3 .1 ) oC sg w < fr przy w

O io

Przykład zb ioru Z^ d la przypadku gdy m = 2 pokazano na ry­

sunku 5a. Punkty le ż ą c e na p ó łp rosty ch zaznaczonych l i n i ą przerywaną n ie n a leżą do zbioru 2ę.

W celu uzasadnienia pierwszej nierówności (3.1) zauważmy, że jeżeli współrzędna w£1^ » w'1^(t“ ) > 0, to punkty o współ­

rzędnej wQ a w(t” ) *» oC nie mogą należeć do zbioru 2£. Rze­

czywiście wtedy nie istn ieje taka wartość 8 > 0, przy której sterowanie w(t) z wektorem w(t” ) zawierająoym takie współ­

rzędne wQ i Wq^ - jest dopuszozalne dla t > t Q - 8 . Takie sterowanie musi bowiem przy dowolnej wartości 8 w prze­

dziale t 0 — £ < t < t Q spełniać nierówność w(t)<c«, (dla t dostatecznie bliskich wartości t Q) , a więc nie spełnia ono ograniczenia (1.4) (rys. 5b). Jeżeli więo w^ > 0, to musi być wQ>oC . W podobny sposób można uzasadnić pozostałe ogra­

niczenia występujące w nierównościach (3 .1 ).

Oznaczmy teraz przez 2 £(yc) zbiór punktów xp w prze­

strzeni X odpowiadających zgodnie z (1.13) wszystkim parom punktów y0 1 wQ, gdzie wp jest dowolnym punktem zbioru

¿¡¿p czyli wQ € Współrzędne punktów x Q zbioru 2£(£0) możemy więc wyznaczyć ze wzorów:

xn’“ m a y (n -m“ 1)

o o

• T 11 - x ? M,> - * 0 (3.2)

T „ _ , » „ - t n -2 » ó " — - V m w ó” " 1 > -

gdzie i 0 = (yci £ [ \ y j * "1' ) , a wielkości » 0, w < -1> są dowolnymi współrzędnymi punktów wQ zbioru

Łatwo zauważyć, że przy danym punkcie każdemu punktowi wQ zbioru 7^ związku (3.2) przyporządkowują jedyny punkt x Q zbioru 5£(z0) i na odwrót, przy czym punkty i Q zbioru

mają (n-m) pierwszych współrzędnych równych odpowied­

nio (n-m) pierwszym współrzędnym danego punktu £ 0*

Ze względu na trudnośoi "realizacji praktycznej" wektora w(t” ) , w przypadku gdy niektóre jego składowe osiągają duże wartości — można również wprowadzić pewne ograniczenia na składowe tego wektora, anieniają się fttedy odpowiednio również zbioru "¿T oraz ZT (£„)•

Na przykład możemy zażądać aby wszystkie pochodne w' (t~ ), i = 1 , 2 , . . . , m-1, były równe zeru. Zbiór ZJJ będzie się wtedy składał z punktów wQ, dla których oc < wQ ^ fr oraz w ^ *»0, i = 1 , 2 , . . . , m-1.

Możemy teraz sformułować następujący:

Lemat 3.1

Niechaj w(t) będzie dowolnym dopuszczalnym w przedziale czasu t > t Q - € sterowaniem, a z (t) - trajektorią w prze­

strzeni X, która odpowiada zgodnie z (1.13) rozwiązaniu y(t) równania (1.1) (dla którego y(t~) a yQ) 1 funkcji w( t ) .

Trajektoria i (t) przechodzi w chwili t w t p przez jeden z punktów zbioru 2 ^ ^ ) , czyli g:(t0) e

Dowód lematu 3*1 wynika wprost z określenia zbiorów Zy i 2£(Zo) oraz z ciągłości trajektorii w przestrzeni X.

t

3 . 2 . Sterowanie optymalne w sensie Problemu I I

Załóżmy teraz, że przy pewnym dopuszczalnym sterowaniu w(t), trajektorii i ( t ) , t > t Q, w przestrzeni X, wychodzącej w chwi­

l i t z dowolnego punktu x Q € z£ (^0) (czyli x ( t Q) = xQ) i funkcji w(t) odpowiada zgodnie z (1.13) w przestrzeni Y trajektoria £ ( t ) , t > t Q. Chcemy wyznaczyć wektor w(t” ) dla funkcji w(t), przy którym trajektoria £ ( t ) , o której wspon>- niano wyżej, przechodzi "w chwili t“ " przez punkt jr0 (a więc

(t“ ) = Z 0 ) • Skoro trajektoria ¿;(t) trajektoria x(t) i funkcja w(t) są związane relacjami (1.13), to również wiel­

kości 2 (t“ ) = y0, - £ ( t " ) = x ( t Q) - x0 i w(t“ ) powinny być

34