Zbiory i klasy

Mie Lubański

Zbiory i klasy

Studia Philosophiae Christianae 7/2, 131-150

1971

Studia Philosophiae Christianae ATK

7/1971/2

MIECZYSŁAW LUBAWSKI

ZBIORY I KLASY

1. Teoria mnogości. 2. A ntynom ie teorii m nogości. 3. Teoria typów. 4. Aksjomatyka teorii mnogości. 5. Pojęcie klasy. 6. Elem entarna algebra

klas. 7. Pojęcie zbioru. 8. Uwagi.

1. Teoria mnogości

N. B ourbaki jest zdania, że m atem aty cy oraz filozofowie wszystkich stu leci zawsze posługiw ali się, chociaż nie koniecz­ nie w sposób w y ra ź n y oraz św iadom y, pojęciam i i tw ierd ze­ niami z zak resu teo rii m nogości к

Można to zobaczyć już u m atem aty k ó w babilońskich, k tó rzy poszukiwali rozw iązań całkow itych rów n an ia x 2+ y 2 = z2. Roz­ wiązań ty ch je s t nieskończenie w iele i dziś zw iem y je tró jk a ­ mi p ita g o re js k im i2. D alej w yp ad a w ym ienić E uklidesa i jego powszechnie znane tw ierdzenie, głoszące, że do każdego skoń­ czonego u k ład u liczb p ierw szych m ożna zawsze dobrać liczbę pierwszą różną od ich w szystkich; m ów iąc więc in n y m i słow y liczb pierw szych je s t nieskończenie w ie le 3. Z nane są także

1 Zob. N. Bourbaki, Teorija m nożestw, Moskwa 1965, 325 oraz tegoż autora Oczerki po istorii m atem atiki, Moskwa 1963, 37.

2 Por. np. A. A aboe, M atematyka w starożytności, W arszawa 1968, 35—36.

3 Zob. np. W. Sierpiński, A rytm etyka teoretyczna, W arszawa 19684, 86—87.

p o w sz e c h n ie ro zw a ża n ia A r y s to te le s a p o św ię c o n e n ie sk o ń c z o ­ n o śc i 4.

Spośród m yślicieli późniejszych, k tó ry ch rozw ażania zaw ie­ ra ją różne p ow iązania z p ro b lem aty k ą mnogościową, w y m ień ­ m y, jed y n ie przykładow o, n astępu jący ch : D iofantos — o trz y ­ m ał m. in. rozw iązania tzw . ró w n an ia P ella; rozw iązań tych je s t nieskończenie w iele; P ap p u s — w iedział, że kom órka p la- s tru pszczelego posiada w łasności ek strem alne; B rah m ag u p ta — pierw szy o trzy m ał ogólne rozw iązanie ró w n an ia nieoznaczone­ go a x - r b y = c , gdzie a, b, с są liczbam i całkow itym i; A l-C hw a- rizm i — jego książka „H isab al-d żab r u a -l-m u k a b a la ” zaw iera m. in. dysku sję rów n ań liniow ych oraz k w ad rato w ych ; Fibonac­ ci — od niego pochodzi tzw . ciąg Fibonacciego 5.

U G alileusza spotykam y się z „obroną” istn ienia nieskończo­ ności a k tu a ln ej, w p rzeciw ieństw ie do koncepcji A rystotelesa. G alileusz w iedział, że m ożna ustalić odpow iedniość w zajem nie jednoznaczną m iędzy liczbam i n a tu ra ln y m i oraz ich k w a d ra ­ ta m i 6. T w órcy ra c h u n k u różniczkow ego oraz całkow ego, N ew ­ to n i Leibniz, w y raźn ie in tu icy jn ie p rzy jm o w ali w iele pojęć oraz tw ierd zeń ty p u mnogościowego. Z arazem w p racach L eibniza m ożna w idzieć początki e lem en tarn ej alg ebry zbio­ rów. B yła ona dalej rozbudow yw ana m. in. przez E ulera, Boo- le ’a, Schroedera 7.

Ten, niesłychanie skrótow y, „p rz e k ró j” m yśli ludzkiej w ska­ zuje, że p ro b lem aty k a teo rii m nogości ju ż o d starożytności stanow iła nieodłączną część w iedzy ludzkiej, chociaż dopiero z początkiem ostatniej ćw ierci X IX w iek u o trzy m ała sw oją pierw szą kodyfikację w p racach G. C an to ra publiko w an ych od

* Por. A rystoteles, Fizyka, BKF, 1968. Księga IV jest poświęcona roz­

ważaniom tyczącym się pojęcia ruchu oraz pojęcia nieskończoności. Czytamy tam m. i. „A zatem nieskończonym nazw iem y zbiór taki, do którego można ciągle dobierać z zew nątrz jakiś nowy elem ent” (s. 89).

5 Zob. np. D. J. Struik, Krótki zarys historii m atem atyki do końca X IX w ieku, W arszawa 1963 2, 83, 84, 93, 97—98, 113—114.

6 Zob. np. tamże, 140—142.

7 Por. np. R. Suszko, W ykłady z logik i form alnej, Część I, W arsza­ wa 1965, 52.

roku 1871. W łaśnie w ro k u 1883 ukazała się p raca C antom pt. „G run d lag en ein er allgem einen M an n ig faltig k eitsleh re” , która może być uw ażana za pierw szą pozycję w lite ra tu rz e światowej pośw ięconą w p ełn i now em u działow i m ate m a ty k i — teorii m n o g o śc i8. T rzeba jed n a k zaznaczyć, że C an to r posłu­ giwał się n iesprecyzow anym , in tu ic y jn y m pojęciem zbioru.

„O kreślał” on zbiór n astępu jąco : zbiór je s t to złączenie w je d ­ ną całość różnych przedm iotów , k tó re odróżnia nasza in tu icja lub m y ś l9.

Z chw ilą pow stan ia teo rii m nogości d a je się zauw ażyć różne ustosunkow anie się do niej m atem aty k ó w . J e d n i p rz y jm u ją ją bez zastrzeżeń, d ru d zy — są je j p rz e c iw n i10. J e s t jed n a k fa k ­ tem n iew ątpliw ym , że teo ria mnogości p rzyczy n iła się do u gruntow ania pojęć ra c h u n k u różniczkow ego oraz całkowego. Tego są obecnie św iadom i w szyscy m atem aty cy n . Toteż dziś nie ty lk o n ik t n ie p o d daje w w ątpliw ość w arto ści teorii m no­ gości oraz coraz pow szechniejszej stosow alności m etod teorio- mnogościowych w m atem aty ce, lecz pew ne w y b ra n e jej ele­ m enty w chodzą ju ż do pro g ram ó w szkoły średniej 12. T ruizm em jest dziś powiedzieć, że m a te m a ty k a w spółczesna bez m etod mnogościowych b yłab y nie do pom yślenia.

W teo rii m nogości, m ówiąc bardzo ogólnie, m ożna w yróżnić trzy podstaw ow e zak resy zagadnień, m ianow icie: alg ebrę zbio­ rów, teo rię liczb k a rd y n a ln y ch o raz teo rię liczb porządkow ych. Do tego m ożna jeszcze dodać p ro b lem aty k ę m etateoretyczn ą, która ściśle biorąc, nie n ależy do teo rii mnogości, lecz do m eto­ dologii teo rii mnogości. P odstaw ow ym pojęciem teo rii m no­ gości je s t pojęcie zbioru. J a k ju ż było w spom niane C antor

8 Por. D. J. Struik, op. cit., 250—252.

9 Zob. G. Cantor, G esam m elte A bhandlungen, Berlin 1932, 282. 10 Por. np. K. K uratow ski i A. M ostowski, Teoria m nogości, W arsza­ wa 1966 *, 8.

11 Por. np. C. B. Boyer, Historia rachunku różniczkowego i całkow e­ go i rozw ój jego pojęć, W arszawa 1964, 29— 30.

12 Por. N ow e podręczniki w szkołach średnich, W iadom ości M ate*

ujm ow ał je intu icy jnie. Rozwój teo rii m nogości w ykazał, że in tu icje łączone z pojęciem zbioru nie są w cale jasn e i jed no ­ znaczne. Różni m atem aty cy wiążą różne in tu icje z pojęciem zbioru. U jaw niło to się z chw ilą pojaw ien ia się w teo rii m no­ gości tzw . a n ty n o m ii13. M ówimy, że m a m iejsce antynom ia, gdy posiadam y dowód dw u w y rażeń ze sobą sp rz e c z n y ch 14. Oprócz an ty nom ii teoriom nogościow ych, zw anych także lo­ gicznym i, znane są także tzw. an tynom ie sem antyczne. N as in­ tere su ją w ty m a rty k u le an ty n o m ie teoriom nogościow e. To­ też p rzed staw im y bardzo zwięźle k ilk a n ajp ro stszy ch a n ty ­ nom ii.

2. Antynom ie teorii mnogości

Pierw szą chronologicznie anty n o m ią teo rii mnogości je st an ­ ty no m ia zbioru w szystkich liczb porządkow ych. G. C an to r znał ją ju ż w ro k u 1895. O publikow ał ją jed n a k pierw szy C. B u- ra li-F o rti w ro k u 1897 15. Obecnie znana je s t pod jego nazw i­ skiem . Można ją p rzedstaw ić w sposób następujący.

Niech P oznacza zbiór w szystkich liczb porządkow ych. W ia­ domo, że każdy zbiór liczb porządkow ych jest dobrze u porząd­ kow an y p rz y pom ocy relacji m niejszości, zachodzącej m iędzy liczbam i porządkow ym i. Z d rugiej strony, w iadom o także, że żaden zbiór dobrze uporządkow any n ie je s t podobny do swego odcinka w łaściw ego. S tosując pierw sze z w ym ienionych tw ie r­ dzeń zbioru P, w nioskujem y, że zbiór P je s t dobrze uporząd­ kow any p rz y pom ocy rela cji m niejszości. A zatem jego ty p porządkow y je s t pew ną liczbą porządkow ą. Liczba ta, z racji d efin icji P, p osiadałaby tę w łasność, że odpow iadający jej zbiór b y łb y podobny do swej części w łaściw ej. P rzeto pojęcie zbioru

13 Por. np. K. Kuratowski i A. Mostowski, op. cit., 8.

14 Por. J. Słupecki, L. Borkowski, Elem enty logiki m atem atycznej i teorii mnogości, W arszawa 19682, 259 oraz L. Borkowski, Logika for­ m alna, W arszawa 1970, 285.

15 C. Burali-Forti, Una questione sui numeri transfiniti, R endicon-

w szystkich liczb porządkow ych p row adzi do sprzeczności z dru gim z w ym ienionych tw ierdzeń.

Ja k o d ru g ą an ty n om ię w ym ienim y tzw. an ty n o m ię zbioru w szystkich zbiorów. G. C an to r znał ją ju ż w ro ku 1899.

N iech Z oznacza zbiór w szystkich zbiorów. O znaczm y przez 2Z zbiór w szystkich jego podzbiorów . Z defin icji zbioru Z b y ­ łoby: 2Z = Z. A więc, konsek w en tn ie, liczba k a rd y n a ln a zbioru 2Z b y łab y niew iększa od liczby k a rd y n a ln ej zbioru Z. Jed nakże, z ogólnego tw ierd z en ia teo rii liczb k a rd y n aln y ch , wiadomo, iż liczba k a rd y n a ln a zbioru 2Z je s t w iększa od liczby k a rd y n aln ej

zbioru Z. O trzy m u je się w ięc sprzeczność.

W podobny sposób m ożna sform ułow ać antyn om ię zbioru w szystkich liczb k a rd y n aln y ch . N iech m ianow icie К oznacza zbiór w szystkich liczb k ard y n a ln y ch . W iadomo, że dla każdego zbioru liczb k a rd y n a ln y ch istn ieje liczba k a rd y n a ln a w iększa od każdej liczby danego zbioru. P rzeto i dla zbioru К istnieje liczba k a rd y n a ln a w iększa od każdej liczby tego zbioru. Z de­ finicji zbioru К w y n ika jed n ak , że w spom niana liczba k a rd y ­ nalna je s t w iększa od siebie sam ej. To je s t jed n a k niem oż­ liwe.

W spom nijm y jeszcze o tzw. an tyn o m ii Russella. O dk ry ł ją B. R ussell w ro k u 1902 analizując anty n o m ię zbioru w szystkich zbiorów. A ntynom ię R ussella m ożna przedstaw ić następująco.

Niech A oznacza zbiór złożony z w szystkich tak ich zbiorów, które nie są swoim i w łasnym i elem entam i. P rzeto jak iś zbiór В jest elem en tem zbioru A wówczas i tylko, gdy В nie je s t ele­ m entem B. Sym bolicznie zapiszem y to:

B6A = B6B

Jeżeli w pow yższym w zorze w m iejsce В p odstaw im y A, to otrzym am y postać n astęp u jącą:

AÇA=AÇA

To zaś n a ty c h m ia st d a je sprzeczność.

Innym i słow y d aje się pow yższa an ty n o m ia ta k ująć. Za­ pytajm y, czy A je s t elem entem A. Jeżeli A jest sw oim elem en­ tem, to w m yśl d efin icji zbioru A, n ie je s t sw oim elem entem . Jeżeli zaś A nie je s t sw oim elem entem , to znow u zgodnie z de­

fin icją zbioru A, A je s t swoim elem entem . W ten sposób po­ w sta je sprzeczność.

J e s t zrozum iałe, że pojaw ienie się anty no m ii teo rii mnogości spowodow ało k ry zy s tego działu m atem aty ki. B udow anie teorii m nogości n a bazie in tu icy jn eg o pojęcia zbioru nie jest m ożliw e do przeprow adzenia. Można poprzestać na in tu icy jn y m pojęciu zbioru p rzy zagadnieniach elem en tarn y ch z teo rii mnogości. N atom iast p rzy p ro b lem aty ce bardziej su b teln ej in tu ic ja nas zawodzi. I sta je m y wobec a n ty n o m ii18. P o w staje więc pytanie, w ja k i sposób m ożna ustrzec się w te o rii mnogości antynom ii? W ty m celu należy, po pro stu , sprecyzow ać zarów no pojęcie zbioru, ja k i pojęcie przynależności elem en tu do zbioru. N ie- sprecyzow ane bow iem pojęcia powyższe posiadają c h a ra k te r a ntynom ialn y. W spom nianą p recy zję term in ó w teo rii mnogości m ożna przeprow adzić n a w iele sposobów. H istorycznie rzecz biorąc, pierw sze dw a sposoby dokonania in teresu jącej nas p re ­ cyzji, k tó re konsekw en tn ie elim inow ały pojaw ianie się w teorii mnogości antynom ii, pochodzą od B. R ussella oraz E. Zerm elo. P rz y jrz y jm y się te ra z k ró tk o w spom nianym propozycjom .

3. T eoria typów

B. R ussell zaproponow ał, aby tw orzyć zbiory n ie w sposób dow olny, lecz p rzestrzeg ając pew nej pro stej zasady. W ówczas będziem y zabezpieczeni p rzed p o jaw ian iem się antynom ii.

P rz y jm u je on podział w szelkich przedm iotów n a tzw. ty p y logiczne. Są nim i: in d y w id u a (tj. p rzed m io ty nie będące zbio­ ram i), zbiory indyw iduów , rodziny zbiorów indyw iduów itd. N ajniższy ty p p o siad ają indyw idua. E lem en tam i zbioru jak ie ­ goś ty p u m ogą być jed y n ie p rzedm ioty ty p u o jed en niższego. Chodzi tu o zachow anie jednorodności ty p u logicznego. Z a ra ­ zem uw aża się za bezsensow ne (ale nie fałszyw e) pow iedzenie, że zbiór je s t elem en tem siebie samego, w zględnie, iż zbiór n ie je s t elem en tem siebie sa m e g o 17.

lc Por. K. Kuratowski i A. M ostowski, op. cit., 8.

W ta k sk o n struo w an y m system ie n ie po jaw ia się żadna z a n ­ tynomii teo rii mnogości. J e s t widoczne, że antyno m ia R ussella nie może pow stać z pow odu u znan ia za bezsensow ne tego ro ­ dzaju w yrażeń, k tó re są p o trzeb n e do jej sform ułow ania. W teo rii typów n ie m ożna tak że zdefiniow ać zbiorów „ u n iw e r­ salnych”, w ro d zaju zbioru w szystkich zbiorów , bądź zbioru wszystkich liczb k ard y n a ln y ch , czy też zbioru w szystkich liczb porządkowych. Przez to sam o w ykluczam y odpow iednie a n ty ­ nomie zw iązane z pow yższym i pojęciam i. N a gruncie teorii typów logicznych m ożna w praw dzie zdefiniow ać zbiór w szy st­ kich zbiorów pew nego ty p u . Jed n ak że pojęcie to nie prow adzi do sprzeczności. Z ty ch też w zględów teo ria ty p ów może sta ­ nowić pew nego ro d zaju rozw iązanie k ry zy su teo rii mnogości.

Należy jed n a k w spom nieć o niedogodnościach, k tó re im pli­ kuje teo ria ty p ó w logicznych. Są one co n a jm n ie j dw ojakiego rodzaju. Niedogodność pierw szego ro d zaju polega n a tzw . sy­ stem atycznej w ieloznaczności pojęć teo rii mnogości. A więc rff). w m iejsce jednego zbioru pustego m am y tu do czynienia z n ie­ skończenie w ielom a zbioram i p u sty m i odpow iadającym i róż­ nym typom logicznym . Podobnie także w m iejsce jed n ej re la ­ cji inkluzji m iędzy zbioram i, m a się tu do czynienia z n ieskoń ­ czenie w ielom a rela cja m i in k lu zji dla różnych ty p ó w logicz­ nych. S y tu a cja tego ro d zaju je s t in tu icy jn ie dziw na. N iedogod­ ność drugiego ro d zaju polega n a niem ożności rozw ażania i b u ­ dowania zbiorów „m ieszanych”. Chodzi tu o zbiory, któ ry ch elem entam i są p rzed m io ty różnych ty p ó w logicznych, n ie zaś jednego, tego sam ego ty p u . T a niedogodność jest, z p u n k tu w i­ dzenia p ra k ty k i m atem atyczn ej, dużą w ad ą teo rii typów . Za­ węża bow iem dość a rb itra ln ie zak res tw orów m atem aty czn ych . Praktyka nau ko w a w ykazuje, że w różnych działach m atem a­ tyki m a się do czynienia z pojęciam i, w k tó ry c h n ie je s t za­ chowana zasada czystości typów . Ten fa k t pow oduje, że p ro ­ pozycja R ussella nie może być uzn an a za zadow alającą.

W artykule w spom niano jedynie o istocie teorii typów. Dla lepszego za­ poznania się z samą teorią można skorzystać np. z pozycji w ym ien io­ nych w odnośniku 14.

4. Aksjomatyka teorii mnogości

E. Z erm elo zaproponow ał, dla przezw yciężenia k ry zy su spo­ wodow anego pojaw ieniem się w teo rii mnogości antynom ii, zaksjom atyzow anie tej teorii. W ro k u 1904 podał uk ład aksjo­ m atów dla teorii m n o g o śc i18. Pojęciam i p ierw o tny m i są po­ jęcie zbioru oraz pojęcie przynależności elem en tu do zbioru. A ksjo m aty n ato m iast m ogą być p rzedstaw ione następująco:

A. 1. Zbiory, k tó re zaw ierają te sam e przed m ioty jak o ele­ m enty, są identyczne.

A. 2. D la każdych dw u przedm iotów istn ieje zbiór, k tó ry zaw iera dokładnie te dw a p rzed m io ty jak o elem enty.

A. 3. Jeżeli X jest zbiorem , to sum a w szystkich zbiorów należących do X je s t też zbiorem.

A. 4. D la każdego zbioru X istn ieje zbiór, którego elem en ta­ m i są w szystkie podzbiory zbioru X.

A. 5. Istn ieje co n ajm n iej jed en zbiór nieskończony.

A. 6. Niech f/x, у / będzie jak im ś w aru n k iem , k tó ry je s t za­

p isan y p rzy pom ocy pojęć p ierw o tn y ch logiki oraz teo rii m no­ gości. Jeżeli dla każdego x istn ieje dokładnie jedno y = y /x / , k tó re razem z x spełnia ten w aru n ek , to dla każdego zbioru X istn ieje zbiór Y, którego w szystkie elem en ty są postaci у /х /, gdzie x przebiega elem en ty zbioru X.

A. 7. D la każdej rodziny zbiorów n iep u sty ch i rozłącznych istn ieje zbiór, k tó ry z k ażdym ze zbiorów tej rodziny posiada jed e n i ty lk o jeden elem en t w spólny 19.

A ksjom at A. 1. b y w a n a z y w a n y aksjo m atem jednoznacz­ ności, ak sjo m at A. 2. — aksjo m atem p a ry , ak sjom at A. 3. — aksjom atem sum y, ak sjo m at A. 4. — ak sjom atem zbioru po­ tęgowego, ak sjo m at A. 5. — ak sjo m atem istnienia, aksjom at

18 Por. K. K uratow ski i A. Mostowski, op. cit., 9 oraz E. Zermelo, Untersuchungen über die A xiom e der Mengenlehre, M athem atische

Annalen, 65 (1908), 261—281.

19 Zob. A. M ostowski, Niesprzeczność i niezależność hipotezy conti­ nuum, W iadom ości M atem atyczn e, 10 (1967—1968), 177—178 oraz H .'R a- siowa, Wstęp do m atem atyki współczesnej, W arszawa 1968, 24, 27—28.

A. 6. — ak sjo m atem podzbiorów o raz ak sjo m at A. 7. — aksjo­

m atem w yboru.

G dy chodzi o ak sjo m at siódm y, to n ie je s t on przy jm o w an y przez w szystkich m atem aty k ó w bez zastrzeżeń. Np. E. Borel oraz H. L ebesgue uw ażają, że dow ody p rzep row adzane p rzy po­ mocy ak sjo m atu w y b o ru posiadają odm ienną w artość poznaw ­ czą od dowodów tw ierd zeń teo rii m nogości, k tó ry c h się dowo­ dzi bez odw ołania się do powyższego aksjom atu. N atom iast zaś F. H au sd o rff i A. A. F ra en k e l p rz y jm u ją w spom niany aksjo­ mat bez żadnych zastrzeżeń, uw ażając go za ta k sam o oczy­ wisty, ja k pozostałe ak sjo m a ty teo rii m n o g o ści20.

Od ro k u 1963 w iadom o jest, że ak sjo m at A. 7. jest niezależny od pozostałych aksjom atów teo rii mnogości. P ięk n y ten w ynik został u zy sk an y przez P. J. C ohena 21. K onsekw encją tego jest zaistnienie w teorii mnogości sy tu a c ji analogicznej do tej, z jak ą m am y do czynienia w geom etrii. Niezależność a k sjo ­ matu o rów noległych od pozostałych aksjom atów geom etrii pozwala zbudow ać sy stem y geom etrii, w k tó ry ch zachodzi jego negacja.. W te n sposób oprócz geom etrii euklidesow ej p o w stają system y g eo m etrii nieeuklidesow ej. P odobnie m ożna oczekiwać powstania n iecantorow skiej teo rii mnogości, tj. teorii mnogości, w k tó rej n ie będzie obow iązyw ał ak sjo m at w yboru.

Oprócz a k sjo m aty k i te o rii mnogości ty p u Z erm elo-F raen kla istnieje także in n a ak sjo m aty k a pochodząca od J. von N eum an­ na, К . G oedla i P. B ernaysa. K ró tk o by w a ona nazy w an a aksjo- matyką ty p u G oedla-B em aysa. W tej aksjom a tyce pojęciam i pierw otnym i są „k lasa” , „zbiór” i „przynależność elem en tu (do klasy w zględnie do zbioru)”. A zatem odróżnia się pojęcie k lasy od pojęcia zbioru. Pojęcie k lasy jest pojęciem szerszym od po­ jęcia zbioru. Istn ie ją inne jeszcze ak sjo m aty ki teo rii mnogości. Liczba ich je s t duża. K ażda z nich posiada sw oje specyficzne cechy, a więc z a le ty i w ady p a trz ąc n a nie z p u n k tu w idzenia

20 Por. np. K. Kuratowski i A. M ostowski, op. cit., 59.

21 P. J. Cohen, The independence of the continuum hypothesis, P ro­

ceedings of the N ational A cadem y of Sciences of th e USA, 50 (1963),

p ra k ty k i m atem aty cznej. Do dziś ak sjo m aty k a teo rii mnogości nie znalazła jeszcze dla siebie najdoskonalszej p o s ta c i22.

Je że li p rz y jrz y m y się obiegow em u ujęciu teo rii mnogości, to spostrzeżem y bez tru d u , że term in ó w „k lasa” oraz „zbiór” uży­ w a się zam iennie. Liczne podręczniki teo rii mnogości, w zględ­ nie te rozdziały obszerniejszych prac, k tó re p o d ają w yk ład teo ­ rii mnogości, ta k w łaśnie p o stęp u ją 23. Znalazło to w y raz w a r ­ ty k u le za ty tu ło w an y m „Z biór” w „M ałej Encyklopedii Logi­ k i” 2i. Tego ro d zaju sy tu a c ja była rzeczyw iście powszechna. I to jeszcze stosunkow o bardzo niedaw no. Jed n ak że obecnie co­ raz pow szechniejsze sta je się stanow isko, k tó re w yraźn ie od­ różnia k lasy od zbiorów. N ależy podkreślić, że zostało to spo­ w odow ane nie przez jakieś ra c je ab strak cy jn e, teoretyczne, lecz przez po trzeb ę p ra k ty k i naukow ej. M ianowicie z chw ilą po­ w stan ia m atem atycznej teo rii kategorii stało się jasn e, że ko­ nieczne jest odróżniać k lasy od zbiorów. Pojęcie k ateg o rii nie m ieści się w tra d y c y jn y m schem acie teo rii mnogości. K atego­ ria je s t klasą. N ie je s t zaś, n a ogół, zbiorem . Je że li kateg o ria je s t zbiorem , to nazy w a się m ałą k a te g o r ią 25. Tego rodzaju sy tu a c ja staw ia więc p o stu la t ogólniejszego u jm ow an ia teorii zbiorów, niż to się czyniło dotychczas. W łaściw ą rzeczą w y daje się u jęcie w spom nianej teo rii w term in ach „k lasa” i „p rzy n a­ leżność elem entu do k la sy ” . Z ty c h więc w zględów p rzed sta­ w iony zostanie e le m en ta rn y zary s alg eb ry klas. W ykład nie bę­ dzie sform alizow any, a jed y n ie aksjom atyczny. Rozpoczniem y od w y jaśn ien ia pojęcia klasy.

22 Por. K. Kuratowski i A. Mostowski, op. cit., 63.

23 Zob. np. K. Borsuk, Geometria analityczna w ielow ym iarow a, War­ szawa 19642, 18, J. L. K elley, Obszczaja topołogija, Moskwa 1968, 13, R. Suszko, W ykłady z logiki form alnej, Część I, W arszawa 1965, 53, W. A. Pogorzelski, J. Słupecki, O dowodzie m atem atycznym , Warszawa 1962, 4, R. Courant, H. Robbins, Co to jest m atem atyka, Warszawa 1967 3, 147 it'd·.

24 Mała Encyklopedia Logiki, Wrocław—Warszawa—Kraków 1970, 363.

5. P ojęcie klasy

Mówiąc in tu icy jn ie, klasą nazy w a się dow olny zespół jak ic h ­ kolwiek przedm iotów . Albo inaczej: k lasa to zespół ty ch przed ­ miotów, k tó re sp ełn iają pew ien w aru n ek.

Z form alnego p u n k tu w idzenia k lasy są to tak ie obiekty, dla których została o k reślo n a re la c ja przynależności. A więc jeżeli A, B, C, ... są klasam i, to m a m iejsce bądź rela cja A 6 B, bądź

relacja A 6 B. R elację A ( В czytam y: A je s t elem en tem B.

Relacja A 6 В je s t neg acją rela cji A 6 B.

P rz y ję ło się k lasy oznaczać dużym i litera m i, n ato m ia st k la­ sy, k tó re w rozw ażanym kontekście są elem entam i innej k la ­ sy — m ały m i literam i. P rz e to k lasa je s t w yznaczona przez swo­ je elem en ty . Z w ykle k lasę utw orzoną przez elem en ty a, b, c, ... oznacza się przez um ieszczenie w spom nianych elem entów w n a ­ wiasie k lam row y m . J e ż e li rozw ażaną k lasę oznaczym y przez K, to m ożna napisać:

К = {a, b, c, ...}

Niech К oraz L b ęd ą dan y m i dw om a klasam i. M ówimy, że klasy te są identyczne (lub rów ne), co zapisujem y К = L, jeżeli sk ład ają się one z ty ch sam ych elem entów . Z atem dane elem enty w yznaczają jednoznacznie klasę. Jeżeli k lasy К oraz L nie są identyczne, to zap isu jem y К =t= L. W ty m p rzy p ad k u co n a jm n ie j jed n a z w ym ienionych klas zaw iera p rzy n ajm n iej jeden elem en t tak i, k tó ry nie jest elem en tem drugiej k lasy.

Z pow iedzianego w idać, że k lasa n ie zależy od porządku, w ja k im są w ym ienian e jej elem en ty oraz od ich k ilk a k ro tn e ­ go pow tarzan ia. M ają więc m iejsce n a stę p u jąc e identyczności:

(1, 2, 5} = {2, 1, 5} = {5, 1, 2} itd. (1, 2, 5, 6} = {1, 2, 5, 2, 1, 6} itd.

P rz y jm u je się n a stę p u jąc y aksjom at:

(1) Jeżeli k lasy К o raz L są identyczne, tj. К = L, zaś W(X) jest jak im ś w a ru n k ie m odnoszącym się do klas, to w a ru n e k W(K) je s t p raw dziw y w te d y i ty lk o w ted y , gdy p raw d ziw y jest w arunek W(L).

O prócz sta łe j „ 6 ” p o tr zeb n a b ęd z ie je sz c z e je d n a sta ła , k tó ­ rą o zn a cza ć się b ęd zie n a stęp u ją co : {... : ...}. N a z y w a się ją k la ­ sy fik a to r e m . C zy ta się n a to m ia st tak: k la sa w s z y s tk ic h ty c h ..., k tó r e s p e łn ia ją w a r u n e k ... .

P rz y jm u je się n astę p u jąc y d ru g i aksjom at:

(2) Je że li W(X) je st pew n ym w a ru n k iem odnoszącym się do klas, to istn ieje klasa, k tó rej elem en tam i są te i tylk o te X, dla k tó ry ch W(X) jest praw dziw e.

K lasę tę oznacza się n astępująco: {X : W(X) }. M am y przeto równoważność:

К (: {X : W(X) } = W(K) je s t praw dziw e.

A ksjom at (2) pozw ala n a m tw orzyć now e klasy. P rz y jego pom ocy m ożna zbudow ać ele m en ta rn ą alg eb rę klas. T ym też tera z się zajm iem y 26.

6. E le m e n ta rn a alg ebra klas

O kreśla się n a jp ie rw (korzystając z ak sjo m atu (2) ) dw ie spe­

cjalne k lasy, m ianow icie klasę p u stą oraz klasę pełną. K lasę p u stą oznacza się sym bolem 0 , zaś k lasę p ełn ą lite rą T. O kre­ śla się je następująco:

0 = (X : X Ф X ), T = {X: X = X}.

Niech К oraz L będą danym i dw om a klasam i. K lasa К n a ­ zyw a się podklasą k lasy L (względnie częścią k lasy L, w zględ­ nie k lasa L nazy w a się n ad k lasą k lasy K), co się zapisuje К = L, gdy spełniony je s t w aru n ek : jeżeli X 6 K, to X 6 L.

Zachodzi więc wzór:

К ^ L = * (X 6 К -> X 6 L)

26 Por. w ykład pojęcia klasy zawarty w pracach: P. M. Cohn, U ni- w ersalnaja algebra, Moskwa 1968; J. L. K elley, Obszczaja topołogija, Moskwa 1968, dobawlenije.

Jeżeli K s L o raz К Ф L, to k lasa К n azyw a się częścią właściwą k lasy L (względnie podklasą w łaściw ą k lasy L). No­ tujem y to w sposób n astęp u jący : К j= L.

Niech К będzie daną klasą. K lasę w szystkich jej podklas n a ­ zywa się bulean em k lasy К i oznacza przez B(K).

Jest więc:

B(K) = (X : X _c K}.

Jeżeli klasa К zaw iera n elem entów , to jej bu lean je s t klasą o 2n elem entach.

Tw ierdzenie to je s t praw dziw e dla n = 0, 1, 2, ... . Dowodzi

się je ła tw o przy pom ocy in d u k cji m atem aty cznej.

Niech К oraz L będą dan y m i dw om a klasam i. P a rę oraz p a rę uporządkowaną złożoną z К i L o kreśla się następująco:

{K, L} = (X : X = К lu b X = L} (K, L) = { {К}, {K, L} }.

Różnicę k las К oraz L, k tó rą zapisuje się w postaci К \ L , określa się następująco:

K \ L = {X: X 6 К i X 6 L}.

Jeżeli К je s t klasą, to jej unią nazy w a się klasę n a stę p u ­ jącą:

о К = (X : X e Y i Y 6 К dla pew nego Y>.

W p rzy p ad k u gdy M = (K , L}, zam iast w M pisze się K l L. Przecięciem k lasy К n azy w a się k lasę zdefiniow aną wzo­ rem:

= (X : X ( Y dla w szystkich Y takich, że Y 6 К ).

Jeżeli M = (K , L}, to zam iast M pisze się К r\ L.

Dwie k lasy К oraz L nazy w a się rozłącznym i, jeżeli ich p rze­ cięcie jest k lasą p u stą, tj. jeżeli К r\ L — 0 .

Należy odróżniać К od ( K ) . J e s t {К} Ф К . A więc w szcze­ gólności { 0 } #= 0 . K lasa 0 jest p u sta. N atom iast k lasa { 0 } nie jest ju ż p u sta. J e j elem entem je s t klasa pusta.

Ł atw o w ykazać, że m a m iejsce n a stę p u jąc y ciąg rów now aż­ ności:

(К с L) = (K w L = L) Ξ (K a L = K ) s (K X L = 0 ) .

Podobnie, jeżeli k lasy К oraz L są podklasam i k lasy M, to zachodzą n a stę p u jąc e w zory De M organa:

M .\( K ^ L) = ( M \ K ) л ( M \ L ) M \ ( K л L) = ( M \ K ) w ( M \ L )

N ietru d n o je s t w ykazać słuszność n astęp u jący ch w zorów: K ^ K = K, К л К = K, К w L = L w К, К ^ L = L ^ К , К w (L υ М) = (К υ L) υ М, К a (L л М) = (К л L) а М, К ^ (L о M) = ( Ku L )a ( Ku M), К ^ (L W М) = = (К r» L) w (К л М), 0 w К = К , 0 гч К = 0 , (К = L) = (К L) i (L — К). Jeżeli К oraz L są d any m i dw om a klasam i, to ich p ro d u k tem nazyw a się k lasę określo n ą w zorem :

K X L = { Z : Z = (X, Y), gdzie X 6 K, zaś Y 6 L ).

P rz y pom ocy pojęcia p ro d u k tu klas m ożna zdefiniow ać poję­ cie fu n kcji. N iech w ięc К oraz L będą d an y m i dw om a klasam i.

F u n k c ją z k lasy К w k lasę L nazy w a się ta k ą podklasę F k la ­ sy К X L, k tó ra spełnia w aru n ek : dla każdego X 6 К istn ieje

dokładnie jed en elem en t Y (; L, ta k i że (X, Y) 6 F 21.

K lasę К nazy w a się dziedziną fu n k c ji F, zaś klasę {V: Y Ç L i (X, Y) Ç F dla pew nego X 6 K ) nazy w a się przeciw dziedziną

fu n k cji F.

Jeżeli przeciw dziedziną fu n k cji F je s t cała klasa L, to m ówi się, że fu n k cja ta p rzekształca К n a L. Pisze się wów czas F(K) = L.

W p rzy p ad k u ogólnym n o tu jem y : F F: К >L· lu b К > L.

87 Por. w ykład elem entarnej teorii klas podany w pracach cytow a­ nych w przypisku 26.

7. Pojęcie zbioru

P rzejdziem y obecnie do rozw ażania p ro b le m aty k i zw iązanej z pojęciem zbioru. Do chw ili obecnej pojęcie to n ie w ystępo ­ wało w po daw anych w yżej określen iach oraz tw ierdzeniach. W ymienione w poprzednim p u n kcie o kreślen ia są całkow icie ogólne. O dnoszą się do po jęcia klasy.

Klasę A n azy w a się zbiorem , jeżeli je s t ona elem entem ja ­ kiejś in n ej klasy. A w ięc jeżeli istn ieje ta k a k lasa B, że A 6 B,

to wówczas k lasa A n azy w a się zbiorem . M ożna w ięc napisać: (A jest zbiorem ) = ^ (B je s t klasą) i (A 6 B).

P o stu lu je się n a stę p u jąc e aksjom aty: (3) 0 je s t zbiorem .

(4) K ażda p odklasa zbioru je s t zbiorem .

(5) Jeżeli A je s t zbiorem , to jego b u lean je s t tak że zbiorem . A więc jeżeli A je s t zbiorem , to B(A) je s t też zbiorem .

(6) Je że li A oraz В są zbioram i, to ich p a ra {A, B} je s t też

zbiorem.

(7) Jeżeli A je s t zbiorem , to jego u n ia A je s t też zbio­ rem 28.

K orzystając z po d an y ch aksjom ató w m ożna łatw o w ykazać, że para uporządkow ana zbiorów A oraz В je s t zbiorem , a także iż produkt zbiorów A oraz В je s t tak że zbiorem.

Zgodnie bow iem z ak sjo m atem (6) zbioram i są {A} = {A,

A) i {А, В ) o ile ty lk o A i В są zbioram i. K o nsekw entnie więc, zgodnie z ty m sam ym aksjom atem , będzie zbiorem tak że (A, B) = { {A}, (A , B ) }.

Ponieważ А Х В = { Ζ6 Β Β ( Α ^ В): Z = (X, Y) dla p ew ­

nych X 6 A i Y 6 В ), przeto, w m yśl aksjom atów (5), (6) oraz

(7), produkt А X В je s t zbiorem , jeżeli ty lk o A oraz В są zbio­ rami.

Aksjomat (3) zakłada, że k lasa p u sta je s t zbiorem . Można więc m ówić po p ro stu zbiór p u sty .

P rzeprow adzając rozum ow anie analogiczne do rozum ow ania prow adzącego do o trzy m an ia an ty n o m ii R ussella, uzyskam y w y ­ n ik głoszący, że k lasa p ełn a T n ie je s t zbiorem . J e s t więc:

T nie je s t zbiorem .

P rzeto pojęcie k lasy je st istotnie szersze od pojęcia zbioru. Istn ie ją k lasy nie będące zbioram i. T ak ą je st np. k lasa pełna.

Z o k reślen ia k lasy pełnej oraz b u lean u danej klasy, łatw o otrzy m u je się n a stęp u jące tw ierdzenie:

T = В (T).

Zachodzą także w zory następ u jące:

' - > 0 = 0 , T = w T, л 0 = T, г ч Т = 0 . 0 -EL К , К _r T.

N ietru d n e dow ody pow yższych tw ierd zeń pom ijam y.

W celu ro zw ijan ia teo rii fu n k cji p rz y jm u je się n astęp u jący aksjom at:

(8) Je że li dziedzina fu n k cji F je s t zbiorem , to jej przeciw -

dziedzina jest tak że z b io re m 29.

W ynika stą d łatw o, w oparciu o a k sjo m a t (4), że wówczas i sam a fu n k cja F je s t także zbiorem . Bow iem F je s t podklasą p ro d u k tu A X B, zaś on sam je s t zbiorem , skoro A i В są zbio­ ram i, a w ięc i F, zgodnie z (4), jest zbiorem . O tym , że p ro d u k t zbiorów je s t zbiorem to już w iem y.

O kreśla się kom pozycję zbiorów A oraz В w sposób n a stę p u ­ jący:

A · В = (c: dla pew nego x, d la pew nego у o raz dla pew nego z je st с = (x, z), (x, y) 6 В oraz (y, z) 6 A}.

K o rzy stając z powyższego określenia, m ożna m ówić także o kom pozycji fu n kcy j. Niech w ięc F oraz G będą fu n k cjam i ta ­ kim i, dla k tó ry c h m a sens o p eracja kom pozycji. W ówczas za­ chodzi tw ierdzenie:

Jeżeli F o raz G są fu n k cjam i, to ich kom pozycja F.G jest także fu nk cją.

8. Uw agi

W ydaje się, że p rzed staw io n y schem at u jęcia teo rii k las oraz teorii zbiorów n ajlep iej odpow iada w spółczesnem u stanow i b a­ dań w zak resie m atem aty k i. J a k ju ż było w spom niane, poję­ cie k ateg o rii w y k racza poza pojęcie zbioru. R ozw ijając teo rię kategorii n ie m ożna po przestaw ać n a k lasy czn ym pojęciu zbio­ ru. Toteż odróżnianie k las i zbiorów nie może być uw ażane je ­ dynie za pew nego ro d zaju subtelność odnoszącą się tylk o i w y ­ łącznie do aksjom atycznego u jęcia teo rii m nogości a m ającej na celu J a k ie u p raw ian ie w spom nianej dyscypliny, aby w y k lu ­ czyć pojaw ian ie się antynom ii. W inno ono zostać uznane za konieczne w ym agan ie staw ian e przez sam ą rozw ijającą się m a­ tem atykę. Ona je s t tu czynnikiem decydującym . J e j w spół­ czesny stan p o w stały w sk u te k ciągłego rozw oju. M atem aty ka sama tw o rzy tak ie pojęcia, k tó re nie m ieszczą się w klasycz­ nym schem acie teo rii mnogości. I to n ależy uznać za zasad­ niczy czynnik, k tó ry w yty cza k ieru n e k u jęc ia p ro b lem aty k i teoriomnogościowej w sposób zgodny z dzisiejszym stan em ca­ łej m atem aty ki.

Aby unaocznić zaznaczony w yżej fa k t polegający n a ty m , że pojęcie k ateg o rii n ie m ieści się w k lasycznym pojęciu zbioru, przypom nim y tu w spom niane pojęcie.

K ategorią К n a zy w a się k lasę obiektów , k tó rą oznacza się przez Ob(K), p rzy czym każdym dw om obiektom А, В 6 Ob(K)

jest przyp o rząd k o w any zbiór m o rf izmów obiektu A w obiekt B, oznaczany Mor(A, B), oraz każdej tró jc e obiektów A, B, С 6 Ob(K) p rzy p o rząd ko w u je się p raw o kom pozycji w te n spo­

sób, że m orfizm ow i z A w В oraz m orfizm ow i z В w С odpo­ wiada m orfizm z A w C. Ż ąda się p rz y ty m , ab y spełnione b y ły następujące trz y aksjo m aty :

1K Zbiory m orfizm ów Mor(A, B) oraz Mor(C, D) są rozłączne z w yjątkiem p rzy p ad k u , gdy A == С oraz В = D. W ówczas zbiory te są identyczne.

2K D la każdego obiek tu A 6 Ob(K) istn ieje m orfizm idA 6 6 Mor(A, A) tak i, że dla dowolnego obiektu В 6 Ob(K) je s t on

elem entem n e u tra ln y m ze w zględu n a praw o kom pozycji w sto­ su nku do elem entów zbioru m orfizm ów Mor(A, B) oraz Mor(B, A).

3K P raw o kom pozycji m orfizm ów je s t łączne. A więc, jeżeli f 6 Mor(A, B), g 6 Mor(B, C), h 6 Mor(C, D), to zachodzi ró w ­

ność:

( h . g ) . f = h . ( g . f )

Jeżeli k ateg o ria К posiada tę w łasność, że klasa jej obiek­ tów je s t zbiorem , to n azy w a się ona m ałą kateg o rią 30.

Pow yższy fa k t term inologiczny b y ł ju ż zaznaczony w yżej. T u chodzi o zw rócenie uw agi n a to, że je st on pow odow any w ew n ętrzn y m i p o trzebam i sam ej teo rii m atem aty cznej, nieza­ leżnie od badań prow adzonych n a d podstaw am i m atem atyki.

Zachodzi n a w e t pew nego ro d zaju sy tu a c ja p arad o k saln a pole­ gająca n a tym , że liczni m atem aty cy , szczególnie tacy, k tórzy p ra c u ją w zak resie analizy klasycznej oraz geom etrii nie p rz e j­ m u ją się w cale trud n o ściam i logicznym i, tkw iącym i u podstaw teo rii mnogości i głoszą, że w spom niane tru d n o ści nie m ają żadnego w pły w u n a rozw ój sam ej m a te m a ty k i31. W lite r a tu ­ rze fachow ej n ato m iast coraz częściej i pow szechniej spotyka się dzisiaj odróżnianie pojęcia zbioru od pojęcia k l a s y 32. T e r­ m inów „k lasa” oraz „zbiór” nie uw aża się obecnie za synoni­ m y. U w ypuklenie tego stan u rzeczy w y d aje się być w skazane. P rzy p o m n ijm y tu jeszcze uw agi, odnoszące się do pojęcia

30 Zob. np. S. Lang, Algebra, Moskwa 1968, 39—40 oraz S. Maclane, Gomołogija, Moskwa 1966, 40— 41.

31 Zob. A. M ostowski, O niektórych nowych w ynikach m eta-m ate- m atycznych dotyczących teorii m nogości, S tu dia Logica, 20 (1967), 99— — 100.

32 Zob. np. E. H. Spanier, Algebraic Topology, 1966. Na stronie 1 czy­ tamy: The terms „set”, „fam ily”, and „collection” are synonym s, and th e term „class” is reserved for an aggregate w hich is not assumed to be a set (for exam ple, the class of all sets). Por. także artykuł A. Mo­ stow skiego cytow any w poprzednim przypisku, a także prace G. Cho- queta i Z. Sem adeniego, które są cytowane w przypiskach 33 i 34.

kategorii, poczynione przez G. C hoqueta i Z. Sem adeniego. W y­ mienieni A utorzy piszą:

„Teoria „k ateg o rii” je s t najm ło dszym z w ielkich narzędzi m atem atyki. Nic nie św iadczy ta k silnie o jedności m atem aty k i jak w łaśnie ona. Stanow i ona now y k ro k nap rzó d w dziedzinę abstrakcji. Isto tnie, zajm u je się ona nie relacjam i m iędzy ele­ mentami jakiegoś ustalonego zbioru, ale relacjam i m iędzy przedm iotam i u stalo nej „k ateg o rii”, a n a w e t rela cja m i m iędzy różnymi kateg oriam i. F ak t, że tak a ogólność nie pociąga za so­ bą try w ialn o ści an i n a w e t ubóstw a tej teorii, nosi znam iona cudu. A je d n a k ta k jest, te o ria ta je s t w w ielu dziedzinach nieodłącznym p rzew odnikiem m łodej g en eracji m atem atyk ó w . [...] K ateg o ria nie jest więc zbiorem ; w ygodnie je s t w yobrazić ją sobie jak o pew n ą klasę przedm iotów , rozum iefąc przez klasę coś szerszego niż zbiór” 33.

„Użyliśm y w y rażen ia „k lasa obiektów ”, np. „klasa w szyst­ kich g ru p ” , „k lasa w szystkich p rze strz e n i topologicznych” . T e r­ miny tak ie nie są dopuszczalne w k lasycznym system ie aksjo­ matów teorii m nogości (Zerm elo — F raenkel), z drugiej jed n a k strony w yrzeczenie się ich spow odow ałoby szereg fo rm alny ch kłopotów. Nie m ożna by mówić o klasie w szystkich m orfizm ów , a to z kolei zaciem niłoby definicję fu n k to ra (fu n k to r jest to „funkcja” z kateg o rii do k ateg o rii zachow ująca się ja k hom o- morfizm w zględem skład an ia m orfizm ów , tzn. p rzepro w ad za­ jąca identyczności n a identyczności i złożenia n a złożenia). Z te ­ go powodu teo ria k a te g o rii chętn ie po słu gu je się system em aksjom atycznym von N eu m ann a — B ern ay sa — G oedla, w k tó ­ rym ta k ie pojęcia są dopuszczalne. Z drugiej stro n y aksjom a- tyka ta n ie usuw a w szystkich tru d n o ści teo rii kategorii, bow iem nie pozw ala mówić o k ateg o rii fu n k to ró w (fu n k to r z k ateg orii Kt w k ateg o rię K2 je s t podklasą k lasy Κχ X K2 i nie je s t n a

33 G. Choquet, A naliza i Bourbaki, W iadom ości M atem atyczn e 7 (1963—1964), 107—108.

ogół zbiorem , a więc nie może — w system ie von N eum anna — B ern ay sa — G oedla — być elem en tem żadnej klasy )” 34.

J e s t widoczne, że uw agi powyższe p ły n ą z prześw iadczenia o p rio ry te c ie b ad ań n au kow y ch przed p oddaw aniem ich „po­ rząd kow aniu” m etodologicznem u. A także z prześw iadczenia 0 niedopuszczalności w szelkich ograniczeń ty p u apriorycznego w odniesieniu do rozw ijającej się n au k i. O na sam a tw o rzy k r y ­ te ria swego postępu. Czyni to przez swój dynam iczny rozwój 1 ty lk o w ted y m a on isto tn ie m iejsce. W p rzeciw nym w y pad ku n a stę p u je okaleczanie n a u k i 35. Te m yśli b y ły nicią przew odnią a rty k u łu . W ydaje się, że zasług u ją one n a zw rócenie n a nie uw agi.

MENGEN UND KLASSEN

Der B egriff der Menge ist der Grundbegriff der Mathematik. Dieser Begriff w urde im plicite im G ebiete der M athematik immer gebraucht, obgleich exp licite erst von G. Cantor zirka 1880 form uliert w orden ist. G. Cantor ein e neue m athem atische Disziplin, näm lich die M engenlehre, gesch afft hat. Es könnte scheinen, als ob alle m athem atische B egriffe auf der m engentheoretischen Basis greifbar sind. Erst die Entstehung der Kategorientheorie diese M einung verändert hat. Der B egriff der Kathegorie kann man nicht in das Schem a der klassischen M engenlehre aufsetzen. Die K athegorie ist eine Klasse, doch nicht eine M enge (im allgem einen). Der M athematik also nötig ist nicht nur der Begriff der Menge, aber auch der breitere Begriff der Klasse. Im A rtikel dieses Faktum betont worden ist. Dort befindet sich auch eine V orstellung der elem entaren K lassenalgebra und die D iskussion über dem Mengenbriff. Es w urde betont, dass die A xiom atik von von N eum ann — Bernays — G ödel kann nicht der K ategorientheorie ganz genügen. Darum, die Sache von der historischen und reellen S eite betrachtend, m uss man der M athem atik die Priorität in der Konstruktion ihrer B egriffe vor einigen V oraussetzungen des apriorischen Charakters geben.

34 Z. Sem adeni, Struktury w sensie Bourbakiego i kategorie, Prace

M atem atyczn e, 10 (1966— 1967), 47.

35 Por. L. Geymonat, Filozofia a filozofia nauki, Warszawa 1966, szcze­ gólnie rozdział VI, 118— 144.