38. Rozwiązy wanie układów równań metodą podstawiania
Imię i nazwisko ... Klasa ...
Podczas rozwiązywania układu równań pierwszego stopnia z niewiadomymi x i y metodą podstawiania postępujemy według jednej z czterech instrukcji.
Instrukcja I.
1. Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą x.
2. W drugim równaniu podstawiamy za x wyrażenie wyznaczone z pierwszego równania.
3. Rozwiązujemy drugie równanie.
4. Otrzymaną z drugiego równania wartość y podstawiamy do równania pierwszego i obliczamy x.
Instrukcja II.
1. Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą y.
2. W drugim równaniu podstawiamy za y wyrażenie wyznaczone z pierwszego równania.
3. Rozwiązujemy drugie równanie.
4. Otrzymaną z drugiego równania wartość x podstawiamy do równania pierwszego i obliczamy y.
Instrukcja III.
1. Z drugiego równania wyznaczamy niewiadomą x.
2. W pierwszym równaniu podstawiamy za x wyrażenie wyznaczone z drugiego równania.
3. Rozwiązujemy pierwsze równanie.
4. Otrzymaną z pierwszego równania wartość y podstawiamy do równania drugiego i obliczamy x.
Instrukcja IV.
1. Z drugiego równania wyznaczamy niewiadomą y.
2. W pierwszym równaniu podstawiamy za y wyrażenie wyznaczone z drugiego równania.
3. Rozwiązujemy pierwsze równanie.
4. Otrzymaną z pierwszego równania wartość x podstawiamy do równania drugiego i obliczamy y.
1. Uzupełnij rozwiązanie układu równań metodą podstawiania. Postępuj według instrukcji II.
y x
x y
= + =
3
8 Z pierwszego równania
wyznaczamy niewiadomą y.
y x
x y
= + =
3
8 W drugim równaniu podstawiamy
za y wyrażenie wyznaczone z pierwszego równania.
y x
x
=
+ =
3
8 ...
2. Uzupełnij rozwiązanie układu równań metodą podstawiania. Postępuj według instrukcji III.
5 3 1
3 11 x y
x y
− = + =
5 3 1
11 x y x
− =
= −
...
5 3 1
11
⋅ − =
= −
...
...
x
y x
y x
=
= −
...
...
11 y x
=
=
...
....
3. Dany jest układ równań x y x y + = −
− + =
2 2
2 4. Uporządkuj etapy rozwiązywania tego układu.
A. 5 10 2 4 x
y x
= −
= +
B. x
y x
= −
= +
2
2 4 C. 5 8 2
2 4 x
y x
= − −
= +
D. x y
y x
+ = −
= +
2 2
2 4 E. x
y
= −
= ⋅ −
( )
+
2
2 2 4 F. x x
y x
+
(
+)
= −= +
2 2 4 2
2 4 G. x
y
= −
=
2
0 H. x
y
= −
= − +
2
4 4 I. x x
y x
+ + = −
= +
4 8 2
2 4
4. Rozwiąż układy równań metodą podstawiania.
a) x x y
= + =
5
2 4 b) y x
x y
= + =
2
3 10 c) 2 5
3 2 11 x y
x y
+ =
− =
d) x y
x y
+ = + =
2
3 2 8 e) 2 9
8 1
x y x y
− = + =
f) 6 2 2
3 2 7
x y
x y
+ =
− =
5. Rozwiąż układy równań metodą podstawiania. Sprawdź, czy otrzymana para liczb spełnia dany układ równań.
a) 2 15 3 4 20
x y
x y
+ = + =
b) 2 3 5
5 x y x y
+ =
− =
c) x y
x y + =
− =
3
2 3
d) x y x y
= + + =
1
7 e) x y
x y
= + + =
2
2 1 f) 2 4 8
3 5 6
x y
x y
+ =
− − =
6. Dany układ równań 2 4 3 9 x y
x y
+ =
− =
rozwiązano na dwa sposoby metodą podstawiania: w pierwszym rozwią- zaniu wyznaczono zmienną y z pierwszego równania, a w drugim – zmienną x z drugiego równania. Poniżej przedstawiono oba rozwiązania po zmieszaniu poszczególnych ich etapów.
A. 2 2 4
7 12 9
y x
x
= − +
= +
B. 7 14
3 9 y
x y
= −
= +
C. y
x
= − ⋅ +
=
2 3 4 3
D. 7 18 4
3 9 y
x y
= − +
= +
E. y x
x
= − +
=
2 4
3 F. y
x
= −
= ⋅ −
( )
+
2 3 2 9 G. y
x
= −
=
2
3 H. y x
x x
= − +
− ⋅ − +
( )
=
2 4
3 2 4 9 I. 6 18 4
3 9
y y
x y
+ + =
= +
J. y x
x
= − +
=
2 4
7 21 K. 2 4
3 9 x y
x y
+ =
= +
L. y x
x x
= − +
+ − =
2 4 6 12 9
M. 2 3 9 4
3 9
⋅
(
+)
+ == +
y y
x y
a) Wybierz i uporządkuj etapy pierwszego rozwiązania.
7. Rozwiąż układ równań 9 3 12 2 8 10
x y x y
+ = + =
metodą podstawiania. Sprawdź, czy otrzymana para liczb spełnia ten układ.
8. Dany jest układ równań 2 3 4 5 6 9
3 2 5 4 4 2 4 6
x y x y
x y x y
(
−)
= − +− + +
( )
= −(
−)
−
.
a) Uporządkuj etapy rozwiązywania tego układu.
A. x y
= −
= −
9 24
12 B. x y
y
= +
= −
9 2
3 36 C. x
y
= −
= −
15 12 D. x
y
= + ⋅ −
( )
= −
9 2 12
12 E. x y
y
= +
= − −
9 2
3 18 18 F. x y
y
= +
= −
9 2 12
G. x y
y y
= +
+ − = −
9 2
18 4 18 H. x y
x y
− =
− = −
2 9
2 18 I. x y
y y
= +
⋅ +
( )
− = −
9 2
2 9 2 18
J. 6 8 5 6 9
6 15 12 8 16 6
x y x y
x y x y
− = − +
− + + = − + −
K. 6 5 8 6 9
6 8 15 16 6 12
x x y y
x x y y
− − + =
− + + − = − −
b) Sprawdź, czy otrzymana para liczb spełnia ten układ równań.
9. Dany jest układ równań 2 3
1 6 2 2
2 4
2 3 0 5
x y
x y x y
+ =
+ =
+ −
, .
a) Uzupełnij luki i dokończ rozwiązywanie układu równań metodą podstawiania.
2 3
1 6 2 2
2 4
2 3 0 5 6
x y
x y x y
+ = ⋅
+ = ⋅
+ − ,
...
4x y
x y x y
+ =
+ + − =
...
y
x y
=
+ =
b) Sprawdź, czy otrzymana para liczb spełnia ten układ równań.
10. Rozwiąż dany układ równań metodą podstawiania i sprawdź, czy otrzymana para liczb jest rozwiązaniem tego układu równań.
2 3 4 5 4 2 3 3
2
3 2 3
5 6
x y x y x
x y x y
(
+)
+ =(
+)
− +− =
+ +
Numer
zadania Odpowiedzi
1
( )
2 6, 2( )
2 3,3 D→F→I→C→A→B→E→H→G
4 a) x
y
=
= −
5
6 b) x y
=
=
2
4 c) x y
=
= −
3
1 d) x y
=
= −
4
2 e) x y
=
= −
1
7 f) x y
=
= −
1
2
5 a) x
y
=
= −
8
1 b) x y
=
= −
4
1 c) x y
=
=
2
1 d) x y
=
=
4
3 e) x y
=
= −
1
1 f) x y
= −
=
32 18 6 a) H→L→A→J→E→C→G b) K→M→I→D→F→G
7 x
y
=
=
1 1
8 a) J→K→H→I→G→E→B→F→D→A→C
9 a) x
y
=
=
2 3 1 3
10 x
y
= −
=
2 1
