1. Pokazać, ze obrót p aszczyzny o kat ¾, f : R 2! R 2, zde niowany wzorem f(x; y) = (x cos y sin ; x sin + y cos );

(1)

´Cwiczenia I

1. Pokaza´c, ·ze obrót p÷aszczyzny o k ¾at , f : R² ! R², zde…niowany wzorem

f (x; y) = (x cos y sin ; x sin + y cos );

jest izometri ¾a.

2. We´zmy …gur ¾e A i niech Izo (A) oznacza zbiór izometrii …gury A na A:

Pokaza´c zachodzenie aksjomatów grupy wzgl ¾edem sk÷adania, tzn.

a) z÷o·zenie izometrii jest izometri ¾a, b) ÷¾aczno´s´c, c) idA f = f idA; d) f ¹ jest izometri ¾a i f f ¹= f ¹ f = idA:

3. Niech p i q b ¾ed ¾a dwoma ró·znymi punktami przestrzeni Rⁿ. Pokaza´c, ·ze funkcja

f : R ! Rⁿ; t 7 ! p + t qXⁿ

i=1(qi pi)²

(q p);

zachowuje odleg÷o´s´c punktów, tzn. (f (t); f (s)) = (t; s) :

4: Wykaza´c (do domu), ·ze obrót p÷aszczyzny o k ¾at dany jest wzorami z zadaniami 1..

´Cwiczenia 2

1. Pokaza´c równo´s´c wyra·zaj ¾ac ¾a iloczyn skalarny wektorów za pomoc ¾a ich d÷ugo´sci:

x y = 1

4 kx + yk² kx yk² :

2. Wykaza´c wzór na sinus k ¾ata mi ¾edzy wektorami x = [x₁; x₂], y = [y₁; y₂] le·z ¾acymi na p÷aszczy´znie kartezja´nskiej R²:

sin =j x¹y2 x2y1j kxk kyk

0 BB

@=

j det x1 x2

y1 y2 j kxk kyk

1 CC A :

3. Wierzcho÷kami trójk ¾ata le·z ¾acego na p÷aszczy´znie R² s ¾a punkty p = ( 2; 0), q = (1; 0), r = (2;p

3). Znale´z´c k ¾at tego trójk ¾ata przy wierzcho÷ku q (korzysta´c z wektorów zaczepionych, ich wspó÷rz ¾ednych i wzoru na cosinus).

4 Dane s ¾a trzy punkty w R⁴. Policzy´c k ¾aty trójk ¾ata o tych wierzcho÷kach.

5. Niech f (x) = mx + n b ¾edzie dan ¾a funkcj ¾a liniow ¾a. Oznaczmy przez L jej wykres. Pokaza´c, ·ze L jest prost ¾a (da´c izometri ¾e R na L ).

Podpowied´z: znajdujemy opis parametryczny (x) = (x; mx + n) zbioru L;

liczymy odleg÷o´s´c ( (x) ; (y)) ; porównujemy z (x; y) i przewidujemy posta´c izometrii, po czym sprawdzamy, ·ze jest to izometria.

´Cwiczenia nr 3.

1. Pokaza´c z de…nicji, ·ze zbiór L R² punktów spe÷niaj ¾acych równanie Ax + By = 1 gdzie A i B s ¾a sta÷ymi, przy czym A 6= 0, jest prost ¾a.

Podp. Znale´z´c trzeba izometri ¾e f : R ! L: W tym celu rozwi ¾azujemy na x x = 1 By

(2)

i rozwa·zamy pomocniczo parametryzacje zbioru L (za parametr przyjmujemy y )

f (y) = 1 By A ; y :

Sprawdzamy (f (y) ; f (y⁰)) ; widzimy, ·ze jest to sta÷a (y; y⁰) = jy⁰ yj : Stawiamy hipoteze, ·ze f _staa^y jest izometri ¾a co elementarnie sprawdzamy.

2. Sprawdzi´c, czy podzbiór L R³ sk÷adaj ¾acy si ¾e z punktów (x1; x2; x3)

takich, ·ze 8

<

:

x1= 1 + 2t x2= 3 t x3= 2 + 5t dla t 2 R:

Podp. Rozwa·zamy parametryzacje f : R ! L okre´slon ¾a wzorem f (t) = (1 + 2t; 3 t; 2 + 5t) : Obliczamy (f (t) ; f (s)) i mody…kujemy f dziel ¾ac patametr przez odpowiedni ¾a sta÷¾a.

3. Sprawdzić z de…nicji, ·ze zbiór L R³rozwi ¾azań uk÷adu równań 4x₁+ x₃ 1 = 0

x₁ 2x₂+ 3 = 0 jest prost ¾a.

Podp. Z algebry szukamy parametryzacji zbioru rozwi ¾aza´n. Dalej j/w.

4. Do domu. Sprawdzi´c z de…nicji, ·ze zbiór L R³ rozwi ¾aza´n uk÷adu

równa´n 8

<

:

x₁ 2x₂+ x₄= 0 x₂+ x₃ x₄ 1 = 0 2x₁+ 3x₂ x₃+ 1 = 0 jest prost ¾a.

5. Do domu zadanka na iloczyn skalarny typu Przyby÷o-Szlachtowski 360b, 362 a,b.

6. Przypomnieć ze szko÷y liczenie odleg÷o´sci punktu od prostej na p÷aszczy´znie, doj´sć do wzoru na odleg÷o´sć prostych równoleg÷ych zadanych równaniami ogól- nymi Ax + By = Ci; i = 1; 2:

7 Zadanie. Znale´z´c proste odleg÷e o 2 od prostej 2x 3y = 5:.

´Cwiczenia nr 4.

Zad1. Znale´z´c odleg÷o´s´c punktu p = (1; 2) od prostej L zadanej parame- trycznie

x = 1 + t y = 2 3t :

Podp. Nie stosowa´c wzorów ogólnych lecz znale´z´c rzut prostopad÷y punktu p na prost ¾a L:

Zad2 Znale´z´c odleg÷o´s´c dwu prostych równoleg÷ych L₁ : 2x 3y = 2 L2 : 2x 3y = 3

(3)

(nie stosowa´c wzorów ogólnych na odleg÷o´s´c prostych ax + by = ci; i = 1; 2;

wykorzysta´c wzór na odleg÷o´s´c punktów).

Podp. Niech p = (x₀; y₀) le·zy na pierwszej prostej L₁; czyli 2x₀ 3y₀ 2 = 0.

Wtedy ze wzoru na odl punktu od prostej drugiej (zadanej w postaci ogólnej) (p; L2) =j2x⁰p 3y0+ 3j

4 + 9 =j2x⁰ p3y0 2 + 5j

4 + 9 = 5

p13: Zad 3. Pokaza´c równo´s´c lv= l (v)

(najpierw narysowa´c i obja´sni´c rysunkowo !! )

Zad 4. Znale´z´c wspó÷rz ¾edne punktu q = ( 1; 2) w nowym uk÷adzie O⁰X⁰Y⁰ powsta÷ym z kanonicznego uk÷adu przez dokonanie obrotu o k ¾at =²₃ i przesuni ¾ecia o wektor v = [2; 1] : UWAGA: Narysowa´c rysunek uzasadniaj ¾acy tez ¾e:

aby policzyć wspó÷rz ¾edne danego punktu q w nowym uk÷adzie O⁰X⁰Y⁰ trzeba znale´zć punkt p taki, ·ze q = '_{(v; )}(p) = (l_v ) (p) i obliczyć wspó÷rz ¾edne punktu p w starym uk÷adzie OXY:

Zad 5. Dana jest prosta 2x y = 3: Znale´z´c jej równanie w uk÷adzie O⁰X⁰Y⁰ powsta÷ym z kanonicznego przez dokonanie obrotu o k ¾at = ³₄ i przesuni ¾ecia o wektor v = [2; 3] :

(4)

´Cwiczenia nr 5.

Zad. 1. Punkt q w nowym uk÷adzie O⁰X⁰Y⁰ powsta÷ym z obrotu o =³₄ i przesuni ¾eciu o v = [ 1; 1] ma wspó÷rz ¾edne (2; 0) : Jakie mia÷wspó÷rz ¾edne oryginalnie w uk÷adzie OXY ?

Zad. 2. Znale´z´c obrót i jakie´s przesuni ¾ecie uk÷adu wspó÷rz ¾ednych tak aby prosta 2x + 2y = 1 w nowym uk÷adzie pokry÷a si ¾e z osi ¾a O⁰Y⁰ .

Zad. 3. Znale´z´c obrót i jakie´s przesuni ¾ecie uk÷adu wspó÷rz ¾ednych tak aby prosta 2x y = 3 w nowym uk÷adzie by÷a równoleg÷a do wektora który w tym nowym uk÷adzie ma wspó÷rz ¾edne [2; 1] i aby przechodzi÷a przez punkt który w nowym uk÷adzie ma wspó÷rz ¾edne (1; 0) :

Zad. 4. Jak dokona´c zmiany uk÷adu wspó÷rz ¾ednych (obrót i przesuni ¾ecie) aby prosta 2x + y = 2 sta÷a si ¾e w nowym uk÷adzie dwusieczn ¾a drugiej i czwartej

´cwiartki?

Zad. 5. Dana jest w uk÷adzie OXY krzywa o równaniu x² xy + y²+ 6x = 0. Znale´z´c równanie tej krzywej w nowym uk÷adzie O⁰X⁰Y⁰ powsta÷ym ze starego za pomoc ¾a obrotu o k ¾at = ₄ i przesuni ¾eciu o wektor v = ¹₂;³₂ :

Zad. 6. Znale´zc równanie krzywej x²= y w uk÷adzie O⁰X⁰Y⁰ powsta÷ym z kanonicznego o obrót o (a) = ₂; (b) = ₂:

´Cwiczenia nr 6

Zad 1. Pokazać, ·ze zbiór przekszta÷ceń p÷aszczyzny które s ¾a z÷o·zeniem obrotu i przesuni ¾ecia, l_v ; tworz ¾a grup ¾e. Pomocniczo pokazać, ·ze ¹= ; l_v¹= l _v:

Zad 2. (1) Zbada´c rodzaj krzywej (typ i podptyp), 6x²+ 8y²+ 3x 3y + 1 = 0:

(2) Znale´zć ´srodek symetrii, (3) Podać zmian ¾e zmiennych przesuwaj ¾acych pocz ¾atek uk÷adu wspó÷rz ¾ednych do ´srodka symetrii, (4) Znale´zć nowe równanie w przesuni ¾etym uk÷adzie wstawiaj ¾ac zmian ¾e zmiennych do równania, (5) porównać z postaci ¾a a11x⁰²+ 2a12x⁰y⁰+ a22y⁰²+^W_w = 0 podan ¾a w twierdzeniu.

Zad 4. j/w (1) Zbada´c rodzaj krzywej

41x²+ 24xy + 9y²+ 24x + 18y 36 = 0:

(2) Znale´zć ´srodek symetrii, (3) Podać zmian ¾e zmiennych przesuwaj ¾acych pocz ¾atek uk÷adu wspó÷rz ¾ednych do ´srodka symetrii, (4) Znale´zć nowe równanie w przesuni ¾etym uk÷adzie wstawiaj ¾ac zmian ¾e zmiennych do równania, porównać z postaci ¾a w twierdzeniu.

Zad 5 Tre´s´c j/w dla równa´n stopnia drugiego

1) 41x²+ 24xy + 34y²+ 34x 112y + 125 = 0 (punkt),

2) 7x²+ 60xy + 32y² 14x 60y + 7 = 0 (odp. dwie proste przecinaj ¾ace si ¾e y⁰⁰= ¹₂x⁰⁰)

´Cwiczenia 7

Zad. 1 Zbada´c typ, podtyp

41x²+ 24xy + 9y²+ 24x + 18y 36 = 0:

(5)

krzywej i postać kanoniczn ¾a. Podać obrót w którym krzywa ma postać kanoniczn ¾a. Podać przekszta÷cenie sprowadzaj ¾ace równanie wyj´sciowe do postaci kanonicznej. Wynik sprawdzić. Rozpatrzeć (a) dla k ¾ata ostrego (b) dla k ¾ata rozwartego.

Zadanie 2. Zbadać co to za krzywa, Sprowadzić do postaci kanonicznej, podać zmian ¾e zmiennych prowadz ¾ac ¾a do postaci kanonicznej dla równania

x² 2xy + y² 6x + 6y + 7 = 0:

Zadanie 3. Zbadać co to za krzywa, Sprowadzić do postaci kanonicznej, podać zmian ¾e zmiennych prowadz ¾ac ¾a do postaci kanonicznej dla równania

4x²+ 12xy + 9y² 4x 6y + 1 = 0:

Zadania 4. Zbadać krzywe (typ podtyp, postać kanoniczna, przekszta÷cenie sprowadzaj ¾ace ((a) k ¾at obrotu dowolny, (b) k ¾at obrotu z ćwiartki 1, (c) k ¾at obrotu z ćwiartki 2)

1) 2x²+ 6x + 3y + 6 = 0;

2) x²+ 4xy + 3y² 6x 12y + 9 = 0;

3) 4x²+ 12xy + 9y² 4x 4y + 1 = 0;

4) x²+ 2y² 4x 4y = 0;

5) 4x² y² 8x 6y 4 = 0;

6) 9x²+ 12xy + 4y² 24x 16y + 3 = 0;

7) 16x² 24xy + 9y² 160x + 120y + 425 = 0:

´Cwiczenia 8

Zadanie. Znale´z´c izometrie elementarn ¾a (najpierw w postaci z÷o·zenie dwu obrotówi elementarnych a potem posta´c analityczn ¾a) f : R³ ! R³ dla której f (0) = 0 oraz f 1;

q3 2;

q3

2 2 R^3;1:

Zadanie. Z÷o·zyć obrót f₄_;1;2 z obrotem f ₆_;1;3: Podać postać analityczn ¾a.

´Cwiczenia 9 kolokwium

´Cwiczenia 10:

Zadanie 1. Zbadać z de…nicji, czy punkty p1= (1; 2; 3) ; p2= 1; ¹₂; ¹₃ ; p3= (0; 1; 3), p4= (2; 1; 2) s ¾a liniowo niezale·zne (dla przyk÷adu sprawdzić tylko czy p1 nale·zy czy nie nale·zy do z÷¾acza pozosta÷ych punktów, pozosta÷e cz ¾e´sci zadać jako prace domow ¾a).

Zadanie 2. Znale´zć równanie wektorowe oraz parametryczne prostej L w R⁴ przechodz ¾acej przez punkt (1; 2; 3; 4) i i równoleg÷ej do prostej przchodz ¾acej przez punkty ( 1; 0; 1; 0) i (0; 2; 1; 1) : Znale´zć punkt przeci ¾ecia z hiperp÷aszczyzn ¾a R^4;3: Zbadać, czy prosta L przebija z÷¾acze punktów p₀ = (1; 2; 3; 4) ; p₁ = (0; 1; 2; 3) ; p₂= (2; 3; 0; 1) :

Zadanie 3. Znale´z´c punkt przeci ¾ecia prostej wyznaczonej w R⁴ przez punkty a = (1; 2; 3; 4) i b = 1; ¹₂; ¹₃; ¹₄ z hiperp÷aszczyzn ¾a R^4;3:

Zadanie 4. Zbada´c, czy prosta L1 w R³ wyznaczona przez punkty a1 = (0; 1; 2) i b1= (1; 0; 2) przecina prost ¾a L2wyznaczon ¾a przez punkty a2= (1; 1; 1) i b2= (3; 3; 5) :

(6)

Zadanie 5. Znale´z´c punkt przeci ¾ecia si ¾e trzech ´srodkowych trójk ¾ata w R⁴ o wierzcho÷kach a1= (0; 1; 1; 1) ; a2= (1; 0; 1; 1), a3= ( 1; 1; 1; 0) :

Zadanie 6. W R⁴ dane sa punkty: p₀ = (1; 0; 1; 0) ; p₁ = (0; 1; 0; 1) ; p₂= ( 1; 1; 0; 1) ; p₃= ( 1; 1; 1; 2) ; p₄= (1; 2; 3; 4) ; p₅= (1; 2; 3; 1) :

(a) Zbada´c czy jaki´s punkt prostej ÷acz ¾acej p₄i p₅nale·zy do z÷¾acza punktów p₀; p₁; p₂; p₃:

(b) Zbada´c czy istnieje punkt wspólny dla z÷¾aczy C (p₀; p₁; p₂) i C (p₃; p₄; p₅) :

´Cwiczenia 11

Zadanie 1. Zbada´c czy punkty p1 = (1; 2; 3) ; p2 = 1; ¹₂; ¹₃ ; p3 = (0; 1; 3), p4= (2; 1; 2) s ¾a liniowo niezale·zne (przy pomocy wektorów).

Zadanie 2. Znale´z´c wymiar i równanie parametryczne hiperp÷aszczyzny rozpi ¾etej przez punkty p0= (1; 1; 1; 1; 1) ; p1= ( 1; 1; 1; 1; 1) ; p2= (3; 1; 6; 2; 3) ; p3= (1; 1; 2; 0; 1) :

hint: znale´z´c maksymaln ¾a ilo´s´c wektorów liniowo-niezale·znych spo´sród vi = [p0; p!i] ; i = 1; 2; 3:

Zadanie 3. Zad 6 z poprzedniego zestawu. Rozwi ¾azać je przy pomocy wektorów i równań parametrycznych (b ¾edzie mniej para- metrów !) W R⁴ dane sa punkty: p₀ = (1; 0; 1; 0) ; p₁ = (0; 1; 0; 1) ; p₂ = ( 1; 1; 0; 1) ; p₃ = ( 1; 1; 1; 2) ; p₄ = (1; 2; 3; 4) ; p₅ = (1; 2; 3; 1) : Zbadać czy istnieje punkt wspólny hiperp÷aszczyzn H₁= C (p₀; p₁; p₂) i H₂= C (p₃; p₄; p₅) :

´Cwiczenia 12

Zadanie 1. Metod ¾a macierzy uk÷adu punktów zbada´c liniow ¾a niezale·zno´s´c punktów p₀= (1; 1; 1; 0) ; p₁= (2; 2; 1; 1) ; p₂= (0; 1; 3; 4) :

Zadanie 2. Metod ¾a macierzy uk÷adu punktów obliczy´c maksymaln ¾a ilo´s´c liniowo-niezale·znych punktów spo´sród punktów p0= (1; 1; 1; 0) ; p1= (2; 2; 1; 1) ; p2 = (0; 1; 3; 4) ; p3= 1;⁴₃;⁵₃; 1 ; p4 = ¹₂; 1; 2; 2 (a wi ¾ec tym samym wymiar hiperp÷aszczyzny rozpi ¾etej przez te punkty).

Zadanie 3. Metod ¾a wyznacznika macierzy punktów zbada´c liniow ¾a za- le·zno´s´c punktów p0 = (1; 1; 1; 1) ; p1 = (2; 2; 0; 0) ; p2 = (0; 0; 2; 3) ; p3 = (2; 0; 4; 1) ; p4= (2; 1; 0; 2) :

Zadanie 4. Metod ¾a wyróznika uk÷adu punktów zbada´c liniow ¾a niezale·zno´s´c punktów p0= (1; 1; 1; 0) ; p1= (2; 2; 1; 1) ; p2= (0; 1; 3; 4) :

Zadanie 5. Zbada´c zachodzenie równo´sci ! = W²dla przyk÷adu punktów p₀= (1; 1; 1; 0) ; p₁= (2; 2; 1; 1) ; p₂= (0; 1; 3; 4) :

Zadanie 6. Obliczy´c pole równoleg÷oboku którego trzy spo´sród czterech wierzcho÷ków s ¾a dane (a) p₀ = (1; 1; 1; 0) ; p₁ = (2; 2; 1; 1) ; p₂ = (0; 1; 3; 4) ; (b) p₀= (1; 1; 1; 1) ; p₁= (2; 2; 0; 0) ; p₂= (0; 0; 2; 3) ; (c) p₀= (0; 0) ; p₁= (0; 1) ; p₂= (1; 0) :

Zadanie 7. Trzy spo´sród czterech wierzcho÷ków równoleg÷oboku s ¾a dane p0= (1; 1; 1; 0) ; p1 = (2; 2; 1; 1) ; p2 = (0; 1; 3; 4) ;Znale´z´c czwarty wierzcho÷ek (ile jest mo·zliwo´sci ?)

Zadanie 8. Pokaza´c, ·ze uk÷ad punktów p0; :::; pk 2 Rⁿ taki, ·ze (pi; pj) = 1 ^j_i jest liniowo niezale·zny.

Zadanie 9. Napisa´c równanie ogólne p÷aszczyzny w R³ wyznaczone przez punkty (1; 0; 1) ; (0; 1; 0) ; (1; 1; 1) :

(7)

Zadanie 10. W hiperp÷aszczy´znie x 2y + 4z t = 9 zawartej w R⁴znale´z´c dowolny maksymalny uk÷ad punktów liniowo-niezale·znych. (podpowied´z - patrz dowód tw.)

Zadanie 11. Napisa´c równanie ogólne p÷aszczyzny w R³ wyznaczone przez 3 punkty (1; 0; 1) ; (0; 1; 0) ; ( 1; 1; 1) :

Zadanie 12. Napisa´c równanie hiperp÷aszczyzny 3 wymiarowej w R⁴ wyznaczonej przez 4 punkty (1; 2; 1; 2) ; (0; 1; 0; 1) ; ( 1; 1; 2; 1) ; (2; 1; 0; 1) :

Zadanie 13. Dane s ¾a dwie p÷aszczyzny H₁ i H₂ wyznaczone odpowiednio przez trzy punkty (0; 1; 2) ; (2; 1; 3) ; (3; 2; 1) dla H1 i (3; 5; 7) ; ( 1; 3; 5) ; (3; 2; 2) dla H2: Pokazać, ·ze H1\ H² jest prost ¾a i znale´zć jej równanie parametryczne. (Podpowied´z co do metody: H1\ H² jest zbiorem liniowym wi ¾ec hiperp÷aszczyzn ¾a, mo·zliwy jest jej wymiar 1 lub 2 gdy H1\ H² 6= ?; znale´zć równania H1 i H2: Korzystaj ¾ac z Tw. Kroneckera Capelliego sprawdzić, ·ze H1\H²6= ? i H¹\ H²jest w÷a´sciwym podzbiorem H1(tak·ze H2) sk ¾ad wymiar H1\H²jest 1 czyli H1\H²jest prost ¾a. Jedna ze zmiennych b ¾edzie parametrem, sk ¾ad dostaniemy równanie parametryczne wzgl ¾edem tego parametru.

´Cwiczenia 13.

Zad 1. Wyprowadzi´c wzór na odleg÷o´s´c punktu a od hiperp÷aszczyzny n 1- wymiarowej H o równaniu ogólnym A₀+ A₁x₁+ ::: + A_nx_n= 0:

Zad 2. Dom. Wyprowadzi´c wzór na iloczyn mieszany wektorów (u·zy´c wzoru na wspó÷rz ¾edne iloczynu wektorowego)

(a; b; c) = (a b) c =

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

:

Zad 3. Dom. Wyprowadzi´c wzór na podwójny iloczyn wektorowy (a b) c = (a c) b (b c) a:

Zad 4. Obliczy´c odleg÷o´s´c punktu (2; 3; 4) od prostej o równaniu parame- trycznym

L : 8<

:

x = 1 t y = 2 + 3t

z = 5t:

Rozw. p = (2; 3; 4) ; a0 = (1; 2; 0) 2 L; v = [ 1; 3; 5] k L: Szukamy (p; p⁰) gdzie p⁰jest rzutem prostopad÷ym p na L: D÷ugo´s´c iloczynu wektorowego k !a₀p vk jest polem równoleg÷oboku rozpi ¾etego na wektorach a!₀p i v: Pole to jest jednocze´snie równe polu prostok ¾ata o podstawie dlugo´s´c v; czyli kvk i wysoko´sci h = (p; p⁰) = (p; L) gdzie p⁰ jest rzutem prostokatnym p na L:

Zatem = kvk h czyli szukana odleg÷o´s´c

h = k !a0p vk

kvk =k[1; 1; 4] [ 1; 3; 5]k

k[ 1; 3; 5]k = k[ 7; 9; 4]k k[ 1; 3; 5]k =

p146 p35: Zad. 5Znale´z´c dowolne równanie parametryczne p÷aszczyzny o równaniu x 2y + 3z = 4:

(8)

Wektorem prostopad÷ym do jestv = [1; 2; 3] : jest wi ¾ec prostopad÷a do v: Szukamy dowolnych wektorów a i b takich, ·ze v a = 0; v v = 0 oraz znajdujemy dowolny punkt a 2 . Równaniem b ¾edzie a + ta + sb które rospisujemy we wspó÷rz ¾ednych.

Zad. 6 Znale´z´c równanie p÷aszczyzny przechodz ¾acej przez punkt (2:3: 6) i prostopad÷ej do p÷aszczyzn x + y + z 5 = 0 i x y + 2 = 0:

Zad. 7 Znale´z´c równanie p÷aszczyzny zawieraj ¾acej punkty (0; 1; 0) ; (3; 0; 0) i prostopad÷ej do p÷aszczyzny OXY:

Zad. 8Znale´z´c dowolne równanie parametryczne prostej o równaniu kraw¾edziowym x 2y z = 3

2x + 5y z = 7:

Prosta jest prostopad÷a do wektora [1; 2; 1] oraz [2; 5; 1] : St ¾ad jest równoleg÷a do ich iloczynu wektorowego [1; 2; 1] [2; 5; 1] = [7; 1; 9] : Pozostaje znale´z´c dowolny punkt prostej, np podstawiaj ¾ac w uk÷adzie x = 0 i rozwiazuj ¾ac uk÷ad

2y z = 3 5y z = 7:

y =⁴₃; z = ¹₃: Równanie parametryczne x = 0 + 7t

y = 4

3 t

z = 1

3+ 9t:

Zad 9Znale´z´c p÷aszczyzn ¾e równoleg÷¾a do prostych

L1: 8<

:

x = 1 t y = 2 + 3t

z = 5t:

; L2: 8<

:

x = 1 + t y = 2 + t z = 3 5t:

i przechodz ¾ac ¾a przez punkt (0; 0; 1) :

P÷¾aszczyzna ta jest równoleg÷a do wektorów [ 1; 3; 5] ; [1; 1; 5] : Zatem wektorem prostopad÷ym do tej p÷aszczyzny jest ich iloczyn wektorowy

[ 1; 3; 5] [1; 1; 5] = [ 20; 0; 4] : Równanie ogólne jest równe

20x 4z = d:

Szukamy d takiego, aby p÷aszczyzna zawiera÷a punkt (0; 0; 1) : St ¾ad 20 0 4 1 = d = 4:

Zad 10. Obliczy´c odleg÷o´s´c prostych sko´snych z poprzedniego zadania.

Jest to odleg÷o´s´c p÷aszczyzn równoleg÷ych zawieraj ¾acych te proste.

(9)

Znajdujemy p÷aszczyzn ¾e zawieraj ¾ac ¾a np. drug ¾a prost ¾a i równoleg÷¾a do prostej pierwszej (czyli jak wy·zej 20x 4z = d i ma zawiera´c ( 1; 2; 3) ; zatem 20 ( 1) 4 ( 3) = d = 27: Bierzemy punkt z prostej pierwszej (1; 2; 0) i szukamy odleg÷o´sci od 20x 4z = 27 wg wzoru z zadania 1.

Zad. 11 Zbadać, czy prosta x = t; y = 1 + 2t; z = t jest równoleg÷a do p÷aszczyzny x + y z + 7 = 0: Je´sli tak to obliczyć ich odleg÷o´sć.

Sprawdzamy [ 1; 2; 1] [1; 1; 1] = 0 sk ¾ad jest równoleg÷a. Stosujemy wzór z zad 1.

Zad. 12 Niechv 6= 0; b 6= 0 i b?v: Pokazać, ·ze równanie x v = b posiada rozwi ¾azanie i przedstawia prost ¾a. Znale´zć jej odleg÷o´sć od pocz ¾atku wspó÷rz ¾ednych.

Istnienie rozwi ¾azania: uk÷ad v; b; v b jest baz ¾a R³ wektorów wzajemnie prostopad÷ych. St ¾ad w ci ¾aguv; b; v b; v; b; v b; ::: iloczyn wektorowy dwu s ¾asied- nich jest wektorem nast ¾epnym z dok÷adno´scia do sta÷ej dodatniej. W szczegól- no´sci

(v b) v = k b; dla k > 0 zatem za x mo·zna wzi ¾a´c x = ^{v b}_k : Przy czym obliczamy k

k(v b) vk = kk bk = k kbk :

Wektory s ¾a prostopad÷e wi ¾ec d÷ugo´s´c iloczynu wektorowego jest iloczynem d÷u- go´sci

kv bk kvk = k kbk kvk kbk kvk = k kbk k = kvk²:

Zbiór rozwi ¾aza´n tworzy prost ¾a: gdy x0 jest ustalonym rozwi ¾azaniem, za´s x dowolnym to odejmujac równania

x v =b x0 v =b dostajemy

(x x₀) v = 0:

Dowodzi to, ·ze x x0 jest równoleg÷y do v; x x0 = t v; x = x₀+ t v a to jest równanie prostej. Oznaczmy j ¾a L:

Odleg÷o´s´c od (0; 0; 0) : Mamy punkt na prostej x₀ = ^{v b}

kvk²: Zauwa·zamy ·ze rzutem pocz ¾atku uk÷adu na prosta jest w÷a´snie punkt x0= gdy·z wektor wodz ¾acy tego punktu (czyli we wspó÷rz ¾ednych on sam) jest prostopad÷y do prostej x0

v = 0 (iloczyn wektorowy jest prostopad÷y do czynników). Zatem z de…nicji (0; L) = ^{v b}

kvk² =^kbk

kvk:

Zad 13. Dane jest równanie x [1; 2; 3] = [2; 1; a] : Dla jakiego parametru a równanie ma rozwi ¾azanie? Pokazać, ·ze dla tego parametru równanie przedstawia prost ¾a. Znale´zć jej odleg÷o´sć od pocz ¾atku uk÷adu wspó÷rz ¾ednych.

(10)

*********

CDN.

Zadania z kolokwiów.

1.

1. Mamy trójkat w przestrzeni R⁴ o wierzcho÷kach A = (0; 1; 2; 3) ; B = ( 1; 2; 3; 4) ; C = (2; 1; 0; 0) : Znale´z´c ten wierzcho÷ek w którym k ¾at jest rozwarty i znale´z´c sinus tego k ¾ata.

2. Pokaza´c z de…nicji, ·ze zbiór L R² punktów spe÷niaj ¾acych równanie 3x + 4y = 2 jest prost ¾a.

3. Znale´z´c wspó÷rz ¾edne punktu q = ( 1; 2) w nowym uk÷adzie O⁰X⁰Y⁰ powsta÷ym z kanonicznego uk÷adu OXY przez dokonanie obrotu o k ¾at =¹₃ i przesuni ¾ecia o wektor v = [ 2; 1] :

4. Zbada´c rodzaj krzywej (typ i podptyp),

6x²+ 8y²+ 3x 3y 1 = 0:

oraz znale´z´c ´srodek symetrii (o ile istnieje).

5. Znale´z´c obrót z ´cwiartki II (t.j. z przedzia÷u < ₂; ) ) i przekszta÷cenie sprowadzaj ¾ace krzyw ¾a do postaci kanonicznej

2x²+ 6x + 3y + 6 = 0:

2.

1. Dane s ¾a wektory v i w w R⁴; v = [1; 2; 0; 3] ; w = [2; 3; 1; 0] : Dobra´c tak liczby a; b 2 R aby wektor

u = [0; 0; 1; 1] + a v + b w by÷prostopad÷y do obu wektorów v i w:

2. Sprawdzi´c z de…nicji, czy podzbiór L R³ sk÷adaj ¾acy si ¾e z punktów (x1; x2; x3) takich, ·ze 8

<

:

x₁= 1 + 2t x₂= 3 t x₃= 2 5t jest prost ¾a.

3. Znale´z´c obrót i jakie´s przesuni ¾ecie uk÷adu wspó÷rz ¾ednych tak aby prosta 2x+2y = 1 w nowym uk÷adzie by÷a prostopad÷a do osi O⁰Y⁰i aby przechodzi÷a przez punkt (x⁰; y⁰) = (1; 1) :

4. Zbada´c rodzaj krzywej (typ i podptyp),

9x²+ 12xy + 2y² 24x 16y + 3 = 0;

oraz znale´z´c ´srodek symetrii (o ile istnieje).

5. Znale´z´c obrót z ´cwiartki I i przekszta÷cenie sprowadzaj ¾ace krzyw ¾a do postaci kanonicznej

4x²+ 12xy + 9y² 4x 6y + 1 = 0:

(11)

3.

1. Trzy punkty A; B; C 2 R⁴ s ¾a wierzcho÷kami trójk ¾ata prostok ¾atnego. Nie wiadomo w którym wierzcho÷ku jest k ¾at prosty. Wiadmo, ·ze A = (5; 3; 2; 9) ; B = (2; 1; 3; 0) ; oraz C = (0; 6; 7; ?) : Jaka liczba kryje si ¾e w kwadraciku?

Znale´z´c jedn ¾a z mo·zliwo´sci i wskaza´c w którym wierzcho÷ku b ¾edzie wtedy k ¾at prosty.

2. Znale´z´c izometrie która przeprowadza R na prost ¾a przechodz ¾ac ¾a przez punkty A = (1; 2; 3) i B = ( 1; 2; 1) :

3. Dana jest prosta 2x + 3y = 3: Znale´z´c jej równanie w uk÷adzie O⁰X⁰Y⁰ powsta÷ym z kanonicznego uk÷adu OXY przez dokonanie obrotu o k ¾at =³₅ i przesuni ¾ecia o wektor v = [2; 3] :

4. Zbada´c co to za krzywa, i sprowadzi´c do postaci kanonicznej 4x² y² 8x 6y 4 = 0:

5. Sprowadzi´c do postaci kanonicznej

6x²+ 8y²+ 3x 3y + 1 = 0

i poda´c przekszta÷cenie sprowadzaj ¾ace (oboj ¾etnie z której ´cwiartki b ¾edzie k ¾at obrotu).

Poprawka

1. Sprawdzi´c czy zachodzi równo´s´c 6x y = 1

4 k2x + 3yk² k2x 3yk² dla dowolnych x; y 2 Rⁿ:

2. Znale´z´c izometrie zbioru L R³ sk÷adaj ¾acego si ¾e z punktów (x₁; x₂; x₃)

takich, ·ze 8

<

:

x₁= 1 + 2t x2= 3 t x3= 2 5t

; t 2 R

z przestrzeni ¾a R .

3. Jak dokona´c zmiany uk÷adu wspó÷rz ¾ednych (obrót i przesuni ¾ecie) aby prosta 2x 3y = 2 sta÷a si ¾e w nowym uk÷adzie dwusieczn ¾a drugiej i czwartej

´cwiartki?

4. Zbadać krzyw ¾a: typ podtyp, postać kanoniczna, przekszta÷cenie sprowadza- j ¾ace (k ¾at obrotu z ćwiartki 1) do postaci kanonicznej

9x²+ 12xy + 4y² 24x 16y + 3 = 0:

5. Znale´z´c typ, podtyp i posta´c kanoniczn ¾a równania (k ¾at obrotu z dowolnej

´cwiartki)

x²+ 4xy + 4y² 6x 12y + 9 = 0: