DLA STUDENTÓW III ROKU

STATYSTYKA

DLA STUDENTÓW III ROKU

MATEMATYKI EKONOMICZNEJ, MATEMATYKI Z INFORMATYK þ A I MATEMATYKI NAUCZYCIELSKIEJ

Lista 4

1. X ¡

= (x

, x

) jest prób þ a prost þ a z rozkładu jednostajnego na odcinku θ −

, θ +

¢

. Porównaj poziomy ufno´sci i długo´sci dwóch przedziałów ufno´sci dla parametru θ:

(a) ¡

x

, x

¢ , (b) ¡

max ¡

x

, x

−

¢ , min ¡

x

, x

+

¢¢

(c) Zbuduj przedziały ufno´sci typu (a) i (b) dla danych X

= (1.5, 2.1) i X

= (1.5, 1.8)

2. X

= (x

, x

, . . . , x

) jest wektorem realizacji niezaleúznych zmiennych losowych postaci

X

= (θ/2) t

+ ε

, gdzie ε

maj þ a rozkład normalny o ´sredniej 0 i znanym odchyleniu standardowym σ. Wyznacz estyma- tor najwi þekszej wiarygodno´sci dla θ i na jego podstawie znajd´z przedział ufno´sci dla θ na poziomie ufno´sci (1 − α), wybieraj þac tak momenty t

, aby przedział ten dla ustalonego α miał zadan þ a z góry długo´s´c.

3. Niech wynikiem obserwacji b þedzie liczba sukcesów s w schemacie Bernoul- lego n do´swiadcze´n z nieznanym prawdopodobie´ nstwem sukcesu θ. Ko- rzystaj þ ac z twierdzenia Moivre’a- Laplace’a , które mówi, úze według praw- dopodobie´ nstwa

S n

− θ q

n

n→∞

→ Z

gdzie Z jest standardowym rozkładem normalnym, znajd´z przybliúzony (dla duúzych n) przedział ufno´sci dla θ na poziomie ufno´sci 1 − α nie ko- rzystaj þ ac z grubego oszacowania θ (1 − α) ≤ 1/4 Oblicz przedział ufno´sci dla θ gdy s = 10, n = 100, 1 − α = 0.95.

4. Niech X

= (x

, x

, . . . , x

) b þedzie prób þ a prost þ a z rozkładu ci þ agłego o nieznanej medianie

M. Pokaúz, úze dla kaúzdego i = 1, 2, . . . , n − 1

P ¡

X

< M < X

¢

= µ n

i

¶ µ 1 2

¶

(a) Znajd´z, korzystaj þ ac z udowodnionej równo´sci, najkrótszy przedział ufno´sci dla M na poziomie ufno´sci 1 − α,

(b) Oblicz najkrótszy przedział ufno´sci dla mediany na poziomie 0.95 dla danych X

= (171, 175, 173, 173, 168, 195, 171, 175, 169, 188)

1

patrz zad. 1 lista 3

2

median þ a rozkładu ci þ agłej zmiennej losowej X jest liczba M , úze P (X ≤ M) = P (X ≥ M) =

41

5. Ile naleúzy wykona´c pomiarów, aby oszacowa´c z dokładno´sci þ a do 0.1 i na poziomie ufno´sci 0.95 ´sredni þ a w rozkładzie normalnym z odchyleniem stan- dardowym σ = 2?

6. Oblicz, ile naleúzy wykona´c pomiarów, aby oszacowa´c z dokładno´sci þ a d i na poziomie ufno´sci 1 − α ´sredni þa w rozkładzie normalnym z nieznanym odchyleniem standardowym σ, jeúzeli znasz oszacowanie z góry parametru σ: σ ≤ σ

i σ

jest znane.

Andrzej D ˛ abrowski

42