• Nie Znaleziono Wyników

Układy równań różniczkowych

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "Układy równań różniczkowych"

Copied!
13
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 13 Stron )

Pełen tekst

(1)

Układy równań różniczkowych

Marcin Orchel

Spis treści

1 Wstęp 1

1.1 Istnienie rozwiązań wyższych rzędów . . . . 1

1.2 Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach . . . 3

1.2.1 Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach . . . . 9

1.2.2 Układy równań różniczkowych liniowych niejednorodnych pierw- szego rzędu . . . . 10

1.2.3 Układy równań drugiego rzędu . . . . 11

2 Zadania 12 2.1 Przydatne linki . . . . 12

2.2 Zadania na 3.0 . . . . 12

2.3 Zadania na 4.0 . . . . 13

2.4 Zadania na 5.0 . . . . 13

1 Wstęp 1.1 Istnienie rozwiązań wyższych rzędów Sprowadzenie do układu równań pierwszego rzędu. Każde jawne równanie różniczkowe rzędu n y (n) = f  x, y, y 0 , . . . , y (n−1)  (1) można przez wprowadzenie nowych zmiennych: y 1 = y 0 (2) y 2 = y 00 (3) . . . (4)

y n−1 = y (n−1) (5)

przekształcić do układu n równań różniczkowych pierwszego rzędu:

dy

dx = y 1 (6)

(2)

dy 1

dx = y 2 (7)

... (8)

dy n−1

dx = f (x, y, y 1 , . . . , y n−1 ) (9) W porównaniu z powyższym bardziej ogólny układ n równań różniczkowych pierwszego rzędu:

dy i

dx = f i (x, y 1 , y 2 , . . . , y n ) dla i = 1, 2, . . . , n (10) ma dokładnie jedno rozwiązanie ciągłe

y i = y i (x) dla i = 1, 2, . . . , n (11) określone i ciągłe w przedziale

x 0 − h ≤ x ≤ x 0 + h (12)

i spełniające warunek początkowy:

y i (x 0 ) = y i0 dla i = 1, 2, . . . , n (13) jeśli tylko funkcje

f i (x, y 1 , y 2 , . . . , y n ) (14) są ciągłe względem wszystkich zmiennych i spełniają warunek Lipschitza.

Przykład 1. Zastąpić układem równań równanie

y 00 = y 0 + x (15)

Układ to

y 0 = y 1 (16)

y 0 1 = y 1 + x (17)

Rozwiązanie to

y (x) = c 2 (e x − 1) + c 1 − x 2

2 − x − 1 (18)

y 1 (x) = c 2 e x − x − 1 (19)

Dwie stałe dla y(x) oraz jedna stała dla y 1 (x). Równanie na wolframalpha.com http: //

www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 27% 27+ %3D+ y% 27+ %2B+ x oraz układ http: //

www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y% 28x% 29% 27+ %3D+ y1% 28x% 29% 2C+ y1% 28x% 29%

27+ %3D+ y1% 28x% 29+ %2B+ x .

(3)

1.2 Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynni- kach

Postać normalna układu równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu o stałych współczynnikach jest następująca:

y 0 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + . . . + a 1n y n

y 0 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + . . . + a 2n y n . . .

y 0 n = a n1 y 1 + a n2 y 2 + . . . + a nn y n

(20)

Najpierw należy wyznaczyć pierwiastki równania charakterystycznego:

a 11 − r a 12 . . . a 1n

a 21 a 22 − r . . . a 2n . . .

a n1 a n2 . . . a nn − r

= 0 (21)

Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi r i odpowiada układ rozwiązań szczególnych:

y 1 = A 1 e r

i

x y 2 = A 2 e r

i

x . . .

y n = A n e r

i

x

(22)

Współczynniki A k wyznaczamy z jednorodnego układu równań liniowych (a 11 − r i ) A 1 + a 12 A 2 + . . . + a 1n A n = 0

. . .

a n1 A 1 + a n2 A 2 + . . . + (a n n − r i ) A n = 0

(23)

Jeśli wszystkie pierwiastki są różne to rozwiązaniem ogólnym jest kombinacja liniowa odpowiadających im rozwiązań szczególnych.

Jeśli natomiast r i jest m-krotnym pierwiastkiem to odpowiadające mu rozwiązania szcze- gólne mają postać:

y 1 = A 1 (x) e r

i

x y 2 = A 2 (x) e r

i

x . . .

y n = A n (x) e r

i

x

(24)

gdzie A i (x) są wielomianami stopnia co najwyżej m − 1. Wyrażenia te wstawiamy do

układu wyjściowego. Otrzymane równania dzielimy przez e r

i

x i porównujemy współ-

czynniki przy tych samych potęgach x. M stałych jest wybranych dowolnie. Jeśli układ

wyjściowy jest symetryczny to wystarczy przyjąć, że A i (x) = const. W przypadku zespo-

lonych pierwiastków równania charakterystycznego układu równań, układ rozwiązujemy

w dziedzinie zespolonej i jako rozwiązanie rzeczywiste bierzemy pod uwagę część rzeczy-

wistą rozwiązania.

(4)

Przykład 2.

y 0 1 = 2y 1 + 2y 2 − y 3 y 0 2 = −2y 1 + 4y 2 + y 3 y 0 3 = −3y 1 + 8y 2 + 2y 3

(25)

Równanie charakterystyczne:

2 − r 2 −1

−2 4 − r 1

−3 8 2 − r

= − (r − 6) (r − 1) 2 = 0 (26)

Wyznacznik na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= det+

{ { 2-r% 2C+ 2% 2C+ -1}% 2C+ { -2% 2C+ 4-r% 2C+ 1}% 2C+ { -3% 2C+ 8% 2C+ 2-r}} . Dla pier- wiastka jednokrotnego r 1 = 6 otrzymujemy:

−4A 1 + 2A 2 − A 3 = 0

−2A 1 − 2A 2 + A 3 = 0

−3A 1 + 8A 2 − 4A 3 = 0

(27)

Stąd:

A 1 = 0 A 2 = C 1 A 3 = 2C 1

(28)

Zatem:

y 1 = 0 y 2 = C 1 e 6x y 3 = 2C 1 e 6x

(29)

Dla pierwiastka dwukrotnego r 2 = 1 otrzymujemy:

y 1 = (P 1 x + Q 1 ) e x y 2 = (P 2 x + Q 2 ) e x y 3 = (P 3 x + Q 3 ) e x

(30)

Po podstawieniu do układu wyjściowego:

P 1 x + (P 1 + Q 1 ) = (2P 1 + 2P 2 − P 3 ) x + (2Q 1 + 2Q 2 − Q 3 ) P 2 x + (P 2 + Q 2 ) = (−2P 1 + 4P 2 + P 3 ) x + (−2Q 1 + 4Q 2 + Q 3 ) P 3 x + (P 3 + Q 3 ) = (−3P 1 + 8P 2 + 2P 3 ) x + (−3Q 1 + 8Q 2 + 2Q 3 )

(31)

Skąd:

P 1 = 5C 2 P 2 = C 2 P 3 = 7C 2 Q 1 = 5C 3 − 6C 2 Q 2 = C 3

Q 3 = 7C 3 − 11C 2

(32)

(5)

Rozwiązanie ogólne ma postać:

y 1 = (5C 2 x + 5C 3 − 6C 2 ) e x y 2 = C 1 e 6x + (C 2 x + C 3 ) e x

y 3 = 2C 1 e 6x + (7C 2 x + 7C 3 − 11C 2 ) e x

(33)

Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i=

y% 28x% 29% 27+ %3D+ 2y% 28x% 29+ %2B+ 2z% 28x% 29+ -+g% 28x% 29% 2C+ z% 28x% 29% 27+ %3D+ - 2y% 28x% 29+ %2B+ 4z% 28x% 29+ %2B+ g% 28x% 29% 2C+ g% 28x% 29% 27+ %3D+ -3y% 28x% 29+

%2B+ 8z% 28x% 29+ %2B+ 2g% 28x% 29 . Przykład 3.

y 0 1 = y 2 + y 3 (34)

y 0 2 = y 1 + y 3 (35)

y 0 3 = y 1 + y 2 (36)

Równanie charakterystyczne:

−r 1 1

1 −r 1

1 1 −r

= −r 3 + 3r + 2 = − (r − 2) (r + 1) 2 = 0 (37)

Wyznacznik na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= det+

%7B% 7B-r,+1,+1% 7D,+% 7B1,+-r,+1% 7D,+% 7B1,+1,+-r% 7D% 7D . Dla pierwiastka jednokrotnego r 1 = 2 otrzymujemy:

−2A 1 + A 2 + A 3 = 0 (38)

A 1 − 2A 2 + A 3 = 0 (39)

A 1 + A 2 − 2A 3 = 0 (40)

Po odjęciu równania drugiego od pierwszego otrzymujemy

− 3A 1 + 3A 2 = 0 (41)

A 1 = A 2 (42)

Po odjęciu równania trzeciego od pierwszego otrzymujemy

− 3A 1 + 3A 3 = 0 (43)

A 1 = A 3 (44)

Po odjęciu równania trzeciego od drugiego otrzymujemy

− 3A 2 + 3A 3 = 0 (45)

A 2 = A 3 (46)

(6)

Stąd:

A 1 = C 1 (47)

A 2 = C 1 (48)

A 3 = C 1 (49)

Zatem:

y 1 = C 1 e 2x (50)

y 2 = C 1 e 2x (51)

y 3 = C 1 e 2x (52)

Dla pierwiastka −1 dwukrotnego podstawiamy do układu wyjściowego

y 1 = (P 1 x + Q 1 ) e −x (53)

y 2 = (P 2 x + Q 2 ) e −x (54)

y 3 = (P 3 x + Q 3 ) e −x (55)

Po podstawieniu do układu wyjściowego:

−P 1 x − Q 1 + P 1 = (P 2 + P 3 ) x + (Q 2 + Q 3 ) (56)

−P 2 x − Q 2 + P 2 = (P 1 + P 3 ) x + (Q 1 + Q 3 ) (57)

−P 3 x − Q 3 + P 3 = (P 1 + P 2 ) x + (Q 1 + Q 2 ) (58) Skąd:

−P 1 = P 2 + P 3 (59)

−P 2 = P 1 + P 3 (60)

−P 3 = P 1 + P 2 (61)

−Q 1 + P 1 = Q 2 + Q 3 (62)

−Q 2 + P 2 = Q 1 + Q 3 (63)

−Q 3 + P 3 = Q 1 + Q 2 (64)

Trzy pierwsze równania są identyczne, więc otrzymujemy jedno równanie oraz uwzględ- niając pozostałe otrzymujemy

P 1 + P 2 + P 3 = 0 (65)

P 1 = Q 1 + Q 2 + Q 3 (66)

P 2 = P 1 (67)

P 3 = P 1 (68)

(7)

Podstawiając dwa ostatnie równania do pierwszego otrzymujemy

P 1 = 0 (69)

P 2 = 0 (70)

P 3 = 0 (71)

Q 3 = −Q 1 − Q 2 (72)

Możemy zatem przyjąć, że

Q 1 = C 2 (73)

Q 2 = C 3 (74)

Q 3 = −C 2 − C 3 (75)

Rozwiązanie ogólne ma postać:

y 1 = C 1 e 2x + C 2 e −x y 2 = C 1 e 2x + C 3 e −x

y 3 = C 1 e 2x + (−C 2 − C 3 ) e −x

(76)

Rozwiązanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%

27+ %3D+ y2+ %2B+ y3,+y2% 27+ %3D+ y1+ %2B+ y3,+y3% 27+ %3D+ y1+ %2B+ y2.

Przykład 4.

y 1 0 = y 1 + 2y 2 (77)

y 2 0 = −2y 1 + y 2 (78)

Równanie charakterystyczne:

1 − r 2

−2 1 − r

= (1 − r) 2 + 4 = r 2 − 2r + 5 (79)

Wyznacznik na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= det+

%7B% 7B1-r,+2% 7D,+% 7B-2,+1-r% 7D% 7D . Pierwiastki to

∆ = 4 − 20 = −16 (80)

r 1 = 2 − 4i

2 = 1 − 2i (81)

r 2 = 2 + 4i

2 = 1 + 2i (82)

Dla pierwiastka r 1 = 1 − 2i otrzymujemy

(1 − 1 + 2i) A 1 + 2A 2 = 0 (83)

−2A 1 + (1 − 1 + 2i) A 2 = 0 (84)

(8)

2iA 1 + 2A 2 = 0 (85)

−2A 1 + 2iA 2 = 0 (86)

A 2 = −iA 1 (87)

−2A 1 + 2A 1 = 0 (88)

Ponieważ układ rozwiązujemy w dziedzinie liczb zespolonych, to podstawiamy A 1 = B 1 + D 1 i i otrzymujemy

A 2 = −i (B 1 + D 1 i) = D 1 − iB 1 (89) Rozwiązania to

y 1 = (B 1 + D 1 i) e (1−2i)x (90)

y 2 = (D 1 − B 1 i) e (1−2i)x (91)

Po rozpisaniu część rzeczywista jest równa

y 1 = B 1 e x cos 2x + D 1 e x sin 2x (92) y 2 = −B 1 e x sin 2x + D 1 e x cos 2x (93) Dla pierwiastka r 1 = 1 + 2i otrzymujemy

(1 − 1 − 2i) A 1 + 2A 2 = 0 (94)

−2A 1 + (1 − 1 − 2i) A 2 = 0 (95)

−2iA 1 + 2A 2 = 0 (96)

−2A 1 − 2iA 2 = 0 (97)

A 2 = iA 1 (98)

−2A 1 + 2A 1 = 0 (99)

Ponieważ układ rozwiązujemy w dziedzinie liczb zespolonych, to podstawiamy A 1 = B 2 + D 2 i i otrzymujemy

A 2 = i (B 2 + D 2 i) = −D 2 + iB 2 (100) Rozwiązania to

y 1 = (B 2 + D 2 i) e (1+2i)x (101)

y 2 = (−D 2 + B 2 i) e (1+2i)x (102) Po rozpisaniu część rzeczywista jest równa

y 1 = B 2 e x cos 2x − D 2 e x sin 2x (103)

y 2 = −B 2 e x sin 2x − D 2 e x cos 2x (104)

(9)

Ostatecznie

y 1 = B 1 e x cos 2x + D 1 e x sin 2x + B 2 e x cos 2x − D 2 e x sin 2x (105) y 2 = −B 1 e x sin 2x + D 1 e x cos 2x − B 2 e x sin 2x − D 2 e x cos 2x (106) Po przekształceniu

y 1 = (B 1 + B 2 ) e x cos 2x + (D 1 − D 2 ) e x sin 2x (107) y 2 = (D 1 − D 2 ) e x cos 2x − (B 1 + B 2 ) e x sin 2x (108) Czyli

y 1 = C 1 e x cos 2x + C 2 e x sin 2x (109) y 2 = C 2 e x cos 2x − C 1 e x sin 2x (110) Rozwiązanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%

27+ %3D+ y1+ %2B+ 2y2,+y2% 27+ %3D+ -2y1+ %2B+ y2 . Przykład 5.

y 1 0 = 5y 1 + y 3 (111)

y 2 0 = y 1 + 3y 2 − y 3 (112)

y 3 0 = −7y 1 − 3y 3 (113)

Rozwiązanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%

27+ %3D+ 5y1+ %2B+ y3,+y2% 27+ %3D+ y1+ %2B+ 3y2-y3,+y3% 27+ %3D+ -7y1+ -+3y3 . 1.2.1 Jednorodne układy równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu

o stałych współczynnikach

Ogólna postać układu równań liniowych jednorodnych rzędu pierwszego o stałych współ- czynnikach jest następująca:

n

X

k=1

a ik y 0 k +

n

X

k=1

b ik y k = 0, i = 1, 2, . . . , n (114)

Jeśli det (a ik ) 6= 0 to układ ten daje się sprowadzić do postaci normalnej.

Układ ten możemy również rozwiązywać w postaci ogólnej tą samą metodą co dla układu w postaci normalnej. Równanie charakterystyczne ma postać:

det (a ik r + b ik ) = 0 (115)

Współczynniki A i rozwiązania dla pierwiastków jednokrotnych wyznaczamy z układu równań:

n

X

k=1

(a ik r j + b ik ) A k = 0, i = 1, 2, . . . , n (116)

(10)

Przykład 6.

5y 1 0 + 4y 1 − 2y 0 2 − y 2 = 0 (117)

y 1 0 + 8y 1 − 3y 2 = 0 (118)

Równanie charakterystyczne:

5r + 4 −2r − 1 r + 8 −3

= 2r 2 + 2r − 4 = 0, r 1 = 1, r 2 = −2 (119) Dla r 1 = 1:

9A 1 − 3A 2 = 0

9A 1 − 3A 2 = 0 (120)

A 2 = 3A 1 = 3C 1 (121)

Dla r 2 = −2:

A 2 = 2A 1 = 2C 2 (122)

Rozwiązanie ogólne:

y 1 = C 1 e x + C 2 e −2x

y 2 = 3C 1 e x + 2C 2 e −2x (123)

Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= 5y%

28x% 29% 27+ %2B+ 4y% 28x% 29+ -+2z% 28x% 29% 27+ -+z% 28x% 29+ %3D+ 0% 2C+ y% 28x% 29%

27+ %2B+ 8y% 28x% 29+ -+3z% 28x% 29+ %3D+ 0 .

1.2.2 Układy równań różniczkowych liniowych niejednorodnych pierwszego rzędu

Ogólna postać:

n

X

k=1

a ik y k 0 +

n

X

k=1

b ik y k = F i (x) , i = 1, 2, . . . , n (124) Metoda uzmienniania stałych. Zasada analogiczna jak dla jednego równania liniowe- go.

Przykład 7.

5y 0 + 4y 1 − 2y 2 0 − y 2 = e −x

y 0 1 + 8y 1 − 3y 2 = 5e −x (125)

Rozwiązaniem układu jednorodnego jest:

y 1 = C 1 e x + C 2 e −2x

y 2 = 3C 1 e x + 2C 2 e −x (126)

Rozwiązanie na wolframalpha.com, http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= 5y%

28x% 29% 27+ %2B+ 4y% 28x% 29+ -+2z% 28x% 29% 27+ -+z% 28x% 29+ %3D+ e^% 28-x% 29% 2C+

y% 28x% 29% 27+ %2B+ 8y% 28x% 29+ -+3z% 28x% 29+ %3D+ 5e^% 28-x% 29 .

Metodę współczynników nieoznaczonych można stosować, gdy prawe strony danego

układu przyjmują postać Q n (x) e αx . Procedura jest analogiczna jak dla jednego równa-

nia różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach.

(11)

1.2.3 Układy równań drugiego rzędu

Powyższe metody mogą być stosowane dla układów równań drugiego rzędu.

Przykład 8.

y 00 1 + y 1 = 0 (127)

y 00 2 − y 1 = 0 (128)

Rozwiązanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%

27% 27+ %2B+ y1+ %3D+ 0,+y2% 27% 27+ -+y1+ %3D+ 0 . Przykład ten jest uproszczony, mo- żemy wyznaczyć rozwiązanie z równania pierwszego i podstawić do drugiego.

Przykład 9.

y 00 1 − y 2 0 = 0 (129)

y 00 2 − y 1 0 = 0 (130)

Równanie charakterystyczne to

r 2 −r

−r r 2

= r 4 − r 2 = r 2  r 2 − 1  = r 2 (r − 1) (r + 1) (131)

A więc 0 to pierwiastek podwójny, oraz 1 i -1 to pierwiastki pojedyncze. Dla 0 otrzymu- jemy rozwiązanie

y 1 = (P 1 x + Q 1 ) e 0·x = P 1 x + Q 1 (132) y 2 = (P 2 x + Q 2 ) e 0·x = P 2 x + Q 2 (133) Po podstawieniu do układu wyjściowego otrzymujemy

0 − P 2 = 0 (134)

0 − P 1 = 0 (135)

A więc otrzymujemy P 1 = 0, P 2 = 0. A zatem rozwiązanie to Q 1 = C 1 , Q 2 = C 2 . Dla

−1 otrzymujemy rozwiązanie

y 1 = B 1 e −x (136)

y 2 = B 2 e −x (137)

Dla 1 otrzymujemy rozwiązanie

y 1 = D 1 e x (138)

y 2 = D 2 e x (139)

Stałe te znajdujemy rozwiązując układ równań dla poszczególnych pierwiastków (podsta- wiając za A 1 wartości B 1 lub D 1 oraz za A 2 wartości B 2 lub D 2 odpowiednio)

r 2 A 1 − rA 2 = 0 (140)

− rA 1 + r 2 A 2 = 0 (141)

(12)

Dla r 6= 0

rA 1 − A 2 = 0 (142)

− A 1 + rA 2 = 0 (143)

Czyli

A 1 = rA 2 (144)

r 2 A 2 − A 2 = 0 (145)

Z drugiego równania

A 2



r 2 − 1  = 0 (146)

A zatem drugie równanie jest spełnione gdy A 2 = 0 lub gdy r = 1 lub r = −1. Dla r = −1 otrzymujemy B 2 = C 3 oraz B 1 = −C 3 . Dla r = 1 otrzymujemy D 2 = C 4 oraz D 1 = C 4 . A zatem rozwiązanie to

y 1 = C 1 − C 3 e −x + C 4 e x (147) y 2 = C 2 + C 3 e −x + C 4 e x (148) Rozwiązanie na wolframalpha.com http: // www. wolframalpha. com/ input/ ?i= y1%

27% 27+ -++ y2% 27+ %3D+ 0,+y2% 27% 27+ -+y1% 27+ %3D+ 0 . Rozwiązanie z wolframalpha.com można zapisać jako

y 1 (x) = e −x



− 1 2 c 2 + 1

2 c 4

 + e x

 c 2 2 + c 4

2



+ c 1 − c 4 (149)

y 2 (x) = e −x

 1 2 c 2 − 1

2 c 4

 + e x

 c 2 2 + c 4

2



− c 2 + c 3 (150)

2 Zadania

2.1 Przydatne linki

• http://www.mathworks.com/help/symbolic/solve-a-system-of-differential- equations.html

• http://www.mathworks.com/help/symbolic/dsolve.html 2.2 Zadania na 3.0

Rozwiązać układy równań w postaci normalnej:

•

A =

1 0 2

0 1 −4

−1 0 −2

 (151)

(13)

•

A =

−3 4 −2

1 0 1

6 −6 5

 (152)

Rozwiązać problem początkowy Cauchy’ego dla podanego układu równań w postaci normalnej:

A =

0 −1 1

0 0 1

−1 0 1

 (153)

y (0) =

 1

1 2 1 2

 (154)

Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha. Do każdego równania wyświetlić w Matlabie pole kierunkowe.

2.3 Zadania na 4.0

Znaleźć całkę ogólną układu niejednorodnego:

dx

dt − y = cos t

dy

dt = 1 − x (155)

Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha. Do każdego równania wyświetlić w Matlabie pole kierunkowe.

2.4 Zadania na 5.0

Znaleźć całkę ogólną układu niejednorodnego:

dx

dt + 5x + y = e t

dy

dt + 3y − x = e 2t (156)

Rozwiązać również powyższe równania symbolicznie w Matlabie i na wolframalpha. Do każdego równania wyświetlić w Matlabie pole kierunkowe.

Literatura

[1] I. N. Bronsztejn, K. Siemiendiajew, G. Musiol, and H. Möhlig, Nowoczesne kompen- dium matematyki. Wydawnictwo naukowe PWN, 2004.

[2] J. Niedoba and W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe. Wydaw-

nictwa AGH, 2001.

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 13 Stron - 275.73 KB )

Powiązane dokumenty

Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wstęp

Układy równao różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu (czyli takie, w których występują tylko pochodne pierwszego rzędu) pojawiają się także gdy przekształcamy

równań różniczkowych zwyczajnych

Zmniejszenie kroku h istotnie polepsza dokładność metody łamanych, przy czym należy pamiętać, że nadmierne zmniejszenie kroku daje efekt odwrotny do spodziewanego.

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE, RÓWNANIA, UKŁADY RÓWNAŃ

Oblicz, ile jest stolików dwuosobowych, a ile czteroosobowych, jeśli wiadomo, że w restauracji przy wszystkich stolikach może usiąść 156 osób. Licznik pewnego ułamka jest

Układy równań liniowych Układy n równań z n niewiadomymi

Przekształcenie polega na tym, że równania, których współczynniki „nie mieszczą” się w minorze zostają skreślone, zaś zmienne, których współczynniki

Elementy równań różniczkowych cząstkowych

Nawet jeżeli dla pewnej funkcji f rozwiązanie istnieje to nie zależy w sposób ciągły od parametrów zadania (czyli funkcji f ).. 4.4

( ) ( ) Całkowanie równań różniczkowych I rzędu

temperatury, natomiast, co już może dziwić, czasami widać, że zarejestrowane stężenie tlenu jest wyższe niż stężenie nasycenia, ale i to jest normalne i zdarza się,

Układy równań

Metoda ta może wydawać się czasochłonna, ale będzie bardzo ułatwiała rozwiązywanie układów równań z parametrem2. Trzeba

Układy równań

Jeśli natomiast −a−1 14 = 0, czyli a = −1, to otrzymamy cały rząd 0, gdyż ostatnia komórka również się zeruje, a więc będzie nieskończenie wiele rozwiązań..