Metoda „Pareto-ABC” analizy elektrycznych układów wielo-parametrycznych

Metoda „Pareto-ABC” analizy elektrycznych układów wielo-parametrycznych

Janusz Tykocki

Rozprawa doktorska

Promotor:

prof. dr hab. inż. Andrzej Jordan

Poznań 2016

Spis treści

1 Wstęp ... 5

1.1 Zasada Pareto ... 5

1.2 Cel, teza i zakres rozprawy ... 8

2 Zasada Pareto – podstawy teoretyczne ... 9

2.1 Wprowadzenie ... 9

2.2 Rozkład Pareto ... 10

2.3 Zmodyfikowana zasada Pareto ... 11

3 Rozkład pola temperatury w kablach wysokiego napięcia 64/110 kV ... 14

3.1 Wiadomości ogólne dotyczące kabli wysokiego napięcia ... 14

3.2 Konstrukcja kabli wysokonapięciowych ... 15

3.3 Oddziaływania klimatyczne na temperaturę ziemi... 17

3.4 Równanie przewodnictwa ciepła ... 17

4 Zmodyfikowana zasada Pareto oraz wykresy ABC dla pojedynczego kabla ułożonego w ziemi ... 18

4.1 Model pojedynczej linii kablowej bez płaszcza ochronnego ... 19

4.2 Wpływ głębokości umieszczenia kabla na temperaturę Tr żyły ... 21

4.3 Wpływ temperatury powietrza Tp na wartość temperatury Tr żyły kabla ... 23

4.4 Wpływ przewodności cieplnej ziemi λz na wartość temperatury Tr żyły kabla ... 24

4.5 Pareto - ABC analiza pola temperatury jednożyłowego układu kablowego wysokiego napięcia ... 26

4.6 Wnioski wynikające z analizy wykresów ABC ... 34

4.7 Wnioski podsumowujące ... 36

5 Analiza pola temperatury w układzie trójfazowym kabli wysokiego napięcia ... 37

5.1 Model układu trójfazowego ... 39

5.2 Wpływ głębokości umieszczenia układu trójfazowego w ziemi na wartość temperatury żyły kabla ... 41

5.3 Wpływ zmiany temperatury powietrza Tp na wartość temperatury żyły kabla .... 42

5.4 Wpływ przewodności cieplnej ziemi λz na wartość temperatury żyły kabla ... 44

5.5 Pareto -ABC analiza pola temperatury trójfazowego układu kablowego wysokiego napięcia ... 45

5.6 Porównanie temperatury żyły pojedynczego kabla ułożonego w ziemi z temperaturą żyły układu trójfazowego umieszczonego w kanale betonowym ... 52

5.7 Analiza otrzymanych wyników i wnioski ... 53

6 Nieliniowe równanie stanu ... 54

6.1 Zastosowanie „zmodyfikowanej zasady Pareto” do analizy nieliniowego równania stanu ... 54

6.3 Podsumowanie rozdziału ... 61

7 Obwód elektryczny z nieliniową cewką ... 61

8 Przyłączanie jednostki wytwórczej do elektroenergetycznej linii SN ... 68

8.1 Opis analizowanego systemu elektroenergetycznego ... 69

8.2 Zastosowanie „zmodyfikowanej zasady Pareto” do analizy strat mocy czynnej w sieci SN ... 71

9 Wnioski i uwagi końcowe ... 74

Bibliografia ... 78

Załączniki ... 84

Wykresy ... 101

Tabele ... 104

Wykaz ważniejszych oznaczeń

Oznaczenie Opis

A zbiór parametrów bazowych, mających podstawowy wpływ na funkcję celu

A macierz współczynników wag

ABC zbiory A,B i C parametrów bazowych

aij elementy macierzy A, będące jednocześnie współczynnikami wag ak parametry bazowe układu trójfazowego

B zbiór parametrów bazowych, mających średni wpływ na funkcję celu B macierz współczynników wag trójfazowego układu kablowego

bk współczynniki występujące w nieliniowym równaniu stanu lub współczyn- niki wag układu trójfazowego

C zbiór parametrów bazowych, mających minimalny wpływ na funkcję celu C1,C2 pojemności kondensatorów

Fk,pmax maksymalna wartość funkcji celu parametru pk

Fk,pmin minimalna wartość funkcji celu parametru pk

Fk,pw względna funkcja celu parametru pk

Fp funkcja opisująca układ wielo-parametryczny, funkcja celu Fpw względna funkcja celu

Fs suma względnych funkcji celu g wydajność źródeł ciepła

h głębokość ułożenia kabla pod powierzchnią ziemi I obciążalność prądowa długotrwała

I zespolony wektor prądu

In wartość skuteczna prądu w n-tej sekcji systemu j gęstość prądu w żyle kabla

M punkt o współrzędnych x,y,z w obszarze Ω mk dolna granica zmian parametrów bazowych

pk parametr bazowy

pp parametr podstawowy

Ps suma strat mocy czynnej w liniach zasilających systemu energetycznego Pw moc pozorna turbozespołu wiatrowego

R promień kanału powietrznego w bloku betonowym R1, R2,R3 rezystancje

Re elementy zboru C mające minimalny wpływ na funkcję celu Rn wartość rezystancji sekcji n układu elektroenergetycznrgo

S sumaryczna wartość współczynników wag (wartość skumulowana) Sk element wartości skumulowanej

T(M,t) temperatura w punkcie M badanego obszaru T(x,y) stacjonarne dwuwymiarowe pole temperatury T0 temperatura na dolnej krawędzi układu kablowego Tk,w względna wartość temperatury dla parametru pk

tl czas ustalenia zmiennej stanu Tmax temperatura maksymalna żyły kabla Tmin temperatura minimalna żyły kabla

Tp temperaturą powietrza nad powierzchnią ziemi

Tr temperatura żyły kabla(wg definicji temperatura maksymalna)

Tr,max dopuszczalna temperatura żyły kabla

Ts suma względnych zmian temperatury Tw względna wartość temperatury w żyle kabla

u1, u2, u3 odległości otworów kablowych od krawędzi bloku betonowego uk górna granica zmian parametrów pk

V zespolony wektor potencjałów węzłowych

W węzeł układu

x0 wektor warunków początkowych Y macierz admitancji

yij względna wartość i-tej pozycji spisu dla j- tego kryterium

z liczba zwojów

Zk wartość impedancji linii zasilających

ZL wartość impedancji poszczególnych odbiorców sieci

Zw wartość impedancji wewnętrznej turbozespołu wiatrowego κ współczynnik dyfuzji

 konwekcyjny współczynnik wymiany ciepła

Cu przewodność cieplna miedzi

w odległość między środkami kanałów powietrznych w bloku bet. (x2 - x1)

||x||1 norma definiująca funkcję celu λb przewodność cieplna betonu λd przewodność cieplna polietylenu

λp przewodność cieplna kanału powietrznego λz przewodność cieplna ziemi

ρ rezystywność żyły kabla

Ф strumień magnetyczny

Ω badany obszar pola temperatury

1 Wstęp

1.1 Zasada Pareto

W procesach ekonomicznych i zjawiskach fizycznych stwierdza się, że w wielu sytuacjach 80% konsekwencji wypływa z 20% przyczyn. Jest to empiryczne prawo Pareto [1] (zasada Pa- reto, prawo 80/20, ang. Pareto Principle, Pareto Rule, The Law of Vital Few and Trivial Many - Prawo żywotnej mniejszości i błahej większości). Zachodzi ono m. in. w wielu sytuacjach istot- nych z punktu widzenia zarządzania [2] np:

- 20% informacji warunkuje 80% decyzji,

- produkcja 20% typów wyrobów zapewnia 80% ogólnej wartości sprzedaży, - 80% skarg w supermarketach pochodzi od 20% klientów,

- 80% procent braków jest skutkiem 20% przyczyn, - 20% kierowców powoduje 80% wypadków,

- 20% powierzchni dywanu przypada na 80% jego zużycia, - 20% materiału zajmuje 80% egzaminu,

- 20% ubrań nosimy przez 80% czasu,

- 20% pracowników generuje 80% produktów, - 20% tekstu pozwala zrozumieć 80% treści,

To nie są zawsze proporcje 80/20. Czasem będzie to 90/10, 75/25 a nawet 95/5. W różnych analizowanych przypadkach wyniki mogą być różne, ale najczęściej jest to stosunek 80 do 20 (Rys. 1.1).

Dalsze badania potwierdziły występowanie powyższej reguły w wielu dziedzinach życia oraz zostały przeniesione do pewnych zastosowań technicznych. Z „zasady Pareto” wynikają wy- kresy ABC (Rys. 1.2) oraz zbiory parametrów: A - mających podstawowy, B - średni i C - mini- malny wpływ na funkcję celu określającą specyficzny wynik badań.

Rys. 1.1. Graficzna interpretacja zasady 80/20

Na podstawie zebranych danych sporządza się wykres Pareto-Lorenza. Wykres ten składa się z dwóch części (Rys. 1.2):

- zasadę Pareto obrazuje wykres słupkowy przedstawiający, w porządku malejącym, udział każdego składnika (przyczyna),

- krzywa przedstawiająca efekty skumulowane, nazywana krzywą Lorenza.

Następnie, w przypadku dużej liczby przyczyn (kategorii) i dużej liczby skutków prowadzi się dwie poziome linie od prawej osi wykresu: jedną na wysokości 80%, drugą na wysokości 95%. W ten sposób wyznacza się na wykresie trzy obszary (Rys. 1.3):

- Obszar A - wszystkie kategorie, dla których wykres kumulowany mieści się pod linią 80%,

- Obszar B - przylegający do obszaru A, a kończący się na kategorii leżącej bezpośred- nio pod linią 95%,

- Obszar C - obejmujący pozostałe kategorie.

Taka analiza nosi wtedy nazwę analizy ABC lub zasady ABC.

Rys. 1.2. Wykres Pareto - Lorenza

Rys. 1.3. Wizualizacja wyników analizy ABC za pomocą krzywej Lorenza [3]

Procedura metody ABC zawiera następujące działania:

- wybór populacji i kryterium porządkowego, - zebranie danych,

- uporządkowanie populacji wg malejących wartości poziomu udziału ich zasobów, - obliczenie skumulowanego udziału zasobów w populacji,

- sporządzenie wykresu ABC, - podział populacji na zbiory A,B i C, - analizę uzyskanych rezultatów.

Analizę wykresu Pareto (Rys. 1.4) można dokonać, wykorzystując zasadę ABC, według której:

- 20% przyczyn powoduje ok. 80% skutków (obszar A), - 30% przyczyn powoduje kolejne 10% skutków (obszar B), - 50% przyczyn powoduje kolejne 10% skutków (obszar C).

Ogólnie procedurę „zasady Pareto” [4] [5] [6] [7] [8] można przedstawić następująco:

- w pierwszej kolejności określamy i wykonujemy działania wynikające z czynników (przyczyn) należących do obszaru A (przyczyn głównych),

- następnie analizujemy i podejmujemy działania dotyczące czynników z obszaru B, - przyczyny zgrupowane w obszarze C możemy pominąć, wyniki doświadczeń wska-

zują, iż usuniecie przyczyn głównych wiąże się z reguły z minimalizacją wielu przy- czyn drobniejszych, a związki pomiędzy nimi nie zawsze są dostrzegalne.

Jednym z podstawowych zastosowań „zasady Pareto”, opartej na badaniach zbiorów A,B i C jest analiza zasobów mających podstawowy udział w produkcji lub sprzedaży określo- nego wyrobu oraz metod organizowania wielkości zapasów magazynowych [9] [10] [11] [12]

[13] [14]. Opracowane modele dotyczące organizowania zapasów magazynowych oparto na zasadach programowania liniowego i nieliniowego [15] [16].

Stosując „zasadę Pareto”, jako iloraz 80/20, można powiedzieć, że niewielka liczba osób, przyczyn, sytuacji, odpowiada za większość zadań korygujących, likwidujących lub wskazują- cych na te przyczyny, poprawiając w ten sposób zaistniałą sytuację lub informując o 20% przy-

20% 30% 50%

Skutki %

Przyczyny % 20

100 90 80

50 100

Rys. 1.4. Krzywa Lorenza - zastosowanie metody ABC

czyn wpływających w sposób decydujący na analizowane zjawisko [17] [18] [19] [20] [21]. Oka- zało się, że zaobserwowana relacja dotyczy również prawie wszystkich zjawisk spotykanych w przyrodzie oraz układach technicznych i systemach gospodarczych.

Stąd też, w przypadku układów elektrycznych można stwierdzić, że 20% parametrów układu elektrycznego ma w 80% decydujący wpływ na jego dynamikę.

1.2 Cel, teza i zakres rozprawy

Podstawowym celem pracy jest opracowanie wzorów i algorytmów, pozwalających na wy- korzystanie „zasady Pareto” do analizy układów elektrycznych opisanych równaniami różnicz- kowymi o pochodnych cząstkowych, układami równań algebraicznych, i układami liniowych, i nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych, oraz przedstawienie kilku przykładów jej zastosowania.

Przedstawioną metodę możemy nazwać „zmodyfikowaną zasadą Pareto” a jej modyfikacja polega na:

- opracowaniu podstawowych definicji i wzorów wykorzystywanych w analizie ukła- dów elektrycznych,

- wprowadzeniu podstaw algebry liniowej w celu globalnej analizy stanu ustalonego lub przejściowego rozważanego układu.

Ogólnie, cele cząstkowe przedstawionej do oceny pracy obejmują:

- opracowanie koncepcji „zmodyfikowanej zasady Pareto” i jej zastosowanie w ukła- dach elektrycznych,

- badania trójfazowych układów kablowych wysokiego napięcia ułożonych bezpo- średnio w ziemi lub w kanałach betonowych (analiza wybranych układów opisanych równaniami o pochodnych cząstkowych),

- badania stanu przejściowego układów opisanych nieliniowymi równaniami stanu, - analizę układów elektroenergetycznych modelowanych układami równań algebra-

icznych.

Zrealizowanie powyższych celów cząstkowych w wyniku przeprowadzonych badań pozwala sformułować następującą tezę rozprawy:

Stosując „zmodyfikowaną zasadę Pareto” oraz analizę ABC można wyznaczyć zbiory pa- rametrów A,B i C mające decydujący, średni i minimalny wpływ na funkcję celu charaktery- zującą stan statyczny lub dynamiczny układów elektrycznych.

Zdefiniowanie parametrów układu mających podstawowy wpływ na jego dynamikę jest wstępnym krokiem w optymalizacji dynamiki układów elektrycznych. Należy podkreślić, że teoria nieliniowych równań różniczkowych o pochodnych zwyczajnych nie jest w pełni opra- cowana w porównaniu z teorią równań liniowych. Wobec tego szczególnie interesującym za- gadnieniem jest badanie dynamiki nieliniowych układów opisanych równaniem stanu z wyko- rzystaniem „zmodyfikowanej zasady Pareto”.

Opracowanie procedur dotyczących stosowania „zmodyfikowanej zasady Pareto” do ana- lizy układów elektrycznych jest tematem oryginalnym, wnoszącym nowy zasób wiedzy do teo- rii algorytmów oraz teorii układów nieliniowych. Brak podobnych rozwiązań w literaturze fa- chowej podkreśla oryginalność tematu, co jest jednocześnie dowodem wprowadzenia nowych rozwiązań do podstaw elektrotechniki teoretycznej.

2 Zasada Pareto – podstawy teoretyczne

2.1 Wprowadzenie

Problemy decyzyjne pojawiające się w różnych dziedzinach, np. zarządzaniu, ekonomii, in- żynierii mają charakter kombinatoryczny, polegający na dokonaniu optymalnego wyboru ze skończonego, lecz dużego zbioru dopuszczalnych decyzji. W praktycznych sytuacjach, analiza tylko pojedynczego kryterium do wyboru końcowego rozwiązania jest niewystarczająca. Ko- nieczne jest uwzględnienie wielu punktów widzenia (często wzajemnie sprzecznych) opisa- nych przez różne funkcje kryterialne. Sytuacje tego typu określa się mianem problemów Wie- lokryterialnej Optymalizacji Kombinatorycznej (WOK) [22] [23]. Problemy kombinatoryczne są złożone już w wersji jednokryterialnej. Wiąże się to z dużą, często wykładniczą złożonością obliczeniową.

W pracach [24] [25] [26] [27] [28]zawarte są podstawy rozważań teoretycznych badanego zagadnienia. Rozważania dotyczą głównie zagadnień ekonomiczno-finansowych. Opracowano skomplikowane modele matematyczne ułatwiające podejmowanie decyzji dotyczących orga- nizacji oraz wielkości zasobów materiałowych magazynów wielkich korporacji przemysłowych.

W pracy [2], na podstawie empirycznych obserwacji, przedstawiono metody kontroli zapa- sów magazynowych dokonując analizy ABC z wykorzystaniem „zasady Pareto”. Wykazano jej skuteczność w identyfikacji zbiorów A i B produktów mających krytyczny wpływ, na jakość zarządzania przedsiębiorstwem. W pracy [9] przedstawiono model matematyczny klasyfikacji zapasów magazynowych dla każdej kategorii grupowej ABC.

Podstawowym modelem wykorzystywanym w pracach dotyczących monitorowania zapa- sów jest wielo-kryterialny model MCIC (Multi - Criteria Inventory Classification) przedsta- wiony w pracy [15]. Wykorzystano w nim zasady programowania liniowego, wprowadzając współczynniki wag wij dla względnych wartości yij oceniając i -tą pozycję spisu w odniesieniu do j-tego kryterium (i = 1,2,…,N jest pozycją spisu, j = 1,2,…,J dotyczy różnorodnych kryteriów oceny pozycji spisu zapasów). Np. kryterium może być cena jednostkowa wyrobu, czas dostar- czenia danego wyrobu, liczba zamówień, liczba zainteresowanych wyrobem, liczba reklamacji, itp. W tym przypadku dla każdej pozycji spisu, rozwiązywany jest liniowy model optymalizacji:

z warunkami oraz

𝑆_𝑖 = 𝑚𝑎𝑥 ∑ 𝑤_𝑖𝑗𝑦_𝑖𝑗

𝐽

𝑗=1

∑ 𝑤_𝑖𝑗𝑦_𝑖𝑗 ≤ 1 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑁

𝐽

𝑗=1

wij ≥ 0, dla j = 1,2,…,J

(2.1)

(2.1a)

(2.1b)

gdzie funkcja celu Si jest następnie wykorzystana do klasyfikacji pozycji w trzech kategoriach A,B i C. Powyższy model był w dalszych pracach modyfikowany, i tak np. w pracy [11] wpro- wadzono nowe ograniczenia dotyczące kryteriów, klasyfikując je w malejącym spadku ważno- ści, co prowadzi do następującej zależności między współczynnikami wag wi1 ≥wi2 ≥,…,≥ wij. Nieliniowy model optymalizacji, w formie kwadratowych wartości współczynników wag wpro- wadzono w pracy [12], tzn. (2.1) i warunkiem (2.1b) oraz dodatkowymi warunkami

Powyższe bardziej lub mniej skomplikowane modyfikacje nie wprowadzają poważniejszych zmian w klasyfikacji A,B i C [16], wskazują jednak na wysokie zainteresowanie tą problema- tyką, w szczególności menagerów dużych korporacji.

W pracy [10] przedstawiono alternatywną metodę definiowania współczynników wag wy- korzystującą algorytm genetyczny. Optymalizowano zbiór parametrów wij, których suma równa jest 1. W tym przypadku chromosomy reprezentujące wij krzyżowano za pomocą orygi- nalnej metody zwanej continuous uniform crossover w celu wielo-kryterialnej klasyfikacji po- zycji spisu. Wyniki uzyskane drogą algorytmu genetycznego porównano z metodą AHP (Ana- lytical Hiearchy Process) oraz decyzjami producenta uzyskując dobrą zgodność z tym ostatnim.

W teorii optymalizacji występuje również rozwiązanie optymalne w sensie Pareto [29] [30]

[31]. Tak jest nazwane rozwiązanie x^’𝜖𝐷 mówiące, że nie istnieje żadne inne rozwiązanie x𝜖𝐷 dające poprawę wartości chociaż jednej funkcji celu, nie powodując pogorszenia wartości innych funkcji celu. Rozwiązanie optymalne w sensie Pareto nazywane jest rozwiązaniem sprawnym lub efektywnym [32].

2.2 Rozkład Pareto

Zakładając, że badane zjawisko jest zależne od nieskończenie wielu parametrów, z których każde generuje określoną wartość wyznaczonej funkcji celu (czyli przechodząc z modelu dys- kretnego na ciągły), zmienna losowa ma „rozkład Pareto” (Poza ekonomią „rozkład Pareto”

występuje też pod nazwą rozkładu Bradforda [33]), jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa ma postać [34]:

gdzie k to parametr kształtu, a parametr skali, możemy założyć, ze a = 1 (to kwestia skali). Za- kładamy x ≥ 1 oraz k > 1, ponieważ w przeciwnym przypadku wartość oczekiwana dążyć bę- dzie do nieskończoności.

Wartość oczekiwana (średnia):

oraz dystrybuanta oraz

∑ 𝑤_𝑖𝑗²

𝐽

𝑗=1

≤ 1 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1, 2, … , 𝑁 wij ≥ wi(j+1) ≥ 0 j = 1, 2,…, (J-1)

(2.1c) (2.1d)

𝑓(𝑥) = 𝑘𝑎^𝑘

𝑥^{𝑘+1 (2.2)}

𝑥̅ = 𝑘𝑎

𝑘 − 1 𝑑𝑙𝑎 𝑘 > 1 ^(2.3)

𝐹(𝑥) = 1 − (𝑎 𝑥)

𝑘 (2.4)

Aby spełniona była „reguła Pareto 80/20”, wykres musi przechodzić przez punkt P (Rys. 2.1), czyli:

Poniżej przedstawiono wykres gęstości „rozkładu Pareto” i jej dystrybuanty dla: a = 1, k = 2,3 i x Є [a ; +∞)

Rozkłady typu „Pareto” pojawiają się często w fizyce, ekonomii, biologii.

2.3 Zmodyfikowana zasada Pareto

W celu jasnego opisu metody, jej podstawowy algorytm i podstawowe definicje zostaną przedstawione na przykładzie analizy nieliniowego równania stanu [35] [36]:

gdzie f(x,u,t) jest zbiorem wektorowych funkcji nieliniowych, x(t) є Rⁿ i u(t) є R^m są odpowied- nio wektorem zmiennych stanu i wektorem wymuszeń, x0 reprezentuje wektor warunków po- czątkowych.

Podstawowymi metodami analizy równania (2.6) są metody numeryczne [37] [38], dzięki którym otrzymuje się ilościową analizę modelu, wymagają one jednak dużego doświadczenia osoby wykonującej obliczenia.

Z drugiej strony, interesująca jest również jakościowa analiza równania (2.6) definiująca wpływ poszczególnych współczynników występujących w równaniu (2.6) na dynamikę mode- lowanego układu. W tym celu będziemy analizować równanie nieliniowe zawierające trzy zmienne stanu x1(t), x2(t), x3(t) badając wpływ współczynników bk (k = 1,…,9) na jego dynamikę.

W tym przypadku E jest wymuszeniem i jego wartość jest zmieniana w celu umożliwienia globalnej analizy dynamiki układu. Parametry bk (k = 1,…,9) są parametrami znamionowymi.

Układ równań (2.7) nazywać będziemy układem wielo-parametrycznym z parametrami bk

1 − (1 2)

𝑘

= 0,8 dla 𝑘 ≈ 2,3 ^(2.5)

Rys. 2.1. Rozkład „Pareto”, wykres gęstości prawdopodobieństwa i jej dystrybuanty

𝑥̇ = 𝑓(𝑥, 𝑢, 𝑡) 𝒙(0) = 𝑥₀ (2.6)

𝑥̇1 = b1x1 + b2x2 + b3x3x22

𝑥̇2 = b4x1 + b5x2 + b6x3

𝑥̇3 = -b7x1 - b8x2 - b9x3 + E x(0) = 0

(2.7)

(w def. 1 przedstawionej dalej są to współczynniki pk). Przedstawiona poniżej definicja układu wielo-parametrycznego została opracowana w celu oryginalnej analizy układów elektrycz- nych. W dalszej analizie wykorzystano „zmodyfikowaną zasadę Pareto”, przy czym, jak wspo- mniano „zasada Pareto” jest zasadniczo stosowana w naukach ekonomicznych.

Wprowadzenie reguł wynikających z „zasady Pareto 80/20” w naukach technicznych ze szczególnym uwzględnieniem układów elektrycznych jest oryginalnym opracowaniem, w któ- rym wykorzystano przedstawione poniżej definicje oraz algorytm analizy układów wielo-para- metrycznych.

Def. 1. Układem wielo-parametrycznym nazywamy układ fizyczny, który możemy opisać funkcją zależną od wielu parametrów

funkcja Fp zależy od wektora P,

którego składowymi są parametry p1,…,pn,

przy czym zmiany wartości p1,…,pn są ograniczone,

Zmiany wartości parametrów wynikają z przyjętych założeń, procesu technologicznego sto- sowanego w produkcji, elementów układu lub zmian fizycznych środowiska, w którym znaj- duje się układ, natomiast mk, uk są dolną i górną granicą tych zmian.

Parametry p1,…,pn występujące w analizowanym układzie, od których uzależniono funkcję celu Fp są nazywane parametrami bazowymi.

Definicja 1 została zastosowana w układach elektrycznych opisanych równaniami o pochod- nych cząstkowych, np. układach kablowych ułożonych na różnych głębokościach w ziemi [3], jak również w układach elektrycznych opisanych nieliniowymi i liniowymi równaniami stanu [35] [39]. W przypadku równania stanu parametrami są elementy aij macierzy A występujące w równaniu liniowym lub współczynniki przy zmiennych stanu występujące w równaniu nieli- niowym.

Funkcję Fp zależną od parametrów p1,…,pk nazywać będziemy funkcją celu, przy czym pod- stawowym celem analizy jest zdefiniowanie zbiorów A,B i C mających podstawowy, średni i minimalny wpływ na jej wartość.

Def. 2. Zakres zmian parametrów bazowych mających wpływ na wartość funkcji celu Fp, wynikający ze zmiennych warunków fizycznych środowiska, w którym znajduje się analizo- wany układ, technologii produkcji elementów układu, lub założonych zmian wartości elemen- tów układu, nazywamy bazowym zakresem zmian.

Def. 3. Parametr pp, od którego uzależniono kolejną analizę wpływu poszczególnych para- metrów p1,…,pm na wartość funkcji celu nazywamy parametrem podstawowym.

Wykorzystując metodykę wyznaczania wykresów ABC [3], poniżej przedstawiono podsta- wowe wzory opracowane w celu analizy wpływu poszczególnych parametrów układu na war- tość funkcji celu.

Fp = f(p1,..,pn) (2.8)

P = [p1,…,pn] (2.9)

mk ≤ pk ≤ uk, k = 1,2,…,n (2.10)

gdzie: Fk,pw względna funkcja celu zależna od k (k = 1,2,…,n), Fk,pmax – Fk,pmin - różnica między maksymalną i minimalną wartością funkcji celu Fp wyznaczona dla parametrów mk i uk (tzn. dla założonego zakresu zmian bazowych).

przy czym Fs jest sumą Fk,pw, gdzie n jest liczbą występujących we wzorze (2.6) parametrów.

Wprowadzając element skumulowanej wartości ak (współczynnik wagi), odpowiadający para- metrowi pk, dla każdego podstawowego parametru pp (p = 1,…,m)

otrzymujemy względną sumaryczną wartość współczynników wag S = 1.

Współczynniki wag ak określają poziom wpływu poszczególnych parametrów na wartość względnej funkcji celu Fk,pw. Część ak współczynników wag reprezentuje elementy zbiorów A i B mające podstawowy i średni wpływ na wartość względnej funkcji celu Fk,pw, Re są to elementy zboru C mające wpływ minimalny.

Elementy skumulowanej wartości ak tworzą macierz A = [aij], (i = 1,…,m; j = 1,…,n), której liczba wierszy zależy od poszczególnych wartości parametru podstawowego pp (p = 1,…,m) a liczba kolumn od liczby n parametrów pn = bn.

Na przykład element a11 macierzy A odpowiada współczynnikowi wagi a1 dla wymuszenia E1 (E1 = pp1).

Należy rozróżnić względną funkcję celu Fpw od funkcji celu Fp. Pierwsza z nich, określona wzorem (2.11) jest przeznaczona do wyznaczenia współczynników wag występujących w (2.15), druga została zastosowana do obliczenia Fpw i może nią być np. jedna z norm wek- tora.

Procedura algorytmu metody jest następująca:

Krok 1. Mając dane równanie (2.6) wyznaczamy wektor P zależny od parametrów pk (k = 1,…,n), funkcję celu Fp z ograniczeniami dla parametrów pk, względną funkcję celu Fpw, oraz parametr podstawowy pp.

Krok 2. Dla wartości maksymalnych i minimalnych parametrów pk (k = 1,2,…,n) rozwiązu- jemy 2n razy równanie (2.6) opisujące badany układ. Wyznaczamy współczynniki wag ak oraz skumulowaną wartość S.

Krok 3. Wyznaczamy macierz A w celu określenia wartości ak = aij w skumulowanej wartości S dla poszczególnych wartości parametru podstawowego pp.

𝐹_{𝑘,𝑝𝑤} = 𝐹_{𝑘,𝑝𝑚𝑎𝑥−}𝐹_{𝑘,𝑝𝑚𝑖𝑛}

𝐹_{𝑘,𝑝𝑚𝑎𝑥} ^(2.11)

𝐹_𝑠 = ∑ 𝐹_𝑘,pw

𝑘

(𝑘 = 1, … , 𝑛) (2.12)

𝑎_𝑘 = 𝐹_{𝑘,𝑝𝑤}

∑ 𝐹_{𝑘 𝑘,𝑝𝑤} (𝑘 = 1, … , 𝑛) (2.13)

𝑆 = ∑ 𝑎_𝑘 =

𝑘

∑ 𝑎_𝑙+ 𝑅𝑒 = 1

𝑙

(2.14)

E E Ε

a a

a

a a

a

a a

a A

b b

b

pm m p

p

mn m

m

n n n

p p p ...



























 















2 2 1 1

2 1

2 22

21

1 12

11 2 1

(2.15)

Krok 4. Na podstawie wartości elementów macierzy A wyznaczamy parametry pk definiu- jące elementy zbiorów A,B i C.

Krok 5. Rysujemy wykresy przedstawiające graficznie zamiany elementów w zbiorach A,B i C w zależności od wartości parametru podstawowego pp.

Przedstawiona definicja układu wielo-parametrycznego została opracowana i zastosowana w celu oryginalnej analizy:

- pola temperatury w układach kabli wysokiego napięcia (równanie o pochodnych cząstkowych),

- układów elektrycznych opisanych nieliniowymi równaniami stanu,

- układów elektroenergetycznych modelowanych układami równań algebraicznych, oraz innych wielo-parametrycznych układów technicznych. Dalsza analiza równania została przedstawiona w p. 6 pracy.

3 Rozkład pola temperatury w kablach wysokiego napięcia 64/110 kV

Zastosowania „zmodyfikowanej zasady Pareto” i wynikających z niej wykresów ABC do za- gadnień technicznych przedstawiono na przykładzie analizy termicznej układów kablowych wysokiego napięcia 110 kV.

3.1 Wiadomości ogólne dotyczące kabli wysokiego napięcia

W elektroenergetyce wykorzystywane są zarówno linie napowietrzne jak i kablowe. Od- działywanie tych pierwszych na środowisko naturalne jest różnorodne, a dotyczy miedzy in- nymi emisji pól elektromagnetycznych, hałasu i zakłóceń radioelektrycznych. Liniom napo- wietrznym towarzyszy tak zwana strefa ograniczonego użytkowania terenu pod liniami, jak i w bezpośrednim ich sąsiedztwie. Oddziaływanie linii kablowych na środowisko, ze względu na ich cechy konstrukcyjne, jest mniej inwazyjne.

Rozkład pola temperatury, jak i wartości bezwzględne temperatur, są głównie uzależnione od konfiguracji poszczególnych torów linii kablowych względem siebie oraz od właściwości fi- zycznych środowiska otaczającego kabel.

W pracy poddano analizie rozkład pola temperatury w kablach wysokiego napięcia 64/110 kV [40]. Analizowano konstrukcje kabli jak i ich rozmieszczenie w układach kablowych pod powierzchnią ziemi, ich wpływ na temperaturę żyły kabla, biorąc pod uwagę czynniki ze- wnętrzne takie jak temperatura powietrza czy prędkość wiatru nad powierzchnią ziemi.

Podstawowy wpływ na niezawodność układu mają problemy termiczne, przede wszystkim temperatura żyły kabla, która nie powinna przekraczać 90⁰ C [41].

Na temperaturę kabla ma wpływ wiele czynników, do których należy [42] [43] [44]:

- przewodność cieplna ziemi, w której jest ułożony układ kablowy, - temperatura powietrza nad powierzchnią ziemi,

- konwekcyjny współczynnik wymiany ciepła nad powierzchnią ziemi (prędkość wiatru),

- rezystywność i przewodność cieplna żyły kabla, - obciążalność prądowa kabla,

- przewodność cieplna izolacji,

- układ geometryczny systemu kablowego, - rodzaj i grubość poszczególnych warstw kabla, - głębokość ułożenia kabli.

Niniejszy rozdział zawiera analizę rozkładu pola temperatury badanego kabla wywołany wpływem wyżej przedstawionych czynników.

Do przeprowadzonej analizy wykorzystano program symulacyjny NISA Suite of FEA So- ftware [45] [46], wykorzystujący Metodę Elementów Skończonych (MES) do analizy badanych zjawisk. Metoda została opisana szczegółowo w pozycjach [47] [48] [49] [50] [51] [52]. Rów- nanie przewodnictwa ciepła zdefiniowane dla badanego układu jest szczegółowo opisane w pozycjach [53] i [54].

Pierwsze badania zastosowania „zmodyfikowanej zasady Pareto” do układów modelowa- nych równaniami o pochodnych cząstkowych przedstawiono w pracach [3] [55] uzyskując za- dawalające rezultaty.

3.2 Konstrukcja kabli wysokonapięciowych

Kable wysokonapięciowe charakteryzują się specyficzną konstrukcją. Żyła główna otoczona jest powłokami izolacyjnymi i ochronnymi, oraz taśmą metalową stanowiącą ekran, uziemiony z jednego lub obydwu końców kabla, będący w pewnych przypadkach dodatkowym źródłem ciepła wynoszącym od 10% do 30% wartości w stosunku do strat w żyle głównej [56] [57] [58] [59].

Dokładną konstrukcję kabla miedzianego przedstawiono na Rys. 3.1.

Izolacja kabla XLPE składa się z jednowarstwowego, jednorodnego dielektryka wykonanego z polietylenu usieciowanego (XLPE). Materiałem wyjściowym jest polietylen (PE), węglowodór o molekułach w formie łańcuchów, który ze względu na swoją niespolaryzowaną strukturę

Rys. 3.1. Konstrukcja kabla miedzianego elektroenergetycznego 64/110 kV, firmy TELE-FONIKA Kable [60]

posiada doskonałe właściwości dielektryczne, a po wytłoczeniu uzyskuje strukturę usiecio- waną.

Nad zagęszczonymi przewodami z miedzi lub aluminium, umieszczona jest wewnętrzna warstwa przewodząca, która wykonywana jest w jednej operacji technologicznej razem z le- żącą nad nią izolacją oraz zewnętrzną warstwą przewodzącą. Obszar ekranu z drutu miedzia- nego (Cu) wykonywany jest poprzez naniesienie materiału wodoszczelnego, pęczniejącego w kierunku wzdłużnym, który w przypadku ewentualnych uszkodzeń płaszcza uniemożliwia przedostawanie się wody do wnętrza kabla. Płaszcz zewnętrzny wykonany jest z polietylenu odpornego na ścieranie. Wodoszczelność poprzeczna zapewniona jest dzięki umieszczonej pod nim powlekanej taśmie aluminiowej, połączonej na stałe z płaszczem polietylenowym (PE).

Prawidłowa eksploatacja kabla wymaga odpowiedniego ułożenia kabla w ziemi. Na poniż- szych rysunkach Rys. 3.2 i Rys. 3.3 zamieszczono zalecane ułożenia, podane przez producenta:

Do analizy przyjęto kabel elektroenergetyczny firmy TELE-FONIKA Kable w Bydgoszczy o symbolu 2XS(FL)2Y2Y-GC-FR 1x1200RMS/210 64/110 kV zgodnie z normą IEC 60840 [61].

Kable wysokich napięć są produkowane na podstawie specyfikacji klienta oraz norm fa- brycznych. Konstrukcje kabli są oparte o wymogi norm IEC:

IEC 60287 – Obliczanie obciążalności prądowej kabli (współczynnik obciążenia 100%) [62], IEC 60853 – Obliczanie obciążalności prądowej kabli dla obciążenia cyklicznego lub dla sta- nów awaryjnych,

IEC 61443 – Maksymalne temperatury zwarcia dla kabli na napięcia powyżej 30 kV, IEC 60228 – Żyły przewodów i kabli [63].

Rys. 3.2. Poglądowe rozmieszczenie układu kablowego w otulinie betonowej na głębokości 1m

Rys. 3.3. Poglądowe położenie kabla energetycznego wysokiego napięcia bez płaszcza ochronnego, h – odległość kabla od powierzchni ziemi

3.3 Oddziaływania klimatyczne na temperaturę ziemi

Rozkład temperatur w skorupie ziemskiej jest zróżnicowany. Parametrem określającym roz- kład pola temperatury Ziemi, poniżej strefy termicznej neutralnej jest gradient geotermiczny.

Wyznacza on przyrost temperatury na jednostkę odległości od powierzchni Ziemi a stopień geometryczny jest jego odwrotnością, wskazując co ile metrów temperatura ziemi przyrasta o 1^o C [64]. Jego wartość zmienia się np. od 15 m/1^o C dla okolic Budapesztu, do 144 m/1^o C dla wybranych miejsc w Republice Południowej Afryki. Na jego wartość mają wpływ takie czyn- niki jak: ukształtowanie powierzchni ziemi i jej przewodnictwo cieplne, głębokość zalegania ciał magmowych, lokalizacja procesów wulkanicznych oraz zjawisk hydrogeologicznych i geo- chemicznych występujących w ziemi [65] [66] [67].

Na rozkład temperatury w gruncie wpływają następujące czynniki:

- oddziaływanie klimatyczne zależne od strefy klimatycznej oraz oddziaływanie pogo- dowe (temperatura i wilgotność powietrza, natężenie promieniowania słonecz- nego, opady, wiatr),

- rodzaj pokrycia powierzchni gruntu (np. ziemia bez roślinności, trawa, płyty beto- nowe, pokrywa śnieżna),

- struktura i właściwości fizyczne gruntu (gęstość, porowatość, przewodność cieplna gruntu).

Na Rys. 3.4 przedstawiono przykładowe uśrednione wartości zmian temperatury w funkcji głębokości uzyskane w różnych miesiącach 2011 roku [68].

3.4 Równanie przewodnictwa ciepła

Większość zagadnień cieplnych jest ściśle związana ze zjawiskiem przewodzenia ciepła w ciałach stałych. Rozwiązanie takich zagadnień sprowadza się zazwyczaj do znalezienia pola temperatury w określonym obszarze, czyli do rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu przy odpowiednich warunkach granicznych [53].

Dla środowiska jednorodnego i izotropowego równanie przewodnictwa ciepła w obsza- rze Ω przybiera następującą postać [53]:

Rys. 3.4. Przebieg zmian temp. pod powierzchnią ziemi w funkcji głębokości [68]

∇²𝑇(𝑀, 𝑡) −1 𝜅

𝜕𝑇(𝑀, 𝑡)

𝜕𝑡 = −𝑔(𝑀, 𝑡)

𝜆 ^(3.1)

gdzie: T(M,t) jest temperaturą w punkcie M(x,y,z) Є Ω, g(M) = j²ρ [W/m³] wydajność źródeł ciepła w obszarze Ω (żyły kabla), j [A/m²] gęstość prądu w żyle kabla, ρ [Ω∙m] –rezystywność żyły (w omawianym przykładzie – rezystywność miedzi), κ [m²/s] współczynnik dyfuzji, λ [W/(m∙K)] – przewodność cieplna przewodu, warstw izolacyj- nych oraz gleby.

Jeżeli w rozważanym obszarze nie ma źródeł ciepła, g(M,t) = 0, to równanie ma postać:

Stacjonarne pole temperatury w środowisku jednorodnym izotropowym, zawierającym przestrzenne źródła ciepła, jest opisane równaniem Poissona:

a w przestrzeniach bezźródłowych, w których g(M,t) = 0, równaniem Laplace’a :

Równania różniczkowe cząstkowe (3.1) i (3.2) są typu parabolicznego, natomiast równania (3.3) i (3.4) typu eliptycznego.

W rozpatrywanym przypadku układ jest dwuwymiarowy, więc wyrażenie (3.1) przyjmuje postać:

W stanie ustalonym równanie (3.5) upraszcza się:

Powyższe równanie pozwala na wyznaczenie dwu-wymiarowego rozkładu temperatury T(x,y) w analizowanych obszarach w stanie ustalonym.

W przypadku analizy konkretnego zagadnienia granicznego, należy w celu rozwiązania rów- nania (3.1) sformułować warunki początkowe oraz brzegowe, natomiast do rozwiązania za- gadnienia reprezentowanego przez równanie (3.6), wystarczy sformułować warunki brze- gowe.

W dalszej części pracy zostanie omówione stacjonarne pole temperatury T(x,y) układu przedstawionego na rysunku Rys. 3.3, modelowane równaniem (3.6).

4 Zmodyfikowana zasada Pareto oraz wykresy ABC dla pojedynczego kabla ułożonego w ziemi

W tym rozdziale omówiono zastosowanie „zmodyfikowanej zasady Pareto” oraz wykresów ABC do analizy pola temperatury w pojedynczym kablu elektroenergetycznym ułożonym bez- pośrednio w ziemi. Opracowano jego model, przyjęto warunki brzegowe oraz parametry ba- zowe z ich podstawowymi wartościami.

∇²𝑇(𝑀, 𝑡) −1 𝜅

𝜕𝑇(𝑀, 𝑡)

𝜕𝑡 = 0 _(3.2)

∇²𝑇(𝑀) = −𝑔(𝑀)

𝜆 ^(3.3)

∇²𝑇(𝑀) = 0 ^(3.4)

𝜕²𝑇(𝑀, 𝑡)

𝜕𝑥² +𝜕²𝑇(𝑀, 𝑡)

𝜕𝑦² = 1 𝜅

𝜕𝑇(𝑀, 𝑡)

𝜕𝑡 −𝑔(𝑀, 𝑡)

𝜆 ^(3.5)

𝜕²𝑇(𝑀)

𝜕𝑥² +𝜕²𝑇(𝑀)

𝜕𝑦² = −𝑔(𝑀)

𝜆 ^(3.6)

W celu wprowadzenia do zagadnienia w punktach 4.2, 4.3 oraz 4.4 przedstawiono wstępną analizę obejmującą wyznaczenie temperatury żyły kabla Tr w zależności od:

- głębokości jego ułożenia h, - zmian temperatury powietrza Tp, - przewodności cieplnej ziemi λz,

przy pozostałych stałych parametrach. Należy zaznaczyć, że ze względu na praktycznie równo- mierny rozkład temperatury w żyle miedzianej, temperatura żyły Tr jest maksymalną tempe- raturą występującą w tym obszarze.

4.1 Model pojedynczej linii kablowej bez płaszcza ochronnego

Do badań wybrano kabel o symbolu 2XS(FL)2Y2Y-GC-FR 1x1200RMS/210 64/110kV zgodnie z normą IEC 60840 [60] o następujących parametrach:

- obciążalność prądowa długotrwała I = 1140 A,

- maksymalna dopuszczalna temperatura żyły Tr,max = 90⁰ C, - przewodność cieplna miedzi Cu = 360 W/(m∙K),

- przewodność cieplna polietylenu XLPE, λd = 3,5 W/(m∙K), - rezystywność miedzi ρCu= 1,75x10^-8 Ω∙m,

- kable umieszczone w ziemi o przewodności cieplnej

z od 0,2 W/(m∙K) do 1,4 W/(m∙K),

- konwekcyjny współczynnik wymiany ciepła drogą konwekcji  = 16,6 W/(m²∙K) dla nieruchomego powietrza nad powierzchnią ziemi.

Umieszczenie kabla w stosunku do powierzchni ziemi przedstawiono na Rys. 3.3.

Na Rys. 4.1 przedstawiono model układu z warunkami brzegowymi, dla wartości parame- trów z Tabeli 4.1, zakładając ciągłość strumienia cieplnego na jego krawędziach pionowych .

I prąd w żyle

głównej

Tp

temperatura po- wietrza nad po- wierzchnią ziemi

Tz temperatura

ziemi

h odległość od po-

wierzchni ziemi

z przewodność cieplna

ziemi

 konwekcyjny wsp. wy-

miany ciepła

A ⁰C ⁰C m W/(m∙K) W/(m²∙K)

1140 +35 +8 1 1 16,6

Tabela 4.1. Wartości parametrów przyjętych do analizy rozkładu pola temperatury dla ka- bla wysokiego napięcia umieszczonego w ziemi

Rys. 4.2 przedstawia przykładowy rozkład pola temperatury wykonany metodą elementów skończonych w układzie z Rys. 4.1.

Rys. 4.1. Geometryczny model siatki oraz węzłów elementów skończonych badanego układu pojedynczego kabla umieszczonego bezpośrednio w ziemi

z warunkami brzegowymi [3]

Rys. 4.2. Rozkład pola temperatury dla kabla umieszczonego bezpośrednio w ziemi z naniesioną siatką elementów skończonych (parametry wg danych z Tabeli 4.1).

Warunki brzegowe przyjęte do rozwiązania równania są następujące:

- niejednorodny warunek brzegowy pierwszego rodzaju (Dirichleta) na dolnym brzegu analizowanego obszaru Rys. 4.1 (przyjęto stałą temperaturę ziemi)

- niejednorodny warunek brzegowy trzeciego rodzaju na powierzchni ziemi odpowia- dający wymianie ciepła nad powierzchnią ziemi wg prawa Newtona

gdzie: ԑ [W/(m²∙K)] jest konwekcyjnym współczynnikiem wymiany ciepła (charakteryzującym prędkość wiatru nad powierzchnią ziemi [54]), Ts- temperaturą powierzchni analizowanego obszaru, Tp- temperaturą powietrza nad powierzchnią ziemi.

Na pionowych krawędziach analizowanego obszaru obowiązuje warunek ciągłości strumie- nia cieplnego.

W tym przypadku przyjęto, że temperatura żyły kabla wysokiego napięcia zależy od 7 para- metrów [3] [69]. Wobec tego, funkcję celu opisującą temperaturę żyły kabla Tr, można zdefi- niować następująco:

gdzie kolejno: Tr [⁰C] - temperatura żyły, λz [W/(m∙K)] - przewodność cieplna ziemi, Tp [⁰C] - temperatura powietrza nad powierzchnią ziemi, I [A] - prąd żyły kabla, ρCu [Ω∙m] - rezystywność miedzi, ԑ [W/(m²∙K)] - konwekcyjny współczynnik wymiany ciepła nad powierzchnią ziem, λd [W/(m∙K)] - przewodność cieplna dielektryka, λCu [W/(m∙K)]- przewodność cieplna miedzi (żyły kabla).

W dalszej części rozdziału (punkty: 4.2, 4.3 i 4.4), w celu wprowadzenia do tematyki przed- stawiono wykresy temperatury żyły Tr kabla w zależności od głębokości ułożenia kabla w ziemi h, temperatury powietrza Tp oraz przewodności cieplnej ziemi λz. Pozostałe parame- try, jak zaznaczono na rysunkach przyjęto stałe.

4.2 Wpływ głębokości umieszczenia kabla na temperaturę Tr żyły

Analizę przeprowadzono dla ustalonej odległości kabla od powierzchni ziemi, zmienianej w zakresie od 1 do 20 metrów przyjmując:

- temperaturę powietrza Tp [⁰C] w zakresie od -35,0 do +35,0 - przewodność cieplną ziemi λz [W/(m∙K)] w zakresie od 0,2 do 1,4

Dla wstępnie przyjętych parametrów z Tabeli 4.1 i temperatury powietrza Tp = +35⁰ C zmie- niając h [m], w zakresie od 1 do 20 metrów wykonano symulację komputerową, analizującą rozkład pola temperatury w układzie z Rys. 4.1. Poglądową interpretację (w skali barw) roz- kładu pola temperatury układu dla h = 1m przedstawia Rys. 4.3. Zależność temperatury układu od głębokości ułożenia kabla w stosunku do powierzchni ziemi h przedstawia Rys. 4.4.

𝑇|_𝑠 = 𝑇₀ (4.1)

𝜕𝑇

𝜕𝑛|𝑠 = −𝜀

𝜆(𝑇_𝑠− 𝑇_𝑝) ^(4.2)

Tr = f(λz,Tp,I,ρCu,ԑ,λd,λCu) (4.3)

Na Rys. 4.5 przedstawiono wykres temperatury żyły kabla Tr w zależności od głębokości jego ułożenia h od 1m do 20m.

Rys. 4.3. Poglądowy rozkład pola temperatury wokół kabla wysokiego napięcia, na głębo- kości 1 metra pod powierzchnią ziemi i Tp = +35⁰ C.

Wartość temperatury żyły Tr = 34,6⁰ C

Rys. 4.4. Temperatura wokół kabla wysokiego napięcia w zależności od odległości od po- wierzchni ziemi h, dla rozkładu temperatury z Rys. 4.3 (T^p = +35⁰ C, T^r = 34,7⁰ C)

Analizując powyższe dane można zauważyć względnie stałą temperaturę żyły kabla na głę- bokościach powyżej 10m od powierzchni ziemi.

4.3 Wpływ temperatury powietrza Tp na wartość temperatury Tr żyły kabla

Na Rys. 4.6. przedstawiono poglądowy rozkład pola temperatury w układzie kablowym z Rys. 4.1, na głębokości 1 metra pod powierzchnią ziemi dla parametrów z Tabeli 4.1 i Tp = -35⁰ C. Wykres zmian temperatury układu przy pozostałych stałych parametrach poka- zano na Rys. 4.7

Rys. 4.5. Wykres temperatury żyły kabla T^r w zależności od głębokości jego ułożenia [3]

Rys. 4.6. Poglądowy rozkład pola temperatury w układzie z Rys. 4.1, na głębokości 1 metra pod powierzchnią ziemi dla parametrów z Tabeli 4.1 i Tp = -35⁰ C

Ogólną zależność Tr = f(Tp) pokazano na Rys. 4.8. Należy zauważyć liniową zależność tem- peratury żyły kabla Tr od temperatury powietrza Tp.

4.4 Wpływ przewodności cieplnej ziemi λz na wartość temperatury Tr żyły kabla

Na Rys. 4.9 i Rys. 4.10 przedstawiono poglądowe wykresy rozkładu pola temperatury wokół kabla umieszczonego na głębokości 1m dla temperatury powietrza Tp = +35⁰ C. Ogólną analizę zmian temperatury żyły kabla w zależności od zmian wartości przewodności cieplnej ziemi po- kazano na Rys. 4.11.

Rys. 4.7. Temperatura w zależności od odległości kabla od powierzchni ziemi dla rozkładu temperatury z Rys. 4.6 (Tp = -35⁰ C)

Rys. 4.8. Wykres temperatury żyły kabla Tr w zależności od zmian temperatury powietrza Tp [3]

Zależność temperatury żyły od zmian przewodności cieplnej ziemi ilustruje Rys. 4.11.

Rys. 4.9. Poglądowy rozkład pola temperatury w układzie kablowym z Rys. 3.3, na głębokości 1 metra pod powierzchnią i Tp = +35⁰ C,

wartość temperatury żyły Tr = 77,2⁰ C (wg Tabeli 4.1)

Rys. 4.10. Temperatura w zależności od odległości kabla od powierzchni ziemi dla rozkładu temperatury z Rys. 4.9 (T^p = +35⁰ C)