• Nie Znaleziono Wyników

W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach."

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

Seria nr 2. Termin oddania — 09-10-2007.

W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach.

Osoby o parzystych numerach indeksu rozwiązują i oddają na kartkach zadanie 2, te o nieparzystych

— 1. Kolejne zadania są dodatkowe (choć bardzo polecam zrobienie zadania 3 jako przygotowanie do najbliższych zajęć). Plusik przy numerze zadania oznacza, że zadanie jest trudniejsze; gwiazdka, że dość trudne. Zadania dla chętnych są jeszcze trudniejsze, a ich status omówiliśmy na zajęciach.

1. Rozpatrzmy funkcję f : R → R daną wzorem f (x) =

sin( x 2 ) − 1 2 . a) Wyznacz obraz f



[−π, π)  . b) Wyznacz przeciwobraz f −1 

(0, π)  .

c) Czy jest ona różnowartościowa? Czy jest „na”?

d) Znajdź dla tej funkcji taką dziedzinę A i przeciwdziedzinę B by f : A → B stała się bijekcją.

(dziedzina ma być „sensownie duża”, tzn. ma nie być np. jednym punktem) e) Wyznacz wzór funkcji odwrotnej do f z podpunktu d).

2. Rozpatrzmy funkcję f : R → R daną wzorem f (x) =

cos( x 2 ) − 1 2 . a) Wyznacz obraz f



(−π, π]  . b) Wyznacz przeciwobraz f −1 

(−π, 0)  .

c) Czy jest ona różnowartościowa? Czy jest „na”?

d) Znajdź dla tej funkcji taką dziedzinę A i przeciwdziedzinę B by f : A → B stała się bijekcją.

(dziedzina ma być „sensownie duża”, tzn. ma nie być np. jednym punktem) e) Wyznacz wzór funkcji odwrotnej do f z podpunktu d).

3. W zależności od parametru x ∈ [−1, 2] zbadaj zbieżność ciągu a n = x n (1 − x) n .

4. Wykaż, że zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego zbieżnego ciągu x n elementów z A granica też należy do A.

5. Uzasadnij, że domknięty podbiór zbioru zwartego jest zwarty.

Zadania dla chętnych

1. Wiemy, że norma indukuje metrykę – znajdź przykład metryki, która nie pochodzi od żadnej normy.

2. Wykaż, że metryka d na przestrzeni liniowej X pochodzi od normy wtedy i tylko wtedy gdy ma dwie własności:

• ∀ x∈Xt∈R d(tx, 0) = |t| · d(x, 0) (jednorodność);

• ∀ x,y,z∈X d(x, y) = d(x + z, y + z) (przesuwalność).

3. Wykaż, że p–norma w R 3 , czyli ||x|| p = p|x

p

1 | p + |x 2 | p + |x 3 | p jest normą wtedy i tylko wtedy

gdy p > 1.

(2)

4. Niech X i Y zbiory zwarte. Które ze poniższych zbiorów muszą też być zwarte: X × Y , X ∩ Y , X ∪ Y , X \ Y ? Podaj przykłady, jeśli nie muszą.

5. Czy iloczyn kartezjański dwóch zbiorów otwartych musi być zbiorem otwartym? A domknię-

tych — domkniętym?

Cytaty

Powiązane dokumenty

Na pierwszej przerwie zjadł kilka kostek, na drugiej tyle samo, a na trzeciej tyle co na pierwszej i drugiej.. Zostało mu tyle kostek, ile zjadł do tej

Gdy Kubuś Puchatek wychodził ze swojej chatki na urodziny Kłapouchego, garnek pełen miodu, który niósł w prezencie, ważył 5 kg. Kiedy Puchatek był w połowie drogi do

W asemblerze proszę napisać program, który po naciśnięciu przycisku podłączonego do PB.7 wejdzie do procedury wyświetlania stanu rejestrów procesora:

Proszę przyjąć, że sposób podłączenia przycisków i diod jest taki jak na schemacie dostępnym na stronie internetowej w

Wyboru pary wyników, której ciśnienie skurczowe ma być oceniane, należy dokonywać za pomocą kluczy podłączonych do portu B.. Proszę założyć, że diody są podłączone do

Wyboru pary wyników, której ciśnienie skurczowe ma być oceniane, należy dokonywać za pomocą kluczy podłączonych do portu B.. Proszę założyć, że diody są podłączone

Stwierdź, czy w tych punktach jest ekstremum, jeśli tak - określ czy jest to maksimum czy minimum1. Jeśli tak, znajdź wartości pochodnych funkcji uwikłanych w

Zadania są bardzo łatwe, na pewno