• Nie Znaleziono Wyników

Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych n, dla któ- rych liczba (2n)! jest podzielna przez n

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych n, dla któ- rych liczba (2n)! jest podzielna przez n"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Instytut Matematyczny UWr www.math.uni.wroc.pl/∼jwr/BO2020 III LO we Wrocławiu

41. Udowodnij, że nie istnieje dodatnia liczba całkowita n, dla której liczba (92n)!

jest podzielna przez liczbę (95!)n.

42. Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczban2! jest podzielna przez (n!)n+1.

43. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych n, dla któ- rych liczba n2! nie jest podzielna przez (n!)n+2.

44. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych n, dla któ- rych liczba n2! jest podzielna przez (n!)n+2.

45. Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n liczba (2n)! jest podzielna przez n! · (n + 1)!.

46. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych n, dla któ- rych liczba (2n)! jest podzielna przez n! · (n + 2)!.

47. Udowodnij, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych n, dla któ- rych liczba (2n)! nie jest podzielna przez n! · (n + 2)!.

48. Udowodnij, że w dowolnym czworościanie odcinki łączące środki przeciwległych krawędzi przecinają się w jednym punkcie.

49. Udowodnij, że w dowolnym ostrosłupie o podstawie będącej czworokątem wypu- kłym odcinki łączące środki ciężkości ścian bocznych ze środkami przeciwleglych krawę- dzi podstawy przecinają się w jednym punkcie. W jakiej proporcji odcinki te są dzielone przez punkt przecięcia?

50. Dany jest czworościan foremny ABCD o krawędzi długości 4. Na krawędziach AB, AC i AD wybrano odpowiednio takie punkty E, F i G, że AE = 1, AF = 2 oraz AG = 3. Wskazać (podając odległości od wierzchołków) takie punkty P , Q i R leżące odpowiednio na krawędziach CD, BD i BC, że odcinki EP , F Q i GR przecinają się w jednym punkcie.

- 6 - Jarosław Wróblewski Blok Olimpijski 2020/21, klasy 1A, 2Ap, 2Ag, 3A

Cytaty

Powiązane dokumenty

Prostokąt został podzielony na mniejsze prostokąty, z których każdy ma co najmniej jeden bok o długości będącej liczbą całkowitą. Wykaż, że przynajmniej jeden bok dużego

Ruch polega na wybraniu dwóch sąsiadujących w wierszu lub kolumnie pionów, a następnie przeskoczeniem jednym z nich przez drugi i zdjęciem drugiego.. Ruch wolno wykonać tylko o

Czy można pokolorować pewne punkty tego zbioru na czerwono, a pozostałe na biało, w taki sposób, że dla każdej prostej ` równoległej do którejkolwiek osi układu

Niech punkt I będzie środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, zaś D, E, F niech będą punktami przecięcia dwusiecznych kątów A, B, C trójkąta ABC odpowiednio z bokami BC, AC

Punkty te połączono między sobą i z wierzchołkami trójkąta nieprzecinającymi się odcinkami tak, iż ”duży” trójkąt podzielono na mniejsze trójkąty.. Udowodnij, że

Udowodnij, że możemy tak położyć drugiego tetrisa, aby suma liczb w polach, które on przykrył, była nieujemna...

Udowodnij, że możemy tak położyć drugiego tetrisa, aby suma liczb w polach, które on przykrył, była nieujemna...

W przestrzeni trójwymiarowej pomalowano 2000 punktów kratowych na czerwono i inne 2000 na niebiesko tak, że żadne dwa takie odcinki, że jeden koniec odcinka jest punktem czerwonym,