Sprawdzi¢, czy f : X → Y jest funkcj¡, je±li: a) X = Y = R, y = f(x

Analityka gospodarcza - algebra/analiza - wst¦p 2 Funkcje elementarne i ich wªasno±ci, elementarne nierówno±ci Zadanie 1. Sprawdzi¢, czy f : X → Y jest funkcj¡, je±li:

a) X = Y = R, y = f(x) ⇔ x² = y²; b) X = Y = R, y = f(x) ⇔ x³ = y³; c) X = Y = R, y = f(x) ⇔√

x =√ y; d) X = Y = R, y = f(x) ⇔ x = ctg y;

e) X = Y = R, y = f(x) ⇔ x = cos y;

f) X = [−1, 1], Y = [π, 2π], y = f(x) ⇔ x = cos y.

Je±li f jest funkcj¡, to czy jest ona surjekcj¡ b¡d¹ injekcj¡?

Zadanie 2. Naszkicowa¢ wykresy nast¦puj¡cych funkcji rzeczywistych (ustalaj¡c najpierw ich dziedziny):

a) f(x) = arccos 3x; b) f(x) = arcctg(x − 1); c) f(x) = sin¹₃x + 1; d) f(x) = (¹₂)^x−3; e) f(x) = log2(2x + 1).

Zadanie 3. Sprowadzi¢ do najprostszej postaci:

a) log24 + log₄8; b) log10100 − ln e²; c) ln x²− ln x³; d) ln[(x + 2)(x − 2)]-ln(x − 2);

e) ln^x_x²2⁻¹−4 − ln_(x+1)(x+2)^{(x−1)(x−2)}; f) _cos^{sinππ4+cosπ4}

2−sin^3π

2 ; g) ^sinπ3_tg^{cosπ 2π3 −1}

4−1 ; h) sin(25π)+cos(−12π) tg(2008π)−sin(−²⁵₂π);

i) ²³²¹⁷₈10⁺⁴¹⁰; j) ^x2√−x_x³²; k) ¹₂2^2x−14^y+1; l) 2 arcsin(−1)−2 arccos(0)+4 arctg(−1)+arcctg√ 3; ª) arcsin(cos(arctg(0))); m) cos(3 arcsin^√₂³ + arccos(−¹₂)).

Zadanie 4. Naszkicowa¢ wykresy nast¦puj¡cych funkcji:

a) f(x) = x²− 4x − 3; b) |f(x)|; c) f(|x|); d) |f(|x|)|.

Zadanie 5. Wyznaczy¢ dziedzin¦ funkcji:

a) f(x) = ln(x + 2) + ln(x − 2); b) f(x) = ln(sin^π_x); c) f(x) = log2(^π₃ − arccos(¹₄)^x); d) f(x) =q

arcctg(log¹

2 x) −^π₄;

e) f(x) = (2^x− 3^x)¹²; f) f(x) = [(arcsin x)(arccos x)]⁻¹+ log₁₀(−x²+ x + 2); g) f(x) = arcsin(x²− 2x); h) f(x) = arccos log^√₃x;

i) f(x) = ln[(16 − x²)(arctg x)]; j) f(x) = arcsin(3x + 1)¹². Zadanie 6. Rozwi¡za¢ nast¦puj¡ce równania i nierówno±ci:

a) x³ + x² ≤ x; b) x⁵+ 4x³+ 4x²+ 3x + 9 ≤ 5x⁴; c) x⁶+ 4x⁵+ x⁴+ 6 > 7x³+ 4x²+ x; d) _x+1³ > _x2²−4; e) ^50x−97_x−2 ≤ 49; f) _x+1^x+3 +_x² ≥ ^x+7_x+3; g) 2^√x+1 < 32 ; h) (ln x)³ ≥ 27;

i) log¹

2(x⁻²+ 4) > −3; j) |3x − 9| < |x + 9|; k) q

3x−1 2−x ≥ 1; l) log2 5x−15

x−4 ≤ 2; ª) arctg(x²− x) = ^π₄; m) arcsin(ln x) > 0;

n) arccos(2^x− 1) < ^π₆; o) arcsin(log¹

2 x) ≥ ^π₆; p) | arcsin 2x| ≥ ^π₃;

q) 6 arcctg(x²− 1) > π; r) logπ⁻¹(arccos(x²+ 4x + 2)) + 1 > 0; s) (¹₃)arcctg(1−x) ≥ 3^−3π4 . Zadanie 7. Dla poni»szych par relacji popytu i poda»y narysowa¢ ich wykresy walrasowskie (w ukªadzie wspóªrz¦dnych (p, q)) i marshallowskie (w ukªadzie (q, p)), wy- znaczaj¡c ich relacje (funkcje) odwrotne D⁻¹ i S⁻¹.

a) D = {(p, q) : q = 20 − 4p, p, q ≥ 0}, S = {(p, q) : q = 4 + 2p, p, q ≥ 0};

b) D = {(p, q) : q = 12 − 4p, p, q ≥ 0}, S = {(p, q) : q = 3 + p, p, q ≥ 0};

c) D = {(p, q) : q = 15 − p²− 2p, p, q ≥ 0}, S = {(p, q) : q = p³− 3, p, q ≥ 0}. d) D = {(p, q) : q = _p+1¹⁰ , p, q ≥ 0}, S = {(p, q) : q =√

p − 1, p, q ≥ 0}.

Zadanie 8. Wyznaczy¢ (o ile istniej¡) funkcje rzeczywiste f ◦ g, g ◦ f, f⁻¹, g⁻¹, gdy:

a) f(x) = −4x + 5; g(x) = 5x + 1; b) f(x) = x²; g(x) = −x;

c) f(x) = 2^x−1; g(x) = arccos(x − π); d) f(x) = |x − 2| + |x − 1|; g(x) = (¹₃)^x; e) f(x) = − arccos x; g(x) = _x¹2; f) f(x) = 2^x; g(x) = log¹

2 x.

Zadanie 9. Wyznaczy¢ funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji podanej, w razie potrzeby zmniejszaj¡c dziedzin¦ tak, by funkcja byªa odwracalna:

a) f(x) = 2^x+ 1; b) f(x) = sin(7x − 2); c) f(x) = 5 + _x+3¹ ;

d) f(x) = ln(tg x); e) f(x) = arcctg((¹₃)^x); f) f(x) = 2 log3(¹₂x + 1).

Dobrej zabawy!

Grzesiek Kosiorowski

1