Funkcje
Matematyka dyskretna
Funkcje jednoargumentowe
Definicja F.1.Relację 𝑅 ⊆ 𝐴×𝐵 nazywamy funkcją jednoargumentową wtw, gdy spełnione są następujące warunki:
(i) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑅 ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦),
(ii) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑥𝑅𝑧 → 𝑦 = 𝑧).
Uwaga:
Warunki te sprowadzają się do wymagania, aby każdemu elementowi dziedziny 𝐷𝑅 relacji R był przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru B.
Z definicji 𝐷𝑅 mamy 𝐷𝑅⊆ A.
Nie wyklucza to natomiast ani tego, że dany element zbioru 𝐵 może być przyporządkowany kilku elementom zbioru 𝐷!, ani też tego, że pewne elementy zbioru 𝐵 nie są
przyporządkowane żadnym elementom zbioru 𝐷!.
Funkcje jednoargumentowe
Terminologia i notacja:Funkcje oznaczamy symbolami 𝑓, 𝑔, . .. .
Zbiór Df (czyli dziedzina funkcji 𝑓) jest zbiorem argumentów funkcji 𝑓, natomiast przeciwdziedziną 𝐷𝑓∗ jest jej zbiorem wartości.
Wartość funkcji jednoargumentowej f dla argumentu 𝑥 tzn. (jedyny) element 𝑦 ∈ 𝐵 taki, że (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 oznaczamy przez 𝑓(𝑥).
𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵
oznacza funkcję 𝑓, której zbiorem argumentów jest 𝐴 i której wartości należą do 𝐵;
𝑓 odwzorowuje zbiór 𝐴 w zbiór 𝐵, albo też krótko, że 𝑓 jest funkcją ze zbioru 𝐴 w zbiór 𝐵.
Zbiór wszystkich funkcji ze zbioru 𝐴 w zbiór 𝐵 oznaczamy przez 𝐵𝐴.
Funkcje jednoargumentowe
Definicja F.2.Funkcję 𝑓: 𝐴 → 𝐵 nazywamy wzajemnie jednoznaczną (różnowartościową) wtw, gdy
∀!!∈! ∀!2∈! (𝑥! ≠ 𝑥2 → 𝑓(𝑥!) ≠ 𝑓(𝑥2)).
Funkcję wzajemnie jednoznaczną nazywamy też iniekcją albo monomorfizmem.
Definicja F.3.
Funkcję 𝑓: 𝐴 → 𝐵 nazywamy funkcją przekształcającą zbiór A na zbiór B wtw
∀!∈! ∃!∈! (𝑦 = 𝑓(𝑥)).
„Funkcje na” to inaczej suriekcje lub epimorfizmy.
Definicja F.4.
Funkcję 𝑓: 𝐴 → 𝐵 nazywamy bijekcją wtw, gdy 𝑓 jest różnowartościowa i przekształca zbiór A na zbiór B.
Bijekcję nazywamy też izomofrizmem.
Funkcje jednoargumentowe
Traktując funkcję 𝑓: 𝑋 → 𝑌 jako relację 𝑓 ⊆ 𝑋 𝑥 𝑌 (zbiór par), możemy rozważać relację 𝑓!! odwrotną do 𝑓.
Kiedy ta relacja jest funkcją?
Lemat T.1.
Funkcja posiada funkcję odwrotną, wtw, gdy jest bijekcją.
Obcięciem funkcji
𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 do zbioru C nazywamy funkcję 𝑓|!(𝑥) = 𝑓(𝑥) dla 𝑥 ∈ 𝐶.
Obraz zbioru
Obrazem zbioru 𝐴 ⊆ 𝑋 w funkcji 𝑓: 𝑋 → 𝑌 nazywa się podzbiór 𝑓[𝐴] ⊆ 𝑌 wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
{𝑓(𝑥) ∈ 𝑌 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴}.
Inne oznaczenia: 𝑓 𝐴 ,𝑓→ 𝐴 , 𝑓∗(𝐴).
Obraz funkcji
Obraz całej dziedziny tzn. 𝑓[𝑋] nazywa się obrazem funkcji 𝑓.
Inne oznaczenia: 𝑓 𝑋 , 𝑖𝑚 𝑓 , 𝑓→ 𝑋 , 𝑓∗(𝑋).
Przeciwobraz funkcji (zbioru)
Przeciwobrazem zbioru 𝐵 ⊆ 𝑌 względem 𝑓 nazywa się podzbiór zbioru 𝑋 określony wzorem
𝑓!! 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵}.
Przeciwobraz zbioru jednoelementowego {𝑦}, oznaczany symbolem 𝑓!! 𝑦 .
Przeciwobraz całej przeciwdziedziny tzn. 𝑓!![𝑌] nazywa się przeciwobrazem funkcji 𝑓.
Inne oznaczenia: 𝑓! 𝑌 , 𝑓← 𝑌 , 𝑓∗(𝑌).
Funkcje wieloargumentowe (wielu zmiennych)
Definicja F.5.Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem.
Funkcję 𝑓: 𝐴𝑚 → 𝐵 nazywamy funkcją 𝑚 zmiennych przebiegających zbiór 𝐴 i o wartościach należących do zbioru 𝐵.
Funkcje więcej niż 1 zmiennej nazywamy funkcjami wieloargumentowymi.
Uwaga:
Czasami potrzebne są nam funkcje, które przyporządkowują każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego różnych niepustych zbiorów 𝐴!, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛 pewien element jakiegoś zbioru 𝐵.
Funkcje tego typu można określić jako funkcje jednoargumentowe ze zbioru 𝐴!×𝐴2×
⋯×𝐴! w zbiór 𝐵.