• Nie Znaleziono Wyników

Funkcje  jednoargumentowe  

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Funkcje  jednoargumentowe  "

Copied!
7
0
0

Pełen tekst

(1)

       

Funkcje

Matematyka dyskretna

 

 

(2)

Funkcje  jednoargumentowe  

Definicja  F.1.    

Relację  𝑅 ⊆ 𝐴×𝐵  nazywamy  funkcją  jednoargumentową wtw, gdy  spełnione  są   następujące  warunki:  

(i) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑅  ∃𝑦 ∈ 𝐵  (𝑥𝑅𝑦),  

(ii) ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑅  ∀𝑦 ∈ 𝐵  ∀𝑧 ∈ 𝐵  (𝑥𝑅𝑦   ∧  𝑥𝑅𝑧   →  𝑦   =  𝑧).  

Uwaga:    

Warunki  te  sprowadzają  się  do  wymagania,  aby  każdemu elementowi  dziedziny  𝐷𝑅   relacji  R  był  przyporządkowany  dokładnie  jeden element  zbioru  B.  

Z  definicji  𝐷𝑅 mamy  𝐷𝑅⊆  A.  

Nie  wyklucza  to  natomiast  ani  tego,  że  dany  element  zbioru  𝐵  może  być  przyporządkowany   kilku  elementom  zbioru  𝐷!,  ani  też  tego,  że  pewne  elementy  zbioru  𝐵  nie  są  

przyporządkowane  żadnym  elementom  zbioru  𝐷!.  

   

(3)

Funkcje  jednoargumentowe  

Terminologia  i  notacja:    

Funkcje  oznaczamy  symbolami  𝑓, 𝑔, . ..  .  

Zbiór  Df (czyli  dziedzina  funkcji  𝑓)  jest  zbiorem argumentów  funkcji  𝑓,  natomiast   przeciwdziedziną  𝐷𝑓  jest  jej  zbiorem wartości.  

Wartość  funkcji  jednoargumentowej  f  dla  argumentu  𝑥  tzn.  (jedyny)  element  𝑦 ∈ 𝐵  taki,   że  (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓  oznaczamy  przez  𝑓(𝑥).

𝑓 ∶  𝐴   →  𝐵  

oznacza funkcję  𝑓,  której  zbiorem  argumentów  jest  𝐴  i  której  wartości  należą  do  𝐵;  

𝑓  odwzorowuje  zbiór  𝐴  w  zbiór  𝐵,  albo też  krótko,  że  𝑓  jest  funkcją  ze  zbioru  𝐴  w  zbiór   𝐵.  

Zbiór  wszystkich  funkcji  ze  zbioru  𝐴  w  zbiór  𝐵  oznaczamy  przez  𝐵𝐴.  

   

(4)

Funkcje  jednoargumentowe  

Definicja  F.2.    

Funkcję  𝑓:  𝐴   →  𝐵  nazywamy  wzajemnie  jednoznaczną (różnowartościową) wtw, gdy  

!!∈!  ∀!2∈!  (𝑥! ≠ 𝑥2 → 𝑓(𝑥!) ≠ 𝑓(𝑥2)).  

Funkcję  wzajemnie  jednoznaczną  nazywamy  też iniekcją  albo monomorfizmem.

Definicja  F.3.    

Funkcję  𝑓:  𝐴   →  𝐵  nazywamy  funkcją  przekształcającą  zbiór A  na  zbiór  B  wtw  

!∈!  ∃!∈!  (𝑦 = 𝑓(𝑥)).  

„Funkcje  na”  to  inaczej  suriekcje  lub  epimorfizmy.  

Definicja  F.4.    

Funkcję  𝑓:  𝐴   →  𝐵  nazywamy  bijekcją  wtw, gdy 𝑓  jest  różnowartościowa i przekształca   zbiór  A  na  zbiór  B.  

Bijekcję  nazywamy  też  izomofrizmem.  

   

(5)

Funkcje  jednoargumentowe  

Traktując  funkcję  𝑓: 𝑋 → 𝑌  jako  relację  𝑓   ⊆ 𝑋  𝑥  𝑌  (zbiór  par),  możemy  rozważać  relację     𝑓!!  odwrotną  do  𝑓.    

Kiedy  ta  relacja  jest  funkcją?    

Lemat  T.1.    

Funkcja  posiada  funkcję  odwrotną,  wtw,  gdy  jest  bijekcją.  

 

Obcięciem  funkcji    

𝑓 ∶  𝐴   →  𝐵  do  zbioru  C  nazywamy  funkcję  𝑓|!(𝑥) = 𝑓(𝑥)  dla  𝑥 ∈ 𝐶.  

   

(6)

Obraz  zbioru  

Obrazem  zbioru 𝐴 ⊆ 𝑋  w  funkcji  𝑓: 𝑋 → 𝑌  nazywa  się  podzbiór  𝑓[𝐴] ⊆ 𝑌    wszystkich   obrazów  elementów  tego  zbioru,  tzn.  zbiór

{𝑓(𝑥) ∈ 𝑌 ∶ 𝑥 ∈ 𝐴}.  

Inne oznaczenia: 𝑓 𝐴 ,𝑓 𝐴 , 𝑓(𝐴).

Obraz  funkcji  

Obraz  całej  dziedziny  tzn. 𝑓[𝑋]  nazywa  się  obrazem  funkcji 𝑓.

Inne oznaczenia: 𝑓 𝑋 , 𝑖𝑚 𝑓 , 𝑓 𝑋 , 𝑓(𝑋).

Przeciwobraz  funkcji  (zbioru)  

Przeciwobrazem  zbioru 𝐵 ⊆ 𝑌    względem  𝑓  nazywa  się  podzbiór  zbioru  𝑋  określony   wzorem

𝑓!! 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∶ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵}.

Przeciwobraz  zbioru  jednoelementowego {𝑦},  oznaczany  symbolem  𝑓!! 𝑦 .

Przeciwobraz  całej  przeciwdziedziny tzn. 𝑓!![𝑌]  nazywa  się  przeciwobrazem  funkcji 𝑓.

Inne oznaczenia: 𝑓! 𝑌 , 𝑓 𝑌 , 𝑓(𝑌).

   

(7)

Funkcje  wieloargumentowe  (wielu  zmiennych)  

Definicja  F.5.    

Niech  A  będzie  dowolnym  niepustym  zbiorem.  

Funkcję 𝑓:  𝐴𝑚 → 𝐵  nazywamy  funkcją  𝑚  zmiennych  przebiegających  zbiór  𝐴  i  o wartościach  należących  do  zbioru  𝐵.  

Funkcje  więcej  niż  1  zmiennej  nazywamy  funkcjami  wieloargumentowymi.  

Uwaga:

Czasami  potrzebne  są  nam  funkcje,  które  przyporządkowują  każdemu elementowi   iloczynu  kartezjańskiego  różnych  niepustych  zbiorów  𝐴!, 𝐴2, . . . , 𝐴𝑛 pewien  element   jakiegoś  zbioru  𝐵.  

Funkcje  tego  typu  można  określić  jako  funkcje  jednoargumentowe  ze  zbioru  𝐴!×𝐴2×

⋯×𝐴!  w  zbiór  𝐵.

 

Cytaty

Powiązane dokumenty

Dusza przenosi się do jasnej Kiedy dusze ' misja jest zakończona fizyczne ciało umiera.. Dusza przenosi się do jasnej Kiedy dusze ' misja jest zakończona fizyczne

uzyskanie od komisji egzaminacyjnej protokołów potwierdzających zdanie egzaminu doktorskiego przez Kandydata oraz znajomość języka angielskiego na poziomie biegłości

W 2011 roku Ruch Tapori zaprosił dzieci z różnych krajów do dyskusji na temat: ,, Aby dobrze się uczyć potrzebujemy..." Mała kolekcja odpowiedzi dzieci (w języku

brak lokalizacji do uwagi W sytuacji gdy wyznaczenie miejsc postojowych nie było możliwe ze względu na niewystarczające parametry drogi, ale możliwy jest legalny postój pojazdu

Jeśli pomyślimy jeszcze raz o Ziemi, to widzimy, że dla ciał obracających się wraz z nią, siła odśrodkowa jest taka sama, jaką by była siła bezwładności w ruchu

niski, stały dochód i niskie ryzyko Przykład: 3-miesięczna lokata z oprocentowaniem 3% w skali roku.. o

Tylko główny pasażer oraz jego towarzysze podróży wskazani w wiadomości e-mail zawierającej Flight Delay Pass będą mogli wejść do salonu na lotnisku.. Z zastrzeżeniem

Narodzić się, aby kochać 41 kucja, takie jedno wyjęcie prawem człowieka spod prawa, to samobójcza śmierć moralna twórców tego prawa i zamach stanu na wszystko,