Działania na przekształceniach liniowych i macierzach
Mirosław Sobolewski
Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW
5 wykład z algebry liniowej Warszawa, pa´zdziernik 2018
Twierdzenie
Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech f , g : V → W b ˛ed ˛a przekształceniami liniowymi i niech α ∈ R. Wtedy przekształcenie f + g : V → W zadane wzorem (f + g)(v ) = f (v ) + g(v ) dla v ∈ V oraz αf : V → W zadane wzorem (αf )(v ) = αf (v ) dla v ∈ V s ˛a przekształceniami liniowymi. f + g nazywamysum ˛af i g, za´s αf iloczynemf przez skalar α
Przykład
Niech f , g : R3→ R2zadane wzorami
f ((x1,x2,x3)) = (2x1+3x2− 3x3,x1+2x2− x3)oraz
g((x1,x2,x3)) = (7x1− 2x2− 8x3, −x1+2x2+3x3)i niech α = 2. Wtedy (f + g)((x1,x2,x3)) = (9x1+x2− 11x3,4x2+2x3), za´s αf ((x1,x2,x3)) = (4x1+6x2− 6x3,2x1+4x2− 2x3)
Twierdzenie
Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech f , g : V → W b ˛ed ˛a przekształceniami liniowymi i niech α ∈ R. Wtedy przekształcenie f + g : V → W zadane wzorem (f + g)(v ) = f (v ) + g(v ) dla v ∈ V oraz αf : V → W zadane wzorem (αf )(v ) = αf (v ) dla v ∈ V s ˛a przekształceniami liniowymi. f + g nazywamysum ˛af i g, za´s αf iloczynemf przez skalar α
Przykład
Niech f , g : R3→ R2zadane wzorami
f ((x1,x2,x3)) = (2x1+3x2− 3x3,x1+2x2− x3)oraz
g((x1,x2,x3)) = (7x1− 2x2− 8x3, −x1+2x2+3x3)i niech α = 2.
Wtedy (f + g)((x1,x2,x3)) = (9x1+x2− 11x3,4x2+2x3), za´s αf ((x1,x2,x3)) = (4x1+6x2− 6x3,2x1+4x2− 2x3)
Twierdzenie
Niech V , W , Z b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech f : V → W oraz g : W → Z b ˛ed ˛a przekształceniami liniowymi. Wówczas
przekształcenie g ◦ f : V → Z zadane wzorem (g ◦ f )(v ) = g(f (v )) jest przekształceniem liniowym, nazywanymzło˙zeniemf i g.
Przykład
Niech f : R3→ R2zadane przez
f ((x1,x2,x3)) = (x1+2x2− x3,2x1+4x2− x3)za´s g : R2→ R2przez g((y1,y2)) = (y1+y2,2y1− y2). Wtedy
g ◦f ((x1,x2,x3)) =g(f ((x1,x2,x3))) =g((x1+2x2−x3,2x1+4x2−x3)) = ((x1+2x2− x3) + (2x1+4x2− x3),2(x1+2x2− x3) − (2x1+4x2− x3)) = (3x1+6x2− 2x3, −x3)
Twierdzenie
Niech V , W , Z b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech f : V → W oraz g : W → Z b ˛ed ˛a przekształceniami liniowymi. Wówczas
przekształcenie g ◦ f : V → Z zadane wzorem (g ◦ f )(v ) = g(f (v )) jest przekształceniem liniowym, nazywanymzło˙zeniemf i g.
Przykład
Niech f : R3→ R2zadane przez
f ((x1,x2,x3)) = (x1+2x2− x3,2x1+4x2− x3)za´s g : R2→ R2przez g((y1,y2)) = (y1+y2,2y1− y2). Wtedy
g ◦f ((x1,x2,x3)) =g(f ((x1,x2,x3))) =g((x1+2x2−x3,2x1+4x2−x3)) = ((x1+2x2− x3) + (2x1+4x2− x3),2(x1+2x2− x3) − (2x1+4x2− x3)) = (3x1+6x2− 2x3, −x3)
Działania na macierzach
Definicja
Niech A, B ∈ Mm×n(R), c ∈ R, A = [aij], B = [bij].Sum ˛a macierzyA i B nazywamy macierz A + B = [aij+bij] ∈Mm×n(R). Iloczynem macierzy Aprzez skalarc nazywamy macierz cA = [caij] ∈Mm×n(R)
Przykład
Niech A, B ∈ M3×2(R),
A =
2 1 4 0 5 6
,B =
7 5
−1 2
3 3
,c = 5
Wtedy A + B =
9 6 3 2 8 9
,cA =
10 5 20 0 25 30
Działania na macierzach
Definicja
Niech A, B ∈ Mm×n(R), c ∈ R, A = [aij], B = [bij].Sum ˛a macierzyA i B nazywamy macierz A + B = [aij+bij] ∈Mm×n(R). Iloczynem macierzy Aprzez skalarc nazywamy macierz cA = [caij] ∈Mm×n(R)
Przykład
Niech A, B ∈ M3×2(R),
A =
2 1 4 0 5 6
,B =
7 5
−1 2
3 3
,c = 5
Wtedy A + B =
9 6 3 2 8 9
,cA =
10 5 20 0 25 30
Definicja
Niech A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×l(R): A = [aij], B = [bij](tzn. kolumny B maj ˛a tyle elementów, ile wiersze A). Iloczynem macierzyAprzez macierzB nazywamy macierz A · B = [cij] ∈Mm×l(R), gdzie cij =Pn
s=1aisbsj =ai1b1j+ai2b2j+ · · · +ainbnj dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ l.
W szczególno´sci, je´sli w =
a1 . . . an oraz k =
b1
... bn
s ˛a wierszem i kolumn ˛a o tej samej liczbie elementów n, to
w · k = [a1b1+ · · · +anbn]. Np.
1 2 −1 ·
4 5 0
=1 · 4 + 2 · 5 + (−1) · 0 = [14]. Je´sli teraz przez w1, . . . ,wmoznaczymy wiersze A, za´s k1, . . .kl kolumny B, to w
macierzy A · B w i-tym wierszu i j-tej kolumnie stoi liczba wi· kj (pozwolili´smy sobie na nie´scisło´s´c, uto˙zsamiaj ˛ac macierz [x ] z liczb ˛a x ).
Przykład
Niech A ∈ M3×2(R), B ∈ M2×2(R), A =
2 1 4 3 5 2
,B =
2 3 4 1
. Oznaczmy przez w1,w2,w3wiersze A za´s przez k1,k2kolumny B.
Wówczas A · B =
2 1 4 3 5 2
·
2 3 4 1
=
w1 w2 w3
·
k1 k2 =
w1· k1 w1· k2
w2· k1 w2· k2 w3· k1 w3· k2
=
8 7
20 15 18 17
Uwaga
W iloczynach macierzy mo˙zemy pomin ˛a´c nawiasy, gdy˙z mno˙zenie macierzy jest ł ˛aczne, tzn. (A · B) · C = A · (B · C). Nie jest ono na ogół przemienne np.
0 1 0 0
1 0 1 0
6=
1 0 1 0
0 1 0 0
Przykład
Niech A ∈ M3×2(R), B ∈ M2×2(R), A =
2 1 4 3 5 2
,B =
2 3 4 1
. Oznaczmy przez w1,w2,w3wiersze A za´s przez k1,k2kolumny B.
Wówczas A · B =
2 1 4 3 5 2
·
2 3 4 1
=
w1 w2 w3
·
k1 k2 =
w1· k1 w1· k2
w2· k1 w2· k2 w3· k1 w3· k2
=
8 7
20 15 18 17
Uwaga
W iloczynach macierzy mo˙zemy pomin ˛a´c nawiasy, gdy˙z mno˙zenie macierzy jest ł ˛aczne, tzn. (A · B) · C = A · (B · C). Nie jest ono na ogół przemienne np.
0 1 0 0
1 0 1 0
6=
1 0 1 0
0 1 0 0
Zwi ˛ azki działa ´ n na macierzach z działaniami na przekształceniach
Twierdzenie (1)
Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi, f , g : V → W
przekształceniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vn)b ˛edzie baz ˛a V , za´s B = (w1, . . . ,wm)baz ˛a W . Wówczas
M(f + g)BA=M(f )BA+M(g)BA. Ponadto M(αf )BA = αM(f )BA
Twierdzenie (2)
Niech V , W , Z b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi za´s f : V → W oraz g : W → Z przekształceniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vk)– baza V , B = (w1, . . . ,wn)– baza W , C = (z1, . . . ,zm)baza Z . Wówczas M(g ◦ f )CA =M(g)CB· M(f )BA
Zwi ˛ azki działa ´ n na macierzach z działaniami na przekształceniach
Twierdzenie (1)
Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi, f , g : V → W
przekształceniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vn)b ˛edzie baz ˛a V , za´s B = (w1, . . . ,wm)baz ˛a W . Wówczas
M(f + g)BA=M(f )BA+M(g)BA. Ponadto M(αf )BA = αM(f )BA
Twierdzenie (2)
Niech V , W , Z b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi za´s f : V → W oraz g : W → Z przekształceniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vk)– baza V , B = (w1, . . . ,wn)– baza W , C = (z1, . . . ,zm)baza Z . Wówczas M(g ◦ f )CA =M(g)CB· M(f )BA
Przykład
Odwołamy si ˛e do omówionego* przykładu. Przyjmijmy za A baz ˛e standardow ˛a w R3, za B = C baz ˛e standardow ˛a w R2. Przypomnijmy:
Niech f : R3→ R2zadane przez
f ((x1,x2,x3)) = (x1+2x2− x3,2x1+4x2− x3)za´s g((y1,y2)) = (y1+y2,2y1− y2). Wtedy
g ◦f ((x1,x2,x3)) =g(f ((x1,x2,x3))) =g((x1+2x2−x3,2x1+4x2−x3)) = ((x1+2x2− x3) + (2x1+4x2− x3),2(x1+2x2− x3) − (2x1+4x2− x3)) = (3x1+6x2− 2x3, −x3). Mamy
M(f )BA =
1 2 −1 2 4 −1
,M(g)CB =
1 1 2 −1
sk ˛ad M(g ◦ f )CA =
M(g)CB· M(f )BA =
1 1 2 −1
·
1 2 −1 2 4 −1
=
3 6 −2 0 0 −1
co zgadza si ˛e z obliczonym wzorem na g ◦ f
Zastosowania
Twierdzenie
Niech f : V → W b ˛edzie przekształceniem liniowym, gdzie V , W s ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vn)oznacza baz ˛e V , za´s B = (w1, . . . ,wm)– baz ˛e W . Niech v ∈ V , i niech α1, . . . , αnb ˛ed ˛a współrz ˛ednymi wektora v w bazie A, za´s β1, . . . , βmwspółrz ˛ednymi wektora f (v ) w bazie B (tzn. v = α1v1+ · · · + αnvn,
f (v ) = β1w1+ · · · + βmwm). Oznaczmy M = M(f )BA. Wówczas:
M ·
α1
... αn
=
β1
... βm
Uwaga Je´sli b ˛edziemy oznacza´c przez vA kolumn ˛e, której kolejnych współrz ˛ednych wektora v ∈ V w bazie A przrestrzeni V , za´s kolumn ˛e współrz ˛ednych wektora w ∈ W w bazie B przez wB to powy˙zsze twierdzenie mo˙zna zapisa´c (f (v ))B =M(f )BAvA
Przykład
Zdefiniujmy liniowe przekształcenie f : R2→ R2wzorem f ((x1,x2)) = (2x1+x2,x1− x2). Mamy
M(f )BA =
2 1 1 −1
gdzie A = B, oznacza baz ˛e standardow ˛a w R2. Niech v = (2, 3) czyli f (v ) = (7, −1). Zachodzi
2 1 1 −1
2 3
=
7
−1
Ogólnie, dla v = (x1,x2) ∈ R2zachodzi
2 1 1 −1
x1 x2
=
2x1+x2 x1− x2
Wniosek
Niech A = (v1, . . . ,vn)oraz B = (w1, . . . ,wn)b ˛ed ˛a bazami przestrzeni V . Niech v ∈ V , i niech α1, . . . , αnb ˛ed ˛a współrz ˛ednymi wektora v w bazie A, za´s β1, . . . , βm współrz ˛ednymi wektora v w bazie B (tzn.
v = α1v1+ · · · + αnvn, v = β1w1+ · · · + βnwn). Niech C = M(id )BA, gdzie id : V → V oznacza przekształcenie identyczno´sciowe (tzn.
id (v ) = v , dla v ∈ V ). Wówczas
C
α1
... αn
=
β1
... βn
.
Zdefiniowan ˛a powy˙zej macierz C nazywamymacierz ˛a zamiany współrz ˛ednychod bazy A do bazy B.
Przykład
Oznaczmy A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, 2), (0, 1)) bazy w R2. Mamy id ((2, 1)) = (2, 1) = 2(1, 2) − 3(0, 1) oraz
id ((1, 1)) = (1, 1) = 1(1, 2) − 1(0, 1). Zatem M(id )BA =
2 1
−3 −1
Niech v = (3, 2) = 1(2, 1) + 1(1, 1). Mamy
2 1
−3 −1
1 1
=
3
−4
. Istotnie 3(1, 2) − 4(0, 1) = (3, 2).
Obliczanie macierzy zamiany współrz ˛ednych
Niech A = {v1, . . . ,vn}, B = {w1, . . . ,wn} b ˛ed ˛a bazami przestrzeni Rn. Niech A b ˛edzie macierz ˛a n × n, której kolumny to wektory bazy A zapisane "pionowo", podobnie zapiszmy wektory bazy B w macierzy B. Niech M = [B|A] oznacza macierz n × 2n powstał ˛a przez wypisanie najpierw macierzy B, a nast ˛epnie macierzy A. Niech M0 = [B0|A0] b ˛edzie macierz ˛a w postaci schodkowej zredukowanej powstał ˛a z M przez zastosowanie elementarnych operacji wierszowych 3 typów.
Wtedy A0 =M(id )BA (A0 – "prawa połówka"M0) Przykład
Niech A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, 2), (0, 1)) bazy w R2takie jak poprzednio. Wtedy M = [B|A] =
1 0 2 1 2 1 1 1
. Po zastosowaniu w2− 2w1otrzymamy M0= [B0|A0] =
1 0 2 1
0 1 −3 −1
. Zatem M(id )BA =A0 =
2 1
−3 −1
Zastosowanie macierzy zamiany współrz ˛ednych do obliczania macierzy przekształce ´n liniowych.
Twierdzenie
Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech A, A0b ˛ed ˛a bazami V za´s B, B0 bazami W . Rozwa˙zmy przekształcenie liniowe f : V → W . Wtedy M(f )AB00 =M(id )BB0 · M(f )BA· M(id )AA0
Wynika to z zastosowania twierdzenia o macierzy zło˙zenia przekształce ´n do zło˙zenia idW ◦ f ◦ idV. U˙zyteczny jest poni˙zszy diagram (subskrypty oznaczaj ˛a bazy, którymi s ˛a opatrzone przestrzenie)
WB0 idW
← WB f
← VA idV
← VA0
Przykład
Tak jak w poprzednim przykładzie mamy w R2bazy A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, 2), (0, 1)). Natomiast w R3mamy baz ˛e
C = ((1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)). Przekształcenie liniowe f : R2→ R3 jest zdefiniowane macierz ˛a M(f )CB =
0 2
1 0
−1 0
. Szukamy M(f )stA. Z diagramu
R3st
← Rid 3C
← Rf 2B
← Rid 2A
odczytujemy: M(f )stA=M(id ◦ f ◦ id)stA=M(id )stC · M(f )CB· M(id )BA. Korzystaj ˛ac z poprzedniego przykładu mamy:
M(f )stA =
1 1 0 1 1 1 0 1 1
0 2
1 0
−1 0
2 1
−3 −1
=
−4 −1
−6 −2
0 0