• Nie Znaleziono Wyników

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Działania na przekształceniach liniowych i macierzach"

Copied!
20
0
0

Pełen tekst

(1)

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Mirosław Sobolewski

Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW

5 wykład z algebry liniowej Warszawa, pa´zdziernik 2018

(2)

Twierdzenie

Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech f , g : V → W b ˛ed ˛a przekształceniami liniowymi i niech α ∈ R. Wtedy przekształcenie f + g : V → W zadane wzorem (f + g)(v ) = f (v ) + g(v ) dla v ∈ V oraz αf : V → W zadane wzorem (αf )(v ) = αf (v ) dla v ∈ V s ˛a przekształceniami liniowymi. f + g nazywamysum ˛af i g, za´s αf iloczynemf przez skalar α

Przykład

Niech f , g : R3→ R2zadane wzorami

f ((x1,x2,x3)) = (2x1+3x2− 3x3,x1+2x2− x3)oraz

g((x1,x2,x3)) = (7x1− 2x2− 8x3, −x1+2x2+3x3)i niech α = 2. Wtedy (f + g)((x1,x2,x3)) = (9x1+x2− 11x3,4x2+2x3), za´s αf ((x1,x2,x3)) = (4x1+6x2− 6x3,2x1+4x2− 2x3)

(3)

Twierdzenie

Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech f , g : V → W b ˛ed ˛a przekształceniami liniowymi i niech α ∈ R. Wtedy przekształcenie f + g : V → W zadane wzorem (f + g)(v ) = f (v ) + g(v ) dla v ∈ V oraz αf : V → W zadane wzorem (αf )(v ) = αf (v ) dla v ∈ V s ˛a przekształceniami liniowymi. f + g nazywamysum ˛af i g, za´s αf iloczynemf przez skalar α

Przykład

Niech f , g : R3→ R2zadane wzorami

f ((x1,x2,x3)) = (2x1+3x2− 3x3,x1+2x2− x3)oraz

g((x1,x2,x3)) = (7x1− 2x2− 8x3, −x1+2x2+3x3)i niech α = 2.

Wtedy (f + g)((x1,x2,x3)) = (9x1+x2− 11x3,4x2+2x3), za´s αf ((x1,x2,x3)) = (4x1+6x2− 6x3,2x1+4x2− 2x3)

(4)

Twierdzenie

Niech V , W , Z b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech f : V → W oraz g : W → Z b ˛ed ˛a przekształceniami liniowymi. Wówczas

przekształcenie g ◦ f : V → Z zadane wzorem (g ◦ f )(v ) = g(f (v )) jest przekształceniem liniowym, nazywanymzło˙zeniemf i g.

Przykład

Niech f : R3→ R2zadane przez

f ((x1,x2,x3)) = (x1+2x2− x3,2x1+4x2− x3)za´s g : R2→ R2przez g((y1,y2)) = (y1+y2,2y1− y2). Wtedy

g ◦f ((x1,x2,x3)) =g(f ((x1,x2,x3))) =g((x1+2x2−x3,2x1+4x2−x3)) = ((x1+2x2− x3) + (2x1+4x2− x3),2(x1+2x2− x3) − (2x1+4x2− x3)) = (3x1+6x2− 2x3, −x3)

(5)

Twierdzenie

Niech V , W , Z b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech f : V → W oraz g : W → Z b ˛ed ˛a przekształceniami liniowymi. Wówczas

przekształcenie g ◦ f : V → Z zadane wzorem (g ◦ f )(v ) = g(f (v )) jest przekształceniem liniowym, nazywanymzło˙zeniemf i g.

Przykład

Niech f : R3→ R2zadane przez

f ((x1,x2,x3)) = (x1+2x2− x3,2x1+4x2− x3)za´s g : R2→ R2przez g((y1,y2)) = (y1+y2,2y1− y2). Wtedy

g ◦f ((x1,x2,x3)) =g(f ((x1,x2,x3))) =g((x1+2x2−x3,2x1+4x2−x3)) = ((x1+2x2− x3) + (2x1+4x2− x3),2(x1+2x2− x3) − (2x1+4x2− x3)) = (3x1+6x2− 2x3, −x3)

(6)

Działania na macierzach

Definicja

Niech A, B ∈ Mm×n(R), c ∈ R, A = [aij], B = [bij].Sum ˛a macierzyA i B nazywamy macierz A + B = [aij+bij] ∈Mm×n(R). Iloczynem macierzy Aprzez skalarc nazywamy macierz cA = [caij] ∈Mm×n(R)

Przykład

Niech A, B ∈ M3×2(R),

A =

 2 1 4 0 5 6

,B =

7 5

−1 2

3 3

,c = 5

Wtedy A + B =

 9 6 3 2 8 9

,cA =

10 5 20 0 25 30

(7)

Działania na macierzach

Definicja

Niech A, B ∈ Mm×n(R), c ∈ R, A = [aij], B = [bij].Sum ˛a macierzyA i B nazywamy macierz A + B = [aij+bij] ∈Mm×n(R). Iloczynem macierzy Aprzez skalarc nazywamy macierz cA = [caij] ∈Mm×n(R)

Przykład

Niech A, B ∈ M3×2(R),

A =

 2 1 4 0 5 6

,B =

7 5

−1 2

3 3

,c = 5

Wtedy A + B =

 9 6 3 2 8 9

,cA =

10 5 20 0 25 30

(8)

Definicja

Niech A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×l(R): A = [aij], B = [bij](tzn. kolumny B maj ˛a tyle elementów, ile wiersze A). Iloczynem macierzyAprzez macierzB nazywamy macierz A · B = [cij] ∈Mm×l(R), gdzie cij =Pn

s=1aisbsj =ai1b1j+ai2b2j+ · · · +ainbnj dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ l.

W szczególno´sci, je´sli w =

a1 . . . an  oraz k =

 b1

... bn

s ˛a wierszem i kolumn ˛a o tej samej liczbie elementów n, to

w · k = [a1b1+ · · · +anbn]. Np.

 1 2 −1  ·

 4 5 0

=1 · 4 + 2 · 5 + (−1) · 0 = [14]. Je´sli teraz przez w1, . . . ,wmoznaczymy wiersze A, za´s k1, . . .kl kolumny B, to w

macierzy A · B w i-tym wierszu i j-tej kolumnie stoi liczba wi· kj (pozwolili´smy sobie na nie´scisło´s´c, uto˙zsamiaj ˛ac macierz [x ] z liczb ˛a x ).

(9)

Przykład

Niech A ∈ M3×2(R), B ∈ M2×2(R), A =

 2 1 4 3 5 2

,B =

 2 3 4 1

 . Oznaczmy przez w1,w2,w3wiersze A za´s przez k1,k2kolumny B.

Wówczas A · B =

 2 1 4 3 5 2

·

 2 3 4 1



=

 w1 w2 w3

·

k1 k2  =

w1· k1 w1· k2

w2· k1 w2· k2 w3· k1 w3· k2

=

8 7

20 15 18 17

Uwaga

W iloczynach macierzy mo˙zemy pomin ˛a´c nawiasy, gdy˙z mno˙zenie macierzy jest ł ˛aczne, tzn. (A · B) · C = A · (B · C). Nie jest ono na ogół przemienne np.

 0 1 0 0

  1 0 1 0

 6=

 1 0 1 0

  0 1 0 0



(10)

Przykład

Niech A ∈ M3×2(R), B ∈ M2×2(R), A =

 2 1 4 3 5 2

,B =

 2 3 4 1

 . Oznaczmy przez w1,w2,w3wiersze A za´s przez k1,k2kolumny B.

Wówczas A · B =

 2 1 4 3 5 2

·

 2 3 4 1



=

 w1 w2 w3

·

k1 k2  =

w1· k1 w1· k2

w2· k1 w2· k2 w3· k1 w3· k2

=

8 7

20 15 18 17

Uwaga

W iloczynach macierzy mo˙zemy pomin ˛a´c nawiasy, gdy˙z mno˙zenie macierzy jest ł ˛aczne, tzn. (A · B) · C = A · (B · C). Nie jest ono na ogół przemienne np.

 0 1 0 0

  1 0 1 0

 6=

 1 0 1 0

  0 1 0 0



(11)

Zwi ˛ azki działa ´ n na macierzach z działaniami na przekształceniach

Twierdzenie (1)

Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi, f , g : V → W

przekształceniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vn)b ˛edzie baz ˛a V , za´s B = (w1, . . . ,wm)baz ˛a W . Wówczas

M(f + g)BA=M(f )BA+M(g)BA. Ponadto M(αf )BA = αM(f )BA

Twierdzenie (2)

Niech V , W , Z b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi za´s f : V → W oraz g : W → Z przekształceniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vk)– baza V , B = (w1, . . . ,wn)– baza W , C = (z1, . . . ,zm)baza Z . Wówczas M(g ◦ f )CA =M(g)CB· M(f )BA

(12)

Zwi ˛ azki działa ´ n na macierzach z działaniami na przekształceniach

Twierdzenie (1)

Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi, f , g : V → W

przekształceniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vn)b ˛edzie baz ˛a V , za´s B = (w1, . . . ,wm)baz ˛a W . Wówczas

M(f + g)BA=M(f )BA+M(g)BA. Ponadto M(αf )BA = αM(f )BA

Twierdzenie (2)

Niech V , W , Z b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi za´s f : V → W oraz g : W → Z przekształceniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vk)– baza V , B = (w1, . . . ,wn)– baza W , C = (z1, . . . ,zm)baza Z . Wówczas M(g ◦ f )CA =M(g)CB· M(f )BA

(13)

Przykład

Odwołamy si ˛e do omówionego* przykładu. Przyjmijmy za A baz ˛e standardow ˛a w R3, za B = C baz ˛e standardow ˛a w R2. Przypomnijmy:

Niech f : R3→ R2zadane przez

f ((x1,x2,x3)) = (x1+2x2− x3,2x1+4x2− x3)za´s g((y1,y2)) = (y1+y2,2y1− y2). Wtedy

g ◦f ((x1,x2,x3)) =g(f ((x1,x2,x3))) =g((x1+2x2−x3,2x1+4x2−x3)) = ((x1+2x2− x3) + (2x1+4x2− x3),2(x1+2x2− x3) − (2x1+4x2− x3)) = (3x1+6x2− 2x3, −x3). Mamy

M(f )BA =

 1 2 −1 2 4 −1



,M(g)CB =

 1 1 2 −1



sk ˛ad M(g ◦ f )CA =

M(g)CB· M(f )BA =

 1 1 2 −1



·

 1 2 −1 2 4 −1



=

 3 6 −2 0 0 −1



co zgadza si ˛e z obliczonym wzorem na g ◦ f

(14)

Zastosowania

Twierdzenie

Niech f : V → W b ˛edzie przekształceniem liniowym, gdzie V , W s ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech A = (v1, . . . ,vn)oznacza baz ˛e V , za´s B = (w1, . . . ,wm)– baz ˛e W . Niech v ∈ V , i niech α1, . . . , αnb ˛ed ˛a współrz ˛ednymi wektora v w bazie A, za´s β1, . . . , βmwspółrz ˛ednymi wektora f (v ) w bazie B (tzn. v = α1v1+ · · · + αnvn,

f (v ) = β1w1+ · · · + βmwm). Oznaczmy M = M(f )BA. Wówczas:

M ·

 α1

... αn

=

 β1

... βm

Uwaga Je´sli b ˛edziemy oznacza´c przez vA kolumn ˛e, której kolejnych współrz ˛ednych wektora v ∈ V w bazie A przrestrzeni V , za´s kolumn ˛e współrz ˛ednych wektora w ∈ W w bazie B przez wB to powy˙zsze twierdzenie mo˙zna zapisa´c (f (v ))B =M(f )BAvA

(15)

Przykład

Zdefiniujmy liniowe przekształcenie f : R2→ R2wzorem f ((x1,x2)) = (2x1+x2,x1− x2). Mamy

M(f )BA =

 2 1 1 −1



gdzie A = B, oznacza baz ˛e standardow ˛a w R2. Niech v = (2, 3) czyli f (v ) = (7, −1). Zachodzi

 2 1 1 −1

  2 3



=

 7

−1



Ogólnie, dla v = (x1,x2) ∈ R2zachodzi

 2 1 1 −1

  x1 x2



=

 2x1+x2 x1− x2



(16)

Wniosek

Niech A = (v1, . . . ,vn)oraz B = (w1, . . . ,wn)b ˛ed ˛a bazami przestrzeni V . Niech v ∈ V , i niech α1, . . . , αnb ˛ed ˛a współrz ˛ednymi wektora v w bazie A, za´s β1, . . . , βm współrz ˛ednymi wektora v w bazie B (tzn.

v = α1v1+ · · · + αnvn, v = β1w1+ · · · + βnwn). Niech C = M(id )BA, gdzie id : V → V oznacza przekształcenie identyczno´sciowe (tzn.

id (v ) = v , dla v ∈ V ). Wówczas

C

 α1

... αn

=

 β1

... βn

.

Zdefiniowan ˛a powy˙zej macierz C nazywamymacierz ˛a zamiany współrz ˛ednychod bazy A do bazy B.

(17)

Przykład

Oznaczmy A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, 2), (0, 1)) bazy w R2. Mamy id ((2, 1)) = (2, 1) = 2(1, 2) − 3(0, 1) oraz

id ((1, 1)) = (1, 1) = 1(1, 2) − 1(0, 1). Zatem M(id )BA =

 2 1

−3 −1



Niech v = (3, 2) = 1(2, 1) + 1(1, 1). Mamy

 2 1

−3 −1

  1 1



=

 3

−4

 . Istotnie 3(1, 2) − 4(0, 1) = (3, 2).

(18)

Obliczanie macierzy zamiany współrz ˛ednych

Niech A = {v1, . . . ,vn}, B = {w1, . . . ,wn} b ˛ed ˛a bazami przestrzeni Rn. Niech A b ˛edzie macierz ˛a n × n, której kolumny to wektory bazy A zapisane "pionowo", podobnie zapiszmy wektory bazy B w macierzy B. Niech M = [B|A] oznacza macierz n × 2n powstał ˛a przez wypisanie najpierw macierzy B, a nast ˛epnie macierzy A. Niech M0 = [B0|A0] b ˛edzie macierz ˛a w postaci schodkowej zredukowanej powstał ˛a z M przez zastosowanie elementarnych operacji wierszowych 3 typów.

Wtedy A0 =M(id )BA (A0 – "prawa połówka"M0) Przykład

Niech A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, 2), (0, 1)) bazy w R2takie jak poprzednio. Wtedy M = [B|A] =

 1 0 2 1 2 1 1 1



. Po zastosowaniu w2− 2w1otrzymamy M0= [B0|A0] =

 1 0 2 1

0 1 −3 −1



. Zatem M(id )BA =A0 =

 2 1

−3 −1



(19)

Zastosowanie macierzy zamiany współrz ˛ednych do obliczania macierzy przekształce ´n liniowych.

Twierdzenie

Niech V , W b ˛ed ˛a przestrzeniami liniowymi. Niech A, A0b ˛ed ˛a bazami V za´s B, B0 bazami W . Rozwa˙zmy przekształcenie liniowe f : V → W . Wtedy M(f )AB00 =M(id )BB0 · M(f )BA· M(id )AA0

Wynika to z zastosowania twierdzenia o macierzy zło˙zenia przekształce ´n do zło˙zenia idW ◦ f ◦ idV. U˙zyteczny jest poni˙zszy diagram (subskrypty oznaczaj ˛a bazy, którymi s ˛a opatrzone przestrzenie)

WB0 idW

← WB f

← VA idV

← VA0

(20)

Przykład

Tak jak w poprzednim przykładzie mamy w R2bazy A = ((2, 1), (1, 1)), B = ((1, 2), (0, 1)). Natomiast w R3mamy baz ˛e

C = ((1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)). Przekształcenie liniowe f : R2→ R3 jest zdefiniowane macierz ˛a M(f )CB =

0 2

1 0

−1 0

. Szukamy M(f )stA. Z diagramu

R3st

← Rid 3C

← Rf 2B

← Rid 2A

odczytujemy: M(f )stA=M(id ◦ f ◦ id)stA=M(id )stC · M(f )CB· M(id )BA. Korzystaj ˛ac z poprzedniego przykładu mamy:

M(f )stA =

1 1 0 1 1 1 0 1 1

0 2

1 0

−1 0

 2 1

−3 −1



=

−4 −1

−6 −2

0 0

Cytaty

Powiązane dokumenty

Można też skorzystać z opcji wklejania specjalnego (transpozycja).. Mnożenie macierzy nie jest przemienne. Wyznacznik jest liczbą. Przed wyznaczaniem macierzy odwrotnej warto

[r]

wykład z algebry liniowej Warszawa,

wykład z algebry liniowej Warszawa, pa´zdziernik 2018... Liniowo´s´c tak zdefiniowanego przekształcenia ϕ

2 wykład z algebry liniowej Warszawa,

7.wykład z algebry liniowej Warszawa,

Ponadto, podczas zajęć w semestrze odbędzie się 5 krótkich sprawdzianów z zadań, definicji i twierdzeń, za które można zdobyć 100 punktów. Skala Ocen (orientacyjna)

Formy kwadratowe: macierz symetryczna rzeczywistej formy kwadra- towej, postać kanoniczna formy metoda podstawienia ortogonalnego spro- wadzania formy do postaci kanonicznej,