EGZAMIN MATURALNY 2010MATEMATYKA

Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie

EGZAMIN MATURALNY 2010

MATEMATYKA

POZIOM ROZSZERZONY

Klucz punktowania odpowiedzi

MAJ 2010

=D SUDZLGáRZH UR]ZLą]DQLH NDĪGHJR ] ]DGDĔ LQQą PHWRGą QLĪ SU]HGVWDZLRQD Z VFKHPDFLH

przy]QDMHP\PDNV\PDOQąOLF]EĊSXQNWyZ

Zadanie 1. (0–4)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

8Ī\FLHLWZRU]HQLHVWUDWHJLL RR]ZLą]DQLHQLHUyZQRĞFL]ZDUWRĞFLąEH]Z]JOĊGQą ,VSRVyEUR]ZLą]DQLD (Z\UyĪQLHQLHQDRVLOLF]ERZHMSU]HG]LDáyZ)

:\UyĪQLDP\QDRVLOLF]ERZHMSU]HG]LDá\



^{f , 2}



^{, 2,1}



^{, 1,f .}



5R]ZLą]XMHP\QLHUyZQRĞFLZSRV]F]HJyOQ\FKSU]HG]LDáDFKLZNDĪG\PSU]HG]LDOHELHU]HP\

F]ĊĞüZVSyOQąWHJRSU]HG]LDáX]RWU]\PDQ\P]ELRUHPUR]ZLą]DĔQLHUyZQRĞci.



^{, 2}



x f  x 2,1) ^{x f1,}



6 1 4

2    d

 x x

9 3 d

 x

3 t x

W tym przypadku

UR]ZLą]DQLHPQLHUyZQRĞFL

jest 3 d  x 2

6 1 4

2x x d d1

x

W tym przypadku

UR]ZLą]DQLHPQLHUyZQRĞFL

jest 2 d x 1

6 1 4

2x x d 3

3xd d1 x

W tym przypadku

UR]ZLą]DQLHPQLHUyZQRĞFLMHVW

1 x

àąF]ąFRWU]\PDQHUR]ZLą]DQLDSRGDMHP\RVWDWHF]QąRGSRZLHGĨ 3 d d lub zapisujemy x 1 RGSRZLHGĨ: =ELRUHPUR]ZLą]DĔQLHUyZQRĞFLMHVW 3,1 ^.

,,VSRVyEUR]ZLą]DQLD (zapisanie czterech przypadków) Zapisujemy cztery przypadki: 2 4 0

1 0 x x

­  t

®  t

¯

2 4 0

1 0 x x

­  t

®  

¯

2 4 0

1 0 x x

­  

®  t

¯

2 4 0

1 0 x x

­  

®  

¯

2 4 0

1 0 x x

­  t

®  t

¯

2 4 0 1 0

2 4 1 6

x x

x x

­  t

°  t

®°    d

¯ 2 1

3 3

x x x

­ t 

° t®

° d¯ 2 1 1 x x x

­ t 

° t®

° d¯ 1 x

2 4 0

1 0 x x

­  t

®  

¯

2 4 0 1 0

2 4 1 6

x x

x x

­  t

°  

®°    d

¯ 2 1 1 x x x

­ t 

° ®

° d¯



1 ,

2

 x

2 4 0

1 0 x x

­  

®  t

¯

QLHPRĪOLZH

2 4 0

1 0 x x

­  

®  

¯

2 4 0 1 0

2 4 1 6

x x

x x

­  

°  

®°    d

¯ 2 1

3 9

x x

x

­  

° ®

° d¯ 2 1

3 x x x

­  

° ®

° t 

¯ ^{3, 2}



x  

àąF]ąFRWU]\PDQHUR]ZLą]DQLDSRGDMHP\RVWDWHF]QąRGSRZLHGĨ 3 d d lub zapisujemy x 1 odpowieGĨ: =ELRUHPUR]ZLą]DĔQLHUyZQRĞFLMHVW 3,1 ^.

Schemat oceniania

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS ... 1 pkt

=GDMąF\Z\UyĪQLQDRVLOLF]ERZHMSU]HG]LDá\



^{f , 2}



^{, 2,1}



^{, 1,f .}



albo

x zapisze cztery przypadki: 2 4 0 1 0 x x

­  t

®  t

¯

2 4 0

1 0 x x

­  t

®  

¯

2 4 0

1 0 x x

­  

®  t

¯

2 4 0

1 0 x x

­  

®  

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD ... 2 pkt¯

=GDMąF\]DSLV]HQLHUyZQRĞFLZSRV]F]HJyOQ\FKSU]HG]LDáDFKQS

I. ^{x f }



^{, 2}



^{    d2x 4 x 1 6}

II. ^{x 2,1}



^{2x   d4 x 1 6}

III. ^{x f1,}



^{2x   d4 x 1 6}

5R]ZLą]DQLH]DGDQLDGRNRĔFD, OHF]]XVWHUNDPLNWyUHMHGQDNQLHSU]HNUHĞODMą

SRSUDZQRĞFLUR]ZLą]DQLDQSEáĊG\UDFKXQNRZH ... 3 pkt x ]GDMąF\SRSUDZQLHUR]ZLąĪHQLHUyZQRĞFLLZ\]QDF]\F]ĊĞFLZVSyOQe otrzymanych

Z\QLNyZ]SRV]F]HJyOQ\PLSU]HG]LDáDPLW\ONRZGZyFKSU]\SDGNDFKSRSHáQLEáąG

wWU]HFLPSU]\SDGNXLNRQVHNZHQWQLHGRSURZDG]LUR]ZLą]DQLHGRNRĔFD albo

x ]GDMąF\SRSUDZQLHUR]ZLąĪH QLHUyZQRĞFLW\ONRZGZyFKSU]HG]LDáDFK i wyznaczy F]ĊĞFLZVSyOQH RWU]\PDQ\FKZ\QLNyZ]SRV]F]HJyOQ\PLSU]HG]LDáDPLLNRQVHNZHQWQLH

GRSURZDG]LUR]ZLą]DQLHGRNRĔFD albo

x ]GDMąF\UR]SDWU]\F]WHU\SU]\SDGNLSRSUDZQLHUR]ZLąĪHQLHUyZQRĞFLLZ\]QDF]\F]ĊĞFL

ZVSyOQHRWU]\PDQ\FKZ\QLNyZ]SRV]F]HJyOQ\PLSU]HG]LDáDPLW\ONRZGwóch SU]\SDGNDFKVWZLHUG]LĪHjeden MHVWQLHPRĪOLZ\SRSHáQLEáąGZWU]HFLPSU]\SDGNX

iNRQVHNZHQWQLHGRSURZDG]LUR]ZLą]DQLHGRNRĔFD

5R]ZLą]DQLHSHáQH ... 4 pkt

=GDMąF\]DSLV]HRGSRZLHGĨx 3,1 . ,,,VSRVyEUR]ZLą]DQLD (graficznie)

Rysujemy wykresy funkcji ^{f x}

 

^{2x  4 |x 1|} LSURVWąRUyZQDQLXy 6. :\UyĪQLDP\QDRVLOLF]ERZHMSU]HG]LDá\



^{f , 2}



^{, 2,1}



^{, 1,f .}



Zapisujemy wzór funkcji f w poszczególnych przeG]LDáDFKEH]ZDUWRĞFLEH]Z]JOĊGQHMQS

   



3 3 dla , 2

5 dla 2,1)

3 3 dla 1,

x x

f x x x

x x

­   f 

°°®  

°   f

°¯

Rysujemy wykres funkcji f LSURVWąRUyZQDQLXy 6

7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y

y 6

 

f x

2GF]\WXMHP\RGFLĊWHSXQNWyZSU]HFLĊFLDVLĊZ\NUHVXIXQNFMLf i prostej o równaniuy 6: 3

x  i x .1

Podajemy argumenty, dla których ^{f x}

 

^{d :6 x 3,1 .}

Schemat oceniania

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\QDGURG]HGRSHáQHJR

UR]ZLą]DQLa...1 pkt

=GDMąF\Z\UyĪQLSU]HG]LDá\



^{f , 2}



^{, 2,1}



^{, 1,f .}



5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS...2 pkt

=GDMąF\]DSLV]HZ]yUIXQNFMLf ZSRV]F]HJyOQ\FKSU]HG]LDáDFKQS

I. ^{x f }



^{, 2}

  

^{f x  3x 3}

II. ^{x 2,1) f x}

 

^{x 5}

III. ^{x f1,}



^{f x}

 

^{3x 3}

lub

   



3 3 dla , 2

5 dla 2,1)

3 3 dla 1,

x x

f x x x

x x

­   f 

°°®  

°   f

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD...3 pkt °¯

=GDMąF\QDU\VXMHZ\NUHVIXQNFMLf LSURVWąRUyZQDQLXy .6

5R]ZLą]DQLHSHáQH...4 pkt

=GDMąF\]DSLV]H RGSRZLHGĨx 3,1 .

Zadanie 2. (0–4)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

8Ī\FLHLWZRU]HQLHVWUDWHJLL RR]ZLą]DQLHUyZQDQLDWU\JRQRPHWU\F]QHJR

5R]ZLą]DQLH

3U]HNV]WDáFDP\UyZQDQLHGRSRVWDFLZNWyUHMZ\VWĊSXMHW\ONRMHGQDIXQNFMa trygonometryczna:



^{1 sin}



^{5sin 4 0}

2  ² x  x

3RU]ąGNXMHP\WRUyZQDQLHLZSURZDG]DP\QLHZLDGRPąSRPRFQLF]ą

2 sin2 x 5sinx 2 0

   , t sinx, gdzie t 1,1 5yZQDQLHSU]\MPXMHWHUD]SRVWDü

0 2 5 2t²  t

RozZLą]XMHP\UyZQDQLHNZDGUDWRZH]H]PLHQQąt:

2 2 1

9 ₁  ₂ 

' t t ale t₁ 1,1

=DSLVXMHP\UR]ZLą]DQLDUyZQDQLD

2

sinx 1 QDOHĪąFHGRSU]HG]LDáX ^0,2S ^: 6

11S

x i S

6 x 7 .

Schemat oceniania

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWZSUDZG]LHQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\QDGURG]HGR

FDáNRZLWHJRUR]ZLą]DQLD]DGDQLD... 1 pkt

=DSLVDQLHUyZQDQLDZ]DOHĪQRĞFLRGMHGQHMIXQNFMLWU\JRQRPHWU\F]QHMQS

2 sin2 x 5sinx 2 0

   lub 2 sin²x5sinx .2 0

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS ... 2 pkt Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np. t sinx, zapisanie równania w postaci

2t2 5t 2 0

   lub 2t²  .5t 2 0

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFLzadania ... 3 pkt 5R]ZLązanie równania kwadratowego (t  lub 2 1

t  LRGU]XFHQLHUR]ZLą]DQLD2 t  .2 Uwaga

=GDMąF\PRĪHRGUD]XUR]ZLą]\ZDüUyZQDQLHNZDGUDWRZHZNWyU\PQLHZLDGRPąMHVWsin x ) L]DSLVDüUR]ZLą]DQLHZSRVWDFL 1

sinx  lub sin2 x  RUD]]DSLVDüĪHUyZQDQLH2 sinx  jest sprzeczne.2

5R]ZLą]DQLHSHáQH ... 4 pkt 5R]ZLą]DQLHUyZQDQLDZSRGDQ\PSU]HG]LDOH

7

x 6S ^{lub 11} x 6 S albo

210

x q lub x 330q

Zadanie 3. (0–4)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

8Ī\FLe i tworzenie strategii RR]ZLą]DQLH]DGDQLDXPLHV]F]RQHJRZNRQWHNĞFLH

SUDNW\F]Q\PSURZDG]ąFHJRGRbadania funkcji kwadratowej

RR]ZLą]DQLH

A B

D C

E x F 1–x

2x

1 2x– 1

1

'áXJRĞFLRGFLQNyZ BE i CF VąQDVWĊSXMąFH: BE 12x^, CF 1x^. 3ROHWUyMNąWDAEF MHVWZLĊFUyZQH

   

2 1 2 1 2

1 1 2 2

2 1 2 1

11   ˜ ˜   ²  





P P P x x x x x x

P

P_{AEF ABCD ABE ECF FDA}

3ROHWUyMNąWDAEF MHVWIXQNFMą]PLHQQHMx: ^{P x}

 

^{x2 1}₂^{x dla} ₂^{1 x 0,1}₂ ^.

3RQLHZDĪ

1

1 1

2 0,

2 4 2

xw

  , a parabola o równaniu ^{P x}

 

^{x2 1}₂^x ma ramiona ¹₂ VNLHURZDQHÄNXJyU]H´ZLĊFGOD

4

x 1 SROHWUyMNąWDAEF jest najmniejsze.

Schemat oceniania

RozwLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\QDGURG]HGRFDáNRZLWHJR

UR]ZLą]DQLD]DGDQLD...1 pkt

=DSLVDQLHĪHPAEF PABCD PADF PCEF PABE lub ^{PAEF PABCD }



^{PADF PCEF PABE}



^.

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS...2 pkt

=DSLVDQLHSyOWUyMNąWyZADF, ABE i CEF: 1

ADF 2

P_' x, 1 2

ABE 2 P_'  x i

2

2 2 2 CEF 2

x x

P_'     .x x

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD...3 pkt Zapisanie P_AEF w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej x: ^{P x}

 

^{x2 1}₂^{x .1}₂

5R]ZLą]DQLHSHáQH...4 pkt Wyznaczenie x, dla którego funkcja przyjmuje minimum:

4 x 1.

IIVSRVyEUR]ZLą]DQLD (geometria analityczna)

A B

D C

E x F 1–x

2x

1 2x– 1

1

3U]\MPXMHP\ZVSyáU]ĊGQHSXQNWyZQDSáDV]F]\ĨQLH^A

 

^{0 , 0 ,F}

 

^{x,1 ,E}



^{1,1 2 x}



^.

WyznaczamySROHWUyMNąWD AFE :

       

^{2 2}

1 1 1 1

0 1 2 0 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 2

P x    x  x  x  x x  x  x

 

^{2 1}₂ ¹₂

P x x x 3RQLHZDĪ

1

1 1

2 0,

2 4 2

xw

  , a parabola o równaniu ^{P x}

 

^{x2 1}₂^x ma ramiona ¹₂ VNLHURZDQHÄNXJyU]H´ZLĊFGOD

4

x 1 SROHWUyMNąWDAEF jest najmniejsze.

Schemat oceniania

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\QDGURG]HGRFDáNRZLWHJR

UR]ZLą]DQLD]DGDQLD ... 1 pkt :\]QDF]HQLHZVSyáU]ĊGQ\FKSXQNWyZQDSáDV]F]\ĨQLH

 

^{0 , 0 ,}

 

^{,1 ,}



^{1,1 2}



A F x E  x ^.

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS ... 2 pkt Wyznaczenie SRODWUyMNąWD AFE :

       

^{2 2}

1 1 1 1

0 1 2 0 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 1

2 2 2 2

P x    x  x  x  x x  x  x

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD ... 3 pkt Zapisanie P_AEF w postaci trójmianu kwadratowego zmiennej x: ^{P x}

 

^{x2 1}₂^{x .1}₂

5R]ZLą]DQLHSHáQH ... 4 pkt Wyznaczenie x, dla którego funkcja przyjmuje minimum:

4 x 1.

Zadanie 4. (0–4)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

8Ī\FLHLWZRU]HQLHVWUDWHJLL Stosowanie twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianów przez dwumian

5R]ZLą]DQLH

KorzystająF]ZDUXQNyZ]DGDQLD]DSLVXMHP\XNáDGUyZQDĔ

¯®

­













10 1 3 9 27

7 1 2 4 8

b a

b a

=XNáDGXUyZQDĔREOLF]DP\a i b

¯®

­









18 3

9

2 2 4

b a

b a

¯®

­











18 3 6 9

1 2

a a

a b

¯®

­ 

9 5 b a

:DUXQNL]DGDQLDVąVSHáQLRQHGODa 5, b 9. Schemat oceniania

RozwLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWZSUDZG]LHQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\GRUR]ZLą]DQLD

zadania ...1 pkt

=DSLVDQLHMHGQHJR]UyZQDĔ

7 1 2 4

8 a b albo 279a3b1 10

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD...2pkt

=DSLVDQLHXNáDGXUyZQDĔ

¯®

­













10 1 3 9 27

7 1 2 4 8

b a

b a

5R]ZLą]DQLH ]DGDQLD GR NRĔFD, OHF] ] XVWHUNDPL NWyUH MHGQDN QLH SU]HNUHĞODMą

SRSUDZQRĞFLUR]ZLą]DQLDQSEáĊG\UDFKXQNRZH...3pkt.

5R]ZLą]DQLHXNáDGXUyZQDĔ]EáĊGHPUDFKXQNRZ\P

5R]ZLą]DQLHSHáQH...4 pkt.

5R]ZLą]DQLHXNáDGXUyZQDĔ: a  ,5 b .9 Zadanie 5. (0–5)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

Modelowanie matematyczne W\NRU]\VWDQLHZáDVQRĞFLFLąJXDU\WPHW\F]QHJRLFLąJX

geometrycznego ,VSRVyEUR]ZLą]DQLD

=ZáDVQRĞFLFLąJXDU\WPHWycznego mamy: 2b a c  6WąGL]ZDUXQNyZ]DGDQLD

RWU]\PXMHP\ĪH 2b 10 czyli b 5.

=ZáDVQRĞFLFLąJXJHRPHWU\F]QHJR]DSLVXMHP\UyZQDQLH



^b4

   

^{2 a1 ˜ c19}



^.

=DWHPRWU]\PXMHP\XNáDGUyZQDĔQS

     

°¯

°®

­



˜







19 1

4 10 5

2 a c

b c a b

Z drugiego równania wyznaczamy a  lub 10 c c  i wstawiamy do trzeciego 10 a równania.

Otrzymujemy równanie, np. ⁹²



^{10 c 1}



^c19



^{lub 92 }

 

^{a 1 10 a 19}



^.

3U]HNV]WDáFDP\WRUyZQDQLHLRWU]\PXMHP\UyZQDQLH]QLHZLDGRPąc lub a, np.

0 128

2  c8 

c lub a²28a .52 0 5R]ZLą]DQLHPUyZQDQLDVą

1 8, 2 16

c c  lub a1 2, a2 .26

=DWHPV]XNDQ\PLOLF]EDPLVąa 2,b 5,c lub 8 a 26,b 5,c  .16 6FKHPDWRFHQLDQLDGR,VSRVREXUR]ZLą]DQLD

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\GRSHáQHJRUR]ZLą]DQLD

zadania ... 1 pkt :\NRU]\VWDQLHZáDVQRĞFLFLąJXDU\WPHW\F]QHJRJHRPHWU\F]QHJRL]DSLVDQLHRGSRZLHGQLHJR

równania, np.

x 2b a c  albo

x



^b4

  

^{2 a 1 c19}



5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS ... 2 pkt :\NRU]\VWDQLHZáDVQRĞFLREXFLąJyZDU\WPHW\F]QHJRLJHRPHWU\F]QHJRL]DSLVDQLHXNáDGX

UyZQDĔXPRĪOLZLDMąFHJRREOLF]HQLHOLF]Ea, b, c, np.

    

²



2

10

4 1 19

b a c a c

b a c

­ 

°° 

®°   ˜ 

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD ... 3 pkt°¯

3U]HNV]WDáFHQLHXNáDGXUyZQDĔGRUyZQDQLDNZDGUDWRZHJR]QLHZLDGRPąc lub a, np.

0 128

2 c8 

c lub a²  a28 52 0

5R]ZLą]DQLH]DGDQLDGRNRĔFDOHF]]XVWHUNDPL NWyUHMHGQDNQLHSU]HNUHĞODMą

SRSUDZQRĞFLUR]ZLą]DQLDQSEáĊG\UDFKXQNRZH ... 4 pkt x SRSUDZQHUR]ZLą]DQLHUyZQDQLDNZDGUDWRZHJRRGU]XFHQLHMHGQHJR]UR]ZLą]DĔ

i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb

albox SU]HNV]WDáFHQLHXNáDGXUyZQDĔ]MHGQąQLHZLDGRPąGRUyZQDQLDNZDGUDWRZHJR

zEáĊGHPUDFKXQNRZ\PQSEáąGZUHGXNFMLZ\UD]yZSRGREQ\FKOXEZ przepisywaniu iNRQVHNZHQWQHGRSURZDG]HQLHUR]ZLą]DQLDGRNRĔFDRLOHRWU]\PDQHUyZQDQLH

kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste).

5R]ZLą]DQLHSHáQH ... 5 pkt Wyznaczenie szukanych liczb: a 2, b 5, c 8 lub a 26, b 5, c 16.

,,VSRVyEUR]ZLą]DQLD

Oznaczamy: przez a –SLHUZV]\Z\UD]FLąJXDU\WPHW\F]QHJRDSU]H]r – UyĪQLFĊWHJRFLąJX

Wówczas b a r c, a 2 .r

=ZáDVQRĞFLFLąJXDU\WPHW\Fznego i z warunków zadania mamy 2a VWąG2r 10 a r 5

=ZáDVQRĞFLFLąJXJHRPHWU\F]QHJR]DSLVXMHP\UyZQDQLHQS



^{a r 4}

  

^{2 a 1 a 2r 19}



^,

DQDVWĊSQLH]DSLVXMHP\XNáDGUyZQDĔ

   

²



5

4 1 2 19

a r

a r a a r

­° 

®     

°¯

Z pierwszego równania wyznaczamy a  i podstawiamy do drugiego równania. 5 r 2WU]\PXMHP\UyZQDQLHNZDGUDWRZH]QLHZLDGRPąr:



^{5  r r 4}

 

^{2  5 r 1 5}



^{  r 2r 19}



^{lub r2  .18 63 0}

5R]ZLą]DQLDPLWHJRUyZQDQLDVąr1 lub 3 r2  .21 1DVWĊSQLHREOLF]DP\a, b, c.

:DUXQNL]DGDQLDVSHáQLDMąOLF]E\a 2,b 5,c lub 8 a 26, b 5, c  .16 6FKHPDWRFHQLDQLD,,VSRVREXUR]ZLą]DQLD

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\QDGURG]HGRSHáQHJR

UR]ZLą]DQLD]DGDQLD...1 pkt :SURZDG]HQLHR]QDF]HĔa – pierws]\Z\UD]FLąJXDU\WPHW\F]QHJR r – UyĪQLFDWHJRFLąJX

RUD]Z\NRU]\VWDQLHGHILQLFMLFLąJXDU\WPHW\F]QHJRGR]DSLVDQLDRGSRZLHGQLHJRUyZQDQLDQS

2a 2r 10 lub a r 5

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS...2 pkt :\NRU]\VWDQLHZáDVQRĞFLFLąJXJHRPHWU\F]QHJRL]DSLVDQLHXNáDGXUyZQDĔQS

   

²



5

4 1 2 19

a r

a r a a r

­° 

®     

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD...3 pkt°¯

3U]HNV]WDáFHQLHXNáDGXUyZQDĔGRUyZQDQLD]QLHZLDGRPąr, np.



^{5  r r 4}

 

^{2  5 r 1 5}



^{  r 2r 19}



^{lub r2  .18 63 0}

5R]ZLą]DQLH]DGDQLDGRNRĔFDOHF]]XVWHUNDPLNWyUHMHGQDNQLHSU]HNUHĞODMą

SRSUDZQRĞFLUR]ZLą]DQLDQSEáĊG\UDFKXQNRZH...4 pkt x SRSUDZQH UR]ZLą]DQLH UyZQDQLD NZDGUDWRZHJR RGU]XFHQLH MHGQHJR ] UR]ZLą]DĔ QS

0

r i poprawne wyznaczenie drugiej trójki liczb

albox SU]HNV]WDáFHQLH XNáDGX UyZQDĔ ] MHGQą QLHZLDGRPą GR UyZQDQLD NZDGUDWRZHJR

zEáĊGHPUDFKXQNRZ\PQS EáąGZUHGXNFMLZ\UD]yZSRGREQ\FKOXEZ przepisywaniu iNRQVHNZHQWQH GRSURZDG]HQLH UR]ZLą]DQLD GR NRĔFD R LOH RWU]\PDQH UyZQDQLH

kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste).

5R]ZLą]DQLHSHáQH...5 pkt :\]QDF]HQLHOLF]EVSHáQLDMąF\FKZDUXQNL]DGDQLDa 2, b 5, c lub 8

26, 5, 16

a b c  .

Zadanie 6. (0–5)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

8Ī\FLe i tworzenie strategii Przeprowadzanie dyskusji trójmianu kwadratowego z parametrem

IVSRVyEUR]ZLą]DQLD (wzory Viète’a) 0

2  mx2

=DSLVXMHP\XNáDGZDUXQNyZx

2 2 2

1 2

0

2 13

x x m

­' !

®  ! 

5R]ZLą]XMHP\SLHUZV]ąQLHUyZQRĞüWHJRXNáDGX¯

2 8 ' m ' !0

2 8 0

m  !



^f

 

^{‰ f}



 , 2 2 2 2, m

$E\UR]ZLą]DüGUXJąQLHUyZQRĞüQDMSLHUZSU]HNV]WDáFLP\OHZąVWURQĊQLHUyZQRĞFL

NRU]\VWDMąF]HZ]RUyZ9Lète’a:



^{1 2}



^{2 2 1 2}

 

^{2 2 2 2 4}

2 2 2

1 x x x  x x m  ˜ m 

x

5R]ZLą]XMHP\]DWHPQLHUyZQRĞü

13 2

4 ²

2  ! m 

m

0

2 9

m ZLĊF^m

 

^3,3

:\]QDF]DP\ZVSyOQąF]ĊĞü]ELRUyZUR]ZLą]DĔXNáDGXQLHUyZQRĞFL



^f

 

^{‰ f}



 , 2 2 2 2,

m i ^m

 

^{3,3 ,ZLĊFm}



^{3,2 2}

  

^{‰ 2 2,3 .}

IIVSRVyEUR]ZLą]DQLD (wzory na pierwiastki trójmianu)

=DSLVXMHP\XNáDGZDUXQNyZ

2 2 2

1 2

0

2 13

x x m

­' !

®  ! 

¯

5R]ZLą]XMHP\SLHUZV]ąQLHUyZQRĞü

2 8 ' m

0 8

0 ² !

!

' m



^f

 

^{‰ f}



 , 2 2 2 2, m

Obliczamy pierwiastki równania kwadratowego:

2 8 2

8 ²

2 2

1











 m m

m x x m

2EOLF]DP\VXPĊNZDGUDWyZSLHUZLDVWNyZUyZQDQLDNZDGUDWRZHJR

2 2

2 2

2 2

1 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

8 8

2 2

2 8 8 2 8 8

4 4

2 2 16

4 4

m m m m

x x

m m m m m m m m

m m

m

§   · §   ·

 ¨¨© ¸ ¨¸ ¨¹ © ¸¸¹

        

  

5R]ZLą]XMHP\GUXJąQLHUyZQRĞü

13 2

4 ²

2  ! m 

m

0

2 9 m^

 

^3,3

m

:\]QDF]DP\ZVSyOQąF]ĊĞü]ELRUyZUR]ZLą]DĔXNáDGXQLHUyZQRĞFL



^f

 

^{‰ f}



 , 2 2 2 2,

m i ^m

 

^{3,3 ,ZLĊFm}



^{3,2 2}

  

^{‰ 2 2,3 .}

Schemat oceniania

5R]ZLą]DQLH]DGDQLDVNáDGDVLĊ]WU]HFKF]ĊĞFL

a) 3LHUZV]D SROHJD QD UR]ZLą]DQLX QLHUyZQRĞFL '!0, ^m



^{f,2 2}

 

^{‰ 2 2,f}



^.

=DSRSUDZQHUR]ZLą]DQLHWHMF]ĊĞFL]GDMąF\RWU]\PXMH1 punkt.

Uwaga

-HĪHOL]GDMąF\UR]ZLą]XMHQLHUyZQRĞü' t , to nie otrzymuje punktu ]DWĊF]ĊĞü0

b) 'UXJD SROHJD QD UR]ZLą]DQLX QLHUyZQRĞFL x1²x2² !2m² ,13 ^m

 

^{3,3 .}

=DWĊF]ĊĞüUR]ZLą]DQLD]GDMąF\otrzymuje 3 punkty.

c) 7U]HFLD SROHJD QD Z\]QDF]HQLX F]ĊĞFL ZVSyOQHM UR]ZLą]DĔ QLHUyZQRĞFL ] D L E

=DSRSUDZQHUR]ZLą]DQLHWU]HFLHMF]ĊĞFL]GDMąF\RWU]\PXMH1 punkt.

:UDPDFKGUXJLHMF]ĊĞFLUR]ZLą]DQLDZ\UyĪQLDP\QDVWĊSXMąFHID]\

5R]ZLą]DQLHF]ĊĞFLEZNWyU\PSRVWĊSMHVWQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\QDGURG]HGR

SHáQHJRUR]ZLą]DQLD...1 pkt x ]DSLVDQLHQLHUyZQRĞFLx₁² x₂² !2m² 13 ZSRVWDFLUyZQRZDĪQHMm² 4!2m² 13

albo

x wykorzystanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego i ]DSLVDQLH QLHUyZQRĞFL

2 2

2 2

8 8 2

2 13

2 2

m m m m

§   · §    · ! m 

¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸ ¨ ¸

© ¹ © ¹ .

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFLF]ĊĞFLE]DGDQLD ...2 pkt Doprowadzenie do postaci niHUyZQRĞFLNZDGUDWRZHMm²  .9 0

5R]ZLą]DQLHEH]EáĊGQHF]ĊĞFLE...3 pkt 5R]ZLą]DQLHQLHUyZQRĞFL^m

 

^{3,3 .}

5R]ZLą]DQLHSHáQH... 5 pkt :\]QDF]HQLHF]ĊĞFLZVSyOQHMUR]ZLą]DĔQLHUyZQRĞFLLSRGDQLHRGSRZLHG]L



^{3,2 2}

  

^{‰ 2 2,3}



m .

Zadanie 7. (0–6)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

8Ī\FLe i tworzenie strategii SWRVRZDQLHUyZQDĔLQLHUyZQRĞFLGRRSLVDQLD]DOHĪQRĞFL

wSURVWRNąWQ\PXNáDG]LHZVSyáU]ĊGQ\FK 5R]ZLą]DQLH

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

X Y

1 y

x

 ^{2, 5}

A 

2EOLF]DP\RGOHJáRĞüSXQNWXA od prostej y x1: 3 2 1

1 1 5 2







d  .

2EOLF]RQDRGOHJáRĞüd MHVWUyZQDGáXJRĞFLZ\VRNRĞFLWUyMNąWDABC poprowadzonej do boku BC=QDP\SROHWUyMNąWDABCZLĊFREOLF]DP\GáXJRĞüERNXBC.

ABC 15

P VWąG 1

2d BC˜ 15 ZLĊF 30 3 2 5 2 BC

Punkt ^C

 

^x,y OHĪ\ QD SURVWHM R UyZQDQLX y x1, zatem ^C



^x,x1



. Z warunków zadania mamy AC BC ZLĊF]HZ]RUXQDGáXJRĞüRGFLQND]DSLVXMHP\UyZQDQLH



^x2

 

^{2  x15}



^{2 5 2.}

5R]ZLą]XMHP\RWU]\PDQHUyZQDQLH



^x2

 

^{2  x15}



^{2 5 2}

 

²

50 16 8 4

4 ²

2  x x  x

x

0 15

2  x2  x

3 5

64 _{1 2} 

' x x

2EOLF]DP\U]ĊGQHSXQNWyZy₁ 6 y₂ 2

:DUXQNL]DGDQLDVSHáQLDMąGZDSXQNW\^C1

 

^{5, 6 C2  }



^{3, 2}



^.

Schemat oceniania

5R]ZLą]DQLH Z NWyU\P SRVWĊS MHVW ZSUDZG]LH QLHZLHONL DOH NRQLHF]Q\ QD GURG]H

doFDáNRZLWHJRUR]ZLą]DQLD]DGDQLD... 1 pkt 2EOLF]HQLHRGOHJáRĞFLSXQNWXA od prostej y x1: d 3 2.

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS...2 pkt 2EOLF]HQLHGáXJRĞFLRGFLQNyZAC i BC: AC BC 5 2.

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD...4 pkt 8áRĪHQLH XNáDGX UyZQDĔ SR]ZDODMąFHJR REOLF]\ü ZVSyáU]ĊGQH SXQNWX C RGOHJáRĞü

2 5

AC oraz punkt CQDOHĪ\GRSURVtej o równaniu y x1)

   

¯®

­









50 5

2 1

2

2 y

x x y

LVSURZDG]HQLHXNáDGXGRUyZQDQLDNZDGUDWRZHJRx² x2 15 0.

5R]ZLą]DQLH ]DGDQLD GR NRĔFD, OHF] ] XVWHUNDPL NWyUH MHGQDN QLH SU]HNUHĞODMą

SRSUDZQRĞFLUR]ZLą]DQLDQSEáĊG\UDFKXQkowe) ...5 pkt 5R]ZLą]DQLHSHáQH...6 pkt :\]QDF]HQLHZVSyáU]ĊGQ\FKSXQNWXC: ^C

 

^{5,6 lub C}



^3,2



^.

Zadanie 8. (0–5)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu algebraicznego

RR]ZLą]DQLH

=DSLVXMHP\ ZVSyáU]ĊGQH GZyFK SXQNWyZ OHĪąF\FK QD Z\NUHVLH IXQNFML ^{f x}

 

_x^{12 oraz}

naSURVWHMUyZQROHJáHMGRRVLOx , np. 1₂ ,

A x

x

§ ·

¨© ¸¹, 1₂ ,

B x

x

§ ·

¨© ¸¹, gdzie xz .0

=DSLVXMHP\ SROH WUyMNąWD ABC , gdzie ^{C }



^{3, 1}



Z ]DOHĪQRĞFL RG MHGQHM ]PLHQQHM

2

2 1 1

1

ABC 2

x x

P x

' x

˜ ˜ 

 .

:\VWDUF]\ZREHFWHJRXGRZRGQLüOXESRZRáDüVLĊQD]QDQąQLHUyZQRĞüĪHGODGRZROQHM

liczby a! ]DFKRG]LQLHUyZQRĞü0 1

2

a t 3RSRPQRĪHQLXREXVWURQQLHUyZQRĞFLSU]H]aa RWU]\PXMHP\QLHUyZQRĞüUyZQRZDĪQą1 t , czyli a² 2a a²  t DZLĊFQLHUyZQRĞü2a 1 0

 

^{a1 2 t .0}

Schemat oceniania Uwaga

=GDMąF\RWU]\PXMHSXQNWyZMHĪHOLZ\ELHU]HNRQNUHWQHGZDSXQNW\A oraz B i dla tych SXQNWyZREOLF]\SROHWUyMNąWDABC.

5R]ZLą]DQLH Z NWyU\P SRVWĊS MHVW ZSUDZG]LH QLHZLHONL DOH NRQLHF]Q\ QD GURG]H GR

FDáNRZLWHJRUR]ZLą]ania ...1 pkt

=DSLVDQLH ZVSyáU]ĊGQ\FK GZyFK SXQNWyZ OHĪąF\FK QD Z\NUHVLH IXQNFML ^{f x}

 

_x^{12 oraz}

naSURVWHMUyZQROHJáHMGRRVLOx , np. 1₂ ,

A x

x

§ ·

¨© ¸¹, 1₂ ,

B x

x

§ ·

¨© ¸¹, gdzie xz .0

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS...2 pkt

=DSLVDQLHGáXJRĞFLRGFLQNDAB ( AB 2 x RUD]Z\VRNRĞFL h WUyMNąWDABC ( 1₂ 1 h x  ).

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD ... 3 pkt

=DSLVDQLHSRODWUyMNąWDABC Z]DOHĪQRĞFLRGMHGQHM]PLHQQHM

2

2 1 1

1

ABC 2

x x

P x

' x

˜ ˜ 

 Uwaga

=GDMąF\PRĪH]DáRĪ\üĪHx! L]DSLVDüZ]yUQDSROHWUyMNąWDZSRVWDFL0

2

2 1 1

1

ABC 2

x x

P x

' x

§ ·

˜ ˜¨©  ¸¹ 

5R]ZLą]DQLHSHáQH ... 5pkt Uzasadnienie, ĪH 1

2 x  tx ^.

=GDMąF\PRĪHSRZRáDüVLĊQD]QDQHWZLHUG]HQLHRVXPLHOLF]E\GRGDWQLHMLMHMRGZURWQRĞFL

Zadanie 9. (0–4)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

Rozumowania i argumentacji Przeprowadzenie dowodu geometrycznego

RozZLą]DQLe

&]ZRURNąWABCD MHVWUyZQROHJáRERNLHPF]ZRURNąWDCFE MHVWNZDGUDWHPZLĊF

AB CD CF . W kwadracie CBHG odcinki BC i CGVąUyZQH

Niech D R]QDF]DNąWABC GDQHJRUyZQROHJáRERNX:yZF]DV ฀BCD 180q D . W kwadratach CDEF oraz CBHG mamy ฀DCF ฀DCF q90 ZLĊF

 

360 180 90 90

FCG q  q   q  q D D ABC

฀ ฀ .

:WUyMNąWDFKABC i FCG mamy zatem: AB CF , BC CG oraz ฀FCG ฀ABC , ZLĊFWUyMNąW\ABC i FCG VąSU]\VWDMąFHFHFKDbkb 6WąGZQLRVNXMHP\ĪH AC FG .

Schemat oceniania:

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\QDGURG]HGRSHáQHJR

UR]ZLą]DQLD ... 1 pkt Zaznaczenie na rysunku odcinków AC i FG oraz zapisanie ryZQRĞFL AB CF i BC CG .

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\SRVWĊS ... 2 pkt 6WZLHUG]HQLHĪHWUyMNąW\ABC i FCG VąSU]\VWDMąFH na podstawie cechy (bkb), bez podania SHáQHJRX]DVDGQLHQLDUyZQRĞFLNąWyZ FCG฀ ฀ABC .

Pokonanie zasadQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD ... 3 pkt 6WZLHUG]HQLHĪHWUyMNąW\ABC i FCG VąSU]\VWDMąFHZUD]]SRGDQLHPSHáQHJRX]DVDGQLHQLD

UyZQRĞFLNąWyZ฀FCG ฀ABC .

5R]ZLą]DQLHSHáQH...4 pkt

=DSLVDQLHZQLRVNXĪH AC FG .

Zadanie 10. (0–4)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

Modelowanie matematyczne OEOLF]DQLHSUDZGRSRGRELHĔVWZD]]DVWRVRZDQLHP

NODV\F]QHMGHILQLFMLSUDZGRSRGRELHĔVWZD 5R]ZLą]DQLH

=GDU]HQLDPLHOHPHQWDUQ\PLVąWU]\Z\UD]RZHFLąJLRZDUWRĞFLDFKZ]ELRU]H

V]HĞFLRHOHPHQWRZ\P0DP\PRGHONODV\F]Q\: 6³ 216^.

RHV]WD ] G]LHOHQLD NZDGUDWX OLF]E\ FDáNRZLWHM SU]H]  PRĪH E\ü UyZQD  OXE  6XPD

kwadratów trzech liczb EĊG]LHSRG]LHOQDSU]H]ZWHG\JG\NDĪG\]QLFKEĊG]LHSRG]LHOQ\

SU]H]DOERJG\UHV]WD]G]LHOHQLDNDĪGHJR]QLFKSU]H]EĊG]LHUyZQD

.ZDGUDW\OLF]ELVąOLF]EDPLSRG]LHOQ\PLSU]H]

.ZDGUDW\OLF]ELGDMą]G]LHOHQLDSU]H]UHV]WĊ

A PRĪHP\REOLF]DüQDVWĊSXMąFR

I sposób

ɖ ciąJLRZDUWRĞFLDFK]H]ELRUX^`– jest ich 2<sup>3</sup> ,8 ɖ FLąJLRZDUWRĞFLDFK]H]ELRUX^`– jest ich 4³ ,64 czyli A  2³ 4³ 72

II sposób

ɖ FLąJLVWDáH– jest ich 6,

ɖ FLąJLZNWyU\FKZ\VWĊSXMąGZLHOLF]E\]H]Eioru {3,6} – jest ich 2 3 6˜ ,

ɖ FLąJLZNWyU\FKZ\VWĊSXMąGZLHOLF]E\]H]ELRUX^`– jest ich 4 3 3 36˜ ˜ , ɖ FLąJLUyĪQRZDUWRĞFLRZHRZDUWRĞFLDFK]H]ELRUX^`– jest ich 4 3 2 2 4˜ ˜ , czyli A    6 6 36 24 72^,

III sposób

ɖ FLąJLZNWyU\FKZ\VWĊSXMąOLF]E\GDMąFHWĊVDPDUHV]WĊSU]\G]LHOHQLXSU]H] – jest ich 3 2˜ ,³ 24

ɖ FLąJLZNWyU\FKZ\VWĊSXMąGZLHOLF]E\GDMąFHSU]\G]LHOHQLXSU]H]UHV]WĊLMHGQD

OLF]EDGDMąFDSU]\G]LHOHQLXSU]H] UHV]WĊ– jest ich 3 2 2˜ ˜ ,² 24

ɖ FLąJLZNWyU\FKZ\VWĊSXMąGZLHOLF]E\GDMąFHSU]\G]LHOHQLXSU]H]UHV]WĊ2 i jedna OLF]EDGDMąFDSU]\G]LHOHQLXSU]H]UHV]WĊ – jest ich 3 2 2˜ ˜ ,² 24

czyli A   24 24 24 72^, Zatem ^{P A}

 

₂₁₆^{72 .1}₃

Schemat oceniania

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWZSUDZG]LHQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\GRUR]ZLą]DQLD

zadania ...1 pkt

=GDMąF\]DSLV]HĪH: 6³ LQDW\P]DNRĔF]\OXEGDOHMUR]ZLą]XMHEáĊGQLH

,VWRWQ\SRVWĊS...2 pkt ZdDMąF\ ]DSLV]H ĪH VXPD NZDGUDWyZ WU]HFK OLF]E MHVW SRG]LHOQD SU]H]  W\ONR ZWHG\ JG\

ZV]\VWNLHOLF]E\VąSRG]LHOQHSU]H]DOERZV]\VWNLHVąQLHSRG]LHOQHSU]H]

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD...3 pkt

=GDMąF\SRSUDZQLHREOLF]\OLF]EĊ]GDU]HĔHOHPHQWDUQ\FKVSU]\MDMąF\FK]DMĞFLX]GDU]HQLD A:

72

A LQDW\P]DNRĔF]\OXEGDOHMUR]ZLą]XMHEáĊGQLH.

5R]ZLą]DQLHSHáQH ... 4 pkt

 

^A ₃¹

P .

Zadanie 11. (0–5)

Obszar standardów 6SUDZG]DQHXPLHMĊWQRĞFL

8Ī\FLe i tworzenie strategii OEOLF]DQLHREMĊWRĞFLZLHORĞFLDQX]Z\NRU]\VWDQLHP

trygonometrii Uwaga

6WUDWHJLĊUR]ZLą]DQLD]DGDQLDPRĪQD]UHDOL]RZDüQDZLHOHVSRVREyZ:NDĪG\P]QLFK

Z\UyĪQLDP\QDVWĊSXMąFHHWDS\UR]ZLą]DQLD

x 3RSUDZQDLQWHUSUHWDFMDEU\á\LSRGDQHJRNąWDGZXĞFLHQQHJo w tej bryle.

x Wyznaczenie m lub h Z]DOHĪQRĞFLRGa iD ^.

x Wyznaczenie MHGQHM]ZLHONRĞFLx, b, h^bZ]DOHĪQRĞFLRGa i D]NWyUHMPRĪQDMXĪ

Z\]QDF]\üH.

x Wyznaczenie H Z]DOHĪQRĞFLRGa iD ^. x Wyznaczenie V Z]DOHĪQRĞFLRGa iD ^. 8Ī\OLĞP\R]QDF]HĔMDNQDU\VXQNX

A

B

C S

O D

E

a F

H

..

.. .

. a

D 2

h h

x h_b b

m

h_p b

5R]ZLą]DQLH (wyznaczenie m, wyznaczenie x, wyznaczenie H ]SRGRELHĔVWZD WUyMNąWyZ

OCS i ECF)

:\VRNRĞüSRGVWDZ\RVWURVáXSDMHVWUyZQD 3

p 2

h a .

:\]QDF]DP\Z\VRNRĞüFE WUyMNąWDUyZQRUDPLHQQHJRABE 1

tg 2

FB a

BE m

D VWąG

2tg m a

D ^.

:\]QDF]DP\GáXJRĞüRGFLQNDEC ]WZLHUG]HQLD3LWDJRUDVDZWUyMNąFLe FCE:

2 2

x hp m

2 2 2 2

2

3 3tg 1 4 sin 1

2 2tg 4tg 2 sin

a a a

x a D D

D D D

§ · § ·  

¨ ¸ ¨ ¸

¨ ¸ © ¹

© ¹

=SRGRELHĔVWZDWUyMNąWyZOCS i ECF mamy

OS EF

OC EC , czyli 2 3 ^p

H m

h x .

6WąG

2 2 2

2 3 3

2tg 3 cos

3 2

4 sin 1 4 sin 1 3 4 sin 1

2 sin 2 sin

a a m a

H a

a a

D D

D D D

D D

˜ ˜ ˜

   .

Wyznaczamy REMĊWRĞüRVWURVáXSD

2 2 3

2 2

1 3 1 3 cos cos

3 4 3 4 3 4 sin 1 12 4 sin 1

a a a a

V H D D

D D

˜ ˜ ˜ ˜

  .

Schemat oceniania

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PSRVWĊSMHVWQLHZLHONLDOHNRQLHF]Q\GRSHáQHJRUR]ZLą]DQLD

zadania ...1 pkt :\NRQDQLH U\VXQNX RVWURVáXSD L ]D]QDF]HQLH QD QLP NąWD PLĊG]\ VąVLHGQLPL ĞFLDQDPL

bocznymi.

A

B

C S

O D

E

aF H

..

.. .

. a

D 2

h h

x h b

m h_p

b

Uwaga

1LHZ\PDJDP\U\VXQNXMHĪHOL]GDOV]\FKREOLF]HĔ Z\QLNDĪH]GDMąF\SRSUDZQLHLQWHUSUHWXMH

WUHĞü]DGDQLD

5R]ZLą]DQLHZNWyU\PMHVWLVWRWQ\ ... 2 pkt :\]QDF]HQLHZ\VRNRĞFLEF WUyMNąWDABE Z]DOHĪQRĞFLRGa i D^:

2tg m a

D ^.

3RNRQDQLH]DVDGQLF]\FKWUXGQRĞFL]DGDQLD ... 3 pkt :\]QDF]HQLHGáXJRĞFLRGFLQNDEC: 4 sin² 1

2 sin

x a D

D  _.

5R]ZLą]DQLHSUDZLHFDáNRZLWH... 4 pkt :\]QDF]HQLHZ\VRNRĞFLRVWURVáXSD



^cos2



3 4 sin 1

H a D

D  ^.

5R]ZLą]DQLHSHáQH ... 5 pkt :\]QDF]HQLHREMĊWRĞFLRVWURVáXSD ³

2

1 cos

12 4 sin 1

V a D

D .