Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D

MES dla stacjonarnego przepływu ciepła

Piotr Pluciński

e-mail: Piotr.Plucinski@pk.edu.pl

Jerzy Pamin

e-mail: Jerzy.Pamin@pk.edu.pl

Katedra Technologii Informatycznych w Inżynierii Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej

Strona domowa: www.CCE.pk.edu.pl

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Zakres prezentacji

1 Stacjonarny przepływ ciepła w 3D Model - sformułowanie mocne Model - sformułowanie słabe Równania MES

2 Dobór funkcji aproksymacyjnych Funkcje kształtu dla zagadnienia 1D Funkcje kształtu dla zagadnienia 2D Funkcje kształtu dla zagadnienia 3D

Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D

q n

qn = q^Tn

∇ =







∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z







zimno ciepło

q ∇T

Podstawowa niewiadoma - temperatura T prawo przewodnictwa cieplnego Fouriera

q = −D ∇T

wektor gęstości strumienia ciepła q = {q_x q_y q_z} [W/m²]

wektor gradientu temperatury

∇T = (∂T

∂x

∂T

∂y

∂T

∂z )

[K/m]

macierz przewodnictwa cieplnego D = {k_ij} [W/(mK)]

Gęstość strumienia wzrasta ze wzrostem gra- dientu temperatury.

Ciepło płynie od wyższej do niższej temper- atury.

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Bilans cieplny dla stacjonarnego przepływu ciepła

Ilość ciepła generowanego = ilość ciepła wypływającego

Z

V

f dV = Z

S

q_ndS ∀ V

f – gęstość źródła ciepła – ilość ciepła dostarczana ciału na jednostkę objętości i czasu [J/(m³s)=W/m³]

V

S

Wykorzystując twierdzenie Greena–Gaussa–Ostrogradskiego o całkowaniu przez części

Z

S

q_ndS = Z

S

q^Tn dS = Z

V

divq dV = Z

V

(∂q_x

∂x + ∂q_y

∂y + ∂q_z

∂z )

dV Z

V

f dV = Z

V

∇^Tq dV ∀ V ⇒ ∇^Tq = f ∀x ∈ V

Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D

Równania przepływu ciepła

Równanie przewodnictwa (sformułowanie mocne)

∇^T(D∇T ) + f = 0 ∀x ∈ V + warunki brzegowe

q_n = q^Tn =qb na S_q– naturalne w.b.(Neumanna) T = bT na S_T– podstawowe w.b. (Dirichleta)

V

S_T S_q

Dla materiałów izotropowych macierz D przyjmuje formę D = kI

∂²T

∂x² + ∂²T

∂y² + ∂²T

∂z² + f

k = 0 – równanie Poissona Dla materiałów izotropowych bez źródła ciepła

∂²T

∂x² + ∂²T

∂y² + ∂²T

∂z² = 0 – równanie Laplace’a

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Stacjonarny przepływ ciepła w 3D

Weighted residual method Z

V

w ∇^T(D∇T ) + f
dV = 0 ∀w 6= 0 Z

V

w∇^T(D∇T )dV + Z

V

wf dV = 0

V

S_T S_q

Sformułowanie słabe

− Z

V

(∇w)^TD∇T dV + Z

S

w

D∇T

−q

^T

ndS + Z

V

wf dV = 0

− Z

V

(∇w)^TD∇T dV − Z

S

w q^Tn q_n

dS + Z

V

wf dV = 0 Z

V

(∇w)^TD∇T dV = − Z

Sq

w q dS −b Z

ST

w q_n dS + Z

V

wf dV ∀w naturalny w.b. niewiadoma wtórna

Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D

Sformułowanie mocne

∇^T(D∇T ) + f = 0 ∀x ∈ V + warunki brzegowe

q_n = q^Tn = qb na S_q

T = Tb na ST

V

S_T S_q

Sformułowanie słabe

Z

V

(∇w)^TD∇T dV = − Z

S_q

wqbdS − Z

S_T

wq_ndS + Z

V

wf dV ∀w 6= 0

+ podstawowy warunek brzegowy

T = Tb na S_T

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Problem stacjonarnego przepływu ciepła w 3D

Układ równań MES

T = NΘ – aproksymowana funkcja temperatury N – wektor funkcji kształtu (aproksymacja globalna) Θ – wektor węzłowych wartości temperatury

∇T = BΘ – aproksymowana funkcja gradientu temperatury B = ∇N – macierz pochodnych funkcji kształtu

w = w^TN^T – aproksymacja funkcji wagowej (∇w = Bw) Z

V

(∇w)^TD∇T dV = − Z

Sq

wqdS −b Z

ST

wq_ndS + Z

V

wf dV ∀w^T

KΘ = f_b+ f

K = Z

V

B^TDBdV, f_b = − Z

Sq

N^Tq dS−b Z

ST

N^Tq_ndS, f = Z

V

N^Tf dV

Dobór funkcji aproksymacyjnych

Podstawowe kroki algorytmu MES

1 Zbudowanie sformułowania mocnego

2 Transformacja do sformułowania słabego

3 Wybór aproksymacji poszukiwanej funkcji

4 Wybór funkcji wagowej (zazwyczaj podejście Galerkina)

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 1D

1 Zbudowanie sformułowania mocnego d

dx AkdT dx

!

+ f = 0 + warunki brzegowe

q_x = qb dla x_q ( np. x_q = 0) T = bT dla x_T ( np. xT = l)

x_q = 0 x_T = l

2 Transformacja do sformułowania słabego

Z l 0

dw

dx AkdT dx

!

dx = (wA)     x=0

q − (wAqb _x)     x=l

+ Z l

0

wf dx + podstawowy warunek brzegowy

T = bT dla x_T ( np. x_T = l)

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 1D

3 Wybór funkcji aproksymujących Funkcja liniowa

T^e(x) = α₁+ α₂x = Φα^e Φ = [1 x], α^e =

 α₁ α₂



T^e(x) = N_i^e(x^e)Ti + N_j^e(x^e)Tj = N^eΘ^e N^e = [N_i^e(x^e) N_j^e(x^e)], Θ^e =

 T_i T_j



dT^e

dx^e = B^eΘ^e, B^e = dN^e dx^e =

"

dN_i^e dx^e

dN_j^e dx^e

#

x T

T_i Tj

x_i x_j l^e

x^e 0^e l^e 1

N_i^e(x^e)

x^e 0^e l^e

1 N_j^e(x^e)

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 1D

3 Dobór funkcji aproksymacyjnych Funkcja kwadratowa

T^e(x) = α₁+ α₂x + α₃x² = Φα^e Φ = [1 x x²], α^e =



 α₁ α₂ α₃



 T^e(x) = N_i^e(x^e)T_i + N_j^e(x^e)T_j + N_k^e(x^e)T_k

= N^eΘ^e

N^e = [N_i^e(x^e) N_j^e(x^e) N_k^e(x^e)], Θ^e =



 T_i T_j T_k





dT^e

dx^e = B^eΘ^e, B^e = dN^e dx^e =

"

dN_i^e dx^e

dN_j^e dx^e

dN_k^e dx^e

#

x T

Ti

Tj

T_k

x_i x_j x_k l^e

x^e 0^e x^e_j l^e 1 N_i^e(x^e)

x^e 0^e x^e_j l^e

1 N_j^e(x^e)

x^e 0^e x^e_j l^e

1 N_k^e(x^e)

Dobór funkcji aproksymacyjnych – Zagadnienie 2D

1 Zbudowanie sformułowania mocnego

∇^T(D∇T ) + f = 0 ∀x ∈ A + warunki brzegowe

q_n = q^Tn =qb na Γ_q

T = bT na Γ_T Γ_q Γ_T

2 Transformacja do sformułowania słabego (h - grubość konfiguracji)

Z

A

(∇w)^TDh∇T dA = − Z

Γq

whqdΓ −b Z

Γ_T

whq_ndΓ + Z

A

whf dA

+ podstawowy warunek brzegowy

T = bT na Γ_T

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 2D

3 Wybór funkcji aproksymujących Element trójwęzłowy

T^e(x, y) = α₁+ α₂x + α₃y = Φα^e

Φ = [1 x y], α^e =



 α₁ α₂ α₃





T^e(x, y) = N_i^e(x^e, y^e)T_i + N_j^e(x^e, y^e)T_j+ + N_k^e(x^e, y^e)T_k = N^eΘ^e

N^e = [N_i^e(x^e, y^e) N_j^e(x^e, y^e) N_k^e(x^e, y^e)], Θ^e =



 T_i T_j T_k





y T (x, y)

x T_i

T_k

T_j i

k

j

y^e x^e

i k

j e

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 2D

3 Wybór funkcji aproksymujących Element trójwęzłowy

N^e = [N_i^e(x^e, y^e) N_j^e(x^e, y^e) N_k^e(x^e, y^e)]

e.g. for N_i(x^e, y^e) N_i(x^e_i, y_i^e) = 1 N_i(x^e_j, y_j^e) = 0 N_i(x^e_k, y_k^e) = 0

y^e Ni(x^e, y^e)

x^e 1 i

k

j

y^e Nj(x^e, y^e)

x^e 1

i k

j y^e

Nk(x^e, y^e)

x^e

1 i

k

j

Wyznaczenie współczynników funkcji kształtu N_i(x^e, y^e) = α_1i + α_2ix^e + α_3iy^e





1 x_i y_i 1 x_j y_j 1 x_k y_k







 α_1i α_2i α_3i



=



 1 0 0



 =⇒

α_1i = ^xjy_2P^k−xkyj

4

α_2i = ^y_2P^j−yk

4

α_3i = ^x_2P^k−xj

4

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 2D

Trójkąt Pascala – element trójwęzłowy 1

x y

x² xy y²

x³ x²y xy² y³ x⁴ x³y x²y² xy³ y⁴

Trójkąt Pascala – element sześciowęzłowy 1

x y

x² xy y² x³ x²y xy² y³ x⁴ x³y x²y² xy³ y⁴

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 2D

Kryteria zbieżności - wymagania dla aproksymacji

zupełność – aproksymacja musi być w stanie reprezentować dowolne pole stałe i dowolny stały gradient pola

zgodność na granicach międzylementowych / styku elementów (dostosowanie) – aproksymacja musi być ciągła na granicach między elementami

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 2D

3 Wybór funkcji aproksymujących Element czterowęzłowy

T^e(x, y) = α^e₁+ α^e₂x + α^e₃y + α^e₄xy = Φα^e

Φ = [1 x y xy], α^e =







 α^e₁ α^e₂ α^e₃ α^e₄







 T^e(x, y) = N_i^e(x^e, y^e)T_i + N_j^e(x^e, y^e)T_j+

+ N_k^e(x^e, y^e)T_k + N_l^e(x^e, y^e)T_l = N^eΘ^e N^e = [N_i^e(x^e, y^e) N_j^e(x^e, y^e) N_k^e(x^e, y^e) N_l^e(x^e, y^e)]

Θ^e = {T_i T_j T_k T_l}

y T (x, y)

x T_j

T_k T_i

T_l j

i

k l

y^e x^e

j

i

k e l

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 2D

3 Wybór funkcji aproksymujących Element czterowęzłowy (prostokątny)

N^e = [N_i^e(x^e, y^e) N_j^e(x^e, y^e) N_k^e(x^e, y^e) N_l^e(x^e, y^e)]

e.g. for Ni(x^e, y^e) Ni(x^e_i, y_i^e) = 1 Ni(x^e_j, y_j^e) = 0 Ni(x^e_k, y^e_k) = 0 Ni(x^e_l, y_l^e) = 0

y^e Ni(x, y) = ^(x−xj_ab^)(y−yl)

x^e 1

i

j

k l b a

y^e Nl(x, y) = −^(x−xk_ab^)(y−yi)

x^e

i 1 j

k l

b a

y^e Nj(x, y) = −^(x−xi_ab^)(y−yk)

x^e 1 j i

k l b a

y^e Nk(x, y) = ^(x−xl_ab^)(y−yj)

x^e 1

i j

k l

b a

∇T^e = B^eΘ^e B^e =

" ∂N^e

∂x^e

∂N^e

∂y^e

#

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 2D

Trójkąt Pascala – element czterowęzłowy 1

x y

x² xy y²

x³ x²y xy² y³ x⁴ x³y x²y² xy³ y⁴

Trójkąt Pascala – element ośmiowęzłowy 1

x y

x² xy y² x³ x²y xy² y³ x⁴ x³y x²y² xy³ y⁴

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 3D

1 Zbudowanie sformułowania mocnego

∇^T(D∇T ) + f = 0 ∀x ∈ V + warunki brzegowe

qn= q^Tn =qb na Sq

T = bT na S_T

V

S_T S_q

2 Transformacja do sformułowania słabego

Z

V

(∇w)^TD∇T dV = − Z

S_q

wqdS −b Z

S_T

wq_ndS + Z

V

wf dV + podstawowy warunek brzegowy

T = bT na S_T

Metody obliczeniowe, 2020 P.Plucińskic

Dobór funkcji aproksymacyjnych – zagadnienie 3D

3 Wybór funkcji aproksymujących Element czworościenny

T^e(x, y, z) = α^e₁+ α^e₂x + α^e₃y + α^e₄z T^e(x, y, z) = N_i^e(x^e, y^e, z^e)Ti + N_j^e(x^e, y^e, z^e)Tj

+ N_k^e(x^e, y^e, z^e)T_k + N_l^e(x^e, y^e, z^e)T_l

= N^eΘ^e Element sześciościenny

T^e(x, y, z) = α^e₁+ α^e₂x + α^e₃y + α^e₄z+

+ α^e₅xy + α₆^eyz + α^e₇xz + α^e₈xyz

y z

xi

j

k l

y z

x i

j k

l m

n o

p