• Nie Znaleziono Wyników

Czy A ⊆ B? Czy B ⊆ A? Czy A = B? Czy mają elementy wspólne? Czy są rozłączne? Czy A ∈ B lub B ∈ A? a) A B b) A = {a, b, c}, B = {{a}, {b}, {c

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Czy A ⊆ B? Czy B ⊆ A? Czy A = B? Czy mają elementy wspólne? Czy są rozłączne? Czy A ∈ B lub B ∈ A? a) A B b) A = {a, b, c}, B = {{a}, {b}, {c"

Copied!
2
0
0

Pełen tekst

(1)

WdM - Lista 3 (29 X 2021)

Zad. 1 Wybierz dwa prawa rachunku zbiorów i udowodnij je formalnie (postaraj się wybrać inne prawa niż te udowodnione na wykładzie).

Zad. 2 Wskaż przykład niepustych zbiorów skończonych takich, że (B ∪ C) ∩ A 6= (A ∪ C) ∩ B.

Zad. 3 Podaj przykład nieskończonego zbioru A takiego, że ∅ ∈ A (lub wykaż, że taki nie istnieje).

Zad. 4 Podaj przykład takiego zbioru A, że istnieje x ∈ A taki, że x ∈ P(A).

Zad. 5 Wypisz elementy zbiorów A i B. Czy A ⊆ B? Czy B ⊆ A? Czy A = B? Czy mają elementy wspólne? Czy są rozłączne? Czy A ∈ B lub B ∈ A?

a) A = {1,√ 4,√

4 − 1,√ 9,√

9 − 1}, B = {1, 2, 3}, b) A = {a, b, c}, B = {{a}, {b}, {c}},

c) A = {a, {a}, {a, {a}}}, B = {a, {a}, {a, {a}}, {a, {a}, {a, {a}}}}, d) A = {0, 1, 2}, B = {x ∈ N : x2 ≤ 20},

e) A = ∅, B = {x ∈ N : x2+ x = 13}, Zakładamy, że a, b i c nie są zbiorami.

Zad. 6 Podaj warunki konieczne i warunki dostateczne zachodzenia poniższych równości:

a) {b, c} = {b, c, d}, b) {a, {a, b}} = {c, {c, d}},

c) {{a, b}, d} = {{a}}, d) {{a, ∅}, b} = {{∅}}.

W punktach a)–c) zakładamy, że a, b, c i d nie są zbiorami.

Zad. 7 Zbiory A, B, C są podzbiorami X. Zaznacz na diagramie Venna zbiory spełniające następujące funkcje zdaniowe. Zdefiniuj te zbiory przy użyciu ∪, ∩, itd.

a) x /∈ A ∧ x /∈ B ∧ x /∈ C, b) x ∈ A =⇒ x ∈ B,

c) (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ C.

Zad. 8 Zaznacz w sposób losowy kontur zbioru U na diagramie Venna zbiorów A, B, C ⊆ X.

Następnie zapisz za pomocą operacji ∪, ∩ i \ zbiór U . Napisz funkcję zdaniową ϕ taką, że ϕ(x) ⇐⇒ x ∈ U przy pomocy funkcji x ∈ A, x ∈ B, x ∈ C, x ∈ X.

Zad. 9 Udowodnij lub obal poniższe stwierdzenia:

a) A ∪ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B), b) A ∩ B = A \ (A \ B),

c) (C ∪ B) ∩ A = (A ∩ B) ∪ (C \ B).

(2)

Spróbuj przeprowadzać dowody na różne sposoby. Napisz tautologie odpowiadające tym pra- wom rachunku zbiorów.

Zad. 10 Dane są pewne zbiory A, B, C w przestrzeni X. Wiemy, że A ∩ B = A \ C. Czy stąd wynika, że

a) A \ (B ∪ C) = ∅ ? b) A ∩ B ∩ C = ∅ ?

c) A ∩ C = ∅ ? Odpowiedzi uzasadnij!

Zad. 11 Udowodnij

a) P(X) ∩ P(Y ) = P(X ∩ Y ), b) P(X) ∪ P(Y ) ⊆ P(X ∪ Y ).

Wykaż, że punkcie b) nie zachodzi inkluzja odwrotna.

Zad. 12 Różnicę symetryczną definiujemy jako A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A).

a) Pokaż, że różnica symetryczna jest łączna, tzn. A 4 (B 4 C) = (A 4 B) 4 C. Wskazówka:

zauważ, że x ∈ A4B jest równoważne ¬(x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B).

b) Niech A = {1, 3, 5}, B = {2, 4}, C = {1, 5}. Znajdź zbiór X, dla którego zachodzi równość

(A 4 X) 4 B = C.

Cytaty

Powiązane dokumenty

A group of 30 children are surveyed to find out which of the three sports cricket (C), basketball (B) or volleyball (V) they play.. The results are

(ii) Write down the inverse

Udowodnić, że przecięcie dwóch relacji zwrotnych jest

Jeżeli promień koła zwiększymy o p%, to pole koła zwiększy się o q%.. Czy w dowolnym trójkącie podane trzy proste przecinają się w jednym punkcie leżącym wewnątrz

[r]

[r]

[r]

ZI oznacza, »e ka»d¡ liczb¦ naturaln¡ mo»na osi¡gn¡¢ wychodz¡c od 1 i poruszaj¡c si¦ odpowiednio dªugo w prawo z krokiem równym 1... Wykaza¢, »e mozna tak pokolorowa¢