• Nie Znaleziono Wyników

DRGANIA POPRZECZNE BELEK O SKOKOWO ZMIENNYM PRZEKROJU SPOCZYWAJĄCYCH NA PODŁOŻU WINKLERA

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "DRGANIA POPRZECZNE BELEK O SKOKOWO ZMIENNYM PRZEKROJU SPOCZYWAJĄCYCH NA PODŁOŻU WINKLERA"

Copied!
8
0
0

Pełen tekst

(1)

DRGANIA POPRZECZNE BELEK

O SKOKOWO ZMIENNYM PRZEKROJU SPOCZYWAJĄCYCH

NA PODŁOŻU WINKLERA

Krzysztof Kuliński

1a

, Jacek Przybylski

1b

1Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska

akrzysztku@gmail.com, bjacek.pr@imipkm.pcz.pl

Streszczenie

W niniejszej pracy dyskutuje się zagadnienie wpływu zmian parametrów strukturalnych belki z zamocowa- nymi końcami i usytuowanej na podłożu Winklera na częstość jej poprzecznych drgań własnych. Zaburzenie jednorodności struktury belki wynika z naklejenia na jej górnej i dolnej powierzchni dwóch warstw materiału piezoceramicznego. Do badań przyjęto pięć różnych sposobów podparcia końców belek, które uniemożliwiają ich przemieszczenie wzdłużne. Badania numeryczne podzielono na dwie części: pierwsza dotyczy wpływu zmia- ny geometrii układu na częstość jego poprzecznych drgań własnych. W drugiej części zademonstrowano zakres możliwej modyfikacji częstości pod wpływem pola elektrycznego przyłożonego do piezosegmentu w celu wyge- nerowania rozciągającej i ściskającej siły rezydualnej.

Słowa kluczowe: drgania, belka o skokowo zmiennym przekroju, piezoelektryczność, podłoże Winklera

LATERAL VIBRATION OF A BEAM WITH VARYING CROSS SECTION RESTING ON WINKLER FOUNDATION

Summary

In this paper the influence of structural parameters of the beam with two ends fixed resting on Winkler foundation on its natural vibration frequencies has been discussed. Structural inhomogeneity is the result of two surface-bonded piezoceramics, the first one for the top and the second one for the bottom surface, respec- tively. There have been adopted five different supports of beam ends which prevent their longitudinal dis- placements. Numerical analysis has been divided onto two parts. The first part concerns the influence of the system's geometry on its natural frequency, whereas in the second part a modification of the frequency result- ing from the electric field applied to the piezosegment which generates a compressing or stretching residual ax- ial force has been investigated.

Keywords: vibrations, stepped beam, piezoelectricity, Winkler foundation

1. WSTĘP

Zagadnienie nieliniowych drgań poprzecznych belek było przedmiotem zainteresowań wielu badaczy, którzy do formułowania problemu stosowali zarówno klasycz- ną analizę matematyczną układów ciągłych, jak rów- nież metody analizy układów dyskretnych. Większość prac badawczych dotyczy belek o jednorodnej struktu- rze geometrycznej, usytuowanych na jednorodnym podłożu sprężystym, gdzie belka poddawana jest

ściskaniu lub rozciąganiu. Najczęściej wykorzystywa- nym podłożem sprężystym w badaniach stateczności oraz częstości drgań elementów jest podłoże Winklera.

W modelu podłoża Winklera przyjmuje się, że reakcja ma kierunek normalny do odkształconej osi belki, a wartość reakcji jest wprost proporcjonalna do od- kształcenia. Zastosowanie różnych typów modeli podłoża sprężystego zostało przedstawione w pracy

(2)

Kerra [1], gdzie do analizy przyjęte zostały modele Winklera, Pasternaka, Vlaslova, Filonenki-Borodicha i in. Badania dynamiki nieliniowej belki na liniowym podłożu sprężystym zostały przeprowadzone przez Akoura [2], który rozpatrywał belkę swobodnie pod- partą pod harmonicznym obciążeniem rozłożonym, na jednoparametrowym podłożu sprężystym z uwzględ- nieniem tłumienia. Przebadano wpływ współczynnika tłumienia, nieliniowości belki oraz zagadnienie często- ści drgań na stateczność belki. Zagadnienia drgań nieliniowych dla belek Eulera-Bernoullego zostały przedstawione w pracy [3]. Do określenia częstości drgań posłużono się dwoma metodami: wariacyjną metodą iteracji (VIM) oraz metodą sparametryzowanej perturbacji (PPM). Obie prezentowane metody pozwa- lają na otrzymanie wyników bez konieczności wprowa- dzania małego parametru amplitudy do równania głównego opisującego drgania poprzeczne zadanej belki. Metoda perturbacyjna zastosowana została również w pracy Coskuna i Engina [4]. W pracy przed- stawiono problem belki obciążonej siłą skupioną o kierunku prostopadłym do osi wzdłużnej belki usy- tuowanej na nierozciągliwym, jednoparametrowym podłożu sprężystym. Poza analizą drgań poprzecznych autorzy zaprezentowali sposoby analizy obszarów, w których belka pod wpływem działania siły odrywa się od zastosowanego podłoża nierozciągliwego. Analiza drgań poprzecznych przeprowadzona została również w pracach Taha [5-6], gdzie zaprezentowano analityczne sposoby otrzymania rozwiązań drgań belki o końcach podpartych na sprężynach (rotacyjnych i translacyjnych) usytuowanej na dwuparametrowym podłożu sprężystym. W pracy tej przedstawiony został jednoznaczny wniosek, że częstość drgań własnych układu rośnie wraz ze wzrostem sztywności podłoża oraz wzrostem sztywności sprężyn podporowych.

Zastosowanie materiałów piezoceramicznych oraz ich wpływ na częstość drgań belki przeanalizowana została w pracy [7]. Autor rozpatrywał trójsegmento- wą belkę, obustronnie swobodnie podpartą, poddaną ściskaniu osiowemu stosując do otrzymania rozwiąza- nia metodę von Karmana. Ponadto w pracy przedsta- wione zostały krzywe uwzględniające wpływ siły piezoelektrycznej na amplitudę oraz częstość drgań belki przy zastosowanych różnych długościach piezo- segmentu. Szerszy przegląd literatury oraz szerszy zakres badań belek ze zintegrowanymi płytkami piezo- ceramicznymi bez uwzględnienia podłoża sprężystego znajduje się w monografii [8].

W niniejszej pracy przedstawiono wpływ zmian para- metrów geometrycznych belki o skokowo zmiennym przekroju, spoczywającej na podłożu Winklera na jej częstość drgań własnych dla pięciu różnych schematów podparcia, eliminujących przemieszczenia wzdłużne.

Zmiana przekroju poprzecznego belki wynika z nakle- jenia na górnej i dolnej powierzchni belki rodzimej materiału piezoceramicznego w określonej lokalizacji.

Przyjęto, że połączenie jest idealne na całej swej długości, a grubość warstwy łączeniowej jest pomijal- nie mała. Dodatkowo w odniesieniu do podparcia obustronnie przegubowego rozpatrzono wpływ wygene- rowanej siły rezydualnej pod wpływem przyłożonego napięcia do elementów piezoelektrycznych na częstość drgań w zależności od długości piezosegmentu i warto- ści współczynnika sprężystości podłoża.

2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU

Do rozważań przyjęto pięć różnych sposobów pod- parcia końców belek, tj.:

o obustronnie przegubowe (P-P), które przedsta- wiono na rys. 1,

o wspornikowo-przegubowe (C-P), o obustronnie wspornikowe (C-C)

o zamocowanie wspornikowe jednego końca i wspornikowe z możliwością przesuwu w kierun- ku poprzecznym do osi wzdłużnej belki na drugim końcu (C-CS)

o zamocowanie przegubowe jednego końca i wspor- nikowe z możliwością przesuwu w kierunku po- przecznym do osi wzdłużnej belki na drugim koń- cu (P-CS)

Rys. 1. Schemat belki obustronnie podpartej przegubowo z naklejonym materiałem piezoelektrycznym w części środko-

wej belki

We wszystkich rodzajach podparcia przyjęto trzy różne lokalizacje piezosegmentu, co zaprezentowano na rys. 2.

W celu sformułowania zadania określono następu- jące założenia:

(3)

a) b) c)

Rys. 2. Przyjęte lokalizacje piezosegmentu: a) przy lewej podporze, b) w środku symetrii belki,

c) przy prawej podporze

- belka rodzima jest początkowo prostoliniowa oraz wykonana jest z jednorodnego, izotropowego, liniowo- sprężystego materiału,

- w każdym ze schematów przyjęto trzy różne bezwy- miarowe współczynniki sprężystości podłoża tj.

0 ; 50 ; 100,

- przekrój poprzeczny belki jest prostokątny, przy czym szerokość jest większa od całkowitej wysokości

przekroju 2 w relacji ⁄ 2 2

(por. rys. 3),

Rys. 3. Przekrój poprzeczny piezosegmentu, gdzie hb – wyso- kość belki rodzimej, hp – wysokość piezoceramika.

- nakładki piezoceramiczne wykonano z jednorodnego, poprzecznie izotropowego i sprężystego materiału - połączenie płytek piezoceramicznych z belką jest idealne na całej swej długości,

- grubość warstwy kleju łączeniowego jest pomijalnie mała,

- w każdym analizowanym schemacie przyjęto dokład- nie te same relacje wymiarowe,

- przyłożone napięcie elektryczne jest jednakowe dla górnej i dolnej nakładki piezoelektrycznej.

Równanie konstytutywne opisujące materiał piezoelek- tryczny w zagadnieniu jednowymiarowym ma następu- jącą postać:

/ (1)

gdzie: oznacza moduł Younga materiału piezoelek- trycznego, jest odkształceniem belki, jest stałą zadanego piezoelektryka, jest wartością przyłożonego napięcia do płytek, jest grubością warstwy poje- dynczej płytki piezoceramicznej. Wyprowadzenia równania na siłę rezydualną dla n-segmentowej belki z unieruchomionymi w kierunku wzdłużnym końcami znajdują się pracy [7], zgodnie z którą równanie na siłę rezydualną dla belki przedstawionej na rys. 1 wygląda następująco:

1 !!"# 1$%& (2)

gdzie: #2 jest siłą piezoelektryczną induko- waną przez pojedynczą parę piezoceramików, które wykonane zostały z materiału o stałej , jest szerokością przekroju belki i pasm, natomiast jest współczynnikiem określającym relację sztywności na ściskanie piezosegmentu do sztywności belki rodzimej.

Ogólne równanie drgań poprzecznych w postaci bezwymiarowej układu przedstawionego na rys. 1 z uwzględnieniem aktywacji układu polem elektrycz- nym jest następujące:

()* +*, -

.+*( /*01.1)* +*, -

.+*1 2*31.1)* +*, - .-1

)* +*, - 0 dla 4 1,2,3 (3) gdzie:

w7 +*, - 89!:9,;, +* :9

!, - Ω=, 01 @>?A!B"A, 31 Ω1C( D@AAEBAA, /* 1 FG &H"I"9J , 2* KHJ L& K"

KH JM %H"NI"9J O,

P!Q

@ABA, R EABA!", FG @SBS

@ABA, T @@SA, T1 DS

DA, U √#1, 1 T EESA (4) Poszczególne wyrazy przedstawione w (4) oznacza- ją:

)* - przemieszczenia poprzeczne, Ω – częstość drgań własnych, W – sztywność na zginanie belki rodzimej, 01 - bezwymiarowa siła rezydualna, - bezwymiarowy współczynnik sprężystości podłoża, W - sztywność na zginanie materiału piezoelektrycznego, X – współ- czynnik sprężystości podłoża Winklera, Y - pole przekroju poprzecznego belki, Y - pole przekroju pary nakładek piezoceramicznych, Z , Z – gęstość materiału odpowiednio belki i piezoceramika.

Warunki brzegowe dla wszystkich podpór z koń- cami unieruchomionymi w kierunku prostopadłym do nieodkształconej osi belki są następujące

) 0, - ) [ , - 0 (5)

przy czym w zależności od zastosowanych podpór w układzie z rys. 1, pozostałe warunki brzegowe przyjmują postać:

o belka obustronnie przegubowa (P-P)

)BB 0, - )BB [ , - 0 (6) o belka wspornikowo-przegubowa (C-P)

)B 0, - )BB [ , - 0 (7) o belka obustronnie wspornikowa (C-C)

)B 0, - )B [ , - 0 (8)

(4)

W przypadku podparć, w których występują prze- mieszczenia w kierunku prostopadłym do nieodkształ- conej osi belki przyjęto następujące warunki brzegowe

o belka o zamocowaniu wspornikowym na jednym końcu i wspornikowym z możliwością przesuwu na końcu drugim (C-CS)

) 0, - )B [ , - 0 (9)

)B 0, - )BBB [ , - 0 (10) o belka o zamocowaniu przegubowym na jednym końcu i wspornikowym z możliwością przesuwu na końcu drugim (P-CS)

) 0, - )B [ , - 0 (11) )BB 0, - )BBB [ , - 0 (12) Warunki ciągłości i zgodności przemieszczeń w prze- krojach pomiędzy segmentami dla każdego ze schema- tów są następujące:

w7 [*, - |]9^_9 )*J +*J , - |]9`H^a

w7B [*, - b]9^_9 )*JB +*J , - b]9`H^a 1 FG

H

"NI"9J O)*cd +*, - e]

9^_9

1 FG H

"NI" 9`HJ O)*Jcd +*J , - e]

9`H^a (13) gdzie: 4 1,2, natomiast indeks fg oznacza rząd pochodnej wyrażonej w rzymskim zapisie liczbowym i przyjmuje wartości odpowiednio WW lub WWW.

3. ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA

Dokonując rozdzielenia zmiennych przestrzeni i czasu zgodnie z równaniem:

)* +*, - )* +* cos - (14) które wprowadza się do równania drgań poprzecznych (3), otrzymano:

k()* +*

k+*( /*01k1)* +*

k+*1 # 2*31)* +*

)* +* 0 dla 4 1,2,3 (15) Przyjmuje się następującą postać rozwiązania równa- nia (15):

)* +* Y*cosh m +* n*sinh m +*

q*cosh m1+* r*sinh m1+* dla 4 1,2,3 (16) gdzie współczynniki

γ

1 i

γ

2 są równe:

- w przypadku ściskającej siły rezydualnej 01> 0:

m t&u9v?"&wu9v?1Q&(xJ(y9z"

m1 t&u9v?"Jwu9v?1Q&(xJ(y9z" (17) - w przypadku rozciągającej siły rezydualnej 01< 0:

m tu9v?"&wu9v?Q1&(xJ(y9z"

m1 tu9v?"Jwu9v?Q1&(xJ(y9z" (18)

Podstawiając funkcję (16) do warunków brzegowych (5) – (12), w których również dokonuje się rozdzielenia zmiennych przestrzeni i czasu zgodnie z równaniem (14), otrzymuje się układ dwunastu jednorodnych równań liniowych, gdzie niewiadomymi są stałe Y*, n*, q* oraz r*. Przyrównując wyznacznik macierzy zawierającej wyrazy stojące przy nieznanych współ- czynnikach do zera, otrzymuje się rozwiązanie opisują- ce drgania poprzeczne odpowiadające określonej posta- ci drgań własnych.

4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

4.1 WPŁYW GEOMETRII UKŁADU NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ

Na rys. 4–8 przedstawiono bezwymiarową częstość drgań w funkcji długości piezosegmentu przy różnych schematach podparcia, różnych lokalizacjach nakładek piezoceramicznych oraz trzech różnych współczynni- kach sztywności podłoża dla odpowiednio: belki wspornikowej C-C (rys. 4), belki wspornikowo- przegubowej C-P (rys. 5), belki obustronnie przegubo- wej P-P (rys. 6), belki o zamocowaniu wspornikowym jednego końca i wspornikowym z możliwością przesu- wu w kierunku poprzecznym do osi wzdłużnej belki na końcu drugim C-CS (rys. 7), belki o zamocowaniu przegubowym jednego końca i wspornikowym z możli- wością przesuwu w kierunku poprzecznym do osi wzdłużnej belki na drugim końcu P-CS (rys. 8) . Na wszystkich rysunkach linią ciągłą oznaczono centralne położenie piezosegmentu, linią przerywaną (kreskową) piezosegment znajdujący się przy lewej podporze, natomiast linią przerywaną (kropkowo-kreskową) oznaczono położenie piezosegmentu przy prawej pod- porze. W układach, w których belka jest podparta na różnych podporach, położenie piezosegmentu rozpatru- je się zarówno przy jednej jak i drugiej podporze.

W przypadku, gdy długość warstwy piezoceramicznej [1 równa jest zero (belka pryzmatyczna) otrzymane wyniki można porównać z tymi jakie zawarto w pracy [9].

(5)

Rys. 4. Częstość drgań własnych w funkcji długości piezosegmentu belki obustronnie zamocowanej wspornikowo (C-C)

Rys. 5. Częstość drgań własnych w funkcji długości piezosegmentu belki o zamocowaniu wspornikowo-przegubowym (C-P)

Rys. 6. Częstość drgań własnych w funkcji długości piezosegmentu belki obustronnie zamocowanej przegubowo (P-P)

(6)

Rys. 7. Częstość drgań własnych w funkcji długości piezosegmentu belki o jednym końcu zamocowanym wspornikowo i wspornikowym z możliwością przesuwu w kierunku poprzecznym do osi wzdłużnej belki na końcu drugim. (C-CS)

Rys. 8. Częstość drgań własnych w funkcji długości piezosegmentu belki o jednym końcu zamocowanym przegubowo i wspornikowym z możliwością przesuwu w kierunku poprzecznym do osi wzdłużnej belki na końcu drugim. (P-CS) Porównując ze sobą układy z rys. 4-8, gdzie dłu-

gość piezosegmentu rozpatruje się na całej długości belki ([1 1.00) przy dowolnym współczynniku sprę- żystości podłoża Winklera, można jednoznacznie stwierdzić, że najwyższą wartość bezwymiarowej częstości drgań uzyskuje się kolejno dla zamocowania:

obustronnie wspornikowego (26.24-27.22), następnie wspornikowo-przegubowego (18.08-19.47), obustronnie przegubowego (11.58-13.65), wspornikowego na jed- nym końcu i wspornikowego z przesuwem poprzecz- nym do osi wzdłużnej belki (6.56-9.76), przegubowego na jednym końcu i wspornikowego z przesuwem po- przecznym do osi wzdłużnej belki (2.89-7.79). Współ- czynnik sprężystości podłoża ma tym większy wpływ na zwiększenie bezwymiarowej częstości drgań danego układu im podparcie zewnętrzne ma mniejszą sztyw- ność. Zależność tę widać, porównując ze sobą wykresy z rys. 4 i rys. 8 dla [1 1.00 – różnica pomiędzy 0 i 50 dla zamocowania obustronnie wspornikowego (rys. 4) wynosi 0.49, natomiast dla zamocowania z rys.

8 różnica ta wynosi 2.98.

4.2 WPŁYW SIŁY REZYDUALNEJ NA CZĘSTOŚĆ DRGAŃ

W celu zbadania wpływu siły rezydualnej na czę- stość drgań, wartość bezwymiarowego parametru siły piezoelektrycznej 01 przyjęto jako równy bezwymiaro- wej krytycznej sile wyboczeniowej belki }~ :

01 }~ €?!"

@ABA1 (19) Aby odnieść prezentowany model teoretyczny do praktyki dokonano weryfikacji wartości przykładanego napięcia koniecznego do wygenerowania siły piezoe- lektrycznej, założono że długość całkowita belki wynosi 600 [mm]. Charakterystyki materiałowe belki rodzimej oraz nakładek piezoceramicznych przyjęto zgodnie z tabelą 1. Płytki piezoceramiczne przyjęto na podstawie katalogu produktów firmy Annon Piezo Technology LIMITED CO.

(7)

Tabela 1. Charakterystyki materiałowe Własność Belka Nakładki

Rodzaj

materiału Aluminium Piezoceramik P-41

‚ ƒ„… † 70.00 83.33

k ‚ q/‰ † - 100 & 1

‚ ŠŠ † 3.00 0.50

‚ ŠŠ † 20.0 20.0

Z X‹ ŠŒ % 2720 7450

ŽG•: • ŠŠŒ ‘ - 2000

Przekształcając równanie (19), otrzymuje się, że wyboczeniowa siła krytyczna dla takiej belki wynosi 86.36 [N], zatem pojedyncza płytka piezoceramiczna

powinna indukować siłę 43.18 [N]. Zgodnie z powyż- szym wartość przyłożonego pola elektrycznego powin- na wynosić:

€?

1S“H@S 259.08 ‚ † (20) Zgodnie z zaleceniami producenta wartość napięcia musi być mniejsza od:

G•: ŽG•:∗ 1000 ‚ † (21) Na podstawie powyższych rozważań, wartość bezwy- miarowego parametru siły piezoelektrycznej może być indukowana w przedstawionym układzie bez narażenia na zjawisko depolaryzacji.

Rys. 9. Zakres modyfikacji częstości drgań własnych w funkcji długości piezosegmentu przy współczynniku sprężystości podłoża 0. Belka obustronnie podparta przegubowo

Rys. 10. Zakres modyfikacji częstości drgań własnych w funkcji długości piezosegmentu przy współczynniku sprężystości podłoża 50. Belka obustronnie podparta przegubowo

Rys. 11. Zakres modyfikacji częstości drgań własnych w funkcji długości piezosegmentu przy współczynniku sprężystości podłoża 100. Belka obustronnie podparta przegubowo

(8)

Na rys. 9-11 zaprezentowano bezwymiarową czę- stość drgań belki obustronnie podpartej przegubowo, o trzech różnych współczynnikach sztywności podłoża i centralnym położeniu piezosegementu w funkcji długości nakładek piezoceramicznych. Linią ciągłą oznaczono stan, w którym siła rezydualna wynosi zero, linia kreskowa przedstawia ściskanie układu założoną siłą piezoelektryczną, natomiast linia kropkowo- kreskowa przedstawia rozciąganie. Należy przy tym zwrócić uwagę w odniesieniu do równania (2), że siłą osiową generowaną w układzie jest siła rezydualna, której wartość zależy nie tylko od wartości siły piezoe- lektrycznej, ale także od relacji długości piezosegmentu do długości belki oraz ilorazu sztywności na ściskanie piezosegmentu do sztywności belki.

Indukowanie rozciągającej lub ściskającej siły pie- zoelektrycznej w układzie, w którym oba końce belki mają podpory uniemożliwiające przemieszczenia wzdłużne, powoduje, że możliwa staje się modyfikacja wartości parametru częstości drgań poprzecznych.

Zakres modyfikacji zależny jest od grubości, szerokości oraz rodzaju piezoceramika – determinującego maksy- malną wartość pola elektrycznego przy którym nie dochodzi do zjawiska depolaryzacji. Rozpatrując belkę obustronnie podpartą przegubowo przedstawioną na wykresach z rys. 9-11, dla której bezwymiarowa siła piezoelektryczna wynosi 011, można stwierdzić,

że wraz ze wzrostem długości piezosegmentu możliwość modyfikacji częstości drgań poprzecznych rośnie, jednakże wraz ze wzrostem sztywności podłoża Win- klera zakres procentowej modyfikacji maleje. Porównu- jąc ze sobą belkę, dla której współczynnik 0 (rys.

9) do belki o współczynniku 100 (rys. 11), stwier- dzono że przy długości piezosegmentu [1 1.00 moż- liwości modyfikacji maleją o 4.63% przy sile ściskającej natomiast przy sile rozciągającej wartość ta maleje o 6.50%.

5. Podsumowanie i wnioski

W ramach przeprowadzonych badań numerycznych otrzymano, że częstość drgań własnych układu jest tym większa, im większa jest sztywność układu oraz im większa jest sztywność zastosowanego podłoża Winklera. Zgodnie z tym, co przedstawiono na wykre- sach z rys. 4-8, największy wpływ na częstość drgań poprzecznych ma zastosowane podparcie zewnętrzne – podpory. Ponadto znaczący wpływ na częstość drgań ma generowana siła piezoelektryczna, jak również sama lokalizacja piezosegmentu względem podpór.

Wpływ siły rezydualnej na możliwość modyfikacji częstości drgań poprzecznych przy pozostałych sposo- bach podparcia będzie tematyką dalszych badań autorów.

Literatura

1. Kerr A. D.: Elastic and viscoelastic foundation models. “Journal of Applied Mechanics” 1964, Vol. 31, p. 491- 498.

2. Akour S.: Dynamics of nonlinear beam on elastic foundation. In: Proceedings of the World Congress on Engi- neering”. London 2010, Vol. 2, p. 1427-1433.

3. Barari A., Kaliji H. D., Ghadimi M., Domairry G.: Non-linear vibration of Euler-Bernoulli beams. “Latin Ameri- can Journal of Solids and Structures” 2011, Vol. 8, p. 139-148.

4. CoskunI., Engin H.: Non-linear vibrations of a beam on an elastic foundation. “Journal of Sound and Vibration”

1999, 3, Vol. 223, p 335-354.

5. Taha M. H.: Nonlinear Vibration Model for initially stressed beam-foundation system. “The Open Applied Mathematics Journal” 2012, Vol. 6, p. 23-31.

6. Taha M. H.: Nonlinear vibration of initially stressed beams with elastic end restraints on two parameter founda- tion. “Engineering Mechanics ” 2012, Vol. 19, No. 6, p 407-418.

7. Przybylski J.: Non-linear vibrations of a beam with a pair of piezoceramic actuators. “Engineering Structures”, 2009, Vol. 31, p. 2687-2695.

8. Przybylski J.: Zagadnienia statyki I dynamiki smukłych układów mechanicznych ze zintegrowanymi elementami piezoceramicznymi. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstoch., 2012.

9. Eryilmaz A., Atay T., Coskun S., Basbük M..: Buckling of Euler columns with a continuous elastic restraint via homotopy analysis method. „Journal of Applied Mathematics” 2013, Vol. 2013, p. 1-8.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Kuter, którego prędkość jest równa v=90 km/h przebywa odległość od rufy. poruszającego się statku do dziobu i z powrotem w czasie t=

Przedział (−∞, 2⟩ jest zbiorem wartości

Celem niniejszej pracy jest wykazanie, iż rozwiązania otrzymane inżynier- ską metodą zamiany obliczeń słupa o ciągłej zmianie przekroju poprzecznego na obliczenia słupa o

Stosując metodę funkcji Greena, otrzymano rozwiązanie dokładne zagadnienia drgań własnych płyt pierścieniowych o skokowo zmieniającej się grubości.. Przedstawione

Ciecz wpływa z lewej strony do rury, która zmienia następnie swój przekrój, a wypły- wa z prawej przez rurę o niewielkim przekroju... Układ rów- nań (1-2) rozwiążemy

Rozwiązanie nieliniowych różniczkowych równań ruchu o zmiennych współ- czynnikach opisujących dynamikę układu rozwiązano stosując metodę równań

Posłużono się tylko darmowymi programami kompute- rowymi (LTBeam [4], PropSection [5]) oraz arkuszem kalkulacyjnym. Wpływ skręcania wg teorii Własowa uwzględniono za

Wzory na pierwszą częstość drgań własnych słupów wspornikowych w kształcie ściętego stożka wyprowadzone metodą Rayleigh’a przy założeniu, że oś słupa