x f ( x )= x + 4 x f ( x )= 5sin x

(1)

Poniżej zamieszczam kilka przykładów obliczania pochodnych funkcji z wykorzystaniem wzorów podanych na ostatnim wykładzie. Proszę się z nimi zapoznać i według tych wzorów oraz własnych spostrzeżeń i przemyśleń proszę obliczyć pochodne funkcji zawartych w tematach zamieszczonych niżej.

Przykłady obliczania pochodnych znajdziecie Państwo także w podręczniku Wybrane zagadnienia matematyki w zadaniach [Badach i in.]. Są to przykłady 42-46, str 55- 56.

Przykłady:

Oblicz pochodną funkcji:

1.

f (x )=5 sin x f ' ( x)= ( 5sin x ) '=5 ( sin x ) '=5cos x

2.

f (x )=7 tgx+2

^x ^{f ' ( x )=}

(

7 tgx+2^x

)

'=(7 tgx)'+

(

2^x

)

'= 7

cos²x+2^xln 2

3.

f (x )=e

^xcos x

f ' (x )=

(

e^x

)

'cos x+e^x(cos x ) '=e^xcos x−e^xsin x

4.

f (x )=

√

^{x +4 x}⁷

3

√

^x

f ' (x )=

( √

^{x +4 x}⁷

⁾

^'⋅³

√

^x−

⁽ √

^{x +4 x}⁷

⁾ (

³

_√

x

)

'

(

³

_√

x

)

² ⁼

(

2¹

√

^x^{+28 x}

6

)

³

^√

^x−

⁽ ^√

^{x +4 x}⁷

⁾ (

¹³ ^x⁻²³

)

(

³

_√

x

)

²

W przypadku iloczynu funkcji ich pochodna nie zachowuje się w tak

„naturalny” sposób jak przy sumie i mnożeniu przez stałą. Proszę spojrzeć na reguły różniczkowani podane na wykładzie.

W przypadku iloczynu funkcji ich pochodna nie zachowuje się w tak

„naturalny” sposób jak przy sumie i mnożeniu przez stałą. Proszę spojrzeć na reguły różniczkowani podane na wykładzie.

(2)

A poniżej już nieco bardziej skomplikowane (ale jeszcze nie najbardziej) wzory funkcji do zróżniczkowania

5.

f (x )=x⁵log₂x

√

3 ^x⁵

f ' ( x )=

(

^x⁵^log2x

)

^'³

√

^x⁵^−x⁵^log2x

( √

³ ^x⁵

⁾

^'

(

³

√

^x⁵

⁾

²

=

(

^{5 x}⁴^log²^{x +x}⁵ x ln 2¹

) ^√

³ ^x⁵^−x⁵

⁽

^log²^x

⁾

^⋅⁵3x

2 3

( √

³^x⁵

⁾

²

A teraz przykłady zastosowania wzoru na pochodną funkcji złożonej (ostatni wzór z zestawu reguł różniczkowania)

6. f (x )=sin

(

x⁴

)

Zaczynamy różniczkowanie od pochodnej zewnętrznej, ale ma ona taki sam argument jak wyjściowa funkcja zewnętrzna, w naszym przypadku jest to x⁴

f ' (x )=cos

(

x⁴

)

⋅4 x³ Kolejne przykłady:

7.

f (x )= √ ^x

³

⁺³

^x ^{f ' ( x )=}

1

2

√

^x³⁺³^x

⁽

^{3 x}

2+3^xln 3

)

8.

f (x )=e

^xctgx f ' ( x )=e^xctgx

(

^{1⋅ctgx+x⋅}sin⁻¹²x

)

I na podsumowanie:

9.

f (x )=4^xsin

( √

^x

⁾

tg

(

5^xx²

)

f ' (x )=

(

4^xsin(

√

^x⁾

)

' tg(5^xx²)−4^xsin(

√

^x⁾

(

tg(5^xx²)

)

'

(

tg(5^xx²)

)

² ⁼

=

(

⁴^x^{ln 4 sin}⁽

^√

^x⁾⁺⁴^x^cos⁽

^√

^x⁾2¹

√

^x

)

^tg

⁽

⁵^x^x²

⁾

⁻⁴^x^sin⁽

^√

^x⁾_cos²

₍

¹₅^x_x²

₎ ⁽

⁵^x⁽^{ln 5}⁾^x²⁺⁵^x^⋅^{2 x}

⁾

(

tg

(

5^xx²

) )

²

funk cja zewn ętrz na

wewn ętrzn a

Zaczynamy odrozpisania wzoru na pochodnąułamka

Licznik jest w postaci iloczynu i do tego jeden z czynników jest funkcja złożoną

Mianownik jest funkcja złożoną, funkcja wewnętrzna w tym złożeniu jest w postaci iloczynu

(3)

W ramach ćwiczeń proszę obliczyć pochodne funkcji zawartych na dołączonych niżej zdjęciach.

Na wyniki czekam do środy do godz. 13.00.

Źródło: W. Krysicki L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach PWN Warszawa 2006

(4)

Źródło: W. Krysicki L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach PWN Warszawa 2006

opracowanie dr E. Badach

x f ( x )= x + 4 x f ( x )= 5sin x

f (x )=5 sin x f ' ( x)= ( 5sin x ) '=5 ( sin x ) '=5cos x

f (x )=7 tgx+2

(

)

(

)

f (x )=e

(

)

√

√

( √

)

√

( √

) (

√

)

(

√

)

(

√

)

√

( √

) (

)

(

√

)

√

(

)

√

( √

)

(

√

)

(

) √

(

)

( √

)

(

)

(

)

f (x )= √ x

+3

√

(

)

f (x )=e

(

)

( √

)

(

)

(

√

)

√

(

)

(

)

(

√

√

√

)

(

)

√

(

⁾

⁽ √

⁾ (

_√

_√

^√

⁽ ^√

⁾ (

_√

⁾

⁾

) ^√

⁽

⁾

⁾

f (x )= √ ^x

⁺³

⁽

⁾

^√

^√

⁽

⁾

^√

₍

₎ ⁽

⁾