dlugosc fali (m)

rozpraszanie bez zmiany

λ ze wzrostem λ 5

4 3 2 1 I

0,07 0,08 λ

(nm)

tł o

2

θ p^→₁

p^→₂

p^→_e

a b

7,0

6,5 7,5

90⁰ 45⁰

135⁰

ze wzrostem λ bez zmiany λ

↑

λ(pm)

W 1916r. Einstein rozszerzył swoją koncepcję kwantów światła, przypisując im pęd.

Fotonowi o energii ħω odpowiada pęd p = (ħω)/c = h/λ

Efekt Comptona (1923r.) - rozpraszanie promieni X (10keV- kilka MeV) na elektronach – pokazuje, że zarówno energia, jak i pęd przekazywane są przez fotony.

) cos 1

( 1 ¹ ₂

1 2

θ

− +

=

c m

E E E

e

Dualizm korpuskularno falowy

Doświadczenie Younga jeszcze raz:

dyfrakcja i interferencja światła na dwóch szczelinach w którym jako detektora używamy fotopowielacza z przelicznikiem elektronicznym. W doświadczeniu mierzymy kat odchylenia promieniowania od kierunku początkowego i liczbę zliczeń

w określonym przedziale czasu, wskazaną przez przelicznik. Liczba ta zależy od położenia fotopowielacza. W „jasnych prążkach” jest duża, a w „ciemnych prążkach”

mała.

wiązka światła laserowego

fotomnożnik

lewa szczelina

prawa szczelina

obie szczeliny

Fotony,obraz.nb

Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia fotonu a amplituda fali elektromagnetycznej

Aby powyższe doświadczenie opisać, musimy wziąć pod uwagę obie natury promieniowania:

1.Nie sposób zrozumieć, dlaczego powstają poszczególne impulsy w fotopowielaczu, bez uwzględnienia korpuskularnej natury promieniowania.

2.Nie można zrozumieć, dlaczego powstają „prążki” bez uwzględnienia natury falowej.

Musimy wiec powiązać oba sposoby określenia natężenia światła:

Jasno jest tam, gdzie jest duże prawdopodobieństwo znalezienia fotonów N(r,t) Jasno jest tam, gdzie jest duża wartość kwadratu natężenia pola elektrycznego [E(r,t)]²

Stąd musi zachodzić związek:

N(r,t) ~ [E(r,t)]

.

kwadrat funkcji falowej

natężenie światła gęstość

∝

prawdopodobieństwa znalezienia fotonu

częstość kołowa ω E_f= ħω

energia fotonu E_f

wektor falowy pęd fotonu

język falowy tłumaczenie

język korpuskularny

pr

k

p r

r = h ^kr

) , ( tr

N r ^{N( trr, )}

[

]

[

]

Podstawowe wzory mechaniki relatywistycznej E = mc

p = mv

m = m

/(1-v

/c

)

Wynika stąd, że E/p = c

/v oraz

Foton jest cząstką o zerowej masie spoczynkowej, czyli v = c oraz E = cp

Ponieważ E = ħω, zaś p = ħk, więc ω = ck

zależność dyspersyjna dla fotonu

2 2

2

0

c p

m cp

= + v

A zatem _{E = c m}

_c

_{+ p}

_{= m}

_c

_{+ c}

_p

_{= ( m}

_c

₎

_{+ c}

_p

Hipoteza de Broglie’a

W 1924r. Luis de Broglie wysunął hipotezę, że właściwości falowe mają wszystkie mikroobiekty (np. elektrony, protony), traktowane wcześniej jako cząstki.

Przyjął on, że dla cząstek z niezerową masą spoczynkową obowiązują analogiczne wzory jak dla fotonu:

E = ħω, zaś

Fale związane z cząstkami o niezerowej masie spoczynkowej nazywamy falami de Broglie.

2 2

2

0

c p

m c

E

= +

ħω ħ

ω ħ

zależność dyspersyjna dla fal de Broglie:

k

p r

r = h

m₀c²

10³ keV 10^–3

meV

10⁶ MeV

10⁹ GeV

1 10¹²

TeV

E_K, eV 1μm 10^–6

1mm 10^–3

1nm 10^–9

1pm 10^–12

1fm 10^–15

10^–18

10^–21

λ, m 4,2K 300K elektron

proton neutron

odległości między atomami w kryształach

średnice jąder foton

elektron

n H p

α He k_BT

3

Zależność

długości fali od energii kinetycznej

cząstki

Warunek

wzmocnienia dla interferencji:

n d λ

= α sin

d = 10μm, λ~0,1nm,

wtedy przy odległości ekranu L=1m, prążki co 10

μm

10^-1 10² 10⁵ 10⁸ 10¹¹ 10¹⁴

10

10

10

10

10

10

10

10

10

dlugosc fali (m)

energia kinetyczna (eV)

człowiek o masie 50kg foton elektron

p, n, H He

fulereny

a b

Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne dla elektronów

dyfrakcja elektronów na dwóch szczelinach

Warunki eksperymentu:

folia miedziana ze szczelinami o długości 50μm, szerokości 0.3μm i odległości między środkami 1 μm.

Dyfrakcja elektronów o energii kinetycznej 50keV, czyli λ=0.005nm.

Powstawanie obrazu interferencyjnego dla wiązki elektronów

w doświadczeniu z dwiema szczelinami. Elektrony przepuszczane jeden po drugim.

Ekran typu jak w telewizorach

– uderzenie elektronu powoduje powstanie błysku świetlnego

–250 0 250 x, μm N

200 N

x, μm –200 0 400

–400

Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne dla neutronów

Dyfrakcja na jednej szczelinie

λ=2nm Dyfrakcja na dwóch szczelinach

λ=2nm

źródło atomów

szczeliny 1μm d = 8μm szczelin

a 5μm

detektor atomów

L (1,95m) a (2m)

Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne dla atomów helu

Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne dla fulerenów

Fulereny z pieca z v=210m/s, czyli λ=2.5 pm Siatka z SiN, szczeliny szerokości 50nm i odległości 100nm.

odległości między maksimami 0.03mm na ekranie w odległości 1.25m.

Istota fizyczna funkcji falowej dla fal de Broglie’a

Dla fotonu:

Natężenie światła monochromatycznego:

-w języku falowym jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali elektromagnetycznej -w języku korpuskularnym jest proporcjonalne do gęstości prawdopodobieństwa

znalezienia fotonu

Dla cząstki z niezerową masą spoczynkową:

zakłada się, że kwadrat modułu funkcji falowej

jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki

P ( t r r , )

) , ( ) , ( )

, ( )

,

( r t r t

r t

r t P r = Ψ r = Ψ r Ψ r

Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dV

w okolicy punktu o położeniu opisanym wektorem dane jest wyrażeniem:

r r dV

t r dV

t r

P ( r , ) = Ψ ( r , )

W ramach opisu Schrödingera przyjmuje się, że jeżeli cząstka istnieje, to prawdopodobieństwo znalezienia jej „gdziekolwiek” jest równe jedności.

∫

∫ ^{P ( r r , t ) dV = Ψ ( r r , t )}

^{dV = 1}

Przypomnijmy, że dla fal de Broglie’a oraz p = hk.

W 1926r. Erwin Schrödinger zaproponował równanie falowe dla fal de Broglie’a w przybliżeniu nierelatywistycznym.

t t i x

x t x

m ∂

Ψ

= ∂

∂ Ψ

− ∂ ( , ) ( , )

2 ²

2 0 2

h h

najprostsze rozwiązanie równania Schrödingera to fala płaska

)

) (

,

(x t = Ae^{i kx−ωt} Ψ

) ( )

( 2 0

2

) (

) 2 (

t kx i t

kx

i i i Ae

Ae m ik

ω

− ω

− = − ω

− h h

= hω h

0 2 2

2m k

E = hω

hω = E ma sens energii nierelatywistycznej, bo spełnia związek ^p_m ^{= E}

0 2

2

(fala płaska to fala, dla której linie jednakowego wychylenia są liniami prostymi)

a stąd zależność dyspersyjna ²

2 0

)

( k

k = mh ω

Rozwiązaniem jest zatem cząstka-fala o całkowitej energii równej jej energii kinetycznej.

Jeśli cząstka miałaby jeszcze energię potencjalną V(x), to równanie Schrödingera należy zmodyfikować do postaci:

t t i x

t x x

x V t x

m ∂

Ψ

= ∂ Ψ

∂ + Ψ

− ∂ ( , )

) , ( ) ) (

, (

2

2 0 2

h h

Jeśli w jakimś miejscu w przestrzeni mamy V(x) = V₀, to wstawiając do r. Schrödingera rozwiązanie w postaci fali płaskiej, poszukujemy innego k=k₃ (pędu, energii kinetycznej) dla ustalonego ω (energii całkowitej).

E m V

k + = _h ω =

h

0 2 3 2

2

) (

1 2

0 0

3

m E V

k = −

h

Często poszukujemy rozwiązań r. Schrödingera odpowiadających ustalonej energii całkowitej E – czyli ustalonej częstości kołowej ω w postaci:

t

e

x t

x = ψ

Ψ ( , ) ( )

Wstawienie do r. Schrödingera daje:

) ( )

( ) ) (

(

2

2

0 2

x E

x x

dx V x d

m ψ ₊ ψ ₌ ψ

− h

Jest to tzw. równanie Schrödingera bez czasu.

Dla stanu o ustalonej energii mamy:

P(x,t) = Ψ(x,t) Ψ*(x,t) = ψ(x)e

ψ*(x)e

= ψ(x) ψ*(x)

i gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki nie zależy od czasu.

Stan taki nazywamy stacjonarnym.

Język używany w mechanice kwantowej

Operator - „coś, co działa na funkcje falową”

(coś, co wykonuje operację na funkcji falowej)

Operatory oznacza się zwykle symbolami z daszkiem ( np.

Aˆ

Tˆ

2 0 2

ˆ 2

dx d T = − hm

- operator energii potencjalnej

Vˆ

- operator Hamiltona ^{( )}

ˆ 2 ˆ

ˆ 2

2

0 2

x dx V

d V m

T

H = + = − h +

Hˆ

- operator pędu

pˆ

- operator położenia

xˆ x ˆ = x

Jeśli dla operatora

A ˆ

) ( )

ˆ ( x a x A ψ = ψ

gdzie a jest pewną liczbą rzeczywistą, to mówimy wtedy, że:

1. a jest wartością własną operatora

Aˆ

2. ψ(x) jest funkcją własną operatora

Aˆ

.

e

x = ψ ) (

Np. operator Hamiltona działając na falę płaską produkuje energię całkowitą E:

) ( )

( ) ) (

( ) 2

( ) 2 (

) ˆ (

2 2

0 2 2

2

0 2

x E x

x dx V

x d

x m x

dx V d x m

H ⎟⎟⎠ψ = − ψ + ψ = ψ

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− +

=

ψ h h

ikx ikx

ikx e

m e p

m e k

dx d x m

T

0 2

0 2 2 2

2

0 2

2 2

) 2

ˆψ( = − h = h =

zaś operator energii kinetycznej – energię kinetyczną:

Tˆ

Jeżeli w różnych obszarach przestrzeni energia potencjalna opisana jest różnymi wzorami, to otrzymane różne funkcje falowe

w poszczególnych obszarach musimy „zszyć” na granicach.

Warunki ciągłości:

Funkcja falowa na granicach różnych obszarów 1. musi być ciągła

2. musi posiadać ciągłe pochodne.

Stąd:

) , ( )

,

( ₂

1 rr t = Ψ rr t

Ψ _{dla x = x0}

dla x = x₀,

gdzie x₀ określa położenie granicy obszarów.

x t r x

t r

∂ Ψ

= ∂

∂ Ψ

∂ ₁(r, ) ₂(r, )

Próg potencjału

Obraz korpuskularny:

1. E>V₀ – działające siły zmniejszają energię

kinetyczną i elektron z prawdopodobieństwem 1 przedostaje się do obszaru 3.

2. E<V₀ – działające siły w obszarze 2 zawracają elektron i nie może on dostać się do obszaru 3.

obszar 1 obszar 3 1

2 3

Model matematyczny

Obraz mechaniki kwantowej:

Zakładamy, że wszędzie czyli stała energia całkowita

t

e

x t

x = ψ

Ψ ( , ) ( )

1. E>V₀

x ik x

ik

Be

Ae

x )

1

(

+

ψ =

x

Ceik

x) ³

3( =

ψ

2. E<V₀ E

m k₁ 1 2 ₀

= h

) (

1 2

0 0

3 m E V

k = −

h

x ik x

ik

Be

Ae

x )

1

(

+

ψ =

Ce

x

ψ

( ) =

Funkcje falowe elektronu w pobliżu progu (a) E=0,05V₀(a) E=0,95V₀

) (

1 2

0

0 V E

m −

= h κ

Zjawisko tunelowe

(bariera potencjału)

Mikroskop tunelowy

Energia potencjalna

Funkcja falowa elektronu

Natężenie prądu tunelowego dla ustalonego napięcia

jest wykładniczą funkcją odległości I(d) = A exp(-αd)

w szerokim zakresie d

Obraz powierzchni krzemu otrzymany przy pomocy

mikroskopu tunelowego (dzięki uprzejmości K. Karpierza)

Nieskończona studnia

potencjału

Obraz korpuskularny:

Dla każdego E>0 elektron może przebywać w studni z prawdopodobieństwem niezależnym od x

Obraz mechaniki kwantowej:

Zakładamy, że wszędzie czyli stała energia całkowita

t

e

x t

x = ψ

Ψ ( , ) ( )

w obszarze x<0 i x>L:

0 ) ( )

( ₃

1 x =

ψ

ψ

w obszarze 0<x<L (z warunków brzegowych) mamy skwantowanie k oraz energii

Fizyka kwantowa

) sin(

)

( nx

A L

x

n

ψ = π

n L k_{n =} π

0 2 2

2m E_n = h kⁿ

Studnia

potencjału o skończonej głębokości

Energia potencjalna

Funkcje falowe i gęstość prawdopodobieństwa Trzech najniższych stanów studni skończonej

Energie stanów dla studni nieskończonej i skończonej