Algebra liniowa Maria Bulińska
ALGEBRA WEKTORÓW
Definicja 1. Wektorem o n składowych nazywamy każdy uporządkowany zbiór n liczb rzeczywistych postaci
an
a
a
1
.
Wektorem zerowym nazywamy wektor, którego wszystkie współrzędne są równe zero.
Wektor
n
T a a
a 1 nazywamy wektorem transponowanym względem wektora a.
Na wektorach określamy następujące działania:
a) mnożenie wektora przez liczbę R
n
n a
a
a a a
1 1
b) dodawanie
n n n
n a b
b a
b b
a a b
a
1 1 1
1
Wszystkie wektory o n składowych , na których określono powyższe działania tworzą n wymiarową przestrzeń Euklidesową Rn
Definicja 2. Wektory a1,a2,,an nazywamy wektorami liniowo niezależnymi, jeśli z równości
2 0
2 1
1a a nan
wynika, że
2 0
1 n
.
Jeżeli niektóre z liczb 1,2,,n są różne od zera i równocześnie powyższe równanie zachodzi, to mówimy, że zbiór wektorów a1,a2,,an jest liniowo zależny.
Algebra liniowa Maria Bulińska
Definicja 3. Wektor a jest liniową kombinacją elementów a1,a2,,an, jeżeli istnieje układ liczb 1,2,,n nie wszystkich jednocześnie równych zero, dla których
n na a
a
a1 12 2
Fakt. 1. W n wymiarowej przestrzeni Euklidesowej maksymalnie n wektorów może tworzyć zbiór liniowo niezależny.
Algebra liniowa Maria Bulińska
ALGEBRA WEKTORÓW, przykłady
Przykład 1.
Wykazać, że wektory
1 1 1 , 3 2 1 , 1 1 0
c b
a są liniowo niezależne i przedstawić wektor
1 0 1
d jako kombinację liniową tych wektorów.
Rozwiązanie:
1) Niezależność wektorów a, b, c:
0 1 1 1
3 2 1
1 1 0
3 2
1
Stąd otrzymujemy układ równań:
0 3
0 2
0
3 2 1
3 2 1
3 2
którego rozwiązaniem są wartości:
0 ,
0 ,
0 2 3
1
.
Z tego wynika, że wektory a, b, c są liniowo niezależne.
2) Przedstawienie d jako kombinacji liniowej wektorów a, b, c:
1 1 1
3 2 1
1 1 0
1 0 1
3 2
1
.
Powyższa równość jest równoważna układowi równań:
Algebra liniowa Maria Bulińska
1 3
0 2
1
3 2 1
3 2 1
3 2
,
którego rozwiązaniem są liczby 10, 2 1, 3 2. Ostatecznie d b2c.
