be a real-analytic submanifold and H(M ) the algebra of real analytic functions on M . If K ⊂ M is a compact subset we consider S

POLONICI MATHEMATICI LXXV.3 (2000)

Noeth´ erianit´ e de certaines alg` ebres de fonctions analytiques et applications

par Abdelhafed Elkhadiri et Mouttaki Hlal (Kinitra)

Abstract. Let M ⊂ R

be a real-analytic submanifold and H(M ) the algebra of real analytic functions on M . If K ⊂ M is a compact subset we consider S

= {f ∈ H(M ) | f (x) 6= 0 for all x ∈ K}; S

is a multiplicative subset of H(M ). Let S

H(M ) be the localization of H(M ) with respect to S

. In this paper we prove, first, that S

H(M ) is a regular ring (hence noetherian) and use this result in two situations:

1) For each open subset Ω ⊂ R

, we denote by O(Ω) the subalgebra of H(Ω) defined as follows: f ∈ O(Ω) if and only if for all x ∈ Ω, the germ of f at x, f

, is algebraic on H(R

). We prove that if Ω is a bounded subanalytic subset, then O(Ω) is a regular ring (hence noetherian).

2) Let M ⊂ R

be a Nash submanifold and N (M ) the ring of Nash functions on M ; we have an injection N (M ) → H(M ). In [2] it was proved that every prime ideal ℘ of N (M ) generates a prime ideal of analytic functions ℘H(M ) if M or V (℘) is compact. We use our Theorem 1 to give another proof in the situation where V (℘) is compact. Finally we show that this result holds in some particular situation where M and V (℘) are not assumed to be compact.

Introduction. Soit M ⊂ R

une sous-vari´ et´ e r´ eelle analytique; on d´ esigne par H(M ) l’alg` ebre des fonctions analytiques sur M . Soit K ⊂ M un compact et consid´ erons S

= {f ∈ H(M ) | f (x) 6= 0 pour tout x ∈ K};

S

est une partie multiplicativement stable. Dans cet article on montre que le localis´ e de H(M ) par rapport ` a S

, S

H(M ), est un anneau r´ egulier (donc noeth´ erien) et on applique ce r´ esultat aux deux situations :

1) Pour chaque ouvert Ω ⊂ R

, on d´ esigne par O(Ω) la sous-alg` ebre de H(Ω) form´ ee des f ∈ H(Ω) telles que, pour chaque x ∈ Ω, le germe de f en x, f

, est alg´ ebrique sur H(R

). On montre que si Ω est un ouvert

2000 Mathematics Subject Classification: 30H05, 32B20, 14P17.

Key words and phrases: analytic algebra, Nash functions, subanalytic sets, regular rings.

Recherches men´ ees dans le cadre du Programme d’Appui ` a la Recherche Scientifique (PARS MI 33).

[247]

born´ e sous-analytique, alors O(Ω) est un anneau r´ egulier (donc noeth´ erien).

Remarquons que O(Ω) contient l’anneau des fonctions de Nash sur Ω.

2) Soit M ⊂ R

une sous-vari´ et´ e de Nash ; on d´ esigne par N (M ) l’anneau des fonctions de Nash sur M . On a une injection N (M ) → H(M ). La question suivante a ´ et´ e consid´ er´ ee dans [2] :

L’extension d’un id´ eal premier , ℘, de N (M ) ` a H(M ) est-il premier dans H(M ) ?

Une r´ eponse positive dans le cas o` u M est compacte est donn´ ee dans [2]. Si M est non compacte mais V (℘) (lieu des z´ eros d’un syst` eme de g´ en´ erateurs de ℘) est compact, la r´ eponse est aussi positive [2]. Nous don- nons une preuve directe de ce dernier cas en utilisant le th´ eor` eme 1.

On d´ esigne par Reg V (℘) ⊂ V (℘) les points au voisinage desquels V (℘) est une sous-vari´ et´ e analytique et on pose Sing V (℘) = V (℘) − Reg V (℘).

Si maintenant ni M ni V (℘) n’est suppos´ e compact, la m´ ethode que nous avons utilis´ ee nous permet de traiter le cas particulier suivant :

Sing V (℘) est compact et pour chaque x ∈ Reg V (℘), ℘H

engendre l’id´ eal des germes de fonctions analytiques qui s’annulent sur le germe de V (℘) en x.

Ces conditions sont automatiqument v´ erifi´ ees dans le cas M = R

. 1. Localisation de H(M ). Soit M ⊂ R

une sous-vari´ et´ e r´ eelle an- alytique. On d´ esigne par H(M ) l’anneau des fonctions analytiques sur M . Pour chaque f ∈ H(M ) et chaque x ∈ M , f

d´ esigne le germe de f en x. Soit K ⊂ M ; on pose S

= {f ∈ H(M ) | f (x) 6= 0 pour tout x ∈ K}. S

est une partie multiplicativement stable de H(M ) ; on note S

H(M ) le localis´ e de H(M ) par rapport ` a S

. On a un morphisme, i

: H(M ) → S

H(M ), plat. Pour chaque x ∈ M , M

d´ esigne l’id´ eal maximal des f ∈ H(M ) qui s’annulent en x et H

l’anneau des germes de fonctions analytiques en x.

Th´ eor` eme 1. Si K est un compact , alors S

H(M ) est un anneau noeth´ erien.

P r e u v e. Si I est un id´ eal de S

H(M ), soit I un id´ eal de H(M ) tel que i

(I) engendre I. On consid` ere le faisceau d’id´ eaux I d´ efini comme suit :

I

= IH

∀x ∈ M.

I est un faisceau coh´ erent d’id´ eaux sur M . Puisque K est compact, il existe un nombre fini d’´ el´ ements de I, f

, . . . , f

, tels que, pour chaque x ∈ K, I

= (f

, . . . , f

)H

.

Soit g ∈ I et consid´ erons le faisceau coh´ erent d’id´ eaux J d´ efini par

J

= (f

, . . . , f

)H

: g

∀x ∈ M.

Pour chaque x ∈ K on a J

= H

; d’apr` es le th´ eor` eme A de Cartan, pour chaque x ∈ K il existe un voisinage U de x et ϕ

∈ Γ (M, J ) tels que ϕ

(y) 6= 0 pour tout y ∈ U . On recouvre K par un nombre fini d’ouverts U

, . . . , U

et on pose ϕ = P

i=1

(ϕ

)

. Visiblement, ϕ(x) 6= 0 pour tout x ∈ K et ϕ ∈ Γ (M, J ). Soit M le faisceau coh´ erent d’id´ eaux d´ efini par

M

= (ϕ

g

, f

, . . . , f

)Hx ∀x ∈ M.

Il est clair que pour chaque x ∈ M , M

est engendr´ e par les germes en x de f

, . . . , f

. Le th´ eor` eme B de Cartan entraˆıne alors que Γ (M, M) est engendr´ e sur Γ (M, H) = H(M ) par f

, . . . , f

. Comme ϕg ∈ Γ (M, M), on conclut alors que ϕg = P

j=1

λ

f

, λ

∈ H(M ), j = 1, . . . , q. Puisque ϕ ∈ S

on en d´ eduit que I est engendr´ e par (f

, . . . , f

).

Corollaire 1. Pour chaque x ∈ M , le localis´ e de H(M ) par rapport ` a l’id´ eal M

, H(M )

, est un anneau noeth´ erien.

P r e u v e. On suppose que M est connexe et que dim M = m. Soit x ∈ M ; il existe u = (u

, . . . , u

) ´ el´ ements de H(M ) qui forment un syst` eme de coordonn´ ees analytiques en x. On a les injections suivantes :

R[u

, . . . , u

]

→ H(M )

→ H

.

On voit alors que le compl´ et´ e de H(M )

pour la topologie M

-adique est l’anneau des s´ eries formelles R[[u

, . . . , u

]]. On en d´ eduit que H(M )

est un anneau r´ egulier de dimension m.

Proposition 1. K ´ etant toujours compact , l’ensemble des id´ eaux max- imaux de S

H(M ) s’identifie ` a K.

P r e u v e. Soit m un id´ e eal maximal de S

H(M ); il existe alors un id´ eal maximal, m, de H(M ) tel que m ∩ S

= ∅ et l’id´ eal engendr´ e par i

(m) est m. Supposons que pour chaque x ∈ K il existe f ∈ m tel que f (x) 6= 0. e On recouvre alors K par un nombre fini d’ouverts U

, . . . , U

pour lesquels il existe f

∈ m, i = 1, . . . , s, avec f

(y) 6= 0 pour tout y ∈ U

. On pose ϕ = P

i=1

f

; on a ϕ ∈ m ∩ S

, ce qui est absurde ; donc il existe x ∈ K tel que m = M

.

Proposition 2. S

H(M ) est un anneau r´ egulier.

P r e u v e. Ceci d´ ecoule de la proposition 1, du fait que (S

H(M ))

= H(M )

pour chaque x ∈ K, et du corollaire 1.

2. Alg` ebres de Nash analytiques. Soit Ω ⊂ R

un ouvert; on d´ esigne par O(Ω) la sous-alg` ebre de H(Ω) form´ ee des f ∈ H(Ω) telles que pour chaque x ∈ Ω le germe de f en x est alg´ ebrique sur H(R

), i.e. v´ erifie une

´

equation P

i=1

a

f

= 0, o` u les a

∈ H(R

) sont non tous nuls. Les ´ el´ ements

de O(Ω) seront appel´ es par la suite les fonctions de Nash analytiques.

Visiblement si f ∈ O(Ω) et f (x) 6= 0 pour tout x ∈ Ω, alors 1/f ∈ O(Ω).

On d´ esigne par O

l’anneau des germes des fonctions de Nash analytiques en x ∈ Ω. Il est clair que l’on a une inclusion H(R

)

→ O

. On a, visiblement, la proposition suivante :

Proposition 3. O

est la fermeture alg´ ebrique de H(R

)

dans son compl´ et´ e R[[X

, . . . , X

]] ; c’est donc le hens´ elis´ e de H(R

)

; en particulier O

est un anneau r´ egulier (donc noeth´ erien) de dimension n fid` element plat sur H(R

)

.

Corollaire 2. Si Ω est connexe, l’anneau O(Ω) est int´ egralement clos.

P r e u v e. Comme Ω est connexe, les anneaux O

et H(Ω) sont cano- niquement plong´ es dans H

et on a O(Ω) = O

∩ H(Ω). D’o` u le r´ esultat car H(Ω) est int´ egralement clos et de mˆ eme pour O

d’apr` es la proposition pr´ ec´ edente.

3. Alg` ebres Ω-noeth´ eriennes. Une sous-alg` ebre A(Ω) ⊂ H(Ω) est dite Ω-noeth´ erienne [3] si :

(i) R[X

, . . . , X

] ⊂ A(Ω) et A(Ω) est stable par d´ erivation.

(ii) Ω muni de la topologie induite par celle de SM A(Ω) (spectre maximal de A(Ω)) est un espace noeth´ erien (tout point x ∈ Ω est identifi´ e ` a l’id´ eal maximal, m

, des fonctions de A(Ω) qui s’annulent en x).

Pour chaque id´ eal I ⊂ A(Ω) on pose V (I) = {x ∈ Ω | f (x) = 0 pour tout f ∈ I} et on d´ esigne par Reg V (I) l’ensemble des points au voisinage desquels V (I) est une sous-vari´ et´ e ; Reg V (I) est dense dans V (I) (pour la topologie euclidienne). Si I est engendr´ e par un seul ´ el´ ement, f , on ´ ecrit V (f ).

Proposition 4. Soit A(Ω) ⊂ H(Ω) une sous-alg` ebre stable par d´ eriva- tion et contenant l’anneau des polynˆ omes. On suppose que pour chaque f ∈ A(Ω), Reg V (f ) n’a qu’un nombre fini de composantes connexes. Alors A(Ω) est une alg` ebre Ω-noeth´ erienne.

P r e u v e. Soit F ⊂ Ω un ferm´ e pour la topologie induite par celle de SM A(Ω); F = V (I) o` u I est un id´ eal de A(Ω). Montrons d’abord qu’il existe un nombre fini d’´ el´ ements de I, g

, . . . , g

, tels que F = V (g

, . . . , g

).

Soit g ∈ I, g 6= 0. On a V (I) ⊂ V (g). Reg V (g) n’a qu’un nombre fini de composantes connexes: Γ

, . . . , Γ

; on pose µ

= max{dim Γ

| Γ

6⊂ V (I)}.

Soient Γ

, . . . , Γ

les composantes connexes de Reg V (g) telles que µ

= dim Γ

, j = 1, . . . , p, et Γ

6⊂ V (I).

Il existe alors h

∈ I, h

6= 0 sur Γ

, j = 1, . . . , p. On pose h = P

h

∈ I ; on a V (I) ⊂ V (g, h) ⊂ V (g). Visiblement si r = max{dim Λ

| Λ

est

une composante connexe de Reg V (g, h) avec Λ

6⊂ V (I)}, alors r < µ

. En

faisant la mˆ eme chose pour V (ψ) o` u ψ = g

+ h

, on voit que V (I) = V (ϕ) avec ϕ ∈ I.

Soit maintenant une suite de ferm´ es, (F

), strictement d´ ecroissante; on a F

= V (f

), f

∈ A(Ω). Associons ` a chaque V (f

) le n + 1-uplet ν

= (ν

, ν

, . . . , ν

) ∈ N

tel que ν

est le nombre des composantes connexes de Reg V (f

) de dimension j. On consid` ere sur N

l’ordre lexi- cographique. Alors si V (f

) V (f

) on a ν

< ν

, et donc la suite (F

) est stationnaire.

Remarque. La condition de la proposition 4 n’est pas n´ ecessaire; l’al- g` ebre A(Ω) = R[x, sin x, cos x] est R-noeth´erienne (mˆeme noeth´erienne), cependant Reg V (sin x) = V (sin x) a un nombre infini de composantes con- nexes.

Lemme 1. Soit Ω un ouvert born´ e sous-analytique. Alors l’alg` ebre O(Ω) est Ω-noeth´ erienne et de plus SM O(Ω) s’identifie ` a Ω.

P r e u v e. On peut supposer queΩ est connexe. Il suffit, d’apr` es la propo- sition 4, de montrer que pour tout f ∈ O(Ω), V (f ) est un sous-analytique de R

; en effet Reg V (f ) sera encore sous-analytique de R

et puisqu’il est born´ e, il n’aura qu’un nombre fini de composantes connexes.

On va montrer que le graphe, G, de f est sous-analytique dans R

. Le probl` eme est local en tout a ∈ ∂Ω ; on peut alors supposer que f est racine d’un polynˆ ome P sans facteurs multiples ` a coefficients analytiques au voisinage de Ω. Soit ∆ le discriminant de P , ∆ 6= 0; on pose Y = {x ∈ Ω |

∆(x) 6= 0}. Visiblement G ∩ Y × R est une r´eunion de composantes connexes de V (P ) ∩ Y × R, est donc sous-analytique; or G = G ∩ Y × R ∩ Ω × R car f est continue, donc G est sous-analytique.

Soit m un id´ eal maximal de O(Ω) ; supposons que pour tout x ∈ Ω, m 6⊂ m

= {f ∈ O(Ω) | f (x) = 0}. Soit x ∈ Ω ; il existe f

∈ m avec f

(x) 6= 0; V (f

) est non vide, sinon f

serait inversible dans O(Ω). Soit x

∈ V (f

) ; comme m 6⊂ m

, il existe f

∈ m tel que f

(x

) 6= 0. On a V (f

, f

) ⊂ V (f

) et V (f

, f

) est non vide, sinon ϕ = f

+ f

∈ m serait inversible dans O(Ω). En continuant, on construit une suite strictement decroissante de ferm´ es qui est infinie, ce qui est absurde. Donc il existe x ∈ Ω tel que m ⊂ m

.

Dans la preuve de notre r´ esultat, nous aurons besoin de la proposition suivante qui est une cons´ equence directe de [3, 6.2.1].

Proposition 5. Soit I ⊂ A(Ω) un id´ eal d’une alg` ebre Ω-noeth´ erienne ; il existe un id´ eal I

⊂ I de type fini tel que pour tout x ∈ Ω, I

H

= IH

.

Proposition 6. Soient Ω un ouvert de R

et a ∈ Ω; alors le localis´ e

de O(Ω) par rapport ` a m

, O(Ω)

, est un anneau local r´ egulier (donc

noeth´ erien) de dimension n fid` element plat sur H(R

)

.

P r e u v e. Soit Ω

la composante connexe de Ω qui contient a ; on a O(Ω)

= O(Ω

)

. On peut alors supposer que Ω est connexe. Nous avons alors vu que O(Ω) est int´ egralement clos ; O(Ω)

est donc aussi int´ egralement clos. On a les inclusions suivantes :

H(R

)

→ O(Ω)

→

H(R

)

o` u

H(R

)

est le hens´ elis´ e de H(R

)

. Le r´ esultat d´ ecoule alors de [1, 8.7.11].

Remarquons alors que, Ω ´ etant connexe, O(Ω)

→ H

est fid` element plate.

Th´ eor` eme 2. Soit Ω un ouvert sous-analytique born´ e; alors O(Ω) est un anneau noeth´ erien.

P r e u v e. Puisque Ω n’a qu’un nombre fini de composantes connexes, on peut supposer que Ω est connexe. Soit I ⊂ O(Ω) un id´ eal ; l’alg` ebre O(Ω) ´ etant Ω-noeth´ erienne, il existe un id´ eal I

⊂ I de type fini tel que pour tout x ∈ Ω, I

H

= IH

(proposition 5). L’injection O(Ω)

→ H

est fid` element plate, donc I

O(Ω)

= IO(Ω)

pour tout x ∈ Ω. Comme SM O(Ω) est identifi´ e ` a Ω, on en d´ eduit, par globalisation, que I = I

.

Corollaire 3. Ω ´ etant un ouvert sous-analytique born´ e, l’alg` ebre O(Ω) est un anneau r´ egulier de dimension n.

4. Probl` eme de s´ eparation. Soit M ⊂ R

une sous-vari´ et´ e de Nash ; N (M ) d´ esigne l’anneau des fonctions de Nash sur M . Le probl` eme suivant a ´ et´ e consid´ er´ e dans [2] :

Si ℘ est un id´ eal premier de N (M ), engendre-t-il un id´ eal premier dans H(M ) ?

Une r´ eponse positive a ´ et´ e donn´ ee dans le cas o` u M est compact [2]. Si M est non compact mais V (℘) est compact, la r´ eponse est aussi positive [2]. Nous donnons ici une preuve directe de ce dernier cas en utilisant le th´ eor` eme 1. Nous ´ etendons le r´ esultat au cas o` u V (℘) n’est pas compact mais Sing V (℘) est compact et ℘H

engendre les germes des fonctions analytiques qui s’annulent sur le germe de V (℘) en tout x ∈ Reg V (℘). Soit K ⊂ M un compact ; d’apr` es le th´ eor` eme 1, S

H(M ) est un anneau noeth´ erien.

Lemme 2. L’inclusion ϕ : N (M ) → S

H(M ) est un homomorphisme r´ egulier.

P r e u v e. D’apr` es la preuve de [4, 34.C] il suffit de montrer que pour tout x ∈ K, l’homomorphisme ϕ

: N (M )

→ H(M )

est r´ egulier. Soit (u

, . . . , u

) un syst` eme de coordonn´ ees r´ egulier de Nash de M en x ; on a

N (M )

→ H(M )

→ R[[u

, . . . , u

]].

N (M )

x

est un anneau excellent, donc ψ

◦ ϕ

est r´ egulier. H(M )

est un anneau local noeth´ erien, donc ψ

est fid` element plate, d’o` u ϕ

est r´ egulier [4, 33.B].

Th´ eor` eme 3. Soit ℘ ⊂ N (M ) un id´ eal premier. Alors l’extension de ℘

`

a S

H(M ) est encore un id´ eal premier.

P r e u v e. On peut supposer que M est connexe. On a l’´ egalit´ e ℘ = (h

, . . . , h

)N (M ) ; soient f, g ∈ S

H(M ) tels que

(∗) f g =

q

X

j=1

α

h

, α

∈ S

H(M ), j = 1, . . . , q.

On pose

P (x, Y

, Y

, . . . , Y

) = Y

Y

−

q

X

j=1

Y

h

∈ N (M )[Y

, Y

, . . . , Y

].

ϕ : N (M ) → S

H(M ) ´ etant un morphisme r´ egulier, d’apr` es [5], S

H(M ) est une limite inductive filtrante de N (M )-alg` ebres de type fini lisses. Cela veut dire que tout homomorphisme de N (M )-alg` ebres, B → S

H(M ), o` u B est de type fini sur N (M ), se factorise ` a travers une N (M )-alg` ebre, D, de type fini sur N (M ) tel que l’homomorphisme N (M ) → D soit r´ egulier.

Dans notre situation, on a un N (M )-homomorphisme donn´ e par l’´ equa- tion (∗) :

B = N (M )[Y

, Y

, . . . , Y

] P N (M )[Y

, Y

, . . . , Y

]

ϕe

→ S

H(M )

qui ` a Y

associe f , ` a Y

associe g et ` a Y

associe α

, j = 1, . . . , q. D’apr` es le th´ eor` eme de Popescu–Spivakovsky [5], il existe alors une N (M )-alg` ebre de type fini D = N (M )[z

, . . . , z

]/I telle que l’homomorphisme N (M ) → D

soit r´ egulier et on a un diagramme commutatif

N (M ) D

B S

H(M )

φ

//





//

α

rrr rrr rrr rr99

N (M ) → D ´etant un morphisme r´

egulier, puisque N (M ) est un anneau r´ egulier alors D est un anneau r´ egulier, d’o` u I est radical et donc I =

℘

∩ . . . ∩ ℘

, ℘

un id´ eal premier de N (M )[z

, . . . , z

], j = 1, . . . , s. Tout id´ eal maximal, m, de N (M )[z

, . . . , z

] contenant I, contient un et un seul

℘

et

N (M )[z

, . . . , z

]

/I = N (M )[z

, . . . , z

]

/℘

.

D est alors isomorphe au produit des N (M )[z

, . . . , z

]/℘

, j = 1, . . . , s.

Comme S

H(M ) est int` egre, β se factorise via un N (M )[z

, . . . , z

]/℘

. On peut alors supposer que I est un id´ eal premier. Par le mˆ eme argument que dans [2] on peut supposer que I est r´ eel. On pose Z = V (I) ; Z est une sous-vari´ et´ e de Nash de M × R

et D peut ˆ etre identifi´ e comme un sous-anneau de l’anneau des fonctions de Nash sur Z, N (Z).

Pour chaque i = 1, . . . , q + 2, on pose α(Y

) = H

∈ D ; on a

(∗∗) H

H

=

q

X

j=1

H

h

sur Z.

On pose β(z

) = σ

∈ S

H(M ), i = 1, . . . , m, et

σ(x) = (x, σ

(x), . . . , σ

(x)), x dans un voisinage de K.

Il existe alors un voisinage W de K, W ⊂ M , tel que σ : W → Z soit analytique et une section de la projection canonique π : W × R

→ W . Il existe alors une application polynomiale P : R

→ R

× R

qui approche σ au voisinage de K. Posons P (x) = (P

(x), P

(x), . . . , P

(x)), P

(x) ∈ R

.

Soit T un voisinage tubulaire de Z dans W × R

et % : T → Z une r´ etraction de Nash compatible avec la projection canonique, i.e. π ◦ % = π tel que P (W ) ⊂ T . On pose

% ◦ P (x) = Q(x) = (Q

(x), Q

(x), . . . , Q

(x)) ∈ Z.

Comme Q

est proche de l’identit´ e, quitte ` a r´ etr´ ecir W , Q

est un diff´ eomor- phisme de W sur W . Soit Q

son inverse; on pose

τ (x) = (x, Q

◦ Q

(x), . . . , Q

◦ Q

(x)).

Alors τ est une section de Nash de π : Z → W , proche de σ. On pose G

= H

◦ τ , i = 1, . . . , q + 2. Alors G

est proche de H

◦ σ pour tout i = 1, . . . , q + 2 ; de plus on a f = H

◦ σ, g = H

◦ σ et H

◦ σ = α

, j = 1, . . . , q.

On d´ eduit de (∗∗) que f ou g est limite de fonctions appartenant ` a

℘H(W ) ; comme ce dernier est ferm´ e dans H(W ), on a, par exemple, f ∈

℘H(W ).

Soit J le faisceau coh´ erent d’id´ eaux d´ efini par J

= (h

, . . . , h

)H

: f

pour tout x ∈ M . Pour chaque x ∈ K, J

= H

; d’apr` es le th´ eor` eme A de Cartan, pour chaque x

∈ K il existe un voisinage U

de x

et ϕ

∈ Γ (M, J ) tels que ϕ

(y) 6= 0 pour tout y ∈ U

. On recouvre K par un nombre fini d’ouverts U

, i = 1, . . . , l, et on pose ϕ = P

µ=1

ϕ

. Alors ϕ ∈ Γ (M, J )

et ϕ(x) 6= 0 pour tout x ∈ K ; d’apr` es la preuve du th´ eor` eme 1, ϕf ∈

(h

, . . . , h

)H(M ), donc f ∈ ℘S

H(M ).

Corollaire 4. Soit ℘ ⊂ N (M ) un id´ eal premier tel que K = V (℘) soit compact. Alors l’extension de ℘ ` a H(M ) est encore un id´ eal premier.

P r e u v e. On a ℘ = (h

, . . . , h

)N (M ); soient f, g ∈ H(M ) tels que f g ∈ ℘H(M ); d’apr` es le th´ eor` eme 3 on a, par exemple, f ∈ ℘S

H(M ).

Soit I le faisceau coh´ erent d’id´ eaux d´ efini par

I

= (h

, . . . , h

, f )H

, ∀x ∈ M.

Pour chaque x ∈ M , h

, . . . , h

engendrent I

sur H

; en effet, si x ∈ K, ceci est d’apr` es le fait que f ∈ ℘S

H(M ) ; si x 6∈ K = V (℘), on a (h

, . . . , h

)H

= H

. D’apr` es le th´ eor` eme B de Cartan on a Γ (M, I) = P

i=1

h

H(M ); comme f ∈ Γ (M, I), on en d´ eduit que f ∈ ℘H(M ).

5. Cas particulier. Soit I ⊂ N (M ) un id´ eal. Rappelons que Reg V (I) d´ esigne les points de V (I) au voisinage desquels V (I) est une sous-vari´ et´ e ; Reg V (I) est dense dans V (I) (pour la topologie euclidienne). On pose Sing V (I) = V (I) − Reg V (I).

Soit ℘ ⊂ N (M ) un id´ eal premier et consid´ erons l’hypoth` ese suivante : (H) Pour tout x ∈ Reg V (℘), ℘H

engendre l’id´ eal des germes des fonc-

tions analytiques qui s’annulent sur le germe de V (℘) en x.

Th´ eor` eme 4. Soit ℘ ⊂ N (M ) un id´ eal premier. Si (H) est v´ erifi´ ee et Sing V (℘) est compact , alors ℘H(M ) est un id´ eal premier.

P r e u v e. Posons K = Sing V (℘) et soient f, g ∈ H(M ) telles que f g ∈

℘H(M ). D’apr` es le th´ eor` eme 3, on a, par exemple, f ∈ ℘S

H(M ), i.e. il existe ϕ ∈ H(M ) avec ϕ(x) 6= 0 pour tout x ∈ K et ϕf ∈ ℘H(M ). Soient Γ

, . . . , Γ

les composantes connexes de Reg V (℘). Puisque V (℘) est connexe et Reg V (℘) est dense dans V (℘), on a Γ

∩ K 6= ∅ pour tout j = 1, . . . , s.

S’il existe a ∈ Γ

tel que f (a) 6= 0, on aura ϕ(x) = 0 pour tout x ∈ Γ

et comme Γ

∩ K 6= ∅, il existe b ∈ K tel que ϕ(b) = 0, ce qui est absurde ; donc Γ

⊂ V (f ) pour tout j.

L’hypoth` ese (H) entraˆıne alors que f

∈ ℘H

pour tout x ∈ Reg V (℘), comme ϕf ∈ ℘H(M ) et ϕ(x) 6= 0 pour tout x ∈ K, on en d´ eduit que f

∈ ℘H

pour tout x ∈ M . Puisque ℘ est de type fini, d’apr` es le th´ eor` eme B de Cartan, on a f ∈ ℘H(M ).

Si M = R

et ℘ ⊂ N (M ) est un id´ eal premier, Sing V (℘) est un ensemble fini et V (℘) est connexe. Pour chaque x ∈ Reg V (℘), ht(℘H

) = 1 et comme la dimension du germe de V (℘) en x est 1, on a alors que ℘H

est r´ eel, d’o` u le corollaire :

Corollaire 5. Si ℘ ⊂ N (R

) est un id´ eal premier , alors ℘H(R

) est

encore premier.

R´ ef´ erences

[1] J. B o c h n a k, M. C o s t e et M.-F. R o y, G´ eom´ etrie alg´ ebrique r´ eelle, Ergeb. Math.

Grenzgeb. 12, Springer, New York, 1987.

[2] M. C o s t e, J. M. R u i z and M. S h i o t a, Approximation in compact Nash manifolds, Amer. J. Math. 117 (1995), 905–927.

[3] A. E l k h a d i r i et J.-Cl. T o u g e r o n, Familles noeth´ eriennes de modules sur k[[x]] et applications, Bull. Sci. Math. 120 (1996), 253–292.

[4] H. M a t s u m u r a, Commutative Algebra, Benjamin, New York, 1970.

[5] D. P o p e s c u, General Neron desingularization, Nagoya Math. J. 100 (1985), 97–126.

D´ epartement des Math´ ematiques Facult´ e des Sciences

Universit´ e Ibn Tofail B.P. 133

14000 Kinitra, Morocco

E-mail: kabdelhafed@hotmail.com

Re¸ cu par la R´ edaction le 10.3.2000

R´ evis´ e le 20.8.2000