Kolokwium z analizy matematycznej

(1)

--= --a

Zadarrie ¹ Zadanie ² Zadanie 3 Zadanie 4 Zadanie ⁵ Zadanie 6

Zadanie 7 Zadanie ⁸

Zńanie

9

Zadanie 10

Imię

i

nazwisko Numer indeksu

Studia stacjonarne, specjalność .,.,-...

Kolokwium z analizy matematycznej

⁴

czerwiec 2015

IJ,*lraga. Kazde zadanie jest punktowane w ska]i (0-2pkt),

Warunkiem

zaliczenla kolokwium na ocenę dostateczną jest zdobycie co najmniej 12 pkt.

Zadanie L.

Wyznacz

pochńnq

_funkĘi,

y(r) ułłikłanej

ńwnani,em sinlł

+Zru --

^L,

Pod,aj ni,ezbęd,ne

załoźeni,a. e^"rłn-y ^'ń,y)= ^athgłłxg -!, Łąu'e'z'ą ' ^ze t/.

,,,

^-,-"ł ,*; ;:; ⁽ ź) _{_,^Lo} ma /

1a.a!7łłs,@l(

, a ^?bŁ'ę

V(x,jŁr?z

^F,'e,,{

łła7 _C- _l _.rph- r1/ Ję dz-

W 1G,v)erz", ^tax,,J)=O ołvlł- ^F{rry)= @tyłax O f łoji* ę

ąĄr, b) ^. ^@ f*AJr' ^uńhffuy

^t

^tah,m

nTy

_'d'_'-

' |= - ^F!(r,,) rlr &,) = ą, ^cłaytJr

Zadanie 2.

Wyznałzyć metod,q mnoźni,ków Lagronge'a punkty stacjoname _funkcji,

-tD Ę?,

o1"@Pe,r4lrł.:

ftr,r):O

^"

l@,il :

^xU,przu werunku.rz + _U2

:

I.

x?ty?=t

_|ereL

^olą3b,,,3 ,4' ^/-tlłł6rn tłłłerfr"''{ż'ę

F(r,9)= ^y?łtf? -!_ , ^aF(ł,g)-2 ^f2r,ą7 'l ^łt6,o1 łi

l/arrrra "(t,7) Ą, ^t' fd* _C4 _,-Ę) Ęt>"n-"ł: _{ł6 )=-Ł}

7o!a.x-o:>q=Ąx=?,e

^_

l-' i"rrrłrł (oro) nb zĘruE ^x?ąłZ:!

^.

/*'r ^)-1,o ł,**?ł]r'=Ź u xr-ł_

x:ź Ł

/ełlh: )=! _{+ 9-2Ąx:x} +l ^?

x?txz-/ =o ąx:tE.

L (g, ^-5), ag,9) 0&y /\=ź ?

(2)

Zadanie 3.

Wyznacz róumanie stycznej do powi,erzchni, zadanej przez ^opŹsparame, tryczny

ę(t) - ^{(t,t,t2 +}

L) w punkci,e

P : (1,I,2)-

dłfirre/t _u ,ż ( ^oF,T ł-al7 kprywa&e*"ląlgtl u, p3( _€

/u§- ,r,M*,

W '/rr;/ry" *'&) ń ^P-(/1l,Ą) ^flnłaąt &f't=/, ^bo

'V( ń : Ćr,ł', Ł) ^ÓWr*-,x Vril :(4tłt ^eł) ć7Ą=( ^(t{,2)

^.

-bH={(rĘ,+)en"l [ł/ ⁼ "tłJ ,:,,_,3=*uĘ",,:ł,

Ęł| - [{1r,-Y::,,E] ^- .: [iJ[j. i- l,i/, ^o up§,*4, _/^r rrm?

yb,o!,ńf t";* ?il; ;h"' _Ę! ń' ^ł!r'='i ^: ^>

Zadanie 4. Poilać uymiary

przestrzeni, stycznej ^i,rulrmalnej ^d,opowi,erzchni

H :

{(r,a,z),r2+y2 :I_zr} wpunkcieP:

^(0,0,1)

e H.

od,pollłied,źkrótko uzasadni,ć.

P f-r ń"lry ,ł,a" ^,0'* ęł-& ₁ a ^ie"t _7'e'Ę

r;"br;-ą ^'a" ^Ę' fu"r-ry

^,

^u,ł, ^dł'łą

^fu,plr

^=/ . ał,ątt--ń,ufitrł*r2łr.

r f) , ffxty,ł) -7?łq?s2z-4

a

Ft(7łc1,o)

=hI zy

,2,/|z+f _

ł _ft,1,*),

ff .

,qęd

^O|ł'ł,

^tł= dnĄ(tD)*ł=ł

_,

ł ś

Wqtyn,o.azlłó, un,ń,ość_ c.o,ł,ki,

nF?o,n tl=rtlnn,/):ł fub- d''* fł/ -abft- ą

zadanie 5.

Wyznaczyć

wańość całki,

ⁿ

r?qą

_)=rz[ąo,

zJr, # #ł i!n-=*@

I Lrd(,u),, -ł/(iż),dl,Fłf ^:'L_,

gd,zi,e

D : {(r,y) e R',. r ż 0,a

>

0,r2 +y2 ^<

^L},

_e*óu _óh,s,Ę , ^ofuł ^ueryuYłn

^:

^

ir= nm/

I 7 Y:ll=,{a\ud de(Or{)

ą-e (O,ł)

fS r d&*ł),

Ov

L

:'f, ^Łn"d

t( ^k,ł,,)* ,r

§S^ ,*d

"

r

oO

1,ołr-:'*

ł, ^łt 'J'J EI r'r*,J d- dł ⁼ Oc

*J ^dł

⁼

_ź ^{d^J} _/,= ^,.[

o ź,ł, ₃ l

(3)

Zadanie 6.

Zmieni,ć porzqd,ek całkowani,a

w

całce

(t

^jest_funkcjq^ci,qgłq)

\ń,l' '1'Ż'f

Zadanie 7. a

Obli,cz całkę

Ą: łT-* ^* ż7 h , _łT'*, l

Ł<u ,3

E) ,§ł,,,,)erĄ"ń;;; l&'ń&'ą ^-J _I't{{,,rs drĄ ^-Ś e^4 !'f ^0, ^r)d*

Ął re?3

o źt ² lt

! I Irt* +u1'd,(r,y,z),

gd,zi,e

D : _{{(r,y) e} R'

^:z

<

I

- ^{,P

⁺^a1^A

^z

^{> 0}.}

oMaflrowxń łld.

hOrlłra,łh'r* tnr'rĄ

-ft rr1l"ł,r,ri{)-ffi-;

D W ^ęMlajłn ^o ,łłluac&prbł ⁽ o,ot ł) ; ^ł,łÓ'V thuk'"/

de {aa*or,laaą Or1 leł tr6 ^y

^f</'

Zł Ą ^tp,r, ^ud,*oe:

):

s'''!'

Jo;

lr,2If - ilfT

!.;LT ^-

|x=

6a4

ę,Ąl='ńinł _'' ^J(na,ż)=,t Lź,-* _?-?(ot ^će

^{o,^err)

_{t) _}

-5-

(4)

1,

łl=

2,t lrz+q"'

0|_->

z=Ę{,)=x W ⁼⁾ ^{r-{ńt

^':-ą D:l!,*a':rtąłz8ł3 _śń)f! tp+Ą ^łG,1)-$6 ^d,tr,,))-

8l--

^rr

*1i ^"| ^I' ^' r,+1

s=@_to)_ _{- E} S'

^ołIr,3)=

[-a /r(l)- ^{6,. attr} D

,r

--t{q ^'" ó ź, ^7x= ^BlitqlTń:

Zadanie 9.

Wykorzystujqc regułę

Gulńna

ôbli,czEćôbjętośćûlalca

powstńego'§rru s,tu(,łtfi

obńt

prostokqta o wymi,arach

a

^cn,t,

x

b cm usokół jednego

z

boków.

N/p ,

,bJf &dńr _b,dłL b łw§u ôd ł ^,?ą§4twńe âła,l,łc ô

aĄa&du' b ; pg,n}pĄlu. W)afurilł ą.

axw ftddllir-,, pM)= strąptD) ⁼ ^{ffxc }t(E

⁼

ftur\ -ĄsłoŁ'

^ulo.lr,g

d ^,urr) /r(D)=a."b ^-dą;'rdt@ rw,óId,ałŁ (a*6) l f

⁼

^-

rc - MNujd,w ^x, ^4,Ń!n aęłł"ńcl/

lr ^=t@

10.

Wyznacz współrzfi,ne środka

llęłkośel

^zbi,oru,

Zadanie 8.

Wyznacz pole powierzchni, bryły ograniczonej powierzchni,ami,

z _--

²

*

lfFW, ż: ^II

^stosujqcmchunek całkowy,

b"fe iełł ;Mlłtr"t,

^,

t=§,FWYąT ^a&O ^=t*)

?b- \+v6ułvvĄ qwchławlŁ W

€ JI*'"ł,. ŁT ^d,ddł=

00 ?rr,- _źp;= _Nr,rŃó Ppc"Pb oya,uła")u 9 t=.§,FĘl,Ul D :,*'r, ^aGO

^={lc)^?t

:r ⁼ glT u =,,ł_rŃL| ^=, ł'r=ffi ^ł'!'

Zadanie

ąO^trurŃ}i 6(r,5)*ł ^,a

M

" S§ x(r,r) ^ot[,,3)=

V"

wx.Slnu srrj)c(r,..tr)= 5j^t ^dtn,l)

Gęstość

p(r,a) :1.

=5

%,, += k= ^?n=

K : _{tr,y)

€

R'

_{;,ł2 + a'}

Ś ^ąn ^y

^{> 0},}

ułió,ł

W

1bnl ry,i., 0t ń _% h ^xc--O,

K/

2l 1,

] a,. _J1 c'ł"J dl&r,

ob f

óo-- (o,f-J _l"r

\-ł,ąljdr. _[}t-, ^-ildr.- _|'**= ₆

^Ą6

3-

9TI

b"Ir'=

4

(ręfuń;,

xZ

tlŻ

N

-wu&r

'iW:Jr

) ^rvLOr ^ł), ^de

^,

Ę& ,I,aalilhłr,

POWODZENIA.

(5)

tfu!/urŁ,ł- d0 a,nń.,l|.

L. ^K=Ltx,u) ^{eRą ,,} ^yltrĄ-'q _^ !'oJ ^dłiiaułe W ^,fi,a,

@

fudnrłaln spaov&a,v,&uńłxa^Ąb. xnilp"ią ł.

"Vx. truwńĄ&

g< & <Ą-{-,zlr

@

i _jpsłło vffiry)_fu, - vlt!'ś\ ry:1l _Pt _a,a,qlmn W"dR*,,w, _c _łal,t

W.*lil ^{a,@y^dń} ryin W ⁿ

y6W ^(prr* ru),*& v,alłułlu,e.

Q,y)e ^k ^(Co,d, Ą ł ^|rrft ^o ^lwtłn ^@,Qr' ^.'ąd

Ł 0UŃĄ

a]gku^

ĘilMaMt

^,]d,t

,ĘrlńW UŃl,Ąx w* ^uą

r^wo1)

(6)

5hd '

SK (n"g^)

^*

d.tr,,tr,n)= 5I

D _ł,k0,o1,

,[tuy,)'* r$(x')= [

I ^tMp. ^łweęunun, 9 ⁼ ^S'

((fi;ffi J{(u,as=,) ^o

\ rręL}i) ( = ^('1

\ deio,,ł) J x?*"!'fr,.qrl)t.(rnkń)L=r'| ) ^)o

= rn!"n

ó{-

⁼

t-iyfr,

l):@ ₁

] 5 ^6,*: )',4aa,) ⁼

'Lo

6,.,,^)^(t-,/rr-?)dG,t)=

u

'.

e')'(r-r.) ^rr ^d-td,r

⁼

fo' ^nu (l-u) ae,dl," _{!o', 7} *ręrł

@n-ł)do= n

Q,' -ł")

lJ ⁼ ;ą

@

lL

+d

E, ^'|łł,hae ^la

l

r= nqll,U(

''\r: ^",t,ó1l [*

⁼

*n|,

""ó$,Ą^!ł,w fo,,",,e ( ue ??y?rrĄ(wą'%Irff

J(U,Ąyrl)= U^p

deto,at1) p e to,f,)

N ft ,łf^łĄĄi,a d? , tJObAvłt&,

wP

0< ł 1ł-(*.''rI-l

0a

0 1 _m*F<

O 2 nrtnPll- @

Q Z ł-rytu [Ę|tl- mnP

|-ąu.p+ruooP<Ł _ nż O

I

',"[rr.^P'**

rrŁ PY,L w*r

łałę/{n

ae (o'

",1**r)

p Ęd ^aIVa ^ww ^ywo[aź,,

lzłC ( _;z, ^,B|xa[n

^I

} _ąf ) 4 :({ffit^r^p*rdr)ds=

^|

=[ :- !'**kćpd,r(dh=

1f*§Ę ]nrłyl:Yłr),

(7)

Ą^^t ^,rt)

cal'h

Q,P^pf

lutlĄ,glńU,ltprn

*rfh -

=r

(r("*,r )'

=(L W(,, ^łĆ1l, PPo*r lfw ⁼

l-

Kolokwium z analizy matematycznej

Zńanie

i

Kolokwium z analizy matematycznej

czerwiec 2015

Warunkiem

Zadanie L.

pochńnq

y(r) ułłikłanej

+Zru --

załoźeni,a. e^"rłn-y 'ń,y)= athgłłxg -!, Łąu'e'z'ą ' ze t/.

^-,-"ł ,*; ;:; ( ź) _,^Lo ma /

, a ?bŁ'ę

V(x,jŁr?z

łła7 C- l .rph- *r*1/ Ję dz-

W 1G,v)erz", tax,,J)=O ołvlł- F{rry)= @tyłax *O f łoj*i* ę

ąĄr, b) . @ f*AJr' uńhffuy

tah,m

nTy

' |= - F!(r,,) rlr &,) = ą, cłaytJr

Zadanie 2.

-tD Ę?,

ftr,r):O

l@,il :

:

x?ty?=t

olą3b,,,3 ,4' /-tlłł6rn tłłłerfr"''{ż'ę

F(r,9)= y?łtf? -!_ , aF(ł,g)-2 f2r,ą7 'l łt6,o1 łi

l/arrrra "(t,7) Ą, t' fd* C4 ,-Ę) Ęt>"n-"ł: ł6 )=-Ł

7o!a.x-o:>q=Ąx=?,e

l-' i"rrrłrł (oro) nb zĘruE x?ąłZ:!

/*'r )-1,o ł,**?ł]r'=Ź u xr-ł_

x:ź Ł

/ełlh: )=! + 9-2Ąx:x +l ?

x?txz-/ =o ąx:tE.

L (g, -5), ag,9) 0&y /\=ź ?

Zadanie 3.

ę(t) - (t,t,t2 +

P : (1,I,2)-

dłfirre/t u ,ż ( oF,T ł-al7 kprywa&e*"ląlgtl u, p3( €

/u§- ,r,M*,

W '/rr;/ry" *'&) ń P-(/1l,Ą) flnłaąt &f't=/, bo

'V( ń : Ćr,ł', Ł) ÓWr*-,x Vril :(4tłt eł) ć7Ą=( (t{,2)

-bH={(rĘ,+)en"l [ł/ = "tłJ ,:,,_,3=*uĘ",,:ł,

Ęł*| - [{1r,-Y::,,E] - .: [iJ*[j. i- l,i/, o up§,*4, /^r rrm?

yb,o!,ńf t";* ?il; ;h"' Ę! ń' ł!r'='i : >

Zadanie 4. Poilać uymiary

H :

{(r,a,z),r2+y2 :I_zr} wpunkcieP:

e H.

P f-r ń"*lry ,*ł,a" ,0'* ęł-& 1 a ie"t 7'e'Ę

r;"br;-ą 'a" Ę' fu"r-ry

u,ł, dł'łą

=/ . ał,ątt--ń,ufitrł*r2łr.

r f) , ffxty,ł) -7?łq?s2z-4

a

=hI zy

ł ft,1,*),

,qęd

tł= dnĄ(tD)*ł=ł

ł ś

nF?o,n tl=rtlnn,/):ł fub- d''* fł/ -abft- ą

zadanie 5.

wańość całki,

r?qą

zJr, # #ł i!n-=*@

I Lrd(*,u),, -ł/*(iż),dl,Fłf :'L_,

D : {(r,y) e R',. r ż 0,a

0,r2 +y2 <

_e*óu óh,s,Ę , ofuł ueryuYłn

ir= nm/

I 7 Y:ll=,{a\ud de(Or{)

ą-e (O,ł)

fS r d&*ł),

Ov

L

:'f, Łn"d

t( k,ł,,)* ,r

§S^ ,*d

r

załoźeni,a. e^"rłn-y ^'ń,y)= ^athgłłxg -!, Łąu'e'z'ą ' ^ze t/.

^-,-"ł ,*; ;:; ⁽ ź) _{_,^Lo} ma /

, a ^?bŁ'ę

łła7 _C- _l _.rph- r1/ Ję dz-

W 1G,v)erz", ^tax,,J)=O ołvlł- ^F{rry)= @tyłax O f łoji* ę

ąĄr, b) ^. ^@ f*AJr' ^uńhffuy

^tah,m

' |= - ^F!(r,,) rlr &,) = ą, ^cłaytJr

^olą3b,,,3 ,4' ^/-tlłł6rn tłłłerfr"''{ż'ę

F(r,9)= ^y?łtf? -!_ , ^aF(ł,g)-2 ^f2r,ą7 'l ^łt6,o1 łi

l/arrrra "(t,7) Ą, ^t' fd* _C4 _,-Ę) Ęt>"n-"ł: _{ł6 )=-Ł}

l-' i"rrrłrł (oro) nb zĘruE ^x?ąłZ:!

/*'r ^)-1,o ł,**?ł]r'=Ź u xr-ł_

/ełlh: )=! _{+ 9-2Ąx:x} +l ^?

L (g, ^-5), ag,9) 0&y /\=ź ?

ę(t) - ^{(t,t,t2 +}

dłfirre/t _u ,ż ( ^oF,T ł-al7 kprywa&e*"ląlgtl u, p3( _€

W '/rr;/ry" *'&) ń ^P-(/1l,Ą) ^flnłaąt &f't=/, ^bo

'V( ń : Ćr,ł', Ł) ^ÓWr*-,x Vril :(4tłt ^eł) ć7Ą=( ^(t{,2)

-bH={(rĘ,+)en"l [ł/ ⁼ "tłJ ,:,,_,3=*uĘ",,:ł,

Ęł| - [{1r,-Y::,,E] ^- .: [iJ[j. i- l,i/, ^o up§,*4, _/^r rrm?

yb,o!,ńf t";* ?il; ;h"' _Ę! ń' ^ł!r'='i ^: ^>

P f-r ń"lry ,ł,a" ^,0'* ęł-& ₁ a ^ie"t _7'e'Ę

r;"br;-ą ^'a" ^Ę' fu"r-ry

^u,ł, ^dł'łą

^=/ . ał,ątt--ń,ufitrł*r2łr.

ł _ft,1,*),

^tł= dnĄ(tD)*ł=ł

I Lrd(,u),, -ł/(iż),dl,Fłf ^:'L_,

0,r2 +y2 ^<

_e*óu _óh,s,Ę , ^ofuł ^ueryuYłn

:'f, ^Łn"d

t( ^k,ł,,)* ,r

ł, ^łt 'J'J EI r'r*,J d- dł ⁼ Oc

*J ^dł

_ź ^{d^J} _/,= ^,.[

o ź,ł, ₃ l

Ą: łT-* ^* ż7 h , _łT'*, l

E) ,§ł,,,,)erĄ"ń;;; l&'ń&'ą ^-J _I't{{,,rs drĄ ^-Ś e^4 !'f ^0, ^r)d*

o źt ² lt

D : _{{(r,y) e} R'

- ^{,P

^z

D W ^ęMlajłn ^o ,łłluac&prbł ⁽ o,ot ł) ; ^ł,łÓ'V thuk'"/

de {aa*or,laaą Or1 leł tr6 ^y

Zł Ą ^tp,r, ^ud,*oe:

!.;LT ^-

ę,Ąl='ńinł _'' ^J(na,ż)=,t Lź,-* _?-?(ot ^će

_{t) _}

z=Ę{,)=x W ⁼⁾ ^{r-{ńt

^':-ą D:l!,*a':rtąłz8ł3 _śń)f! tp+Ą ^łG,1)-$6 ^d,tr,,))-

*1i ^"| ^I' ^' r,+1

s=@_to)_ _{- E} S'

[-a /r(l)- ^{6,. attr} D

--t{q ^'" ó ź, ^7x= ^BlitqlTń:

,bJf &dńr _b,dłL b łw§u ôd ł ^,?ą§4twńe âła,l,łc ô

axw ftddllir-,, pM)= strąptD) ⁼ ^{ffxc }t(E

d ^,urr) /r(D)=a."b ^-dą;'rdt@ rw,óId,ałŁ (a*6) l f

^-

rc - MNujd,w ^x, ^4,Ń!n aęłł"ńcl/

lr ^=t@

z _--

lfFW, ż: ^II

t=§,FWYąT ^a&O ^=t*)

€ JI*'"ł,. ŁT ^d,ddł=