Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 4. Funkcje wektorów losowych - zadania do samodzielnego rozwiązania

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna

4. Funkcje wektorów losowych - zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 4.1 Rozkład wektora losowego (X, Y ) dany jest tabelką Y ↓, X → 1 2

3 ¹₆ ²₆

4 0 ³₆

Wyznacz rozkład wektora losowego (X + Y, 3X − Y ).

Zad. 4.2 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach, odpowiednio, Pois- sona z parametrem 2 i jednostajnym na odcinku (−1, 1). Znajdź rozkład zmiennej losowej sgn(X + Y ).

Zad. 4.3 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, X ∼ E (1), P (Y = 1) = 0, 25 = 1 − P (Y = −1).

Wyznacz gęstość zmiennej losowej U = X^Y.

Zad. 4.4 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach

P (X = −1) = P (X = 1) = ¹₂, Y ∼ U (0, 1).

Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = X + Y .

Zad. 4.5 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykład- niczym E (1). Znajdź rozkład zmiennej losowej [X + Y ].

Zad. 4.6 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkłady zadane poprzez gęstości f_X(x) = 1

2e^−x/21I_[0,∞)(x), f_Y(y) = y

4e^−y/21I_[0,∞)(y).

1. Wyznacz gęstość łączną wektora losowego (X, Y ).

2. Wyznacz gęstość zmiennej losowej Z = X + Y .

3. Wyznacz gęstość średniej arytmetycznej M zmiennych X i Y . Zad. 4.7 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o dystrybuantach

F_X(x) = x³1I_[0,1)(x) + 1I_[1,∞)(x), F_Y(y) = y⁴1I_[0,1)(y) + 1I_[1,∞)(y).

Wyznacz gęstość zmiennej losowej Z = _X+Y^X .

Zad. 4.8 Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = ln(X + Y ), gdzie X i Y są niezależnymi zmien- nymi losowymi o rozkładach X ∼ U (0, 1), Y ∼ E (1).