Projekt pn. IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
Kurs wyrównawczy - rachunek prawdopodobie«stwa I rok II st.mat,mef,mii,mif,zas
Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy
7. Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych
Zad. 7.1 Wyznacz funkcj¦ charakterystyczn¡ zmiennej losowej X o g¦sto±ci
f (x) =
1
2 1 −12|x|
, |x| ≤ 2,
0, w p.p.
Zad. 7.2 Znajd¹ rozkªad sumy niezale»nych zmiennych losowych X i Y o rozkªadach (a) Poissona z parametrami λ1, λ2, odpowiednio,
(b) wykªadniczych z tym samym parametrem λ.
Zad. 7.3 Funkcja charakterystyczna zmiennej losowej X jest postaci a. ϕX(t) = 1+cos t2 ,
b. ϕX(t) = exp(2it − 3|t|). Znajd¹ rozkªad zmiennej X.
Zad. 7.4 Niech Xn, Yn b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach: Xn jedno- stajnym na odcinku (−1n,1n), za± Yn dyskretnym postaci
P
Yn= 1 + 1 n
= P
Yn = −1 + 1 n
= 1 2. Niech ponadto Zn= 2Xn+ Yn.
a. Wyznacz funkcj¦ charakterystyczn¡ zmiennej Zn. b. Wyznacz granic¦ wedªug rozkªadu zmiennej Zn.
Zad. 7.5 Oblicz czwarty moment zwykªy zmiennej losowej o standardowym rozkªadzie normalnym.
Projekt wspóªnansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego