Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2009/2010)
4. Zmienne losowe
Zad. 4.1 Z partii zawieraj¡cej 100 wyrobów, z których 10 jest wybrakowanych, losu- jemy kolejno 5 wyrobów do sprawdzenia (bez zwracania). Znale¹¢ rozkªad zmiennej losowej okre±laj¡cej liczb¦ braków w wylosowanej próbce.
Zad. 4.2 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ okre±laj¡c¡ ilo±¢ sukcesów w schemacie Bernoul- lego. Obliczy¢ EX, V ar(X).
Zad. 4.3 Niech X oznacza liczb¦ orªów w trzech rzutach monet¡.
a) Wyznacz rozkªad, dystrybuant¦ (wzór i wykres) zmiennej losowej X.
b) Oblicz P(X ≤ 1), P(X > 2), P(X = 1, 5), P(X = 1), P (2 ≤ X ≤ 3), P(X < 3).
Zad. 4.4 Wyznacz rozkªad zmiennej losowej o dystrybuancie F (x) =
0, x < −2,
1
5, −2 ≤ x < −1,
4
5, −1 ≤ x < 2, 1, x ≥ 2,
i oblicz jej trzeci moment absolutny oraz trzeci absolutny moment centralny.
Zad. 4.5 Dobierz staªe A i B tak, aby funkcja okre±lona dla x ∈ R wzorem F (x) = A + Barctgx, byªa dystrybuant¡ zmiennej losowej X. Wyznacz g¦sto±¢ X.
Zad. 4.6 Poka», »e zmienna losowa o rozkªadzie geometrycznym posiada tzw. wªasno±¢
braku pami¦ci (wªasno±¢ Markowa), tzn.
P(X > t + s|X > t) = P(X > s), dla t, s ∈ N ∪ {0}.
Zad. 4.7 Zmienne losowe X, Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad geometryczny z parametrem p, 0 < p < 1. Niech Z = min(X, X − Y ). Znale¹¢ P(Z = −1).
Zad. 4.8 Wiedz¡c, »e X ma rozkªad wykªadniczy z parametrem λ > 0 i P(X < 2) = 34, wyznacz λ.
Zad. 4.9 Niech X b¦dzie zmienn¡ losow¡ o g¦sto±ci f(t) = 0; t /∈ [−2, 2]
a(4 − t2); t ∈ [−2, 2].
a) Wyznacz parametr a i narysuj wykres f.
b) Wyznacz dystrybuant¦ zmiennej X i narysuj jej wykres.
c) Oblicz E(X), V ar(X) i median¦.
d) Wyznacz E(3X + 2)2.
e) Oblicz prawdopodobie«stwo, »e X > 1 lub X < −1.
Zad. 4.10 Znale¹¢ warto±¢ oczekiwan¡ pola prostok¡ta, którego obwód jest równy 20, a jeden bok jest zmienn¡ losow¡ X o rozkªadzie jednostajnym na [1, 10].
Zad. 4.11 Wiadomo, »e E(X + Y ) = a, E(X − Y ) = b, V ar(X − Y ) = V ar(X + Y ).
Oblicz E(XY ).
1
Wst¦p do statystycznej analizy danych (3 inf, 2009/2010)
Zad. 4.12 Niech X ma rozkªad N(1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1), P(|X| > 1).
Zad. 4.13 Zmienne losowe X i Y s¡ niezale»ne i maj¡ rozkªad normalny N(0, 1). Czy zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y s¡ niezale»ne?
Zad. 4.14 Oblicz warto±¢ oczekiwan¡ i wariancj¦ zmiennej losowej eX, je»eli X jest zmienn¡ losow¡ o rozkªadzie wykªadniczym z parametrem 2.
2
