Definicja 1. Niech A ⊂ X, za´ s f : X → Y . Zacie´ snieniem (restrykcj¸ a, zaw¸ e˙zeniem) funkcji f do zbioru A nazywamy funkcj¸ e:

FUNKCJE CYKLOMETRYCZNE (KO LOWE)

ANNA SZCZEPKOWSKA

1. Podstawowe definicje

Definicja 1. Niech A ⊂ X, za´ s f : X → Y . Zacie´ snieniem (restrykcj¸ a, zaw¸ e˙zeniem) funkcji f do zbioru A nazywamy funkcj¸ e:

f |

: A → Y r´ own¸ a funkcji f na zbiorze A, tzn.

∀x ∈ A f |

(x) = f (x).

Definicja 2. Niech f : X → Y b¸ edzie funkcj¸ a. M´ owimy,

˙ze funkcja g : Y → X jest funkcj¸ a odwrotn¸ a do funkcji f , je˙zeli dla dowolnego elementu x ∈ X zachodzi r´ owno´ s´ c:

g(f (x)) = x

i dla dowolnego elementu y ∈ Y zachodzi r´ owno´ s´ c:

f (g(y)) = y.

Definicja 3. Funkcj¸ e okre´ slon¸ a na przedziale [−1; 1] o warto´ sciach w przedziale [−

;

], odwrotn¸ a do zacie´ snienia funkcji sinus

do przedzia lu [−

;

], nazywamy arcusem sinusem i oz- naczmy symbolem arcsin.

Definicja 4. Funkcj¸ e okre´ slon¸ a na przedziale [−1; 1] o warto´ sciach w przedziale [0; π], odwrotn¸ a do zacie´ snienia funkcji cosinus

do przedzia lu [0; π], nazywamy arcusem cosinusem i oz- naczmy symbolem arccos.

Definicja 5. Funkcj¸ e okre´ slon¸ a na zbiorze R o warto´sciach w przedziale (−

;

), odwrotn¸ a do zacie´ snienia funkcji tan- gens do przedzia lu (−

;

), nazywamy arcusem tangensem i oznaczmy symbolem arctg.

1

2 ANNA SZCZEPKOWSKA

Definicja 6. Funkcj¸ e okre´ slon¸ a na zbiorze R o warto´sciach w przedziale (0; π), odwrotn¸ a do zacie´ snienia funkcji cotan- gens do przedzia lu (0; π), nazywamy arcusem cotangensem i oznaczmy symbolem arcctg.

2. Zadania

(1) Naszkicuj wykresy funkcji f (x) = arccos x, f (x) = arcsin x, f (x) = arctg x, f (x) = arcctg x. Om´ ow w lasno´sci ka˙zdej z nich.

(2) Oblicz:

(a) arcsin(−

);

(b) arcsin

√2 2

; (c) arccos(−

2

);

(d) arctg

√3 3

; (e) arctg(− √

3).

(3) Oblicz:

(a) tg(arccos

), (b) cos(2 arcsin

),

(c) arctg(tg

), (d) arccos(cos 3),

(e) arctg(tg 3), (f) arctg(tg

).

(4) Wyznacz dziedzin¸e funkcji:

(a) y = arcsin

; (b) y = arccos 2x;

(c) y = arctg

; (d) y = arcsin

. (5) Rozwi¸ a˙z r´ ownanie:

(a) 2 arcsin x − arccos x =

; (b) arcsin x − arccos x = 0;

(c) arccos x + arcsin x =

.