1 Wektory i warto´ sci w lasne endomorfizmu. Pod- przestrze´ n niezmiennicza

1 Wektory i warto´ sci w lasne endomorfizmu. Pod- przestrze´ n niezmiennicza

Definicja 1. Odwzorowanie liniowe T : V → V nazywamy endomorfizmem.

Definicja 2. M´ owimy, ˙ze skalar λ jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a endomorfizmu T : V → V , je˙zeli istnieje niezerowy wektor v ∈ V taki, ˙ze

T (v) = λv.

Ka˙zdy taki wektor nazywamy wektorem w lasnym odpowiadaj¸ acym warto´ sci w lasnej λ.

Prawdziwe jest nast¸ epuj¸ ace twierdzenie charakteryzuj¸ ace warto´ sci w lasne:

Twierdzenie 1. Skalar λ jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a endomorfizmu T wtedy i tylko wtedy, gdy

det(T − λI) = 0, gdzie I oznacza odwzorowanie identyczno´ sciowe.

Definiuje si¸ e te˙z warto´ sci w lasne i wektory w lasne macierzy:

Definicja 3. M´ owimy, ˙ze skalar λ jest warto´ sci¸ a w lasn¸ a macierzy A ∈ M

(K), je´ sli istnieje niezerowy wektor v ∈ K

taki, ˙ze Av = λv. Ka˙zdy taki wektor v nazywamy wektorem w lasnym odpowiadaj¸ acym warto´ sci w lasnej λ. W r´ owno´ sci Av = λv wektor v jest traktowany jako 1-kolumnowa macierz.

Przyk lad 1. Rozwa˙zmy odwzorowanie liniowe T : R

→ R

dane w bazie standardowej R

macierz¸ a

A =





1 3 0

3 1 0

0 0 −2



 .

Znajdziemy warto´ sci w lasne podanego endomorfizmu:

|A − λI| = A =      

1 − λ 3 0

3 1 − λ 0

0 0 −2 − λ

= −(λ + 2)

(λ − 4).

Warto´ sci w lasne odwzorowania liniowego T , to −2 i 4.

Przyk lad 2. Szukamy teraz wektor´ ow w lasnych odpowiadaj¸ acych odpowiednio

−2 i 4. Dla λ = −2 mamy





1 − (−2) 3 0

3 1 − (−2) 0

0 0 −2 − (−2)



 ·



 x y z



 =



 0 0 0



 ,

1

sk¸ ad dostajemy przestrze´ n V (−2) = Lin ((1, −1, 0), (0, 0, 1)). Dla λ = −4 mamy z kolei





1 − 4 3 0

3 1 − 4 0

0 0 −2 − 4



 ·



 x y z



 =



 0 0 0



 , sk¸ ad dostajemy V (4) = Lin ((1, 1, 0)).

Definicja 4. Niech T : V → V b¸ edzie odwzorowaniem liniowym, U ⊂ V pod- przestrzeni¸ a V . Podprzestrze´ n U nazywamy niezmiennicz¸ a ze wzgl¸ edu na T , je˙zeli T (U ) ⊂ U .

Przyk lad 3. Niech T : R

→ R

,

T (x, y, z) = (x + y + z, x + 2y − z, x − y + 2z).

Poka˙zemy, ˙ze

U = {(x, y, z) ∈ R

| y = z}

jest podprzestrzeni¸ a niezmiennicz¸ a ze wzgl¸ edu na T :

1. zbi´ or U rzeczywi´ scie jest podprzestrzeni¸ a R

(sprawd´ z!);

2. U = Lin ((1, 0, 0), (0, 1, 1));

3. wystarczy pokaza´ c , ˙ze T (1, 0, 0), T (0, 1, 1) ∈ U : T (1, 0, 0) = (1, 1, 1) = 1·(1, 0, 0)+1·(0, 1, 1) ∈ U T (0, 1, 1) = (2, 1, 1) = 2·(1, 0, 0)+1·(0, 1, 1) ∈ U .

2