Zadania RP 1, seria IV. Termin oddania: 21.4.2020 Prosz¸e wybrać dwa zadania.
Zadanie 1. Zmienna losowa X ma rozkład z gęstością
fX(t) = 1
2sin t ·1[0,π](t).
Wyznacz P((sin X) ¬ 12) oraz rozkład zmiennej losowej max(sin X,12).
Zadanie 2. Losujemy kolejno punkty P1, P2, . . . z koła o promieniu 1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
∞
X
i=1
|PiPi+1| < ∞,
t.j. uzyskana łamana P1P2. . . ma skończoną długość.
Zadanie 3. O ciągu zdarzeń (An) wiemy, że P∞
n=1P(An \ An+1) < ∞ oraz limn→∞P(An) = 0. Wykazać, że z prawdopodobieństwem 1 zajdzie tylko skończenie wiele zdarzeń An.
Zadanie 4. Zmienne losowe X, Y są niezależne, przy czym X nie ma atomów.1 Udowodnij, że P(X = Y ) = 0.
Zadanie 5. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 1.
(a) Wyznacz rozkłady zmiennych losowych: bXc (część całkowita z X) i {X} (część ułamkowa).
(b) Czy zmienne losowe bXc , {X} są niezależne?
Zadanie 6. Trzech współlokatorów (Bartek, Czarek i Darek) decydują się oddać butelki do skupu. Zadanie wymaga udziału dwóch osób. Przygotowują więc cztery losy {Bartek, Czarek, Darek, Za tydzień}, aby zdecydować czy dwóch z nich zda butelki, a wylosowany zostanie w domu, czy też odłożą problem na przyszły tydzień.
Rozważamy zdarzenia:
B = {Bartek, Za tydzień} − Bartek zostaje w domu albo butelki oddamy za tydzień, C = {Czarek, Za tydzień}, D = {Darek, Za tydzień}.
• (2 pkt) Czy każda para zdarzeń B, C; B, D i C, D jest niezależna? Czy trójka zdarzeń B, C, D jest niezależna? Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.
1Zmienna losowa X nie ma atomów wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby s mamy P(X = s) = 0.