EGZAMIN - teoria, 29.1.2020, grupa A Imię i nazwisko: ...
Nr indeksu: ...
teoria 1 2 3 test 1 2 3 4 5 6 7 SUMA
Zadania teoretyczne (3 · 4 = 12 punktów)
Zadanie 1. (4 pkt) Kostki A, B, C, D są jak na rysunku. Uzasadnij, że rzucając kostkami A, B z prawdopodobieństwem większym niż 1/2 uzyskamy większy wynik na kostce A niż B. Która z kostek jest „lepsza” (w powyższym sensie) B czy C, C czy D i D czy A?
Zadanie 2. Niech X oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p ∈ (0, 1).
(a) (112 pkt) Niech n = 3, p = 1/2. Proszę uzasadnić, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi 3/2.
(b) (212 pkt) Udowodnij, że w ogólności EX = np.
Zadanie 3. (2 pkt) Proszę podać definicję, że
• Zdarzenia A, B są niezależne.
• Trójka zdarzeń A, B, C jest niezależna.
Trzech współlokatorów (Bartek, Czarek i Darek) decydują się oddać butelki do skupu. Zadanie wymaga udziału dwóch osób. Przygotowują więc cztery losy {Bartek, Czarek, Darek, Za tydzień}, aby zdecydować czy dwóch z nich zda butelki, a wylosowany zostanie w domu, czy też odłożą problem na przyszły tydzień.
Rozważamy zdarzenia:
B = {Bartek, Za tydzień} − Bartek zostaje w domu albo butelki oddamy za tydzień, C = {Czarek, Za tydzień}, D = {Darek, Za tydzień}.
• (2 pkt) Czy każda para zdarzeń B, C; B, D i C, D jest niezależna? Czy trójka zdarzeń B, C, D jest niezależna? Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.
1
Część testowa (7 · 2 = 14 punktów)
Proszę wpisać tylko odpowiedzi: tak lub nie. Za każdą prawidłową odpowiedź na dany podpunkt można otrzymać 12 punktu, za błędną odejmujemy 14 punktu, za brak odpowiedzi — 0 punktów. Za trzy prawidłowe odpowiedzi na dane zadanie otrzymuje się dodatkowo 12 punktu.)
Zadanie 1. Wykonujemy 10 niezależnych strzałów do pustej bramki z prawdopodobieństwem trafienia równym 25. Niech X oznacza łączną liczbę trafień. Wówczas:
(a) P (X = 3) = 253 3
5
7 , (b) EX = 4,
(c) VarX = 52.
Zadanie 2. Wiadomo, że co najmniej jedno ze zdarzeń A, B musi zajść, P (A) > 0 i P (B) > 0 oraz P (A) = 2/3, a P (B) = 3/4. Czy
(a) P (A|B) > 1/2, (b) P (B|A) > 1/2, (c) P (A|B) = 125.
Zadanie 3. Niech Y będzie zmienną losową o wartości oczekiwanej równej 2 i wariancji równej 4. Definiujemy nową zmienną losową X = Y − 2. Wówczas:
(a) VarX = 2, (b) E Y2 = 8,
(c) E X2+ 2X + 4 = 8.
Zadanie 4. Które z poniższych zdań są prawdziwe
(a) Liczba permutacji zbioru {2, 3, 4, . . . , n} wynosi (n − 1)!;
(b) Liczba kombinacji pięcioelementowych zbioru jedenastoelementowego wynosi 11·10·9·8·7 120 ;
(c) Liczba niepustych podzbiorów A zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} o parzystej liczbie elementów wynosi 31.
Zadanie 5. Liczba rozwiązań równania x1+ x2+ . . . + x202= 2020 w liczbach całkowitych nieujemnych x1, x2, . . . , x202
wynosi (a) 2221202,
(b) jest równa liczbie rozwiązań w liczbach całkowitych równania y1+ y2+ . . . + y2020= 201, (c) 22212020.
Zadanie 6. Wskaż, które z poniższych zdań są w ogólności prawdziwe:
(a) P (A ∩ B0) + P (A0∩ B) ¬ P (A ∪ B),
(b) Jeśli P (A|B) 1/3 i P (A|B0) 1/3, to P (A) 1/3, (c) P (A|B)P (B|C) + P (A|B0)P (B0|C) = P (A|C).
Zadanie 7. Które ze wzorów są prawdziwe:
(a) P6
k=12k = 5! + 7, (b) nkk
n = n−1k−1,
(c) 100 + 111 + 122 + 133 + 144 = 1511.
2
EGZAMIN - teoria, 29.1.2020, grupa B Imię i nazwisko: ...
Nr indeksu: ...
teoria 1 2 3 test 1 2 3 4 5 6 7 SUMA
Zadania teoretyczne (3 · 4 = 12 punktów)
Zadanie 1. (4 pkt) Kostki A, B, C, D są jak na rysunku. Uzasadnij, że rzucając kostkami A, B z prawdopodobieństwem większym niż 1/2 uzyskamy większy wynik na kostce A niż B. Która z kostek jest „lepsza” (w powyższym sensie) B czy C, C czy D i D czy A?
Zadanie 2. Niech X oznacza liczbę sukcesów w n próbach Bernoulliego, przy czym prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie wynosi p ∈ (0, 1).
(a) (112 pkt) Niech n = 3, p = 1/2. Proszę uzasadnić, że wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi 3/2.
(b) (212 pkt) Udowodnij, że w ogólności EX = np.
Zadanie 3. (2 pkt) Proszę podać definicję, że
• Zdarzenia A, B są niezależne.
• Trójka zdarzeń A, B, C jest niezależna.
Trzech współlokatorów (Bartek, Czarek i Darek) decydują się oddać butelki do skupu. Zadanie wymaga udziału dwóch osób. Przygotowują więc cztery losy {Bartek, Czarek, Darek, Za tydzień}, aby zdecydować czy dwóch z nich zda butelki, a wylosowany zostanie w domu, czy też odłożą problem na przyszły tydzień.
Rozważamy zdarzenia:
B = {Bartek, Za tydzień} − Bartek zostaje w domu albo butelki oddamy za tydzień, C = {Czarek, Za tydzień}, D = {Darek, Za tydzień}.
• (2 pkt) Czy każda para zdarzeń B, C; B, D i C, D jest niezależna? Czy trójka zdarzeń B, C, D jest niezależna? Odpowiedź proszę dokładnie uzasadnić.
3
Część testowa (7 · 2 = 14 punktów)
Proszę wpisać tylko odpowiedzi: tak lub nie. Za każdą prawidłową odpowiedź na dany podpunkt można otrzymać 12 punktu, za błędną odejmujemy 14 punktu, za brak odpowiedzi — 0 punktów. Za trzy prawidłowe odpowiedzi na dane zadanie otrzymuje się dodatkowo 12 punktu.)
Zadanie 1. Wykonujemy 14 niezależnych strzałów do pustej bramki z prawdopodobieństwem trafienia równym 25. Niech X oznacza łączną liczbę trafień. Wówczas:
(a) P (X = 4) = 374 4
7
10 14 10, (b) EX = 5,
(c) VarX = 247.
Zadanie 2. Wiadomo, że co najmniej jedno ze zdarzeń A, B musi zajść, P (A) > 0 i P (B) > 0 oraz P (A) = 3/4, a P (B) = 2/3. Czy
(a) P (A|B) > 1/2, (b) P (B|A) > 1/2, (c) P (A|B) = 125.
Zadanie 3. Niech Y będzie zmienną losową o wartości oczekiwanej równej 3 i wariancji równej 9. Definiujemy nową zmienną losową X = Y − 3. Wówczas:
(a) VarX = 3, (b) E Y2 = 18,
(c) E X2+ 6X + 9 = 18.
Zadanie 4. Które z poniższych zdań są prawdziwe
(a) Liczba permutacji zbioru {2, 4, 6, 8, . . . , 2n} wynosi (n − 1)!;
(b) Liczba kombinacji sześcioelementowych zbioru trzynastoelementowego wynosi 13·12·11·10·9·8
720 ;
(c) Liczba niepustych podzbiorów A zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6} o nieparzystej liczbie elementów wynosi 31.
Zadanie 5. Liczba rozwiązań równania x1+ x2+ . . . + x202= 2019 w liczbach całkowitych nieujemnych x1, x2, . . . , x202
wynosi (a) 2220202,
(b) jest równa liczbie rozwiązań w liczbach całkowitych równania y1+ y2+ . . . + y2019= 201, (c) 22202019.
Zadanie 6. Wskaż, które z poniższych zdań są w ogólności prawdziwe:
(a) P (A ∪ B0) + P (A0∪ B) 1 + P (A ∩ B),
(b) Jeśli P (A|B) 1/4 i P (A|B0) 1/4, to P (A) 1/4, (c) P (A|B)P (B|C) + P (A|B0)P (B0|C) = P (A|C).
Zadanie 7. Które ze wzorów są prawdziwe:
(a) P7
k=02k = 2 · 5! + 16, (b) k+1n k+1
n = n−1k ,
(c) 100 + 111 + 122 + 133 + 144 = 1511.
4
