Udowodnij, że funkcja f (x

#14. Zadania z analizy B, ćwiczenia 19/03, kolokwium 26/03

1. Udowodnij, że funkcja f (x) = _β¹(1 + x)^β− x − ^β−1₂ x² jest ściśle rosnąca (malejąca) dla x > −1, jeśli β > 2 (1 < β < 2).

2. Rozwiń podane funkcje we wzór Maclaurina z resztą R_n w postaci Peano:

1 + x + x²

1 − x + x² (n = 5), e^2x−x2 (n = 6), √³

sin x³ (n = 13), logsin x

x (n = 6).

3. Udowodnij, żeP∞ k=0

1/2 k
=√

2, P∞

k=0(−1)^{k 1/2}_k
= 0, P∞ k=0

−1/2 k
= ^√₂². 4. Oszacuj błąd bezwzględny przybliżeń:

e^x≈ 1 + x +x²

2! + · · · + xⁿ

n! (0 ¬ x ¬ 1), sin x ≈ x −x³

6 (|x| ¬ 1 2),

tg x ≈ x +x³

3 (|x| ¬ 1

10), √

1 + x ≈ 1 +x 2 −x²

8 (0 ¬ x ¬ 1).

5. Oblicz granice

lim

x→0

cos x − e^−x22

x⁴ , lim

x→0

e^xsin x − x(1 + x)

x³ , lim

x→∞x^3/2

√

x + 1 +√

x − 1 − 2√ x

 ,

x→0lim

sinh(tg x) − x

x³ , lim

x→0

1 − (cos x)^{sin x}

x³ , lim

x→0

 1 x− 1

sin x

 .

6. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcje sin x cos x, sin²x, cosh²x.

7. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcje arsh x i arc cos x.

8. Pokaż, żeP∞ n=0

(−1)^k 2k+1

−1/2 k
=^π₂.

9. Niech f : [a, b] → R będzie funkcją monotoniczną. Pokaż, że f ma wszędzie granice jedno- stronne.

10. Udowodnij, że jeśli f : R → [0, ∞) jest parzystą funkcją podaddytywną, to

|f (x) − f (y)| ¬ f (x − y), x, y ∈ R.

11. Pokaż, że funkcja x → |x|^α, gdzie 0 < α ¬ 1, jest lipschitzowska na przedziale [1, ∞).

12. Pokaż, że funkcja f (x) = x^α dla α > 1 jest lipschitzowska na przedziale [0, 1].

13. Sprawdź, że funkcja x → x^xna przedziale (0, 1) jest podaddytywna.

14. Przypomnij dowód równoważności definicji ciągłości Cauchy’ego i Heinego i zaadaptuj go do przypadku jednostajnej ciągłości.

15. Oblicz

n→∞lim

log(2ⁿ+ xⁿ)

n , x > 0.

16. Dana jest ciągła funkcjia f : R → R. Pokaż, że f jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu x_n → 0 ciąg funkcyjny fn(x) = f (x_n + x) jest zbieżny jednostajnie do f .

17. Pokaż bezpośrednio, nie korzystając z twierdzenia Weierstrassa, że funkcję x →√

x można aproksymować jednostajnie wielomianami na odcinku [1/2, 3/2]. W tym celu rozwiń tę funkcję w szereg Taylora wokół 1.

18. Niech f : (a − , b + ) będzie funkcją różniczkowalną w sposób ciągły. Udowodnij, że ciąg ilorazów różnicowych f_n(x) = n



f (x +¹_n) − f (x)



jest zbieżny jednostajnie do f⁰ na [a, b].